精品解析：新疆乌鲁木齐市高级中学2025-2026学年第一学期高三年级第一次月考卷数学试卷

乌鲁木齐市高级中学2025-2026学年第一学期高三年级第一次月考卷 数学试卷 开始时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A B. C. D. 3. 已知定义域为，则的定义域为（ ） A B. C. D. 4. 已知命题，.若为假命题，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 5 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. -1 B. -2 C. D. 1 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 7. 设函数f(x)=在R上是增函数，则a的取值范围是（ ） A. (-，3］ B. ( -，2) C. (-，2］ D. ［2，3］ 8. 已知，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 已知：，：，则是的充分不必要条件 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 设分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若为正三角形，则（ ） A. B. 双曲线的离心率 C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为 11. 在棱长为的正方体中，则（ ） A 平面 B. 直线平面所成角为45° C. 三棱锥的体积是正方体体积的 D. 点到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 13. 甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______. 14. 记为数列的前项和，若，，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 如图，直三棱柱中，分别是的中点，． （1）证明：平面； （2）当时，求二面角的余弦值． 17. 共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为，若从这些共享电动车中任意抽取3辆. （1）求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率； （2）求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望. 18. 已知为的导函数. （1）求在的切线方程； （2）讨论在定义域内的极值； （3）若在内单调递减，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为，且C经过点. （1）求C的方程； （2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线与C交于两点(异于点A)，求面积的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市高级中学2025-2026学年第一学期高三年级第一次月考卷 数学试卷 开始时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：A. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标写出复数，再进行除法运算即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标为， 所以， 所以. 故选：D 3. 已知定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 4. 已知命题，.若为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题可得命题p的否定为真命题，即可由此求解. 【详解】为假命题， ，为真命题， 故恒成立， 在的最小值为， ∴. 故选：A. 5. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A -1 B. -2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直得向量的数量积为0可解得． 【详解】解：由已知， ∵，∴，解得． 故选：A． 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图可得，求得，再利用图象过点，可得到，从而得到，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】由图象可知，解得，因为，所以，解得， 将代入解析式化简得，因为，则，得， 故，所以. 故选：A 7. 设函数f(x)=在R上是增函数，则a的取值范围是（ ） A. (-，3］ B. ( -，2) C. (-，2］ D. ［2，3］ 【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数是增函数，两段函数都递增列出不等式组，求解即可． 【详解】函数在上是增函数， 可得：， 解得 故实数的取值范围是，． 故选：． 【点睛】本题考查分段函数的单调性、二次函数的单调性，注意各段函数单调性的应用，属于易错题． 8. 已知，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可 【详解】，，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以， 所以 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 已知：，：，则是的充分不必要条件 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出不等式的解集判断A；根据充分条件，必要条件的概念判断B，基本不等式判断C，反例判断D. 【详解】对于A，不等式解集为，所以A不正确； 对于B，：，即，：，：，则是的充分不必要条件，所以B正确； 对于C，若，则函数，当且仅当时取等号，显然不正确，所以C不正确； 对于D，当时，时，不等式恒成立，所以命题D中的取值范围是，不正确，所以D不正确； 故选：ACD． 10. 设分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若为正三角形，则（ ） A. B. 双曲线的离心率 C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性及定义求出正的边长，逐项计算判断作答. 【详解】在正三角形中，由双曲线的对称性知，，， 由双曲线定义有：，因此，，，， 即半焦距，则，A正确； 双曲线的离心率，B正确； 双曲线的焦距，C不正确； 的面积为，D正确. 故选：ABD 11. 在棱长为的正方体中，则（ ） A. 平面 B. 直线平面所成角为45° C. 三棱锥的体积是正方体体积的 D. 点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量解决角度距离问题. 【详解】正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，. ，，，，， 得，，由平面，，∴平面，A选项正确； ，，设平面的一个法向量， 则有，令，得，，则， ，所以直线平面所成角不45°，B选项错误； 为边长为的等边三角形，， 点到平面的距离， 三棱锥的体积，而棱长为的正方体的体积为， 所以三棱锥的体积是正方体体积的，C选项正确； ，，设平面的一个法向量， 则有，令，得，，则， ，点到平面的距离为，故D选项错误. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 【答案】##－0.75 【解析】 【分析】由同角间的三角函数关系求解． 【详解】因为，所以， 所以． 故答案为：． 13. 甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______. 【答案】 【解析】 【详解】甲一次投篮不命中的概率为， 乙一次投篮不命中的概率为， ∴两人都不命中的概率为， ∴至少有一人命中的概率为． 14. 记为数列的前项和，若，，则______. 【答案】360 【解析】 【分析】根据递推公式，当求出，当，求出关系，即可求解. 【详解】，， 当时，， 当时，，两式相减得， ，又， 是为首项公比为的等比数列，， . 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项的性质及等差数列通项公式、前n项和公式列方程求公差，即可写出通项公式； （2）由（1）得，应用裂项相消法求. 【小问1详解】 若等差数列的公差为，由，则， 所以或， 当时，，与，，成等比数列矛盾，排除； 所以，则. 【小问2详解】 由（1）知：，则， 所以. 16. 如图，直三棱柱中，分别是的中点，． （1）证明：平面； （2）当时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线证明线线平行，再根据线面平行判定定理证明； （2）根据给定条件，建立空间直角坐标系，再用空间向量法求二面角的余弦值即可． 【小问1详解】 连接交于点，连接， 在直三棱柱中，是矩形， ∴是的中点，又∵是的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 ∵，∴， 在中，，∴， 在直三棱柱中，平面，平面，平面， ∴，， ∴两两垂直． 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， ∴，令，则， 设平面的法向量为， ∴，令，则， ∴． ∴二面角的余弦值为． 17. 共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为，若从这些共享电动车中任意抽取3辆. （1）求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率； （2）求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）先求出两种颜色的电动车各有多少辆，然后根据超几何分布求概率的方法即可求得答案； （2）先确定X的所有可能取值，进而求出概率并列出分布列，然后根据期望公式求出答案. 【小问1详解】 因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆. 记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则. 【小问2详解】 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 所以，， ，. 所以分布列为 0 1 2 3 数学期望. 18. 已知为的导函数. （1）求在的切线方程； （2）讨论在定义域内的极值； （3）若在内单调递减，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，从而可求切线方程； （2）设，其中，求出，讨论其符号后可求导数的极值. （3）在内单调递减即为，利用导数可求后者，从而可求参数的取值范围. 【小问1详解】 ，，而， 故切线方程为：即. 【小问2详解】 设，其中， 则， 当时，，故在上为减函数，故无极值； 当时， 若，则，故在上为增函数； 若，则，故在上为减函数； 故有极大值其极大值为，无极小值. 【小问3详解】 因为在内单调递减，则于恒成立， 故在恒成立即. 令，则. 令得，令得， 故在单调递减，单调递增. 所以，故. 所以. 19. 已知椭圆的离心率为，且C经过点. （1）求C的方程； （2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线与C交于两点(异于点A)，求面积的范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率为和点在椭圆上以及椭圆中联立可求椭圆C的方程. （2）由题意，设直线的方程为，联立椭圆方程，结合可求解面积的范围. 【详解】解：（1）将点代入C的方程得， 又，解得， 所以C的方程为. （2）由题可设. 联立方程组，得. 则. 因为，所以. 令，则，故. 因为，所以， 故面积的范围为. 【点睛】关键点点睛：求得后，令，换元后利用均值不等式可求得面积的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $