第六章 专题7 导数在恒成立与存在性问题中的应用(3)一“端点效应”-【6星学霸·高考黑题】2026年高考数学二轮专项冲刺

单测遥减，在(-1，+)上单调递增x)-1)= e-a. ①当-】-0>0，即a<-时)>0，所以)无零点： 。=0,即a=时动=0.所以只有1个零点 ②当-1 -a<0,即>时)n<0, 又a)=ae-a=a(e-1),若a≥0，则e“≥1，(a)≥0若a<0,则e< 1八a)>0,所以f八a)0恒成立，故存在1(-1，a]使得f八x,)=0. 因为当x<-1时，xe<0 故当a≥0，x<-1时八x)=e-a<0x)在(-，-1)没有零点，因此 八x)只有1个零点： -a=e-1=,令）=d-l,1E(-g,-e).则g'(0)与】 (+2)e>0,所以g(1)在(-，-e)上单调递增，所以g(t)< -e)=e-1<0,所以/（仁）巴0.放存在（仁1）使得 t )=0,因此八x)有2个零点 综上，当a<-时x)无零点，当4=-或n≥0时x)有1个零 点，当<a<0时x)有2个零点 (2)①当a≤0时，由x>0,得八x)>0,所以代x)1>a(lnx+1)等价于 -a>ar(h+)对xe0,*)相成立，甲c>a(h+士+1）对 x∈(0，+￥)恒成立， 令4()=lh+1.>0,则hx)=当xe(0,D时，hG 当xE(1,+x)时.h'(x)>0,所以h(x)在(0,1)内单周递或，在(1， +)内单调递增，所以6()≥4(1)=之又c>0,所以e>如(h+ 1对xe(0.+x)恒成立，所以n≤0时成立： 2当a>0时， (i)若xe0, ,上），则am(nx+)<0,显然成立 (i)若x [合经）-bah*)等价于0oa 或e-a<-x(n+1),即二>n4 1或h x 对于二<-nx+-1,取x=1,得二<0，与>0矛盾，故不成立： 对于后h1.即 x+ --In x-I 令t(x)= <0 所以)在[+）内单调递所以()（日）=片.所以 Dcace1 综上，实数a的取值范围是(-，亡） 专题7导数在柯成立与存在性向题中的应用(3) 一“端点效应” 典数例题a)解：当6=0时八)=h产，其中e(0,2),则 2 ￥+2云+a(2-可*a,e(0.2),因为￥(2-)≤ 2 2=1,当且仅当=1时等号成立，所以f'(x)=2+a而 2-x+标 一学霸高考·黑 f‘(x)≥0成立，故a+2≥0，即a≥三-2.所以a的最小值为-2. (2)证明)=h云≠r+b(x-P的定义城为(0,2设P(m,a)为 曲线y=f(x)图象上任意一点，P(m.m)关于点(1，a)的对称点为 Q2-m,2a-m.因为P代m,o)在y=e)的图象上.所以n=hnm+ 6m-以面联2-m)=h20(2-m)+6(2-m--2” 6(m-1)3 +2a=-n+2a,所以Q(2-m,2a-n)也在y=f八x)的图象上，由P 的任意性可得y=爪)的图象为中心对称图形.且对称中心为点(1，) (3)解：因为x)>-2.当且仅当1<x<2,故x=1为代x)=-2的一个解 所以代1)=-2，即a=-2,先考虑1<x<2时.f(x）>-2相成立.此时 x)>-2.即12 x+2(1-x)+6(x-1)2>0在(1,2)上恒成立.设1=x 1e(0,).则1n24+b>0在0,1)上恒成立设g)=in仁2+ -年2+32.-3w+236 2 3.1e(0,1).则g()= 1-2 当b≥0时，-362+2+3b≥-36+2+36=2>0，故g‘()>0恒成立，故g(1】 在(0,1)上为增函数.故g(1)>g(0)=0.即f八x)>-2在(1.2)上恒成立 当2≤6<0时，-3w2+2+36>2+36≥0.故g'（)>0恒成立，放g)在 3 (0,1)上为增函数，故g()>g(0)=0,即八x)>-2在(1,2)上恒成立. 当c子时.测当0√品<1时g0<0,放在0√品) 上(1)为减函数.故g()<g(0)=0,不符合题意，舍去 综上心>-2在(1,2)上恒成立时6≥-子而6≥子时，由上述过程 可得g()在(0.1)上单湖递增.故g(t)>0的解集为(0,1)，即/爪x)>-2 的解集为(1.2). 2 综上，b≥3 重难点拔 一个函数不等式成立的完分必要条件就是函数不等式对应的 解，而解的墙点为函数对应方程的根或定义域的旅点，另外，根据函 数不等式的解确定参数范国时，可先由恒成立得到参数的范国，再根 据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况 变式训练1.解：(1)当a=-2时，(x)■(1+2x)n(1+x)-x,>-1,放 '(x0=2h(1+)+14-1=2(1+) -+1,所以了'(x)在 (-1,+x)上单调递增.而f'(0)=0,故当-1<x<0时∫'(x)<0,当x>0 时∫'(x)>0,故(x)在x=0处取极小值，且极小值为f(0)=0,无极 大值 (2/(e-an（1+r+--1=-aln(1x）-a+,x≥0，设s)= 1+x 1+x nln(1+x)_x≥0，则"(x)= -aa+1 +1(1+x2= a(x+1)+a+1_ (1+x)2 r+20+1 (1+)2 当a≤- 时'(x)≥0，故s()在[0，+)上单调递增，故()≥ 2 s(0)=0,即f'(x)≥0，所以f(x)在[0.+x)上单调递增.故x)≥ f0)=0 <0时，则0≤2时e)0.放(在.2） 当、1 2a+1 单调递减，故在0，- /)≤0.即e单洞道减故在0.20）上)≤0)=0，不符 合题意，舍去.当a≥0时，此时s'(x)<0在[0，+)上恒成立，同理可 得在[0，+0)上尺x)≤f(0)=0恒成立，不符合题意，舍去. 综上，≤-2 题·数学·75一 重难点拨 1.已知f代x)≥0在[a,b](或(a,b))上但成立 (1)若八a)=0,则f(a)≥0： (2)若f八6)=0，则f(b)0. 2f代x)≥0在[a,b]上桓或立，若fa)=0f"(a)=0,剥f(a)≥0： 若八b)=0f'(6)=0.则f"(b)≤0. 3.八x)≥0在[a,b]上恒成立，若八a)=0且f"(x)=g(x)h(x),其中 g(x)≥0.则h(a)≥0 变式训练2解：()令h(x)=5x)-s血x+s 八x) -,xe[0,2r],则 e 6(x)=1-2inx 南6()=12加=0.又e[0,2,解得=号或要可得当 e)和xe(餐2]时6)>0，当e(后)）时。 6'()<0,所以A(在（行，怎）上单调道减，在[0，君）和 (?2小上单河适罐 13 又4(0)=0，h 5 221+5 6 2 <0,A(2m》=0,所以函数y= g(x)- f八x) 在xe[0,2m]上的最小值为1+3 2 (2)设p(x)=f(x)+g(x)-2-r=e+sinx+co%x-2-a,x≥0，则 (x)=e+cus x-sin x-n, u(x)=e'+cos x-sin x-a,u'(x)=e'-sin x-cos x, 令m(x)=x-inx,期m'(x)=1-0ex≥0，所以m(x)在[0，+e)上单湖 递增、所以m(x)≥m(0)）=0,即x≥sinx,-c0s￥多-1，所以 u'(x)=e'-inx-csx≥e'-(x+1）, 又设n(x)=e-x-1.n'(x）=e-1.n‘(0)=0,当xe(-笑，0)时 n'(x)<0.n(x)为减函数，当xe(0,+)时，n'(x)>0,n(x)为增函数， 所以n(x)m=n(0)=0,即e≥x+1恒成立，所以u'(x)=e-inx esx≥e-(x+1）≥0，所以n(x)在「0.+x)上单调递增，则“(x)≥ u(0)=2-4, 当2-a≥0，即a≤2时，u(x)≥0，p'(x)≥0，所以p(x)在[0，+x）上单 刷递增，所以(x)≥p(0)=0: 当2-a<0,即a>2时.存在xo∈(0，+x),使得u(xn)=0,即g'(x)=0, 由于对任意的xe(0.。),都有u(x)<0,即g'(x)<0,此时p(x)< e(0)=0,不符合题意 综上所述，4≤2 方法总结 子数背景下的不等式恒成立间题，往往需要利用导数判斯函数单调 性，有时还南要进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注 意利用范国端点的性质来确定如何分类， 专题8导数在恒成立与存在性问题中的应用(4) 一一同构转化 典型例题解：(1)当a=心时x)=e-hx+l,f'(x)=e1 f(1)=e-1.:八1)=e+1.六切点坐标为(1,1+e),曲线f八x)在点 (11))处的切线方程为y-#-1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2, 切线与坐标轴交点坐标为(0,2)， (二0）所求三角形的面积 (2)方法-)=ae-1-hx+lna,了'(x)=ae-1-.且a>0设 8国f”(),则g'()=ae1子>0g)在(0，+)上单湖递增。 即f'(x)在(0，+x)上单调递增 当a=1时/'(1)=0，x)mm=/1)=1,x)≥1i成立： 当a1时1e<1f'(日/)=a(e21a- 一学霸高考·黑 0÷存在唯一->0，使得/'()=a0-=0,且当xe(0,0)时， f'()c0,当xe(,+)时/'(x)>051. ..In a+xo-1= -lh和心fx)m=fxo)=aeo'-no+ln= +na+0-1+lna 2ln-1+2 ·0=2a+1>1.x)>1,fx)≥1i成立： 当0<a<1时，八1)=+na<a<1,./代1)<1.∴f八x)≥1不是成立. 综上所述，实数a的取值范是[1，+x) 方法二：由x)≥1得ae--nx+lna≥1，即erl+lnu+x-1≥mx+ x,而nx+x=eh+nx,ea-l+lna+x-I多eh+lnx令h(m)= e+m,则h'(m)=e+1>0,(m)在R上单瞒递增.由e-1+n+ x-l≥en+lnx,可知h(l山a+x-1)≥b(lhx),.lna+-1≥lh名， 六nn≥(a=+)a令f(x)=hx-r+1.则F'(e)=↓-1n三当 xe(0,1)时，F'(x)>0,F(x)单调递增：当x∈(1.+)时.F'(x)<0. F(x)单调递减.F(x)=F(1)=0,则lna≥0.即a≥1，-a的取值 范围为ala≥1| 方法三：由题意知a>0,x>0,令e1=1,.lna+x-1=lnt,lna=n x+1,.f(x)=ae-In x+ln a=t-In x+ln i-x+1.f(x)1,t-In x+ln t- x+I≥1+n1≥x+nx,而y=x+nx在(0，+x）上为增函数，故t≥x, 即ae-≥x,分离参数得a≥ 。令g(x)= ,当0<1时，g‘(x)>0,g(x)单调递增：当1时，g'(x) 08)单调递减.当=1时，8()产一取得最大值为g(1)=1, .a≥1. 方法四：定义域为(0.+)，且f八x）≥1.∴，f(1)≥1，即a+na≥1 令s(a)=a+lna,则s(a)=1+>0,六S(a)在区间(0，+)内单调 递增.S(1)=1,a≥1时，有S(a)≥S(1),即a+na≥1. 下面证明当a多1时八x)≥1面成立. 令T(a)=ae--lnx+lna,只需证当a≥1时，T(a)≥1恒成立. T'(a)=e-1+ ↓>0，T(a)在区间[1.+×)内单调递增，烟 T()=T(1)=el-nx因此要证明≥1时，T(a)≥1任成立，只需 证明T(a)m=e1-lnx≥1即可.由e2≥x+1,lnx≤x-l,得l≥x, -lnx≥1-x,上面两个不等式两边相加可得e-lnx≥L,故a≥1时， x)≥1恒成立：当0<a<1时，代1)=a+na<1.显然不满足八x)≥1 恒成立，a的取值范围为ala≥1. 重难点拔 方法一：利用导数别新函数∫(x)的单调性，求出其最小值，由 厂(x)≥0即可求出，解法虽精麻烦，但是这种解法是解决函数但成 立问题的通解通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成en一1+山a+x-1≥+ nx,再根据函数h(m)=e+m的单调性以及分离参数法即可求出， 是本愿的最优解： 方法三：通址先换元，令ae=t,再同构，可将原不等式化成t+ln≥ x+nx,再根据西数y=x+nx的单调性以及分离参数法求出： 方法四：由特恢到一般，利用(1)≥1可得a的取值范国，再进行无 分性证明即可. 变式训练1.解：(1)f'(x)=a-。1·(-1)=a+知了=a+ 当a≥0时，'(x)>0恒成立爪x)在R上单调递增： 当0时，令7e0得()所以在(.（日） 上)20)单调递增，在(()+）上()<0) 单调递诚 综上所述，当a≥0时.八x)在R上单嗣递增： 当a<0时，)在（，h（)）上单调递增，在(h(-。) 上单调递减， 题·数学·76一第六章函数、导数与不等式学霸 专题7导数在恒成立与存在性问题中的应用(3)一“端点效应” 命题密钥 在专题5中我们探讨了通过参变分离法来解决恒成立与存在性问题，事实上也存在一类函 数，它可以比较方便地进行参变分离，但是分离得到的函数最值无法通过计算得到，这类函数我 们可以通过“端点效应”求解“端点效应”又称“必要性探路法”，满足“端，点效应”的函数一般需 要符合两个条件，即在“端点”处取等和导函数在“端点”附近是单调函数，但要注意这两个条件 仅满足必要性，因此在实际操作过程中还需要仔细甄别函数是否满足“端，点效应”的要求， 考点觉醒 “端点效应”问题的操作步骤： 构造函数并求导 多次求导直至某一次求导结果恒正或恒负 根据“端点”缩 先讨论可以使得题目条件恒成立的参数取值范围，例如： 小参数范围 fx)≥0对x≥x恒成立，则由fx=0可知fx)在区间o,+) 上单调递增必然可以满足题意 证明仅有上一步确定的参数范围满足题意，例如：fx)≥0 充分性证明 对x≥x恒成立且fx)=0,如果存在参数8满足fx)在区间 (x,6)上单调递减，则一定不符合题意 实战演练 典型例题(2024：新深标全国I)尼知函数x)=加2产a+b(x-1月 (1)若b=0,且f'(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：曲线y=f八x)是中心对称图形： (3)若f(x)>-2,当且仅当1<x<2,求b的取值范围 123 学霸高考·黑题数学 变式训练1.(2024·全国甲理)已知函数f八x)=(1-ax)ln(1+x)-x,a∈R, (1)当a=-2时，求f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围. 变式训练2.(2025·江西赣州二模)已知函数f代x)=e,g(x)=sinx+cosx. ④求西数y=e[0,2m]的最小值 (2)当x≥0时f(x)+g(x)-2-ax≥0，求a的取值范围. 124