山东菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二下学期第五次定时训练数学试题

2024级高二第五次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（ ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．为调查某企业年利润（单位：万元）和它的年研究费用（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据，如表所示： 1 2 3 4 5 50 60 70 80 100 求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ） A．4 B．5 C． D． 4．由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点出发，沿木棍爬行到点的最短路径有（ ） A．15种 B．30种 C．48种 D．60种 5．袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为、的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（ ） A． B． C． D． 6．某过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为，，．已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A． B． C． D． 8．某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为，则有（ ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（ ） A． B． C．的展开式中一共有项 D． 10．随机变量且，随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 11．假设某市场供应的蓝牙耳机中，市场占有率和优质率的信息如下： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一个蓝牙耳机，用，，分别表示买到的蓝牙耳机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，表示可买到的优质品，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为__________． 13．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为__________． 14．如图，是由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有__________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分）已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 16．（15分）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到右面的散点图及一些统计量的值． （1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程． 附：回归方程中，，参考数据（） 5215 17713 714 27 81.3 3.6 17．（15分）甲乙丙丁戊五个同学 （1）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ （2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 18．（17分）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如右所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”． （1）求的值； （2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望． （3）用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 19．（17分）游乐场设有甲、乙两个盲抓娃娃机器，甲机器有3个良品娃娃和2个次品娃娃；乙机器有4个良品娃娃和1个次品娃娃．游戏规则：先选择一个机器，从该机器中等可能抓取1个娃娃，称为首次抓取；再将首次抓取的娃娃放回原机器，再重新选择机器进行第二次抓取，两次选择相互独立．若两次都抓到良品娃娃，则游戏通关．小明每次选择抓取甲机器的概率为，乙机器的概率为． （1）求小明首次抓取抓到良品娃娃的概率； （2）已知小明已经游戏通关，求首次选择抓取的是乙机器的概率； （注：贝叶斯公式） （3）小明为了更好的通关，现有两种方案： 方案一：第二次继续从首次选择的机器中抓取； 方案二：第二次从另一个机器中抓取． 比较两种方案，哪种方案游戏通关的概率更大. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第五次定时训练数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B C D C A C D AD AC ACD 12． 13． 14．576 15．（1）令，得，即，（2分） 令，得， 则．（6分） （2）令，得， 则 ．（13分） 16．（1）由散点图可以判断，随温度升高，平均产卵数增长速度越变越快，符合指数函数模型的增长，所以更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型．（3分） （2）将两边同时取自然对数，可得， 令，则得到直线方程， 由题中的数据可得，，， 所以，（10分） 则， 所以关于的线性回归方程为， 故关于的回归方程为．（15分） 17．（1）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有3种选择，所以不同游览方法有（种）．（4分） （2）排成一排，无限制条件的排列有， 甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有， 则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（种）．（9分） （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市， 则先把5人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是．（15分） 18．（1）由， 解得．（4分） （2）由频率分布直方图可知，与的用户数之比为， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取，，， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以（10分） （3）用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以， ， 解得：，又，故时概率最大（17分） 19．（1）设选取甲机器为事件，则，选取乙机器为事件，则， 抓到良品娃娃为事件，则，， 由全概率公式．（4分） （2）两次选机器、抓取均互相独立，则两次抓取良品概率相同： ； 首次选乙，第一次抓到良品，第二次独立选机器抓良品的概率为： ； 由贝叶斯公式计算条件概率得：．（8分） （3）方案一：两次选取同一机器，抓取相互独立，概率为： ，（12分） 方案二：两次选取不同机器，抓取相互独立，概率为： ，（16分） ， ，故方案二的通关概率更大．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $