精品解析：江西丰城市第九中学2025-2026学年高二下学期第一次段考数学试卷

丰城九中2025—2026学年下学期高二数学第一次阶段性检测 2026.4.8 一．单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由题意可得. 2. 复数 满足：，为虚数单位，为 的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，故． 3. 设函数在处存在导数为1，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义直接求得. 【详解】由题意可知 ， . 故选：D. 4. 记为等差数列的前n项和，若 则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出，即可求出公差，即可求解. 【详解】由已知等差数列中，得， 即，所以， 又 ，则公差，所以. 5. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. 6 B. 16 C. 26 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】解法1：设等比数列 的公比为. 若 ，则，此时，与已知矛盾，故. 由，得， 于是. 解法2：因为 为等比数列，所以仍为等比数列. 令（），由已知，可得. 根据等比数列的等比中项性质，有，解得. 由，得， 因，两边同时除以，得. 所以. 6. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形的几何特征，结合阴影部分面积变化率和曲线的特征求解即可. 【详解】由几何特征可知，直线扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，且由圆的对称性， 将此函数的图像只看一半,且图像是类似对称的，可知面积关于时间的函数的变化率是逐渐变大的， 故此函数的图像的切线的斜率应为逐渐变大的.可知D选项符合题意. 故选：D. 7. 已知是等差数列的前 项和，且，有下列四个命题，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 【答案】B 【解析】 【分析】推导出，，可推出 ，再利用等差数列的求和公式以及数列的单调性逐项分析，可得合适的选项. 【详解】因为，则，因为，则， 所以，，所以，，A错； ，B对； ，C错； 因为 ，所以数列为递减数列， 当 且时，；当且时，， 所以，中最大项为，D错. 故选：B. 8. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：） A. 3937万元 B. 3837万元 C. 3737万元 D. 3637万元 【答案】A 【解析】 【分析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为，进而可得，根据配凑法、分组求和法求得正确答案. 【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为. 依题意可得，则， 所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列， 则，即， 则， 故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于递推公式为，常常通过构造等比数列的方法求得通项公式. 二．多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C. 在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D. 在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误，B正确； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误． 故选：BC. 10. 记为数列的前 项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由与的关系求得通项公式，可判断ABC，通过 的赋值结合的符号，可判断D. 【详解】由，可得， 所以， 又，符合上式， 所以， 故为等差数列，且单调递增，AB正确， ，C错误， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当，可知， 此时， 由上可知的最小值为，D正确. 11. 已知数列的前 项和为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. 数列为等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等比数列的定义可判断AB选项；求出数列的通项公式，可判断C选项；利用等比数列求和公式可判断D选项. 【详解】因为数列的前 项和为，且满足，，， 对于A选项，由已知等式变形可得，且 ， 所以，所以，数列是首项为1，公比的等比数列， 故，A正确； 对于B选项，由已知等式变形得，且， 所以数列是首项为0，公差为0的等差数列，即 ，故数列不是等比数列，B错误； 对于C选项，由可得， 则，则数列为等差数列，C正确； 对于D选项，，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列满足， ，则_______． 【答案】60 【解析】 【详解】因为数列满足， ， 所以是一个首项为，公差为2的等差数列， 由等差数列前 项和公式得：. 13. 曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义结合直线的点斜式方程即可求得答案. 【详解】由题意得，当时，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故答案为：. 14. 如图，正方形的边长为1，连接各边的中点得到正方形，连接正方形各边的中点得到正方形，依此方法一直进行下去.记为正方形的面积，为正方形的面积，为正方形的面积，…….. 为的前 项和.给出下列四个结论： ①存在常数，使得恒成立；②存在正整数，当时，；③存在常数，使得恒成立；④存在正整数，当时，其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方，也为等比数列，利用等比数列求和公式，然后逐项判断即可求解. 【详解】记第 个正方形的边长为，面积为， 由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到，可知第 个正方形的边长为， 面积为， 所以，又因为，所以正方形面积构成的数列是首项为，公比为的等比数列， 其通项公式为， 对①：，因为，所以恒成立，故①正确； 对②：当时，即且 为正整数，所以存在，故②正确； 对③、④：，又因为， 所以，因此当时，恒成立，故③正确； 因此当时，恒成立，故④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：本题主要是找到面积之间为公比为的等比数列，然后利用等比数列的求和公式及恒成立问题即可求解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知是公差为的等差数列，其前 项和为，且 ， . （1）求的通项公式； （2）若数列满足，其前 项和为，证明： . 【答案】（1） （2）由， 所以 . 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质列方程求解; （2）由,进行裂项相消求和得证. 【小问1详解】 由题意得 解得 所以 . 【小问2详解】 略 16. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段 中点，求直线与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）在三棱柱中， ， ， ，则 . 又四边形是正方形，则 ， ，所以 . 又 ， 平面，因此 平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又 ， 平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，结合向量法求线面角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，中点为，则 ， . 由（1）知， 平面， 平面，则.又 ，故. 又 ， 平面，则平面. 即 两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､ 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， 因为为线段 中点，所以 . ， ， . 设平面 的法向量为 ， 则，即，故可取 . 设直线 与平面 所成角为 ， 则 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 17. 一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． （1）若志愿者， 都参加了培训，求志愿者， 中至少有1人通过培训考核的概率； （2）现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 数学期望为1 【解析】 【小问1详解】 单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为， 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为. 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率. 【小问2详解】 由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为， 分别计算概率得，， ，， 因此的分布列为： 所以数学期望为. 18. 设数列 的前 项和为，且满足. （1）求数列 的通项公式； （2）若数列满足 ，且，求数列的通项公式； （3）设，数列的前n项和为.求 . 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由和项求通项，关键分类求解：当n=1时，解得，当n≥2时，，解得，再根据等比数列定义得数列 的通项公式（2） 因为，所以利用叠加法求数列的通项公式，注意右边求和时的项数为n-1（3）因为，所以先利用错位相减法求和：注意相减时项的符号变化，中间等比数列求和时的项数，最后结果需除以，最好代入验证所求结果；再根据解 ，注意结合运用数列单调性及试根法求超越方程的根. 试题解析：（1）当n=1时，，所以 当n≥2时， ，且 所以得： 则数列 是以1为首项，为公比的等比数列， 数列 的通项公式是 ． （2）由 且 所以：， 则：，，⋯⋯⋯， 以上n-1个等式相加得： 则：＝2－，又 所以： （3）由题意知 则 以上两式相减得 则 恒成立 ， 【方法点睛】用错位相减法求和应注意的问题 （1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 19. 已知椭圆 的离心率，且椭圆过点，左，右焦点分别为，，直线与椭圆交M，N两点. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）①当k为何值时，为定值； ②在①的条件下，求 面积的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用离心率和椭圆上的点，结合椭圆基本关系求出标准方程； （2）①联立直线与椭圆方程，用韦达定理转化目标式，消去参数使表达式为定值；②结合弦长公式、点到直线距离公式表示面积，利用二次函数求最大值即可. 【小问1详解】 ∵椭圆 的离心率，且椭圆过点， ，∴椭圆的标准方程为 ； 【小问2详解】 ①联立：与椭圆 ， 即，消去y，整理得到 ， 设，，则， ， ，在 上， ，，，， ， ， 当为定值时，即与无关， 故，解得， ②此时 又点O到直线l的距离， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时， 满足直线与椭圆有两个交点，则三角形面积的最大值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025—2026学年下学期高二数学第一次阶段性检测 2026.4.8 一．单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数 满足：，为虚数单位，为 的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数在处存在导数为1，则（　　） A. B. C. 2 D. 4. 记为等差数列的前n项和，若 则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. 6 B. 16 C. 26 D. 36 6. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 8. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：） A. 3937万元 B. 3837万元 C. 3737万元 D. 3637万元 二．多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C. 在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D. 在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 10. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 11. 已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. 数列为等差数列 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知数列满足， ，则_______． 13. 曲线在处的切线方程为________． 14. 如图，正方形的边长为1，连接各边的中点得到正方形，连接正方形各边的中点得到正方形，依此方法一直进行下去.记为正方形的面积，为正方形的面积，为正方形的面积，…….. 为的前项和.给出下列四个结论： ①存在常数，使得恒成立；②存在正整数，当时，；③存在常数，使得恒成立；④存在正整数，当时，其中所有正确结论的序号是_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知是公差为的等差数列，其前项和为，且 ， . （1）求的通项公式； （2）若数列满足，其前项和为，证明： . 16. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段 中点，求直线与平面 所成角的正弦值． 17. 一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． （1）若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； （2）现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 18. 设数列 的前项和为，且满足. （1）求数列 的通项公式； （2）若数列满足 ，且，求数列的通项公式； （3）设，数列的前n项和为.求. 19. 已知椭圆 的离心率，且椭圆过点，左，右焦点分别为，，直线与椭圆交M，N两点. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）①当k为何值时，为定值； ②在①的条件下，求 面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $