专题04 二次函数抛物线中三角形的存在性问题-2026年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题04 二次函数抛物线中三角形的存在性问题 第一部分 方法与技巧 1．等腰三角形的存在性问题 （1）找点：轨迹为两圆一线 （2）求点：根据线段相等，分三种情况讨论进行求解． 几何法：解三角形去进行求解； 解析法：根据两点间距离公式或者勾股定理去进行求解． （3）定点：注意题目中的条件或问题是在线段、射线或直线上，还是在轴、轴或坐标轴上，也需要注意三点要能构成三角形，三点不共线． 2．直角三角形的存在性问题 （1）找点：轨迹为两线一圆 （2）求点：根据直角，分三种情况讨论进行求解． 几何法：在题目中有特殊的角度，解直角三角形去进行求解； 解析法：根据斜率之积互为负倒数或者勾股定理去进行求解． （3）定点：注意题目中的条件或问题是在线段、射线或直线上，还是在x轴、y轴或坐标轴上． 3．等腰直角三角形的存在性问题 等腰直角三角形的存在性问题： 1．找点：轨迹为两个正方形的顶点和中心 2．求点：根据线段和角度，分三种情况讨论进行求解． （1）几何法：构造弦图和中点坐标公式； （2）解析法：利用斜率和两点间距离公式进行计算． 3．定点：注意题目中的条件或问题是在线段、射线或直线上，还是在x轴、y轴或坐标轴上，也需要注意三点要能构成三角形，三点不共线． 第二部分 典例与变式 类型一 由等腰三角形产生的存在性问题 【典例1】（2025•无锡）已知二次函数ym（m≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C． （1）若该函数图象经过点，求点A的横坐标； （2）若m＜3，点P（2，y1）和Q（4，y2）在该函数图象上，证明：y1＞y2； （3）若△ABC是等腰三角形，求m的值． 【变式训练】 1．（2025•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F，连接CD． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为t， ①用含有t的代数式表示线段DE的长度； ②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； 2．（2026•东方一模）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积； （3）抛物线上是否存在点P，使△BCP是以BC为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由； 类型二 由直角三角形产生的存在性问题 【典例2】（2025•青海）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（1，0），点C（2，5）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）①求点A的坐标； ②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 　 ； （3）连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2026•城中区一模）如图，抛物线yx2+nx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； 2．（2026•白银区模拟）已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 类型三 由等腰直角三角形产生的存在性问题 【典例3】（2025•绥化）综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝kx﹣5经过B、C两点，若点A（1，0），B（﹣5，0），点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标； （3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2026•天宁区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若m≤x≤m+1时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值为m，求m的值； （3）当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得△APD是以AD为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026•兴庆区一模）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 第三部分 专题提优训练 1．（2026•肥东县一模）如图，二次函数的图象的顶点C的横坐标为﹣1，直线y＝﹣x+n与该二次函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，2），点B在y轴上． （1）求n的值及二次函数的表达式． （2）求△ABC的面积． （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026•江阳区模拟）如图，直线y＝2x﹣10分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为OB的中点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D是直线AB上方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为． ①求点D的坐标； ②点P为抛物线上一点，若△APD是以PD为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离． 3．（2026•浔阳区一模）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线y＝0.5x2与y＝﹣2x2是共生抛物线． 已知抛物线的顶点是点P，它的共生抛物线C2的顶点是Q． （1）点P的坐标是　 　 ，抛物线C2的函数关系式是 ． （2）当x的取值范围是　 时，抛物线C1与C2的函数值都随x的增大而减小． （3）直线y＝m与抛物线C1、C2均有两个交点，这些交点从左到右分别是A，B，C，D． ①求m的取值范围　 ； ②在抛物线C2上是否存在一点K，使△KPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出K点的坐标，若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数抛物线中三角形的存在性问题 第一部分 方法与技巧 1．等腰三角形的存在性问题 （1）找点：轨迹为两圆一线 （2）求点：根据线段相等，分三种情况讨论进行求解． 几何法：解三角形去进行求解； 解析法：根据两点间距离公式或者勾股定理去进行求解． （3）定点：注意题目中的条件或问题是在线段、射线或直线上，还是在轴、轴或坐标轴上，也需要注意三点要能构成三角形，三点不共线． 2．直角三角形的存在性问题 （1）找点：轨迹为两线一圆 （2）求点：根据直角，分三种情况讨论进行求解． 几何法：在题目中有特殊的角度，解直角三角形去进行求解； 解析法：根据斜率之积互为负倒数或者勾股定理去进行求解． （3）定点：注意题目中的条件或问题是在线段、射线或直线上，还是在x轴、y轴或坐标轴上． 3．等腰直角三角形的存在性问题 等腰直角三角形的存在性问题： 1．找点：轨迹为两个正方形的顶点和中心 2．求点：根据线段和角度，分三种情况讨论进行求解． （1）几何法：构造弦图和中点坐标公式； （2）解析法：利用斜率和两点间距离公式进行计算． 3．定点：注意题目中的条件或问题是在线段、射线或直线上，还是在x轴、y轴或坐标轴上，也需要注意三点要能构成三角形，三点不共线． 第二部分 典例与变式 类型一 由等腰三角形产生的存在性问题 【典例1】（2025•无锡）已知二次函数ym（m≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C． （1）若该函数图象经过点，求点A的横坐标； （2）若m＜3，点P（2，y1）和Q（4，y2）在该函数图象上，证明：y1＞y2； （3）若△ABC是等腰三角形，求m的值． 【分析】（1）解：由二次函数ym图象经过点可得m＝3，故3，即点A的横坐标为3； （2）求出y1＝﹣2+2mm，y2＝﹣8+4mm，根据m＜3，可得y1﹣y2＝﹣2+2mm﹣（﹣8+4mm）＝﹣2（m﹣3）＞0，知y1＞y2； （3）求出B（0，m），A（m，m），C（m，0），分三种情况列方程可解得答案． 【解答】（1）解：∵二次函数ym图象经过点，∴m， 解得m＝3， ∴yx2+3x， ∵3， ∴点A的横坐标为3； （2）证明：∵点P（2，y1）和Q（4，y2）在二次函数ym图象上， ∴y1＝﹣2+2mm，y2＝﹣8+4mm， ∵m＜3， ∴y1﹣y2＝﹣2+2mm﹣（﹣8+4mm）＝﹣2（m﹣3）＞0， ∴y1＞y2； （3）解：在ym中，令x＝0得ym， ∴B（0，m）， ∵ym（x﹣m）2m， ∴A（m，m），C（m，0）， 当AB＝AC时，m2+（mm）2＝（m）2， 解得m＝0（舍去）或m； 当AB＝BC时，m2+（mm）2＝m2+（m）2， 解得m＝0（舍去）或m或m（此时A，C重合，舍去）； 当AC＝BC时，（m）2＝m2+（m）2， 解得m＝0（舍去）或m＝﹣2或m； 综上所述，m的值为或﹣2． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形判定，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【变式训练】 1．（2025•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F，连接CD． （1）求抛物线的表达式； （2）设点D的横坐标为t， ①用含有t的代数式表示线段DE的长度； ②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线BC：，则，E（t，），即可用t的代数式表示DE； ②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6， ∴A（﹣2，0），B（6，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）①对于抛物线表达式， 当x＝0，y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC表达式为：y＝kx+b， 则， 解得：， ∴直线BC：， ∵DE⊥AB， ∴D（t，），， ∴， ∴； ②存在， ，而， 当DE＝CE时，， 解得：或t＝0（舍）， ∴， ∴， 当CD＝DE时，， 整理得：t2（﹣t+1）＝0， 解得：t＝1或t＝0（舍）， ∴， ∴D， 当CD＝CE时，， 整理得：， 解得：t＝2或t＝6（舍）或t＝0（舍）， ∴， ∴D（2，4）， 综上：△CDE是等腰三角形时，D（2，4）或或； 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大，综合性强． 2．（2026•东方一模）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积； （3）抛物线上是否存在点P，使△BCP是以BC为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由； 【分析】（1）运用待定系数法将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，求得DE，利用S△BCD＝S△BDE+S△CDE，即可求得答案； （3）由（2）得B（3，0），C（0，3），当以BC为底的等腰三角形，得出PB＝PC，则点P在y＝x上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝mx+n，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）， 如图，过点D 作DE⊥x轴交直线BC于点E， ∴E（1，2）， ∴DE＝4﹣2＝2， ∴； （3）抛物线上存在点P，使△BCP是以BC为底的等腰三角形；理由如下： ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OC＝OB＝3， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴当△BCP是以BC为底的等腰三角形，则PB＝PC， ∴P在∠COB的角平分线上，即y＝x上， 联立得：， 解得： 或， ∴或； 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，三角形面积，，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 类型二 由直角三角形产生的存在性问题 【典例2】（2025•青海）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（1，0），点C（2，5）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）①求点A的坐标； ②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 　﹣3＜x＜1　 ； （3）连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B（1，0）、C（2，5）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0）得方程组，解方程组即可； （2）①令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当y＜0时，即抛物线在x轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为（0，a），先由两点间的距离公式得AC2＝50，AP2＝9+a2，CP2＝a2﹣10a+29，再分两种情况讨论：当AP为斜边时，则AP2＝AC2+CP2，当CP为斜边时，则CP2＝AC2+AP2，分别解方程即可． 【解答】解：（1）将B（1，0）、C（2，5）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0）得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）①令y＝0，则x2+2x﹣3＝0， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴点A的坐标为（﹣3，0）； ②根据图象可知，当y＜0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1； （3）设点P的坐标为（0，a）， ∵A（﹣3，0），C（2，5）， ∴AC2＝（2+3）2+（5﹣0）2＝50，AP2＝（0+3）2+（a﹣0）2＝9+a2，CP2＝（0﹣2）2+（a﹣5）2＝a2﹣10a+29， ∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当AP为斜边时，则AP2＝AC2+CP2， ∴9+a2＝50+a2﹣10a+29， 解得a＝7， ∴P1（0，7）， 当CP为斜边时，则CP2＝AC2+AP2， ∴a2﹣10a+29＝50+9+a2， 解得a＝﹣3， ∴P2（0，﹣3）， 综上所述，存在符合条件的P点，P1（0，7），P2（0，﹣3）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等，掌握以上性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2026•城中区一模）如图，抛物线yx2+nx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； 【分析】（1）由A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出P点坐标，则可表示出PC、PD和CD的长，分PD2＝CD2+PC2、PC2+PD2＝CD2两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标； （3）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出MN的长，可表示出△CBN的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标． 【解答】解：（1）抛物线yx2+nx﹣2与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0），将点A的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使△PCD是直角三角形，点P的坐标为或；理由如下： ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴交x轴于点D， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， ∴， ∵点P在对称轴上， ∴设， ∴PD＝|t|，， 当PD2＝CD2+PC2时，， 解得：， ∴此时P点坐标为； 当PC2+PD2＝CD2时，， 解得：t＝0（与D重合，舍去）或t＝﹣2， ∴此时P点坐标为， 综上所述，在抛物线的对称轴上存在点P，使△PCD是直角三角形，点P的坐标为或； 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点的坐标表示出PC和PD是解题的关键． 2．（2026•白银区模拟）已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），把C（0，5）代入解析式，解方程求出a的值即可； （2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作CH垂直抛物线对称轴于H，过N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK（AAS），再求解N（﹣4，3），求出直线BN的解析式为，得到，设P（2，p），求出，BP2＝（5﹣2）2+p2＝9+p2，，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点， 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）， 把C（0，5）代入解析式，得5＝a（0+1）×（0﹣5）， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）， 即y＝﹣x2+4x+5； （2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线图象的对称轴为直线x＝2， 设D（x，﹣x2+4x+5）（2＜x＜5）， ∵DE∥x轴， ∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5）， 过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴， ∴四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG的周长 ＝2DG+2DE ＝2（﹣x2+4x+5）+2[x﹣（4﹣x）] ＝﹣2x2+12x+2 ＝﹣2（x﹣3）2+20， ∵﹣2＜0， ∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，则﹣32+4×3+5＝8， ∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）； （3）过C作CH垂直抛物线对称轴于H，过N作NK⊥y轴于K， ∴∠NKC＝∠MHC＝90°， 由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM， ∵B（5，0），C（0，5）． ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵CH⊥对称轴于H， ∴CH∥x轴， ∴∠BCH＝∠OBC＝45°， ∴∠BCH＝∠OCB＝45°， ∴∠BCN﹣∠OCB＝∠BCM﹣∠BCH，即∠NCK＝∠MCH， ∴△MCH≌△NCK（AAS）， ∴NK＝MH，CK＝CH， ∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+9， ∴对称轴为直线x＝2，M（2，9）， ∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2， ∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2， ∴OK＝OC﹣CK＝3， ∴N（﹣4，3）， 设直线BN的解析式为y＝k'x+b'， ∴， 解得：， ∴直线BN的解析式为：， 将x＝0代入，则， ∴， 设P（2，p）， ∴，BP2＝（5﹣2）2+p2＝9+p2，， 分两种情况： ①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2， ∴， 解得：， ∴； ②当∠QBP＝90°时，P'Q2＝BP'2+BQ2， ∴， 解得：p＝﹣9， ∴点P'的坐标为（2，﹣9）； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或（2，﹣9）． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 类型三 由等腰直角三角形产生的存在性问题 【典例3】（2025•绥化）综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝kx﹣5经过B、C两点，若点A（1，0），B（﹣5，0），点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标； （3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把A（1，0），B（﹣5，0）代入y＝ax2+bx﹣5，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出C（0，﹣5），直线BC的解析式y＝﹣x﹣5，设P（x，x2+4x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分x＜﹣5，﹣5＜x＜0，0＜x＜1和 x＞1，四种情况解答； （3）过点F，P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H，得∠AGF＝∠AHP＝90°，根据等腰直角三角形．得AF＝AP，∠PAF＝90°，得∠FAG＝∠APH，得△AFG≌△PAH（AAS），得AH＝FG，PH＝AG，设P（m，m2+4m﹣5），分﹣5＜m＜1和m＞1两种情况解答． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A（1，0），B（﹣5，0）两点， ∴， 解得， ∴y＝x2+4x﹣5； （2）y＝x2+4x﹣5中，当x＝0时，y＝﹣5， ∴C（0，﹣5）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx﹣5， ∵B（﹣5，0）， ∴﹣5k﹣5＝0， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x﹣5，设P（x，x2+4x﹣5）， 则E（x，﹣x﹣5）， 当x＜﹣5时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝﹣x﹣5， ∵PE＝3ED， ∴x2+5x＝3（﹣x﹣5）， 解得x＝﹣3（不合），或x＝﹣5（舍去）， ∴点P不存在； 当﹣5＜x＜0时，PE＝﹣x﹣5﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，DE＝x+5， ∴﹣x2﹣5x＝3（x+5）， 解得x＝﹣3，或x＝﹣5（舍去）， ∴x2+4x﹣5＝﹣8． ∴P1（﹣3，﹣8）； 当0＜x＜1时，PE＜CE，点P不存在； 当x＞1时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝x+5，x2+5x＝3（x+5）， 解得x＝3，或x＝﹣5（舍去）， ∴x2+4x﹣5＝16， ∴P2（3，16）， 故P点坐标为P1（﹣3，﹣8），P2（3，16）； （3）过点F，P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H， 则∠AGF＝∠AHP＝90°， ∵△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形． ∴AF＝AP，∠PAF＝90°， ∴∠FAG+∠PAH＝∠APH+∠PAH＝90°， ∴∠FAG＝∠APH， ∴△AFG≌△PAH（AAS）， ∴AH＝FG，PH＝AG， 设P（m，m2+4m﹣5）， 当﹣5＜m＜1时，AH＝1﹣m，PH＝﹣m2﹣4m+5， ∴FG＝1﹣m， ∴﹣x﹣5＝1﹣m， ∴x＝m﹣6， ∴F（m﹣6，1﹣m）， ∴AG＝1﹣（m﹣6）＝7﹣m， ∴﹣m2﹣4m+5＝7﹣m， 解得m＝﹣1，m＝﹣2， ∴P坐标为（﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9）； 当m＞1时，AH＝m﹣1，PH＝m2+4m﹣5， ∴FG＝m﹣1， ∴﹣x﹣5＝m﹣1， ∴x＝﹣m﹣4， ∴F（﹣m﹣4，m﹣1）， ∴AG＝1﹣（﹣m﹣4）＝m+5， ∴m2+4m﹣5＝m+5， 解得m＝2，m＝﹣5（舍去）， ∴P坐标为 （2，7）； 故P坐标为 （﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9），或 （2，7）． 【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 【变式训练】 1．（2026•天宁区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若m≤x≤m+1时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值为m，求m的值； （3）当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得△APD是以AD为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线解析式，通过解二元一次方程组得到a，b的值即可求得解析式； （2）先求出抛物线的对称轴，再根据题意分情况进行讨论m的值，从而得到结果； （3）设D（1，t），分情况讨论：①当点D为直角顶点，分为t＜0和t＞0；②当点A为直角顶点，利用一线三垂直证明三角形全等，设不同情况下含t的点P坐标，代入到二次函数解析式求出点P的横坐标． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点为（1，4），对称轴为直线x＝1， 当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大， 若m+1≤1，即m≤0时， 当x＝m+1时，函数有最大值m， ∴﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝m， 解得：（不合题意，舍去），； 若m＜1＜m+1，即0＜m＜1时， 当x＝1时，函数有最大值为m＝4（不合题意，舍去）； 若m＞1， 当x＝m时，函数有最大值为m， ∴﹣m2+2m+3＝m， 解得：（不合题意，舍去），， 综上所述，m的值为或； （3）对称轴上存在一点D，使得△APD是以AD为直角边的等腰直角三角形；点P的横坐标为0或﹣2或或．理由如下： 设D（1，t），则AN＝2， ①当点D为直角顶点， （i）当t＞0时， 如图1，作PM⊥MN交对称轴于点M，记抛物线对称轴与x轴交点为N， ∵∠ADP＝90°， ∴∠PDM+∠ADN＝90°， 又∵∠PDM+∠MPD＝90°， ∴∠ADN＝∠MPD， 在△PMD和△DNA中， ， ∴△PMD≌△DNA（AAS）， ∴PM＝DN＝t，MD＝AN＝2， ∴P（1﹣t，2+t）， 代入抛物线解析式得：2+t＝﹣（1﹣t）2+2（1﹣t）+3， 解得t1＝﹣2（不合题意，舍去），t2＝1， ∴点P的横坐标为1﹣t＝1﹣1＝0； （ii）当t＜0时， 如图2，作PM⊥MN交对称轴于点M， 同理可证△PMD≌△DNA（AAS）， ∴AN＝DM＝2，PM＝DN＝t， ∴设点P（1+t，t﹣2）， 代入抛物线解析式得：t﹣2＝﹣（1+t）2+2（1+t）+3， 解得：t1＝2（不合题意，舍去），t2＝﹣3， ∴点P的横坐标为1+t＝1+（﹣3）＝﹣2； ②当点A为直角顶点， 如图3，过点A作y轴平行线，作PM⊥AM交于点M，DN⊥AN交于点N， 同理易证得△PMA≌△AND（AAS）， ∴PM＝AN＝﹣t，AM＝DN＝2， ∴P（﹣1+t，2）， 代入抛物线解析式得：2＝﹣（﹣1+t）2+2（﹣1+t）+3， 解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为； 当点P在x轴下方时， 如图4，过点P作PM⊥x轴交x轴于点M，记对称轴与x轴交点为N， 同理易证得△PMA≌△AND（AAS）， ∴PM＝AN＝2，DN＝AM＝t， ∴点P为（﹣1﹣t，﹣2）， 代入抛物线解析式得：﹣2＝﹣（﹣1﹣t）2+2（﹣1﹣t）+3， 解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为， 综上所述，对称轴上存在一点D，使得△APD是以AD为直角边的等腰直角三角形；点P的横坐标为0或﹣2或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 2．（2026•兴庆区一模）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线解析式． （2）设点P横坐标为t，过点P作PF∥y轴交AB于点F，求直线AB解析式，即能用t表示点F坐标，进而表示PF的长．把△PAB分成△PAF与△PBF求面积和，即得到△PAB面积与t的函数关系，配方即得到t为何值时，△PAB面积最大，进而求得此时点P坐标． （3）设点P横坐标为t，即能用t表示PD的长．根据对称性可知点P、E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得用t表示点E横坐标，进而用t表示PE的长（注意点P、E左右位置不确定，需分类讨论）．由于△PDE要成为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，所以PD＝PE，把含t的式子代入求值即得到点P坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0） ∴ 解得： ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3 （2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F ∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3 ∴A（0，3） ∴直线AB解析式为y＝x+3 ∵点P在线段AB上方抛物线上 ∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0） ∴F（t，t+3） ∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t ∴S△PAB＝S△PAF+S△PBFPF•OHPF•BHPF•OB（﹣t2﹣3t）（t）2 ∴点P运动到坐标为（，），△PAB面积最大 （3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形 设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3） ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t ∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4 ∴对称轴为直线x＝﹣1 ∵PE∥x轴交抛物线于点E ∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称 ∴1 ∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t ∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t| ∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90° ∴PD＝PE ①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t ∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t 解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2 ∴P（﹣2，3） ②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t ∴﹣t2﹣3t＝2+2t 解得：t1，t2（舍去） ∴P（，） 综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最值，等腰直角三角形的性质，中点坐标公式，一元二次方程的解法．分类讨论进行计算时，要注意讨论求得的解是否符合分类条件，是否需要舍去． 第三部分 专题提优训练 1．（2026•肥东县一模）如图，二次函数的图象的顶点C的横坐标为﹣1，直线y＝﹣x+n与该二次函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，2），点B在y轴上． （1）求n的值及二次函数的表达式． （2）求△ABC的面积． （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求n的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出D（﹣1，0），C（﹣1，﹣2），然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式可求解． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣3，2）， ∴2＝3+n， 解得n＝﹣1， ∴y＝﹣x﹣1． 令x＝0，则y＝﹣1， ∴点B（0，﹣1）． 设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c，由题意得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣1； （2）由（1）知，直线AB的表达式为y＝﹣x﹣1，二次函数的对称轴为直线x＝﹣1． 设直线y＝﹣x﹣1与二次函数图象的对称轴交于点D，则点D（﹣1，0）， 把x＝﹣1代入y＝x2+2x﹣1得：y＝﹣2， ∴点C（﹣1，﹣2）， ∴△ABC的面积； （3）在该二次函数的对称轴上存在点Q，使得△ABQ是以AB为腰的等腰三角形；理由如下： 设点Q（﹣1，m）， ∵点B（0，﹣1），A（﹣3，2）， ∴AB2＝18，AQ2＝4+（2﹣m）2，BQ2＝1+（m+1）2． 分两种情况： ①当AB＝AQ时，18＝4+（2﹣m）2， 解得， ∴点Q的坐标为或； ②当AB＝BQ时，18＝1+（m+1）2， 解得， ∴点Q的坐标为或． 综上所述，在该二次函数的对称轴上存在点Q，使得△ABQ是以AB为腰的等腰三角形；点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 2．（2026•江阳区模拟）如图，直线y＝2x﹣10分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为OB的中点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D是直线AB上方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为． ①求点D的坐标； ②点P为抛物线上一点，若△APD是以PD为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离． 【分析】（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后得出C点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）①过D作DE∥y轴交AB于E，则S△ABD＝S△BDE+S△ADE＝，设出D点的横标，纵坐标用横坐标表示，同时表示出E点坐标，从而得出△ABD的面积表达式，再根据△ABD的面积为，列出方程解之即可； ②分两种情况：第一种，D为直角顶点；第二种，P为直角顶点．对于第一种情况，可以验证抛物线的顶点与D、A一起刚好构成直角三角形，即P点就是抛物线的顶点；对于第二种情况，过点P作GH∥x轴，DG⊥GH于G，AH⊥GH于H，由△DGP∽△PHA列出相似比例关系求解． 【解答】解：（1）当y＝0时，2x﹣10＝0，解得x＝5，则A（5，0）， 当x＝0时，y＝2x﹣10＝﹣10，则B（0，﹣10） ∵点C为OB的中点， ∴C（0，﹣5）， 把A（5，0），C（0，﹣5）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5； （2）①过D作DE∥y轴交AB于E，如图， 设D（x，﹣x2+6x﹣5），则E（x，2x﹣10）， ∵S△ABD＝S△BDE+S△ADE5×DE（﹣x2+6x﹣5﹣2x+10） ∴（﹣x2+6x﹣5﹣2x+10）， 整理得x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2， ∴D（2，3）； ②∵抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5， ∴抛物线的顶点为M（3，4）， ∴MD，AD＝3，AM＝2， ∴MD2+AD2＝AM2， ∴MD⊥AD， 若D为直角顶点，则P与M点重合，即P（3，4），如图， 此时P点到抛物线对称轴的距离为0； 若P为直角顶点，如图， 过点P作GH∥x轴，DG⊥GH于G，AH⊥GH于H， ∵∠APD＝90°， ∴△DGP∽△PHA， ∴， 设P（t，﹣t2+6t﹣5），则： GP＝t﹣2，DG＝﹣t2+6t﹣5﹣3，PH＝5﹣t，AH＝﹣t2+6t﹣5， ∴， ∴， ∴， ∴t2﹣5t+5＝0， ∴t， ∴P点坐标为（，）或（，）； 若P点坐标为（，），则P点到抛物线对称轴的距离为， 若P点坐标为（，），则P点到抛物线对称轴的距离为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数图象上坐标点的特征，待定系数法求二次函数解析式，三角形面积的铅垂高表示法，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的判定与性质等重要知识点，综合性强，难度较大．对于最后一问，要注意两点：第一，分类讨论；第二，对于直角三角形这个条件的利用，很多同学可能会选择分别表示出三条边长，用勾股定理列出复杂的方程进行计算，这种想法虽然理论上可行，但计算量大，如果方程太复杂，可能会解不出来，大多数情况下，合理的做法是构造相似三角形，利用相似比例关系进行求解，这样做的好处在于使计算量大大降低．“能用相似就不用勾股”，这一原则在很多情况下是适用的． 3．（2026•浔阳区一模）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线y＝0.5x2与y＝﹣2x2是共生抛物线． 已知抛物线的顶点是点P，它的共生抛物线C2的顶点是Q． （1）点P的坐标是　（﹣2，1）　 ，抛物线C2的函数关系式是　　 ． （2）当x的取值范围是　﹣2≤x≤2　 时，抛物线C1与C2的函数值都随x的增大而减小． （3）直线y＝m与抛物线C1、C2均有两个交点，这些交点从左到右分别是A，B，C，D． ①求m的取值范围　﹣1＜m＜1　 ； ②在抛物线C2上是否存在一点K，使△KPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出K点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线C1的解析式可得点P的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线C2的顶点坐标和二次项系数，据此可得答案； （2）根据（1）所求分别求出抛物线C1和C2的函数值随x的增大而减小时x的取值范围即可得到答案； （3）①求出直线y＝m经过点Q和点P时m的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P为直角顶点和点Q为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K的坐标，再验证点K是否在抛物线C2上即可得到答案． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点是点P，它的共生抛物线C2的顶点是Q， ∴点P的坐标为（﹣2，1）， ∴Q（2，﹣1），且抛物线C2的二次项系数为， ∴抛物线C2的解析式为， 故答案为：（﹣2，1）；； （2）∵抛物线C1的解析式为，且， ∴抛物线C1的开口向下，对称轴为直线x＝﹣2， ∴当x≥﹣2，C1的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线C2的解析式为，且， ∴抛物线C2的开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴当x≤2，C2的函数值随着x的增大而减小， 综上所述，当﹣2≤x≤2时，抛物线C1与C2的函数值都随x的增大而减小， 故答案为：﹣2≤x≤2； （3）①如图1， 当直线y＝m恰好经过点P时，则m＝1， 当直线y＝m恰好经过点Q时，则m＝﹣1， 由函数图象可知，当﹣1＜m＜1时，直线y＝m与抛物线C1、C2分别有两个不同的交点， 故答案为：﹣1＜m＜1； ②在抛物线C2上存在一点K，使△KPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形；理由如下： 如图2，当点P为直角顶点时，过点P作RT∥y轴，过点K作KR⊥TR，过点Q作QT⊥TR， ∴∠PRK＝∠QTP＝90°， 由题意得，PK＝PQ，∠KPQ＝90°， ∴∠RPK+∠TPQ＝90°＝∠RPK+∠RKP， ∴∠TPQ＝∠RKP， ∴△TPQ≌△RKP（AAS）， ∴RK＝PT，RP＝QT， ∵P（﹣2，1），Q（2，﹣1）， ∴RK＝PT＝1﹣（﹣1）＝2，RP＝QT＝2﹣（﹣2）＝4， ∴K（0，5）， 在中，当x＝0时，， ∴点K（0，5）在抛物线上，此时符合题意； 如图3，当点Q为直角顶点时，同理可得K（4，3）， 在中，当x＝4时，， ∴点K（4，3）不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，在抛物线C2上存在一点K，使△KPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形；点K的坐标为（0，5）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的新定义，二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，正确利用二次函数的图象与性质是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $