精品解析：山东菏泽国开中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

菏泽国开中学4月月考高二年级数学学科试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 已知下列四个命题，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：.该运动员在时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ） A. -4 B. 4 C. 11 D. -11 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 8. 对任意，若不等式恒成立（为自然对数的底数），则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 10. 下列求导过程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知函数，且，则________ 13. 若函数满足，则___________. 14. 若曲线（）在点（-1，f（-1））处的切线斜率为2，则a=___________. 四、解答题（共77分） 15. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 16. 已知函数 （1）求出函数的单调区间 （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 已知函数在处取得极大值6. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）已知时，直线为曲线的切线，求实数的值． 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求在的最大值和最小值，并说明函数零点个数； （3）求证：曲线在抛物线的上方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菏泽国开中学4月月考高二年级数学学科试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导函数直接计算得解. 【详解】由题可得，所以. 故选：B 2. 已知下列四个命题，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则即可求解判断. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：B. 3. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导函数求出函数的单调性，从而选出答案. 【详解】， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 显然B选项符合题意. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导直接求解即可. 【详解】解：求导得， 所以，解得 故选:B 5. 在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：.该运动员在时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ） A. -4 B. 4 C. 11 D. -11 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的物理意义，求出的导数，即可求得答案. 【详解】由可得， 故，即该运动员在时的瞬时速度为（m/s）. 故选：A 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 7. 设，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义进行转化即可. 【详解】，. 故选：B 8. 对任意，若不等式恒成立（为自然对数的底数），则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把不等式化为恒成立，设，得到函数，只需使得即可，求得函数的导数，分和两种情况讨论，求得函数的额单调性与最小值，列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式可化为，即恒成立， 设，其中，由，可得， 所以，只需证明的最小值即可， 可得， ①若时，恒成立，所以在区间上单调递增； 所以的最小值为，解得， 因为，所以的取值范围是. ②若时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为， 设，其中，可得， 所以在上单调递减， 由，所以当时，解得， 又由，所以实数的取值范围是， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题（共18分） 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，求导后，由导数小于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断 【详解】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误， 对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确， 对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确， 对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误， 故选：BC 10. 下列求导过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】AC选项结合导数的乘法运算法则即可判断；B选项根据基本初等函数的求导公式即可判断；D选项结合复合函数的求导法则即可判断. 【详解】A选项：因为，所以，故A正确； B选项：因为，故B正确； C选项：因为，所以，故C正确； D选项：因为，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知函数，且，则________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的计算公式求出，然后把代入解方程即可． 【详解】 ． 故答案为：2． 13. 若函数满足，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】对求导，利用赋值法求出即可. 【详解】 令，则 . 故答案为：. 14. 若曲线（）在点（-1，f（-1））处的切线斜率为2，则a=___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数的几何意义可求得答案. 【详解】解：∵，∴，解得. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 【小问4详解】 . 16. 已知函数 （1）求出函数的单调区间 （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）增区间为：，，减区间为：；（2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】 （1）利用导数求函数的单调区间即可. （2）根据（1）的单调性求最值即可. 【详解】（1）， 令，解得，. ，，为增函数， ，，为减函数， ，，为增函数. 所以的增区间为，减区间为. （2）由（1）知：，为增函数，，为减函数， ，为增函数. ，，，. 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【点睛】本题第一问考查利用导数研究函数的单调性，第二问考查函数的最值，属于简单题. 17. 已知函数在处取得极大值6. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值. 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】（1）由即可求出，再由极值的定义检验即可. （2）对求导，得出的单调性和极值，结合端点值即可求出函数在的最小值. 【小问1详解】 ， 因为在处取得极大值6. 所以，得 此时， 令可得：；令可得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增 所以在处取得极大值，符合题意， 所以. 又，所以 【小问2详解】 ，所以 列表如下： 0 1 2 3 + 0 0 + 1 极大值6 极小值5 10 由于，故时，. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）已知时，直线为曲线的切线，求实数的值． 【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 时，在单调递增，在单调递减． （2）或 【解析】 【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当，，时导函数的正负，即可判断原函数的单调性. （2）求导后根据导数的几何意义设切点，求得切线方程，根据切线过原点计算即可求得结果. 【小问1详解】 ． 令，得或． 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减； 若时，，在上单调递增； 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 时，在单调递增，在单调递减． 【小问2详解】 当时， 设切点，则切线方程为 因为切线过原点， 故， 即， 解得或 所以或. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求在的最大值和最小值，并说明函数零点个数； （3）求证：曲线在抛物线的上方． 【答案】（1） （2）最大值为,最小值为，函数有2个零点． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数在某点处的切线求解. （2）求导，利用导数研究函数的单调性、最值及零点个数. （3）令，只需证明即可. 【小问1详解】 ，切点 ， 切线方程为． 【小问2详解】 ，令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 所以函数的最大值为；最小值为． ，，所以函数有2个零点． 【小问3详解】 证明：由题意只要证，即证， 令，则， 令，则， 则单调递增，，， 所以在内有唯一解，设为，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，， 根据二次函数的性质可知，对称轴， 所以二次函数在单调递减， ， 故曲线在抛物线的上方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $