精品解析：新疆乌鲁木齐市高级中学2025-2026学年第一学期高三年级第三次月考高三数学试卷

乌鲁木齐市高级中学2025-2026学年第一学期高三年级第三次月考卷 高三数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. 6 C. 4 D. 2 4. 已知为锐角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 随机变量，若，则的展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 20 6. “”是“关于x的方程的两根都大于1的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 4 D. 9 8. 已知定义在R上的函数满足：，，当时，，其中e是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是函数的导函数，则以下求导运算中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 是有实根的充要条件 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是______． 13. 某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立.某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则__________. 14. 数列满足，若，则______． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知在中，，其中内角的对边分别为． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值． 16. 为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下： 类别 科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 （1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； （2）设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 17. 如图，在三棱柱中，平面． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间; （2）设,讨论函数的零点个数. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，为个焦点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，的面积为（为坐标原点），，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市高级中学2025-2026学年第一学期高三年级第三次月考卷 高三数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合，再根据交集运算直接求解. 【详解】对于不等式，可得， 解得，所以，，元素个数为. 故选：B 2. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念，复数的实部为0且虚部不为0，可得. 【详解】已知是纯虚数， 则实部，解得，且虚部，经检验满足， 故选：D 3. 已知，，若，则（ ） A. B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量平行充要条件列出关于k的方程，解之即可求得k的值. 【详解】由，，， 可得，解之得. 故选：B 4. 已知为锐角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，由平方关系求出，即可求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以，又， 即，解得或， 因为为锐角，所以，则， 所以. 故选：D 5. 随机变量，若，则的展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求，结合二项式定理展开式的通项公式求展开式中的系数即可. 【详解】因为随机变量，正态曲线关于对称， 由，可得， 即，解得． 则展开式的通项为， 令，得， 所以的系数为. 故选：B． 6. “”是“关于x的方程的两根都大于1的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 7. 已知，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 利用基本不等式的换“1”法，得到，进而利用基本不等式求解即可 【详解】∵ ∴ 则 当且仅当，即时取等号 故选:D. 8. 已知定义在R上的函数满足：，，当时，，其中e是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数的周期，结合已知条件以及时，可得结果. 【详解】由已知可知， ，即， 所以函数是一个以4为周期的周期函数， 又因为当时，， 所以， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：通过函数的奇偶性和对称性求出函数的周期性是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是函数的导函数，则以下求导运算中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复合函数的求导法则判断A；利用导数乘法的运算判断B；利用导数的加减运算判断C；利用导数的除法运算判断D. 【详解】因为，所以，A错； 因为，所以，B正确； 若，则（为任意常数），C错； 因为， 所以，D正确， 故选：BD. 10. 已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 先根据，，成等差数列求出公比，结合求出首项，结合选项可得. 【详解】由，，成等差数列，得. 设的公比为，则，解得或（舍去）， 所以，解得. 所以数列的通项公式为， ， 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 是有实根的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】先化简，然后根据三角函数的性质逐项分析判断选项. 【详解】对于进行化简，根据平方差公式可得 ． 对于A，根据余弦函数的周期公式，可得最小正周期，故A正确． 对于B，，而余弦函数对称轴处函数值应为，所以不是的对称轴，故B错误． 对于C，当时，，此时在上单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确． 对于D，的值域是，所以是有实根的充要条件，故D错误． 故选：AC. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点求出m的值，求函数的导数，根据导数正负即可求解. 【详解】已知函数的一个零点为3， 所以将代入函数得，即，解得． 所以，所以， 令，即，解得， 所以的单调减区间是. 故答案为：. 13. 某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立.某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件的概率公式可得关于的方程组，从而可求的值. 【详解】设该新生“进入篮球社团”为事件，“进入电子竞技社团”为事件，“进入国学社团”为事件， 则：“三个社团他都能进入”的概率为， “至少进入一个社团”的概率为， 整理得到 ，故， 故答案为： 14. 数列满足，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由递推公式代入计算可得数列是以4为周期的周期数列，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，则， 不妨取，． 由，可得，， ，， 可发现数列是以4为周期的周期数列． ，所以， 则． 故答案为： 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知在中，，其中内角的对边分别为． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值． 【答案】（1） （2）的最大值为18 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故； （2）由余弦定理得，由基本不等式求出最大值 【小问1详解】 由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 可得， 化简后得到，即． 根据余弦定理，把代入可得． 因为，所以； 【小问2详解】 在中，根据余弦定理． 因为为中点，设，已知， 则，即． 根据基本不等式（当且仅当时取等号）． 所以，即，当且仅当时取等号． 将代入，可得， 解得，，满足条件，所以的最大值为18． 16. 为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下： 类别 科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 （1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； （2）设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式即可求解； （2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室， 有种情况，从11人中抽4人有种情况， 所以所求的概率为. 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为、、、、， ，， ，，， 所以随机变量的分布列为 所以. 17. 如图，在三棱柱中，平面． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在三棱柱中，由平面平面，得， 又平面，则平面， 而平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定，再利用面面垂直的判定推理即得. （2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，令，则， ，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间; （2）设,讨论函数的零点个数. 【答案】（1）若，单调递增区间，单调递减区间. （2）当或时，有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域，再对求导,将代入导函数，通过判断导函数的正负来划分单调区间，再利用导数研究函数单调性即可. （2）将零点个数转化为方程解的个数，可将方程变形为，构造新函数，通过求导研究的单调性，极值与最值，再结合的图像趋势，根据与这些值的关系来判断零点个数. 【小问1详解】 当时，， ，令，解得， 因而函数的单调递增区间是， 令，解得,因而函数的单调递减区间是; 【小问2详解】 令， 分离参数得，设， ，令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 的最大值是，又， 增长比要慢很多，， 因此当时，直线与无交点， 当或时，直线与有一个交点， 当时，直线与有两个交点. 所以当或时，有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，为个焦点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，的面积为（为坐标原点），，求的值. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由双曲线渐近线方程的性质结合解方程可得； （2）设出直线方程，直曲联立，由韦达定理表示出弦长，求出，再由同角的三角函数关系结合点到直线的距离公式和三角形的面积公式可得. 【小问1详解】 由可得，即， 又，即，且， 联立可得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可得当时，，显然不合题意，所以， 设直线方程为，， 联立，消去可得， 因为直线经过与的右支交于不同的两点，， 所以， ， ， 即 两边取平方后化简可得， 进一步化简可得， 因为直线经过与的右支交于不同的两点，所以， 解得， 又， 原点到直线的距离， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $