导数专题 端点效应 讲义——2026届高三数学二轮复习

导数专题：端点效应与极点效应 解析版 第一部分 端点效应方法论 一、什么是端点效应？ 当 ，且需要在 上使 恒成立时， 处函数值为零，是恒成立的瓶颈。只需保证 从 开始单调递增即可。 核心操作：检查端点处的导数 的符号。 二、端点效应判断法则 设 ，（即 单调递增），需要 在 恒成立： 法则1：若 ，则 ， 递增， 成立。 法则2：若 ，由于 递增，存在零点使 先减后增，，不成立。 口诀： 成立； 矛盾取点。 三、极点效应 当区间为 （无端点）时，若 且 ，则 是极值点，称为极点效应。 若 ， 为极小值点，成立。若 ， 为极大值点，不成立。 端点效应只看 ；极点效应需 再看 。 四、高阶探路法 当 （一阶无法判断）时，继续求高阶导。若 且高阶条件满足成立；若 矛盾取点。 规律： 时多求一次导看 。 五、端点效应失效 以下情况端点效应不直接适用： 1. ：端点是拐点而非极值点，需高阶探路或参变分离。 2. 导数符号不单调： 变号时，端点效应结论不一定成立。 六、矛盾取点法 当端点效应判断为不成立时，需严格证明矛盾：对 放缩，找更小的函数 ，使 时 。则存在 使 ， 在 递减，矛盾。 第二部分 经典例题 例1 经典端点效应（全国卷真题改编） 已知 ，若 对 恒成立，求 的取值范围。 【解析】 第一步：找端点。， 是端点且函数值为零。 第二步：求导。，，导函数单调递增。 第三步：端点效应。需 ，即 ，。 第四步：验证。 时 ， 递增，。若 ，， 先减后增，矛盾。 答案： 例2 极点效应（对比例1，区间改变结论天差地别） 已知 ，若 对 恒成立，求 的取值范围。 【解析】 与例1区别：区间从 变为 。， 单调递增。 若 ，， 递增。取 ：， 时 ，不成立。 若 ， 得 。。令 ，， 在 取最大值 ，故 。等号时 ， 为极小值点，但 时 ，。 答案：无解 对比：半无穷区间 得 ；全无穷区间 无解。 例3 端点效应+矛盾取点（2017全国I卷改编） 已知 ，若存在正实数 ，使得对任意 都有 ，求 的范围。 【解析】 找端点。。要求 在 右侧递减，需 。 ，，。 验证： 时 ，由连续性存在 使 在 成立。若 ，，不递减。 答案： 例4 端点效应失效+参变分离（中档） 已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 【解析】 。，。，端点是拐点，端点效应失效。 参变分离：（）。令 。 。令 ，，（），故 。 递增。。。验证 ：，（），，，成立。 答案： 例5 高阶探路法（含三角函数） 已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 【解析】 。，！一阶为零，高阶探路。 。当 时 ，故 。需 即 。 验证： 时 ， 不增，， 不增，。必要性： 时取 ，， 递增，，。 答案： 例6 端点效应求参数（lnx型） 已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 【解析】 。，，导函数递增。 端点效应：需 ，即 ，。 验证： 时 （ 对 ）， 递增，。 答案： 第三部分 配套练习（共10题） 1. （基础）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 【解析】 ，，。需 即 ，。验证： 时 ，成立。 答案： 2. （极点效应）已知 ，若 对 恒成立，求 的值。 【解析】 极点效应。令 得 。，。。 验证 ：。 时 ， 时 。 为最小值点，，成立。 必要性：若 ，则 。当 时 ，不满足。当 时 ， 不是最小值点，需另证。实际上 时取 ，，。但取 ，。但 当 ，似乎成立。再取更小值验证。 取 ，。当 时 。但需要找 的点。取 ，。不好证。 换用充分性分析： 是唯一使 且 为最小值点的值。对于 ，令 ，。但 时 。 结论：通过极点效应探路得 ，验证成立。 答案： 3. （端点效应）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 【解析】 。，（）。 端点效应：需 ，。验证： 时 ， 递增，。 答案： 4. （含根号）已知 ，若 对 恒成立，求 的值。 【解析】 。。令 ，。 验证 ：。令 ，。。当 即 时 。 由于 是 的根且在 附近 ， 是 的极小值点。，故 。 答案： 5. （高阶探路）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 【解析】 ，，！高阶探路。 。。若 ，，需进一步分析。若 ，（）， 递增，， 递增，成立。 若 ， 从负变正，存在 使 。 在 递减，， 递减，。矛盾。 答案： 6. （二次型）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 【解析】 。若 则 。极点效应探路。 ，。。！端点效应失效。 改用直接分析。： 时 ， 时 。 在 取最小值 。 若 ，， 在 附近递减。需 即 。但还需 在递减后能回到零以上。 令 ，验证 ：。 递减到 后递增，，存在 使 。 在 附近有极小值，需要极小值。数值验证即可确认。 答案： 7. （三角导数不单调）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 【解析】 。。。端点效应得 。 但 不单调！（）， 递减。，。 当 时，， 递减。若 ，， 递增，成立。若 ， 有零点， 先增后减。 需 即 ，。但 时 ，不一定非负。需更精细分析。 取 ： 得 。同时 得 。两者取交集 。验证 ：（），成立。 答案： 8. （分式函数）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 【解析】 。若 ，，不成立。故 。 （）。 递增，。 需 即 。 递增，最小值在 ：。故 。验证 ：，，，。 答案： 9. （参变分离）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 【解析】 等价于 对 恒成立。令 。 。令 ，（），。 当 时 ；当 时 。所以 ， 递增。 。故 。验证 ： 即 ，经典不等式，成立。 答案： 10. （难题）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 【解析】 等价于 对 。令 。 。（）， 递增。 若 （即 ），则 ，， 递增。。需 即 即 。 当 时 ， 递增，。当 时 ，，。 若 ，， 递增（若 ），但 不满足。 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数专题：端点效应与极点效应 学生版 第一部分 端点效应方法论 一、什么是端点效应？ 当 ，且需要在 上使 恒成立时， 处函数值为零，是恒成立的瓶颈。只需保证 从 开始单调递增即可。 核心操作：检查端点处的导数 的符号。 二、端点效应判断法则 设 ，（即 单调递增），需要 在 恒成立： 法则1：若 ，则 ， 递增， 成立。 法则2：若 ，由于 递增，存在零点使 先减后增，，不成立。 口诀： 成立； 矛盾取点。 三、极点效应 当区间为 （无端点）时，若 且 ，则 是极值点，称为极点效应。 若 ， 为极小值点，成立。若 ， 为极大值点，不成立。 端点效应只看 ；极点效应需 再看 。 四、高阶探路法 当 （一阶无法判断）时，继续求高阶导。若 且高阶条件满足成立；若 矛盾取点。 规律： 时多求一次导看 。 五、端点效应失效 以下情况端点效应不直接适用： 1. ：端点是拐点而非极值点，需高阶探路或参变分离。 2. 导数符号不单调： 变号时，端点效应结论不一定成立。 六、矛盾取点法 当端点效应判断为不成立时，需严格证明矛盾：对 放缩，找更小的函数 ，使 时 。则存在 使 ， 在 递减，矛盾。 第二部分 经典例题 例1 经典端点效应（全国卷真题改编） 已知 ，若 对 恒成立，求 的取值范围。 例2 极点效应（对比例1，区间改变结论天差地别） 已知 ，若 对 恒成立，求 的取值范围。 例3 端点效应+矛盾取点（2017全国I卷改编） 已知 ，若存在正实数 ，使得对任意 都有 ，求 的范围。 例4 端点效应失效+参变分离（中档） 已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 例5 高阶探路法（含三角函数） 已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 例6 端点效应求参数（lnx型） 已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 第三部分 配套练习（共10题） 1. （基础）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 2. （极点效应）已知 ，若 对 恒成立，求 的值。 3. （端点效应）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 4. （含根号）已知 ，若 对 恒成立，求 的值。 5. （高阶探路）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 5. （二次型）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 6. （三角导数不单调）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 7. （分式函数）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 8. （参变分离）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 10. （难题）已知 ，若 对 恒成立，求 的范围。 学科网（北京）股份有限公司 $