专题1.8 相交线与平行线 常考几何模型专训（6大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题1.8 相交线与平行线常考几何模型专训 （6大题型+15道拓展培优题） 题型一 垂线相关练习 题型二 平行线的判定 题型三 平行线的性质 题型四 根据平行线性质探究角的关系与度数 题型五 根据平行线的判定与性质证明 题型六 利用平移解决实际问题 【经典例题一 垂线相关练习】 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）先由得，结合求出的度数，再由平分，得到的度数，接着通过求出，最后根据对顶角相等，由得到的度数； （2）先由与互补，得，再结合与互为邻补角，根据同角的补角相等推出，同时减去后，得到，从而得到． 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． （2）解：．理由如下： 因为与互补， 所以． 因为， 所以． 所以， 即． 所以． 1．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）是的平分线， (1)若（如图1），请写出的余角 ； (2)若，（如图2），求的度数； (3)若，是平面内一点，设，求的度数（用的关系式表示，且是小于平角的角）． 【答案】(1)和 (2) (3)；； 【分析】本题主要考查了角的和差，角的平分线，余角的定义，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，根据角平分线得出相等的角，然后根据余角定义进行求解即可； （2）根据角平分线得出相等的角，然后根据角的和差进行求解即可； （3）根据角平分线得出相等的角，然后分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的余角是和； 故答案为：和； （2）解：平分， ， ， 答：； （3）解： 平分，， ， 点在所在直线的上方，如答图所示： ，，， ， 答：的度数可表示为； 点在所在直线的下方，且时，如答图所示 ，； 答：的度数可表示为； 点在所在直线的下方，且时，如答图所示： ， ， 答：的度数可表示为． 2．（25-26七年级下·浙江温州·月考）如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线的交点处，且，并使两条直角边落在直线上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则 ， ； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题主要考查了相交线、垂直的定义、角的运算和角平分线以及角的和差关系． （1）根据角的和差关系和垂直的性质求解； （2）①利用角平分线的定义和角的和差运算即可求解； ②分两种情况：当旋转到左侧时，当旋转到右侧时，分别画出图形，利用角平分线的定义、角的和差以及方程思想求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， ，， ， 故答案为；； （2）①，， ， 射线是的平分线， ， ， ， ， 故答案为． ②当旋转到左侧时，如图： 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ；． 当旋转到右侧时，如图： 设，则， ， 是的平分线， ， ， ， 解得， ， ， 综上，的值为或． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分．    (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）由垂线的定义得，从而得到，由邻补角的定义计算可得，最后由角平分线的性质即可得到答案 （2）①先分别表示出和，再找出其中的关系即可；②根据题意得出，，代入得到，再将，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：①， 理由如下： 根据题意可得：， ， ， 平分， ， ， ； ②画出图如图所示：   ， 则，， ， 整理得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、垂线的定义、与余角和补角有关的计算、角的计算，熟练掌握角平分线的性质、垂线的定义，准确进行计算是解题的关键． 【经典例题二 平行线的判定】 【例2】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 【答案】(1)图见解析；垂线段最短 (2)这样的平行线有1条，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 (3)体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短 【分析】本题考查画垂线与平行线，垂线段最短，平行公理，掌握垂线段最短和平行公理是解题的关键．注意理解“有”、“且只有”的意义． （1）作于D即可； （2）根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，求解即可； （3）体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 【详解】（1）解：如图，线段的长度即为所求， 依据是：垂线段最短． （2）解：如图，直线即为所求， 过点画出的平行线，这样的平行线只有1条， 理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． （3）解：体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 1．（25-26七年级下·广东佛山·月考）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 2．（25-26七年级下·山西大同·期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上． （1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程． （2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：； （3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；． 【分析】（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明； （2）先证明，再证明，得到，问题得证； （3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=，进而得到，根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：（1）过点C作， ， ， ， ， ， ， ， ， ；               （2）解：，， 又， ， ， ， ， ， ； （3）如图三角形DEF即为所求作三角形．              ∵， ∴， 由（2）得，DE∥AC， ∴∠DEF=∠ECA=， ∵， ∴∠ACB=， ∴ ， ∴∠A=180°-=． 故答案为为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键． 3．（25-26七年级下·湖南·月考）如图1，对于两条直线被第三条直线所截的同旁内角满足，则称是的关联角． (1)当是的关联角且时，试判断直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，求出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②或 【分析】（1）由题意可得，，据此求出和的度数，即可确定直线，的位置关系； （2）①由与，与的互补关系，求出与之间的大小关系，进而命题得以证明； 根据直线过点的形式可分种情况，每种情况均有个角与互为同旁内角，因此共有种情况，分别解出的度数即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是的关联角， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①是的关联角， ∴； ∵， ∴， ， ∴， ∴， 是的关联角； ②如图当点Q在右侧时， ∵是的关联角，， ∴， 若是的关联角，则； 若是的关联角，则， ∵，， ， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点Q在左侧时， ∵是的关联角，， ∴，， ∴； 若是的关联角，则， ∴， ∴， ∴此种情况不成立； 若是的关联角，同理可得； 综上所述，的度数为或． 【经典例题三 平行线的性质】 【例3】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）【学科融合】把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．如图，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点． (1)写出的两个同位角：________；（答案不唯一） (2)比较和的大小；（直接写结果） (3)若，，求的度数． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可； （2）根据对顶角相等，则，根据，可得到，的大小关系； （3）根据平行线的性质，可得，求出；再根据，即可求出． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：． ∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据和互补，，即可求解；②先求出，由平行线的性质可得，再结合①中结论可得的度数； （2）设，可得，，再结合即可求解． 【详解】（1）解：①和互补， ． ， ， ； ②由①得， ， ， 又， ， ． ， ， ； （2）解：， ． 设， ，， ， ， 又， ， ， ， 即m，n满足的等量关系为． 【点睛】本题考查平行线的性质，角的和差关系，互补角的关系等，解题的关键是掌握平行线的性质． 2．（25-26七年级下·山西忻州·期末）综合与探究    (1)如图1，，，则与之间的数量关系为_；如图2，，，则与之间的数量关系为_． (2)在图3中，，，，，求的度数． (3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，同位角相等，等量代换，即可；平行线的性质，内错角相等，同旁内角互补，即可； （2）根据平行公理，平行线的性质，即可； （3）延长，交于点，根据平行线的性质，得，，，根据等量代换，得，再根据平角等于，等量代换，即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）延长，交于点， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴．      【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，平角的性质． 3．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．    (1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数； (2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，；，；， 【分析】（1）先求出，再利用两直线平行同旁内角互补求出的度数，根据即可得出结果； （2）利用平行线性质得到，，，平分，平分，得到，根据，即可得到最后结果； （3）根据四边形的内角和及平行线的性质得出关于和的关系式，根据题意得出的范围，在范围内找到和都是正整数的所有可能的情况． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）如图，过点作，   ， ， ，，， 平分，平分， ，， ，， ； （3），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，是正整数， 存在符合要求的正整数和，分别为： 当时，，不符合题意，舍去； 当时， ，符合题意； 当时，，不是整数不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 【点睛】本题考查平行线的性质，利用平行线的性质、角平分线的定义、四边形的内角和等知识把问题解决，其中作平行线、分类讨论是解决本题的关键． 【经典例题四 根据平行线性质探究角的关系与度数】 【例4】（25-26七年级下·陕西西安·月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺（，，）的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动． (1)【操作发现】如图1，三角尺的角的顶点G在上，，则度数为______°； (2)【探索证明】如图2，小智把三角尺的两个锐角顶点E，G分别放在和上，，试说明：； (3)【结论应用】如图3，小蕙把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，，请直接写出与的数量关系：______（用含，的式子表示）． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角的和差得到，即可求解； （2）过点作，则，因此； （3）根据角的和差得到，根据平行线的性质得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过点作， ， ， ，， ． （3）解：∵，， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数不变，理由见解析 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 设． ∵比大， ∴ ∴， 解得， 所以的度数是； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 2．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，已知，点，分别在直线，上，平分交于点，平分交于点． (1)如图，求的度数； (2)如图，已知点为直线上一点．若点位于点的左侧，且满足． 线段，有何位置关系？请说明理由； 如图，若，过作平分交于点，过作平分交于点．线段绕点以的速度顺时针旋转；线段绕点以的速度逆时针旋转，点的对应点为；线段绕点以的速度顺时针旋转，点的对应点为，当与射线重合时，立刻改变旋转方向，当与射线重合时，再次改变方向，速度始终保持不变，如此循环往复．已知三条线段同时开始旋转，且当线段回到原位置时，三条线段同时停止转动．设运动时间为，请问是否存在时间，使得且？若存在，请直接写出所有满足要求的的取值并给出其中一个值的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析；存在， 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，结合角平分线的性质得到的度数，再根据三角形内角和定理求得的度数； （2）根据平行线的性质得到，，，结合已知的等量代换得到，最后根据平行线的判定定理即可得证；根据线段的旋转规律，分情况讨论： ，，，，，根据且列等量关系，解方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：，理由如下： ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； ，， ， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 线段绕点以的速度顺时针旋转，线段绕点以的速度逆时针旋转，点的对应点为，线段绕点以的速度顺时针旋转，点的对应点为，设运动时间为， 当与射线重合时，立刻改变旋转方向，此时； 当与射线重合时，再次改变旋转方向，此时； 当线段回到原位置时，三条线段同时停止转动，此时； 当时，，，， ， ，， ，， 即，解得，故此情况不存在， 当时，，，， ，， ，， 即，解得，故此情况不存在， 当时，即，，，， ，， ，， 即，解得，故此情况不存在， 当时，即，，，， ，此情况不存在， 当时，即，，，， ，此情况不存在， 当时，，，， ，此情况不存在， 综上，存在，满足要求的的取值为． 3．（25-26七年级下·福建福州·月考）线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明． (2)若点在线段的延长线上； ①按要求画出图形； ②直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）①依据过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点，画出图形即可；②根据平行线的性质即可得到，再根据平行线的性质，即可得出，进而得出． （2）①依据过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点，画出图形即可； ②过点C作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质即可得到，进而得出． 【详解】（1）解：①补全图形如图：    ②判断：． 证明：过点C作， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 即． （2）①补全图形如图：    ②判断：． 理由：如图，过点C作， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 【经典例题五 根据平行线的判定与性质证明】 【例5】（25-26七年级下·云南楚雄·月考）探究：关于画辅助线解答相交线与平行线相关问题： 已知直线，点为直线外的平面内一点，连接． (1)如图1，点在之间，求证：； (2)如图2，点在之间，，射线在下方，射线在上方，平分，平分，求证：； (3)如图3，点在的上方，，，直接写出的度数（用含的式子表示），并写出简要推导思路． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）过点E作，由平行线的性质得到，，然后等量代换即可证明； （2）如图，延长交于点G， 由（1）得，，然后由角平分线得到，，然后结合平行线的性质证明出，即可得到； （3）如图，过点E作，由平行线的性质得到，然后表示出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点G， 由（1）得，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）如图，已知，点E在上，点H在上，点F在之间，连接． (1)如图1，若，求证． (2)如图2，平分，交于点G，且，求证． (3)如图3，平分，交的延长线于点M，且，求的度数．（不写过程，直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点F作的平行线，则，，，进而可得，即可得出结论； （2）利用“两直线平行，内错角相等”及角平分线的性质得出，再结合四边形的内角和为，求出，根据平角的定义得出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得出结论； （3）连接EH，根据平行线的性质及三角形的内角和定理得出，再结合所给条件可求出的度数，最后用分别表示出和即可解决问题． 【详解】（1）证明：过点F作的平行线， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·湖北荆州·月考）如图1，，被直线所截，点D在线段上，过点D作，过点B作． (1)求证：； (2)如图2，若，点P为直线上一动点（点P不与点B，D重合），过点P在直线的下方作线段，使得，． ①若，求的度数； ②若的平分线和的平分线交于点Q，其中，请用表示的度数． 【答案】(1)见解析； (2)①；②或或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，即可证明； （2）①过点D作．由平行于同一条直线的两条直线平行，可得，由平行线的性质得．由垂直的定义得，进而即可求解； ②分三种情况：点P在点D的右侧，点P在点B和点D之间，点P在点B的左侧，过点Q作，利用平行线的判定定理与性质定理分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴∠． ∴； （2）解：①∵，， ∴． 过点D作． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ②分三种情况讨论： （i）当点P在点D的右侧时，如图， 过点Q作． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∵平分，平分，，， ∴，． ∴． （ii）当点P在点B和点D之间时，如图， 过点Q作． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∵平分，平分，，， ∴，． ∴． （iii）当点P在点B的左侧时，如图， 过点Q作． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∵平分，平分，，， ∴，． ∴． 综上，可能是或或． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知：四边形中，，，D为射线上一动点，连接，交直线于点M，作的角平分线与的角平分线所在直线交于点N． (1)如图1，当D在线段上时，小芳将和的部分对应角度记录如下表：           ①请将上表补全； ②猜想和的数量关系，并说明理由． (2)当D点在延长线上运动时，在图2和图3中补全图形；分别写出和的数量关系． 【答案】(1)①见表格；② (2)如图2：；如图3： 【分析】（1）①根据表中数据变化规律可得结论； ②利用平行线的性质和角平分线的定义求解即可； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：①根据表格数据，每增加，减少， ∴当时，， 当时，， 补全表格如下表：           ②猜想：． 理由：如图1，过N作，则， ∴，， ∴， 同理，， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：如图2，过N作，则， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 如图3：过N作，则， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点N， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． 【经典例题六 利用平移解决实际问题】 【例6】（25-26七年级下·甘肃陇南·月考）如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？ 【答案】地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元． 【分析】根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：， （元）， 答：地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元． 1．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，平移的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论； （2）分两种情况讨论，过G作的平行线，利用平行线的性质定理，平移的性质和平行公理的推论即可求解； （3）分三种情况讨论，分别过点作的平行线，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可求解． 【详解】（1）证明：∵，的度数是的3倍少． ∴，， ∴， ∴． （2）解：当点G在F下方时，过点作， 根据平移，得， ∴， ∴， ∴； 当点G在F上方时，过G作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵； 综上所述，的度数为或． （3）解：①当点N在D左侧时，过M作， ∵， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴； ∴； ②当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； ③当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ， 综上所述，或或． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期中）直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）②如图，过E作，运用平行线判定与性质即可得出答案 ②如图，分别过点作，，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：①如图，过E作， ， 又， ， ，， ， ； ②如图，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DEAB，连接AE，∠B＝∠E＝75°． (1)请说明AEBC的理由． (2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ． ①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数； ②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数． ③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①∠Q＝15°；②∠Q＝50°或150°，③∠EDQ＝∠E﹣∠Q或∠EDQ＝∠Q﹣∠E或∠EDQ＝∠Q+∠E． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论； （2）①如图2，过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论； ②过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论． ③结合①②即可得在整个运动中，∠E、∠Q、∠EDQ之间的等量关系． 【详解】（1）解：∵DEAB， ∴∠BAE+∠E＝180°， ∵∠B＝∠E， ∴∠BAE+∠B＝180°， ∴AEBC； （2）①如图2，过D作DFAE交AB于F， ∵线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ， ∴PQAE， ∴DFPQ， ∴∠DPQ＝∠FDP， ∵∠E＝75°， ∴∠EDF＝180°－∠E＝105°， ∵DE⊥DQ， ∴∠EDQ＝90°， ∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°， ∴∠DPQ+∠QDP＝∠FDP＋∠QDP＝∠FDQ＝165°， ∴∠Q＝180°﹣165°＝15°； ②如图3，过D作DFAE交AB于F， ∵PQAE， ∴DFPQ， ∴∠QDF＝180°﹣∠Q， ∵∠Q＝2∠EDQ， ∴∠EDQ∠Q， ∵∠E＝75°， ∴∠EDF＝105°， ∴180°﹣∠QQ＝105°， ∴∠Q＝50°； 如图4，过D作DFAE交AB于F， ∵PQAE， ∴DFPQ， ∴∠QDF＝180°﹣∠Q， ∵∠Q＝2∠EDQ， ∴∠EDQ∠Q， ∵∠E＝75°， ∴∠EDF＝105°， ∴180°﹣∠QQ＝105°， ∴∠Q＝150°， 综上所述，∠Q＝50°或150°， ③如图3，∵DFAE，DFPQ， ∴∠EDG＝∠E，∠GDQ＝∠Q， ∴∠EDQ＝∠EDG－∠GDQ＝∠E－∠Q， 即∠EDQ＝∠E－∠Q； 如图4，∵DFAE，DFPQ， ∴∠FDE＝180°－∠E，∠FDQ＝180°－∠Q， ∴∠EDQ＝∠FDE－∠FDQ＝∠Q－∠E， 即∠EDQ＝∠Q－∠E； 同理，当PQ在BC下方时，∠EDQ＝∠Q+∠E 综上所述，∠EDQ＝∠E﹣∠Q或∠EDQ＝∠Q﹣∠E或∠EDQ＝∠Q+∠E． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    【答案】种植蔬菜的面积为 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的知识，把横竖各两条道路平移到正方形的边上，求剩余空白部分的面积即可． 【详解】解：如图，    由平移，可把种植蔬菜的面积看成是边长为和的长方形的面积． 所以种植蔬菜的面积为． 答：种植蔬菜的面积为． 2．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，直线相交于点O，平分平分， ，H是射线上的一点． (1)过点H画直线的垂线，垂足为F； (2)在（1）问的基础上求的度数（用含的式子表示）； (3)探究的大小和的大小是否有关？若有，请写出的大小和的大小关系；若没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)无关，理由见解析 【分析】本题考查了画垂线，互余与互补，角平分线的意义等知识． （1）按照画垂线的方法进行即可； （2）由对顶角相等及互余关系即可求解； （3）由角平分线的意义及互补关系得，即可得的大小和的大小无关． 【详解】（1）解：如图，垂线即为所画； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴； （3）解：的大小和的大小无关． 理由如下： ∵平分平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 即的大小和的大小无关． 3．（25-26七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 如图，直线与相交于点，过点作． (1)如图1，，直接写出的度数； (2)如图2，在的内部作射线，且，此时，，求的度数； (3)如图3，在直线的下方作，且，再作平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂直的性质得，由平角的定义得，由，可得的度数； （2）由垂直的性质得，，，由对顶角，等量代换得，由得，等量代换得，由对顶角，得，由，等量代换即可求解； （3）根据角平分线的性质得，，由，等量代换即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 解得； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， 解得， ； （3）解：平分，平分， ，， ， ． 【点睛】本题考查了对顶角、垂线、角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是理清角之间的关系． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数． (2)若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据平分得到，然后根据对顶角相等求出和的度数，最后根据垂线的定义，平角的定义结合角度的和差关系，即可求出结果； （2）解法同（1）． 【详解】（1）解：平分， ． ， ． ， ， ． （2）的度数为． 平分， ． ， ． ， ， ． 故的度数为． 【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，对顶角相等，灵活运用角平分线的定义是解题的关键． 5．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据对顶角相等和角平分线的定义即可求解； （2）根据同位角的定义即可求解； （3） 的同旁内角是， 的内错角有，，根据对顶角相等，角平分线的定义，以及角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：因为 ， 所以 ， 因为 平分 ， 所以 ； （2）解：与互为同位角的角是； （3）解： 的同旁内角是， 的内错角有，， 因为， 所以， 因为平分 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的所有内错角，同旁内角的度数之和为． 6．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 【答案】(1)；，见解析 (2)或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度运算，平行线的判定，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用四边形内角和为360度以及进行列式化简，再把数值代入，进行计算，即可作答． 运用角平分线的定义，得出，，再由得，则，故，即可作答． （2）结合当点在射线上运动，直线、相交于点，进行分类讨论，且逐个情况作图，运用角的和差关系进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：如图中， 在四边形中，， ∵， ， ，， ∴， 则 ． ，理由如下： 如图中，连接． 平分，平分． ，， 由得 ， 则， ， ． （2）解：依题意，设，． 如图中，则有， 则，， 则， ， 如图中， 依题意，， ， ， ， 如图中， 依题意，，， 两式相加可得， ， 综上所述，或或 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图①，是三条公路，且．请直接写出与的位置关系； （2）如图②，在（1）的条件下，若小路平分，通往加油站N的岔道平分．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂线的定义；熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键； （1）根据垂直于同一直线的两直线平行，即可求解； （2）延长交于点P．根据垂直的定义与角平分线的定义可得，进而得出，根据同位角相等两直线平，即可得证． 【详解】解：（1）∵ ∴． （2），理由如下： 示意图如图，延长交于点P． 因为， 所以． 因为平分平分， 所以． 因为，所以， 所以． 8．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 【详解】解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知直线分别交直线于点，且 (1)如图1，求证：； (2)如图2，点分别在射线上，点分别在射线上，连接，且，分别延长交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接平分，且平分，若，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用，再利用等量代换，即可解决； （2）过K作，因为，所以，则，代入即可解决． （3）过M作，过K作，可以得到，设，，利用平行线的性质，用含x的代数式表示出各个角，利用方程思想解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）证明：过点K作，如图， ，， ， ，， ， ， 即， ； （3）． 理由如下：过M作，过K作，如图， ，，， ， 平分，， ， ， 设，， 平分， ，， ， ， ， ，， ， 即，解得， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行计算． 10．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角） （3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】（1）平行；理由见解析；（2）MN与水平线的夹角为66°时，可使反射光线b正好垂直照射到井底；（3）t为5秒或95秒时，CD与AB平行 【分析】（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定； （2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1＝∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上42°即可得解； （3）①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解． 【详解】解：（1）平行．理由如下： 如图，∵∠3＝∠4， ∴∠5＝∠6， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6， ∴． （2）∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等， ∴∠1＝∠2， ∵入射光线a与水平线OC的夹角为42°，b垂直照射到井底， ∴∠1＋∠2＝180°−42°−90°＝48°， ∴∠1＝×48°＝24°， ∴MN与水平线的夹角为：24°＋42°＝66°． （3）存在． AB与CD在EF的两侧时，如图①所示： ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°−60°−3t＝120°−3t， ∠BAC＝110°−t， 要使， 则∠ACD＝∠BAF， 即120°−3t＝110°−t， 解得t＝5； 此时（180°−60°）÷3＝40， ∴0＜t＜40， ∴t＝5符合题意； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，如图所示： ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝360°−3t−60°＝300°−3t， ∠BAC＝110°−t， 要使， 则∠DCF＝∠BAC， 即300°−3t＝110°−t， 解得t＝95， 此时（360°−60°）÷3＝100， ∴40＜t＜100， ∴t＝95符合题意； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，如图所示： ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝3t−（180°−60°＋180°）＝3t−300°， ∠BAC＝t−110°， 要使， 则∠DCF＝∠BAC， 即3t−300°＝t−110°， 解得t＝95， 此时t＞110， ∵95＜110， ∴此情况不存在． 综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论． 11．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间． (1)如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数． (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）过点作直线，利用平行线的性质求解； （2）设，则可得，列方程求得，根据平行线的性质可得，再利用平行线的性质求得即可； （3）分类讨论，画出图形，利用平行线的性质，逐一列方程求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，过点作直线， ， ， ， ． ， ； （2）解：设， 则， ， ， （对顶角相等）， ， 解得， ， ， ， ， 如图，过点作， ， ， ， ， ， 的平分线与直线交于点， ， ， ， （3）解：如图，过点作，过点作，过点作， 当时，延长交于点， 根据题意可得，， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 当时，延长交于点， 此时，， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 当时，延长交于点， 此时，， ， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 综上，当时，或或． 12．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起， 【实践操作】 (1)木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转__________，使得（如图②）； (2)如图③，当木棒时，将一个三角板ABC放在与之间（其中，），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请你求出的度数； (3)现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒和每秒，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得，请你直接写出是在第几秒． 【答案】(1) (2) (3)在旋转的过程中，存在某一时刻使得，的值为或. 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，一元一次方程的应用. （1）直接利用平行线的性质求解即可. （2）如图，过作，证明，再进一步求解即可. （3）如图，设旋转的时间为，则最长旋转时间为，情况①：由题意可得：，，可得，，情况②：如图，，，可得，，证明，再进一步可得答案. 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转，使得. （2）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴. （3）解：情况①：如图，设旋转的时间为，则最长旋转时间为， 由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 情况②：如图，，， 由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 综上：在旋转的过程中，存在某一时刻使得，的值为或. 13．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 14．（25-26七年级下·重庆万州·月考）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）证明：如图2，过点N作， ∵， ， ，， ∵、分别平分，, ∴设，， ，， 又， ， 又， ∴， ， ， ； （3）解：，即， ∴， ∴ ，， ，， ， ， ， ， 的角平分线交于点Q， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 15．（25-26七年级下·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.8 相交线与平行线常考几何模型专训 （6大题型+15道拓展培优题） 题型一 垂线相关练习 题型二 平行线的判定 题型三 平行线的性质 题型四 根据平行线性质探究角的关系与度数 题型五 根据平行线的判定与性质证明 题型六 利用平移解决实际问题 【经典例题一 垂线相关练习】 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 1．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）是的平分线， (1)若（如图1），请写出的余角 ； (2)若，（如图2），求的度数； (3)若，是平面内一点，设，求的度数（用的关系式表示，且是小于平角的角）． 2．（25-26七年级下·浙江温州·月考）如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线的交点处，且，并使两条直角边落在直线上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则 ， ； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分．    (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【经典例题二 平行线的判定】 【例2】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 1．（25-26七年级下·广东佛山·月考）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 2．（25-26七年级下·山西大同·期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上． （1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程． （2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：； （3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示） 3．（25-26七年级下·湖南·月考）如图1，对于两条直线被第三条直线所截的同旁内角满足，则称是的关联角． (1)当是的关联角且时，试判断直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，求出所有符合条件的的度数． 【经典例题三 平行线的性质】 【例3】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）【学科融合】把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．如图，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点． (1)写出的两个同位角：________；（答案不唯一） (2)比较和的大小；（直接写结果） (3)若，，求的度数． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 2．（25-26七年级下·山西忻州·期末）综合与探究    (1)如图1，，，则与之间的数量关系为_；如图2，，，则与之间的数量关系为_． (2)在图3中，，，，，求的度数． (3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系． 3．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．    (1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数； (2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 根据平行线性质探究角的关系与度数】 【例4】（25-26七年级下·陕西西安·月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺（，，）的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动． (1)【操作发现】如图1，三角尺的角的顶点G在上，，则度数为______°； (2)【探索证明】如图2，小智把三角尺的两个锐角顶点E，G分别放在和上，，试说明：； (3)【结论应用】如图3，小蕙把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，，请直接写出与的数量关系：______（用含，的式子表示）． 1．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图1，E点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． (3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 2．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，已知，点，分别在直线，上，平分交于点，平分交于点． (1)如图，求的度数； (2)如图，已知点为直线上一点．若点位于点的左侧，且满足． 线段，有何位置关系？请说明理由； 如图，若，过作平分交于点，过作平分交于点．线段绕点以的速度顺时针旋转；线段绕点以的速度逆时针旋转，点的对应点为；线段绕点以的速度顺时针旋转，点的对应点为，当与射线重合时，立刻改变旋转方向，当与射线重合时，再次改变方向，速度始终保持不变，如此循环往复．已知三条线段同时开始旋转，且当线段回到原位置时，三条线段同时停止转动．设运动时间为，请问是否存在时间，使得且？若存在，请直接写出所有满足要求的的取值并给出其中一个值的求解过程；若不存在，请说明理由． 3．（25-26七年级下·福建福州·月考）线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明． (2)若点在线段的延长线上； ①按要求画出图形； ②直接写出与的数量关系． 【经典例题五 根据平行线的判定与性质证明】 【例5】（25-26七年级下·云南楚雄·月考）探究：关于画辅助线解答相交线与平行线相关问题： 已知直线，点为直线外的平面内一点，连接． (1)如图1，点在之间，求证：； (2)如图2，点在之间，，射线在下方，射线在上方，平分，平分，求证：； (3)如图3，点在的上方，，，直接写出的度数（用含的式子表示），并写出简要推导思路． 1．（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）如图，已知，点E在上，点H在上，点F在之间，连接． (1)如图1，若，求证． (2)如图2，平分，交于点G，且，求证． (3)如图3，平分，交的延长线于点M，且，求的度数．（不写过程，直接写出结果） 2．（25-26七年级下·湖北荆州·月考）如图1，，被直线所截，点D在线段上，过点D作，过点B作． (1)求证：； (2)如图2，若，点P为直线上一动点（点P不与点B，D重合），过点P在直线的下方作线段，使得，． ①若，求的度数； ②若的平分线和的平分线交于点Q，其中，请用表示的度数． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知：四边形中，，，D为射线上一动点，连接，交直线于点M，作的角平分线与的角平分线所在直线交于点N． (1)如图1，当D在线段上时，小芳将和的部分对应角度记录如下表：           ①请将上表补全； ②猜想和的数量关系，并说明理由． (2)当D点在延长线上运动时，在图2和图3中补全图形；分别写出和的数量关系．           【经典例题六 利用平移解决实际问题】 【例6】（25-26七年级下·甘肃陇南·月考）如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？ 1．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 2．（24-25七年级下·河北唐山·期中）直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DEAB，连接AE，∠B＝∠E＝75°． (1)请说明AEBC的理由． (2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ． ①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数； ②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数． ③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的等量关系． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    2．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，直线相交于点O，平分平分， ，H是射线上的一点． (1)过点H画直线的垂线，垂足为F； (2)在（1）问的基础上求的度数（用含的式子表示）； (3)探究的大小和的大小是否有关？若有，请写出的大小和的大小关系；若没有，请说明理由． 3．（25-26七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 如图，直线与相交于点，过点作． (1)如图1，，直接写出的度数； (2)如图2，在的内部作射线，且，此时，，求的度数； (3)如图3，在直线的下方作，且，再作平分，平分，求的度数． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数． (2)若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 5．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 6．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图①，是三条公路，且．请直接写出与的位置关系； （2）如图②，在（1）的条件下，若小路平分，通往加油站N的岔道平分．试判断与的位置关系，并说明理由． 8．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 9．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知直线分别交直线于点，且 (1)如图1，求证：； (2)如图2，点分别在射线上，点分别在射线上，连接，且，分别延长交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接平分，且平分，若，直接写出的度数． 10．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角） （3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 11．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间． (1)如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数． (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值． 12．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起， 【实践操作】 (1)木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转__________，使得（如图②）； (2)如图③，当木棒时，将一个三角板ABC放在与之间（其中，），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请你求出的度数； (3)现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒和每秒，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得，请你直接写出是在第几秒． 13．（25-26七年级下·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 14．（25-26七年级下·重庆万州·月考）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值． 15．（25-26七年级下·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $