专题07 一次函数、反比例函数及二次函数的实际应用-2026年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题07 一次函数、反比例函数及二次函数的实际应用 专题诠释：一次函数、反比例函数及二次函数的实际应用是中考必考题型！本专题精选2025中考真题和2026中考模拟试题，给重点题型进行分类，孩子通过练习，定能提高其思维能力。 类型一 一次函数的实际应用 （1）一次函数与几何图形综合 1．（2025•南京）如图，在长方形电子屏ABCD中，AB＝8m，AD＝5m，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，随着DP的移动，画面逐渐展开． （1）写出展开的画面面积S（单位：m2）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时展开的画面面积． 【分析】（1）当0≤t≤4时，展开的画面面积S就是△APD的面积；当4＜t≤6.5时，S＝矩形ABCD的面积﹣△CPD的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积＝10，再分别代入（1）中的关系式可得t的值，计算总时间，即可解答． 【解答】解：（1）如图1，当0≤t≤4时，S＝S△APDAP×AD2t×5＝5t， 如图2，当4＜t≤6.5时，S＝5×88×（13﹣2t）＝8t﹣12； 综上，S（单位：m2）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式为：S； （2）S10， 当5t＝10时，t＝2， S＝8（3+2）﹣12＝28， 当8t﹣12＝10时，t4（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是28m2． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，图形面积，正确理解题意是解题的关键． 2．（2025•山东）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． （1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； （2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？ 【分析】（1）根据蓄水池的水位高度＝注水时水位每小时升高的高度×注水时间+本次注水前蓄水池的水位高度解答即可； （2）根据y与x的函数关系式及圆柱的体积公式列关于x的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：（1）y＝6x+5， ∴蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式为y＝6x+5． （2）根据题意，得0.4（6x+5）×0.3＝4.2， 解得x＝5． 答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时． 【点睛】本题考查一次函数的应用、圆柱的体积，写出函数关系式、掌握圆柱的体积计算公式是解题的关键． （2）最大利润问题 3．（2025•西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【分析】（1）通过设生产甲、乙服装的数量为未知数，结合总件数和总投入资金的条件，列二元一次方程组求解； （2）先根据甲、乙数量关系设未知数并列出不等式确定甲的数量范围，再分别算出甲、乙的单件利润，得出总利润关于甲数量的函数，根据函数单调性确定利润最大时的生产安排． 【解答】解：（1）设生产甲款服装x件，生产乙款服装y件， 根据生产甲、乙两款服装共300件，可得x+y＝300， 又∵投入230000元且资金刚好用完， ∴700x+800y＝230000， 将x+y＝300变形为x＝300﹣y，代入700x+800y＝230000中， 700（300﹣y）+800y＝230000， 210000﹣700y+800y＝230000， 100y＝20000， y＝200， 把y＝200代入x＝300﹣y， 得x＝300﹣200＝100， ∴可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）设生产甲款服装m件，则生产乙款服装（500﹣m）件， ∵甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍， ∴m≥2（500﹣m）， m≥1000﹣2m， m+2m≥1000， 3m≥1000， m333.33， ∵m为服装件数， ∴m取整数，m≥334， 甲的利润为（1000﹣700）＝300元/件，乙的利润为（1200﹣800）＝400元/件， 总利润＝300m+400（500﹣m）＝300m+200000﹣400m＝﹣100m+200000， ∵﹣100＜0， ∴总利润随m的增大而减小， ∴当m＝334时，W有最大值，此时500﹣m＝500﹣334＝166， ∴生产甲款服装334件，乙款服装166件时，能获得最大利润． 【点睛】本题考查了一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程求解即可；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式． （3）费用最少问题 4．（2025•西宁）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣一一坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． （1）求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ （2）该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【分析】（1）根据题意列出方程组即可解决问题； （2）根据题意得w＝30m+2250，然后利用一次函数性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，得， 解方程组，得， 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）设购买紫丁香m株，则购买白丁香（45﹣m）株，总费用为w元． 根据题意，得w＝80m+50×（45﹣m）＝30m+2250， ∵30＞0， ∴w随m的增大而增大， ∵m≥20， ∴当m＝20时，w最小＝30×20+2250＝2850， 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解决本题的关键是理解题意找等量关系． 5．（2025•深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 【分析】（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选择条件①②，列出方程组，解方程组即可； （2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10﹣m）个，根据“足球的个数不超过篮球个数的2倍”，列出不等式求出m的取值范围；再设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，根据总费用＝购买篮球和足球的费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 选择条件①②： 根据题意得：， 解得， 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； （2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10﹣m）个， 根据题意得：10﹣m≤2m， 解得m， 又∵m≤10， ∴m≤10， 设学校要购买篮球、足球的总费用为w元， 根据题意得：w＝60m+50（10﹣m）＝10m+500， ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∵m≤10，且m为正整数， ∴当m＝4时，w最小，最小值为540． 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元． 【点睛】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组． 6．（2025•济南）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为（20﹣a）个，且a≤3（20﹣a），根据题意，得w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000，解答即可． 【解答】解：（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元， ， x＝2500， 经检验，x＝2500是原方程的根． 此时x+300＝2800， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）甲型健身器材买了a个，a≤3（20﹣a）即a≤15，且a为正整数， w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000， 由k＝﹣300＜0，得w随a的增大而减小， 故当a＝15时，w取得最小值，且最小值为w＝﹣300×15+56000＝51500（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． （4）方案选择问题 7．（2025•黑龙江）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． （1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ （3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【分析】（1）分别设“蜀宝”和“锦仔”的单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购买“蜀宝”x个，则购买“锦仔”（30﹣x）个，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集，求出所用的x的非负整数解及对应30﹣x的值即可； （3）写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值，确定当x取何值时W值最小，求出其最小值即可． 【解答】解：（1）设购买一个“蜀宝”需要a元，购买一个“锦仔”需要b元． 根据题意，得， 解得． 答：购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”需要68元． （2）设购买“蜀宝”x个，则购买“锦仔”（30﹣x）个． 根据题意，得， 解得6≤x≤8， ∵x为非负整数， ∴x＝6，7，8， 当x＝6时，30﹣6＝24（个）， 当x＝7时，30﹣7＝23（个）， 当x＝8时，30﹣8＝22（个）， ∴共有三种购买方案，分别是： （方案1）购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个， （方案2）购买“蜀宝”7个、“锦仔”23个， （方案3）购买“蜀宝”8个、“锦仔”22个． （3）W＝88x+68（30﹣x）＝20x+2040， ∵20＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵x＝6，7，8， ∴当x＝6时W值最小，W最小＝20×6+2040＝2160． 答：购买方案1需要的资金最少，最少资金是2160元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． 8．（2025•广元）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． （1）求篮球和足球的单价； （2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【分析】（1）设足球的单价为m元，则篮球的单价为（m+20）元，根据题意列关于m的分式方程并求解即可； （2）根据题意，列关于x的一元一次不等式组并求其解集，根据总费用＝购买篮球的费用+购买足球的费用写出y与x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最小即可． 【解答】解：（1）设足球的单价为m元，则篮球的单价为（m+20）元． 根据题意，得， 解得m＝80， 经检验，m＝80是所所列分式方程的根， 80+20＝100（元）． 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元． （2）购买足球（120﹣x）个， 根据题意，得， 解得72≤x≤119且x为整数， y＝100x+80（120﹣x）＝20x+9600， ∴y与x的函数关系式及x的取值范围是y＝20x+9600（72≤x≤119且x为整数）， ∵20＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵72≤x≤119且x为整数， ∴当x＝72时y值最小， 120﹣72＝48（个）． 答：购买篮球72个、足球48个总费用最低． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （5）行程问题 9．（2025•陕西）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度y（m/s）与时间x（s）之间的关系如图②所示． （1）求AB所在直线的函数表达式； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【分析】（1）求出直线OA的解析式，进而求出点A的坐标，根据待定系数法即可求出答案； （2）求出直线AB与x轴的交点，即小球滚动的时间，减去小球静止开始沿斜面向下滚动的时间，即可得到答案． 【解答】解：（1）设OA所在直线的函数表达式为y＝kx（k≠0）， ∴2＝k， ∴小球滚动过程中的速度y（m/s）与时间x（s）之间的关系为y＝2x， ∴A点坐标为（2，4）． 设AB所在直线的函数表达式为y＝mx+b（m≠0）， 得， 解得 ∴yx； （2）当y＝0时， x0， 解得x＝5， ∴5﹣2＝3， ∴该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3s． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据待定系数法求出一次函数解析式是解决问题的关键． 10．（2025•天津）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 小华离开家的时间/min 1 6 18 50 小华离家的距离/km 0.6 ②填空：小华从公园返回家的速度为 　0.12　 km/min； ③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅱ）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的妈妈离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【分析】（Ⅰ）①根据图象及速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可； ②根据速度＝路程÷时间计算即可； ③根据速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可； （Ⅱ）在同一坐标系中画出小华的妈妈离家的距离为y2与x之间的函数图象并写出y2与x之间的函数关系式，求出两函数的交点的横坐标并根据图象得出当y1＜y2时，x的取值范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）①小华在最初的6min内的速度为0.6÷6＝0.1（km/min）， 当x＝1时，y＝0.1×1＝0.1， 当x＝18时，y＝0.6， 当x＝50时，1.8． ②小华从公园返回家的速度为1.8÷15＝0.12（km/min）． 故答案为：0.12． ③当0≤x≤6时，y＝0.1x， 当6＜x≤18，y＝0.6， 当18＜x≤30时，小华的速度为（1.8﹣0.6）÷12＝0.1（km/min），则y＝0.6+0.1（x﹣18）＝0.1x﹣1.2， ∴当0≤x≤30时，写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式y． （Ⅱ）妈妈从家到公园所用时间为1.8÷0.05＝36（min），则小华的妈妈离家的距离为y2与x之间的函数图象如图所示： y2与x之间的函数关系式为y2＝0.05x（0≤x≤36）， 当6≤x≤18时，当y1＝y2时，得0.05x＝0.6， 解得x＝12， 当18＜x≤30时，当y1＝y2时，得0.1x﹣1.2＝0.05x， 解得x＝24， 由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围为12＜x＜24． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 11．（2025•黑龙江）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是 　300　 ，b的值是 　2　 ； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km． 【分析】（1）观察图象，可知A、B两地之间的距离，B、C两地之间的距离，从而求出A、C两地之间的距离，即a的值；根据速度＝路程÷时间求出轿车的速度，由时间＝路程÷速度求出轿车行驶的时间，再根据图象列关于b的方程并求解即可； （2）求出点N的坐标，从而求出点M的坐标，根据速度＝路程÷时间求出货车的速度，进而求出在货车从B地返回C地的过程中y与x之间的函数解析式即可； （3）分别求出货车到达B地之前、轿车到达B地至接人结束准备继续驶往C地时、轿车从B地开始驶往C地至货车到达C地三处过程中两车相距40km时对应x的值即可． 【解答】解：（1）由图象可知，A、B两地之间的距离为180km，B、C两地之间的距离为120km， 180+120＝300（km）， ∴a＝300， 轿车的速度为180÷1.5＝120（km/h）， 300÷120＝2.5（h）， 根据图象，得1.5+（3﹣b）＝2.5， 解得b＝2． 故答案为：300，2． （2）3（h）， ∴N（，0）， 2（h）， ∴M（，120）， 货车的速度为12090（km/h）， y＝120﹣90（x）＝﹣90x+240， ∴在货车从B地返回C地的过程中，货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式为y＝﹣90x+240（x）． （3）当0≤x时，得（120+90）x+40＝300， 解得x， 当x≤1.5时，两车之间的距离一直在减小，且总是小于40km， 当1.5＜x≤2时，得90（x）＝40， 解得x， 当2＜x时，得180+120（x﹣2）+40﹣90x+240＝300， 解得x， ∴轿车出发h或h或h与货车相距40km． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 12．（2025•宿迁）甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动．甲比乙早出发6min，两人途中均未休息，先到达N处的人在原地休息等待，直到另一人到达N处．两人之间的路程y（m）与甲行走的时间t（min）的函数图象如图所示． （1）乙步行的速度为 　90　 m/min，MN之间的路程为 　3960　 m； （2）当18≤t≤50时，求y关于t的函数表达式； （3）甲出发多长时间时，两人之间的路程为450m． 【分析】（1）观察图象可知，甲6min走了360m，甲行走18min时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走50min时，乙到达N点，求出乙的总路程即为MN之间的路程； （2）求出C点坐标，待定系数法求出BC段的函数关系式即可； （3）分18≤t≤50和t＞50两种情况，求出t的值即可． 【解答】解：（1）由图象可知：甲的速度为：360÷6＝60m/min， 设乙的速度为xm/min，由题意得一次函数：60×18＝x•（18﹣6）， 整理得，12x＝1080， 解得x＝90， 故乙的速度为90m/min； MN之间的路程为：90×（50﹣6）＝3960m； 故答案为：90，3960； （2）由图象可知：C点的纵坐标为3960﹣60×50＝960， ∴C（50，960）， 当18≤t≤50时，设y＝kt+b，把B（18，0），C（50，960）代入，得： ， 解得， ∴y＝30t﹣540， 即y关于t的函数表达式为y＝30t﹣540； （3）当18≤t≤50时，令y＝30t﹣540＝450，即30t＝990， 解得t＝33； 当t＞50时，60t＝3960﹣450，即60t＝3510， 解得t＝58.5； 综上：当甲出发33min或58.5min时，两人之间的路程为450m． 【点睛】本题考查一次函数的应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键． 类型二 反比例函数的应用 （1）跨学科 13．（2026•西安模拟）小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压U一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而改变灯光的明暗．台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图所示． （1）I关于R的函数表达式为　　 ；当R＝2000时，I＝　0.11　 ； （2）若该台灯工作的最小电流为0.04A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围． 【分析】（1）设I关于R的函数表达式为，把（550，0.4）代入得出U的值，可得I关于R的函数表达式，把R＝2000Ω代入，求出I值即可； （2）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 【解答】解：（1）设I关于R的函数表达式为， 由题意可得：， 解得：U＝220， ； 当R＝2000Ω时，． 故答案为：，0.11 （2）当I＝0.04A时，（Ω）， 当I＝0.25A时，（Ω）， ∴该台灯的电阻R的取值范围为880Ω≤R≤5500Ω． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 14．（2025•贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a （1）表格中a的值是 　100　 ； （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，判断拉力F是增大还是减小？请说明理由． 【分析】（1）根据表中数据，可发现l与F的乘积为定值300，即可得到答案； （2）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象； （3）根据反比例函数的性质即可得到答案． 【解答】解：（1）根据表中数据，可发现l与F的乘积为定值300， ∴3a＝300， ∴a＝100， 故答案为：100； （2）画出F与l的函数图象如图所示： （3）当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下： ∵F、l都是正数， ∴这条曲线是反比例函数的一支， ∵FL＝300， ∴其函数表达式为F， ∵k＞0， ∴在第一象限内，F随l的增大而减小， 即当OA的长增大时，拉力F是减小． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出F与L的积为定值，从而得出函数关系式． 15．（2026•新华区一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强P（单位：Pa）与容器底面积S（单位：cm2）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为40cm2容器时，压强是1500Pa，求压强P关于底面积S的函数关系式； （2）实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积S的调节取值范围是25≤S≤50，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强P的取值范围； （3）如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块B浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了200Pa．求原来容器的底面积S． 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）由题可知，设（k≠0）， 当S＝40时，P＝1500，代入得， ∴k＝60000， ∴； （2）已知且25≤S≤50， ∵k＝60000＞0， ∴P随S的增大而减小， 当S＝25时，P＝2400； 当S＝50时，P＝1200； ∴1200≤P≤2400． （3）现将一个密度均匀的实心正方体金属块B浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的， 由已知得， ∴， ∴S＝75． 答：容器原来的底面积为75cm2． 【点睛】本题考查反比例函数，正确进行计算是解题关键． 16．（2026•宝鸡一模）如图，在物理实验课上，小明通过动手操作发现，在左边托盘（固定）中放置一个较大的砝码，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．右边托盘中的砝码质量m（g）随着右边托盘与天平中间立柱的距离d（cm）变化而变化，发现m与d满足反比例函数关系，已知d＝15cm时，m＝10g． （1）求m关于d的函数表达式； （2）当m＝12g时，求右边托盘与天平中间立柱的距离d． 【分析】（1）用待定系数法即可解答； （2）将m＝12代入函数表达式计算即可． 【解答】解：（1）设m关于d的函数表达式为， ∴， 解得k＝150， ∴m关于d的函数表达式为． （2）把m＝12代入得， 解得d＝12.5， ∴当m＝12g时，右边托盘与天平中间立柱的距离d为12.5cm． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数，求反比例函数值；熟练掌握以上知识点是关键． 17．（2026•惠安县一模）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃． （1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？ 【分析】（1）首先根据题意，材料煅烧时，温度y与时间x成一次函数关系；锻造操作时，温度y与时间x成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把y＝480代入y中，进一步求解可得答案． 【解答】解：（1）材料锻造时，设y（k≠0）， 由题意得600， 解得k＝4800， 当y＝800时， 解得x＝6， ∴点B的坐标为（6，800） 材料煅烧时，设y＝ax+32（a≠0）， 由题意得800＝6a+32， 解得a＝128， ∴材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝128x+32（0≤x≤6）． ∵4800÷32＝150， ∴锻造操作时y与x的函数关系式为y（6＜x≤150）； （2）把y＝480代入y，得x＝10， 10﹣6＝4（分）， 答：锻造的操作时间4分钟． 【点睛】考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （2）利润问题 18．（2026•献县模拟）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； 信息2：产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次x成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据： x（场） 3 10 25 p（万元） 10.6 12 14.2 （1）求y与x之间满足的函数关系式； （2）当产品销售单价为15万元时，求销售场次是第几场？ （3）在这30场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）根据第一场销售量及每场销售量的递减规律直接构建函数关系式； （2）分两段建立销售单价与场次的函数模型，通过给定数据求解参数后，代入单价为15万元的条件求解对应场次，结合场次范围筛选有效解； （3）依据利润公式分两段构建利润函数，利用二次函数的增减性和反比例函数的增减性分别求出两段的最大利润，比较后确定全场最大利润及对应场次，即可求解． 【解答】解：（1）依题意得y＝49﹣（x﹣1）＝50﹣x，其中1≤x≤30且x为正整数； （2）信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； 信息2：产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次x成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次x成反比，则： 设基本价为b万元当1≤x≤20时， 设p与x的函数关系式为p＝ax+b 将，代入得 解得 ∴，其中1≤x≤20且x为正整数 当21≤x≤30时，设p与x的函数关系式为 将x＝25，p＝14.2 代入得 解得m＝105 ∴，其中21≤x≤30且x为正整数 当1≤x≤20时，令 解得x＝25，因25＞20，不符合范围，舍去 当21≤x≤30时，令 解得x＝21， 符合21≤x≤30的范围 答：销售场次是第21场． （3）设每场获得的利润为w万元当1≤x≤20时 ∵，二次函数图象开口向下，对称轴为x＝25 又∵1≤x≤20，在对称轴左侧，w随x的增大而增大 ∴当x＝20时，w取得最大值，（万元） 当21≤x≤30时 ∵5250＞0， 在21≤x≤30时，w随x的增大而减小 ∴当x＝21时，w取得最大值，（万元） ∵145＞120 答：第21场获得的利润最大，最大利润为145万元 【点睛】本题是一次函数，二次函数的综合运用，理解题意并列出函数关系式是顺利解题的关键． 类型三 二次函数的应用 （1）面积问题 19．（2025•巴中）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m）． （1）矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？ 【分析】（1）设垂直于墙的一边长xm，则平行于墙的边长为（40﹣2x）m，然后利用面积公式列出方程即可； （2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可． 【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长xm，则平行于墙的边长为（40﹣2x）m， 根据题意得：x（40﹣2x）＝150， 解得：x1＝5，x2＝15时， 当x＝5时，40﹣2x＝30＞25（不符合题意，舍去）， 当x＝15时，40﹣2x＝10＜25（符合题意）， ∴三边长分别为：15m、10m、15m； （2）设矩形围栏的面积为Sm2， 则S＝x（40﹣2x） ＝﹣2（x﹣10）2+200， ∵﹣2＜0， ∴当x＝10时，S有最大值，最大值为200， 当x＝10时.40﹣2x＝20＜25（符合题意）， ∴三边长分别为：10m、20m、10m． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 20．（2026•南京模拟）如图，小明用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩二次函数的应用形场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）写出S与x的函数关系式． （2）当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 【分析】（1）由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得答案； （2）将S关于x的二次函数写成顶点式，则可得答案． 【解答】解：（1）由题意得： S＝x[40﹣x﹣（x﹣2）+2]＝﹣2x2+44x， ∵， ∴2＜x＜21， ∴S与x的函数关系式为S＝﹣2x2+44x （2＜x＜21）； （2）∵S＝﹣2x2+44x， ＝﹣2 （x﹣11）2+242， ∵﹣2＜0， ∴当x＝11时，S有最大值，最大值为242平方米． 【点睛】本题考查了二次函数在生活实际问题中的应用，正确地列式，会求二次函数的最值，是解题的关键． 21．（2025•南通）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动． 已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为450m2的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【分析】（1）设与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为 （60﹣2x）m，根据题意得到x（60﹣2x）＝450，解方程即可得到结论； （2）设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）设与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为 （60﹣2x）m， 根据题意得x（60﹣2x）＝450， 解得x1＝x2＝15， 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2， 根据题意得， ∴， ∵， ∴当t＝33时，S有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积公式，正确地理解题意列出函数解析式是解题的关键． （2）利润问题 22．（2026•都安县一模）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　（60+10x）　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润x销售数量＝销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润x销售数量＝销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 （60+10x） 件， 故答案为：（60+10x）； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630， 整理可得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， 由于要让利于游客，x＝1 舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则W＝（40﹣30﹣x）（60+10x） ＝（10﹣x）（60+10x） ＝﹣10x2+40x+600 ＝﹣10（x﹣2）2+640， ∵﹣10＜0， ∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键． 23．（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【分析】（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品 m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m） 个，根据购买资金不超过 12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为 （a﹣40）元，销售量为[200﹣5（a﹣60）]个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【解答】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个， 由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000， 解得m≥200， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）] ＝（a﹣40）（200﹣5a+300） ＝（a﹣40）（500﹣5a） ＝500a﹣20000﹣5a2+200a ＝﹣5（a﹣70）2+4500， ∵﹣5＜0，60≤a≤100， ∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． 24．（2025•大庆）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（65≤a≤72且a为整数）． （1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； （2）求当a为何值时，每天的利润W最大． 【分析】（1）依据题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，可得，进而可以计算得解； （2）依据题意，每套成本为25+35＝60元，售价为a元，故每套利润为 （a﹣60）元，又售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套，从而故销量为80+10（72﹣a）＝800﹣10a，则利润W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000，结合65≤a≤72且a为整数，最后可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元， ∴． ∴． 答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元． （2）由题意，每套成本为25+35＝60元，售价为a元， ∴每套利润为 （a﹣60）元． ∵售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套， ∴故销量为80+10（72﹣a）＝800﹣10a． ∴利润W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000． ∵65≤a≤72且a为整数， ∴当a＝70时，天的利润W最大． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （3）行程问题 25．（2025•徐州）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d2m，已知y＝d1+d2，d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m． （1）若骑行速度为26km/h，则d1＝ 　5.2　 m，d2＝ 　4　 m； （2）设骑行速度为xkm/h，求y关于x的函数表达式； （3）当刹车距离为2m时，停车距离为多少？（精确到0.1m，参考数据：，.73，） 【分析】（1）设d1＝k1xd_{2}＝k_{2}x^{2}结合题意可得d1＝0.2x，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为2m时，可得求解x，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．骑行速度为xkm/h，d1＝k1x，d2＝k2x2， ∵当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m， ∴13k1＝2.6， 解得：k1＝0.2，d1＝0.2x， 当x＝26时，d1＝0.2×26＝5.2（m）， ∵当骑行速度为13km/h时，刹车距离为lm， ∴1＝132×k2， 解得： ， 当x＝26时，； （2）设骑行速度为xkm/h，而d1． ∴y关于x的函数表达式为； （3）∵当刹车距离为2m时， ∴， 解得：（）， ∴y， ∴停车距离约为5.7m． 【点睛】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握相关知识的灵活运用． （4）方案选择问题 26．（2026•黑龙江模拟）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． （1）求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ （2）若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）设购进1株甲种苗木需x元，1株乙种苗木需y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木（15﹣m）株，根据题意列不等式组，再根据正整数得到m的可能取值，即可得解； （3）设小区年遮阴总面积为s平方米，根据题意得出s关于m的一次函数，利用一次函数的增减性即可得解． 【解答】解：（1）设购进1株甲种苗木需x元，1株乙种苗木需y元， 则， 解得：， 答：购进1株甲种苗木需7元，1株乙种苗木需3元； （2）设购进甲种苗木m株， 由题意得：， ∴， ∵m为正整数， ∴m的可能取值为9、10、11、12、13， ∴共有5种购买方案：①购进甲种苗木9株，购进乙种苗木6株；②购进甲种苗木10株，购进乙种苗木5株；③购进甲种苗木11株，购进乙种苗木4株；④购进甲种苗木12株，购进乙种苗木3株；⑤购进甲种苗木13株，购进乙种苗木2株； （3）设小区年遮阴总面积为s平方米， 则s＝5m+2（15﹣m）＝3m+30， ∵3＞0， ∴s随m的增大而增大， 由（2）可知，m的最大取值为13，此时smax＝3×13+30＝69． 【点睛】本题考查二次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 27．（2025•南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（x﹣15）人，根据用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A型客车每辆载客量），再将其代入（x﹣15）中，即可求出B型客车每辆载客量； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（10﹣m）辆，根据租用的两种客车的总载客量不少于530人，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设本次研学活动学校的租车总费用为w元，利用租车总费用＝每辆A型客车的租金×租用A型客车的数量+每辆B型客车的租金×租用B型客车的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（x﹣15）人， 根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣15＝60﹣15＝45（人）． 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（10﹣m）辆， 根据题意得：60m+45（10﹣m）≥530， 解得：m， 设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w＝（3200﹣50m）m+3000×0.8（10﹣m）＝﹣50m2+800m+24000， ∵抛物线的对称轴为直线m8， ∴m≤8时，w随着m的增大而增大， ∵m取正整数，且， ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为﹣50×62+800×6+24000＝27000（元）． 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （5）拱桥隧道问题 28．（2025•新疆）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【分析】（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入（12，0）即可求解a，继而得到函数解析式； （2）先求出点A坐标，然后求出点A距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与0.5比较即可． 【解答】解：（1）由题意得，顶点为，即（6，8）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0）， 代入点（12，0）得a（12﹣6）2+8＝0， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将x＝2代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 29．（2025•陕西）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥L，钢缆L1，L2均呈抛物线型，线段BC为桥面，线段OA为立柱，OA⊥BC，OA＝2m，L1，L2关于OA所在直线对称．L1的最低点到BC的距离为m，到OA的距离为2m．以O为原点，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求L1所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带M1N1，M2N2来增加夜景效果，M1N1，M2N2均与BC垂直，点M1，M2分别在L1，L2上，点N1，N2在L上，点M1，M2到OA的距离均为3m．已知L所在抛物线的函数表达式为y，求这两条灯带的总长． 【分析】（1）设其表达式为，根据题意列方程即可得到结论； （2）把x＝3代入得，，于是得到结论． 【解答】解：（1）由题意知，L1所在抛物线的顶点为，且过A（0，2）， ∴设其表达式为， ∴， 解得， ∴L1所在抛物线的函数表达式为； （2）∵点M1，M2到OA的距离均为3m， 把x＝3代入得y， ∴， ∴M2N2＝M1N1（m）， ∴这两条灯带的总长为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键． 30．（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． 【分析】（1）理解题意，先设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，结合二次函数的对称性得A（﹣8，0），C（8，0），再代入y＝a（x﹣0）2+4进行求解，即可作答； （2）理解题意，得出，再结合抛物线L1L3的函数表达式分别为y，代入y＝yN﹣yQ＝2，整理得x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，再解方程，可作答． 【解答】解：（1）∵BO＝4m， ∴抛物线L1的顶点B坐标为（0，4）， 设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4， ∵AC＝16m， 结合二次函数的对称性得 A（﹣8，0），C（8，0）， 将C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4， 得0＝64a+4， 则， ∴； （2）由（1）得抛物线L1的函数表达式， ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.，且抛物线L3的函数表达式为， ∴， 整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24， ∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24， ∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0， 解得x1＝x2＝6， ∴MN＝2×6＝12（m）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 31．（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【分析】先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到（0，0.0015）、A（0.85，0.18），设该抛物线的顶点式为y＝ax2+0.0015，将A（0.85，0.18）代入解方程即可得到答案． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为（0，0.0015），， 即A（0.85，0.18）， 设该抛物线的表达式为y＝ax2+0.0015， 将A（0.85，0.18）代入y＝ax2+0.0015， 得0.18＝0.852a+0.0015， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数表达式，根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 32．（2025•青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y＝ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点（2，3.2），（4，4.2）． 信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： t（秒） 0 0.4 0.6 … x（米） 0 4 6 … （1）求y与x的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y＝﹣0.02x2+px+m（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为 p≤0.36　 （直接写出结果）． 【分析】（1）依据题意，根据二次函数y＝ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象经过点（2，3.2），（4，4.2），从而由待定系数法即可计算得解； （2）依据题意，由二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8，可得其对称轴为直线，则此时最大高度为：y＝﹣0.05×82+0.8×8+1.8＝5，又根据信息二，x与t是一次函数关系，故可设x＝kt+c，再结合表格数据可得，图象过（0，0）和（0.4，4），可得一次函数的解析式为一次函数为x＝10t，进而可以得解； （3）依据题意，当t＝1.6秒时，x＝10×1.6＝16，再代入原抛物线得y＝﹣0.05×162+0.8×16+1.8＝1.8，即此时球的坐标为（16，1.8），又新抛物线y＝﹣0.02x2+px+m过点（16，1.8），得m＝1.8+0.02×162﹣16p＝6.92﹣16p，则抛物线为y＝﹣0.02x2+px+6.92﹣16p，结合当x＝2时，y≥1.8，可得﹣0.02×22+2p+6.92﹣16p≥1.8，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+1.8经过点（2，3.2）和（4，4.2）， ∴ ∴a＝﹣0.05，b＝0.8， ∴二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8． （2）由题意，∵二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8， ∴其对称轴为直线， ∴此时最大高度为：y＝﹣0.05×82+0.8×8+1.8＝5． 又根据信息二，x与t是一次函数关系， ∴可设x＝kt+c， 又∵结合表格数据可得，图象过（0，0）和（0.4，4）， ∴c＝0，且0.4k+c＝4． ∴k＝10，c＝0． ∴一次函数为x＝10t． ∴当x＝8时，t＝0.8（秒）． ∴经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米． （3）由题意，当t＝1.6秒时，x＝10×1.6＝16， ∴代入原抛物线得y＝﹣0.05×162+0.8×16+1.8＝1.8，即此时球的坐标为（16，1.8）． 又∵新抛物线y＝﹣0.02x2+px+m过点（16，1.8），得m＝1.8+0.02×162﹣16p＝6.92﹣16p， ∴抛物线为y＝﹣0.02x2+px+6.92﹣16p． 又∵当x＝2时，y≥1.8， ∴﹣0.02×22+2p+6.92﹣16p≥1.8． ∴p≤0.36． 故答案为：p≤0.36． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数、反比例函数及二次函数的实际应用 专题诠释：一次函数、反比例函数及二次函数的实际应用是中考必考题型！本专题精选2025中考真题和2026中考模拟试题，给重点题型进行分类，孩子通过练习，定能提高其思维能力。 类型一 一次函数的实际应用 （1）一次函数与几何图形综合 1．（2025•南京）如图，在长方形电子屏ABCD中，AB＝8m，AD＝5m，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，随着DP的移动，画面逐渐展开． （1）写出展开的画面面积S（单位：m2）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时展开的画面面积． 2．（2025•山东）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． （1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； （2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？ （2）最大利润问题 3．（2025•西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ （3）费用最少问题 4．（2025•西宁）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣一一坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． （1）求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ （2）该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 5．（2025•深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 6．（2025•济南）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ （4）方案选择问题 7．（2025•黑龙江）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． （1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ （3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 8．（2025•广元）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． （1）求篮球和足球的单价； （2）学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． （5）行程问题 9．（2025•陕西）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度y（m/s）与时间x（s）之间的关系如图②所示． （1）求AB所在直线的函数表达式； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 10．（2025•天津）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 小华离开家的时间/min 1 6 18 50 小华离家的距离/km 0.6 ②填空：小华从公园返回家的速度为 　 　 km/min； ③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅱ）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的妈妈离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 11．（2025•黑龙江）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是 　 ，b的值是 　 　 ； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km． 12．（2025•宿迁）甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动．甲比乙早出发6min，两人途中均未休息，先到达N处的人在原地休息等待，直到另一人到达N处．两人之间的路程y（m）与甲行走的时间t（min）的函数图象如图所示． （1）乙步行的速度为 　 　 m/min，MN之间的路程为 　 m； （2）当18≤t≤50时，求y关于t的函数表达式； （3）甲出发多长时间时，两人之间的路程为450m． 类型二 反比例函数的应用 （1）跨学科 13．（2026•西安模拟）小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压U一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而改变灯光的明暗．台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图所示． （1）I关于R的函数表达式为　 ；当R＝2000时，I＝　 　 ； （2）若该台灯工作的最小电流为0.04A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围． 14．（2025•贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a （1）表格中a的值是 　100　 ； （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，判断拉力F是增大还是减小？请说明理由． 15．（2026•新华区一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强P（单位：Pa）与容器底面积S（单位：cm2）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为40cm2容器时，压强是1500Pa，求压强P关于底面积S的函数关系式； （2）实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积S的调节取值范围是25≤S≤50，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强P的取值范围； （3）如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块B浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了200Pa．求原来容器的底面积S． 16．（2026•宝鸡一模）如图，在物理实验课上，小明通过动手操作发现，在左边托盘（固定）中放置一个较大的砝码，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．右边托盘中的砝码质量m（g）随着右边托盘与天平中间立柱的距离d（cm）变化而变化，发现m与d满足反比例函数关系，已知d＝15cm时，m＝10g． （1）求m关于d的函数表达式； （2）当m＝12g时，求右边托盘与天平中间立柱的距离d． 17．（2026•惠安县一模）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃． （1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？ （2）利润问题 18．（2026•献县模拟）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台； 信息2：产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次x成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据： x（场） 3 10 25 p（万元） 10.6 12 14.2 （1）求y与x之间满足的函数关系式； （2）当产品销售单价为15万元时，求销售场次是第几场？ （3）在这30场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 类型三 二次函数的应用 （1）面积问题 19．（2025•巴中）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m）． （1）矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？ 20．（2026•南京模拟）如图，小明用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩二次函数的应用形场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S平方米． （1）写出S与x的函数关系式． （2）当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 21．（2025•南通）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动． 已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为450m2的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ （2）利润问题 22．（2026•都安县一模）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 23．（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 24．（2025•大庆）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（65≤a≤72且a为整数）． （1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； （2）求当a为何值时，每天的利润W最大． （3）行程问题 25．（2025•徐州）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d2m，已知y＝d1+d2，d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m． （1）若骑行速度为26km/h，则d1＝ 　 m，d2＝ 　 　 m； （2）设骑行速度为xkm/h，求y关于x的函数表达式； （3）当刹车距离为2m时，停车距离为多少？（精确到0.1m，参考数据：，.73，） （4）方案选择问题 26．（2026•黑龙江模拟）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． （1）求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ （2）若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 27．（2025•南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ （5）拱桥隧道问题 28．（2025•新疆）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 29．（2025•陕西）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥L，钢缆L1，L2均呈抛物线型，线段BC为桥面，线段OA为立柱，OA⊥BC，OA＝2m，L1，L2关于OA所在直线对称．L1的最低点到BC的距离为m，到OA的距离为2m．以O为原点，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求L1所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带M1N1，M2N2来增加夜景效果，M1N1，M2N2均与BC垂直，点M1，M2分别在L1，L2上，点N1，N2在L上，点M1，M2到OA的距离均为3m．已知L所在抛物线的函数表达式为y，求这两条灯带的总长． 30．（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． 31．（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 32．（2025•青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y＝ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点（2，3.2），（4，4.2）． 信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： t（秒） 0 0.4 0.6 … x（米） 0 4 6 … （1）求y与x的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y＝﹣0.02x2+px+m（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为 　 （直接写出结果）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $