6.2.2 排列数课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.2 排列数 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 新课导入 前面我们根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越繁琐了，是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？ 作者编号：32100 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号An 表示. m 一、排列数的定义 An m 排列的第一个字母 元素总数 取出元素数 (排列：arrangement) m，n所满足的条件是： (1)m，n∈N* ； (2)m≤n . 作者编号：32100 例如，前面问题1是从4个不同元素中任取2个元素的排列数为 4×3＝12， 可记作 概念讲解 An m 排列的第一个字母 元素总数 取出元素数 A4 2 ＝4×3＝12 又如，问题2是从3个不同元素中任取2个元素的排列数为 3×2＝6，可记作： A3＝3×2＝6 2 作者编号：32100 概念讲解 思考：排列与排列数相同吗？ 所以 表示排列数，是所有排列的个数，不表示具体的排列. 如：从 4 个不同的元素 a，b，c，d 中任取 2 个元素的排列有： ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc 共12个， 每一个都叫做一个排列，它不是数 12叫做这个排列的排列数，它是一个数 A7 5 ＝? ＝? An m 作者编号：32100 新知探究 问题：(1)已知 如何求排列数 ？ A3＝3×2＝6， 2 A4 2 ＝4×3＝12， An 2 第1位 第2位 n种 (n-1)种 An 2 ＝n(n－1) 可以按依次填 2 个空位得到： 第1位 第2位 第3位 n 种 (n-1)种 (n-2)种 同理，排列数 可以按依次填 3 个空位得到： An 3 An 3 ＝n(n－1)(n－2) 作者编号：32100 新知探究 问题：(2)类比排列数 和 的方法，排列数 是多少？ An 2 An 3 An m ...... n 种 (n-1)种 (n-2)种 n-(m-1)种 第1位 第2位 第3位 第m位 ...... 排列数公式 An m ＝n(n－1)(n－2)···(n－m＋1) m，n∈N*，m≤n. 作者编号：32100 An m ＝n(n－1)(n－2)···(n－m＋1)， m，n∈N*，m≤n. 1. 公式中是 m 个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为 n ，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1). 根据排列数公式，可以计算 A5＝5×4＝20， 2 A8＝8×7×6＝336 3 排列数公式的特征： 二、排列数公式 作者编号：32100 正整数 1 到 n 的连乘积叫阶乘，用 n! 表示. 于是，n 个元素的全排列数公式可以写成 把 n 个不同元素全部取出的一个排列叫全排列。此时 m＝n 全排列数: 概念讲解 也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积1×2×···×n. An n ＝n×(n－1)×(n－2)×···×2×1 另外，规定：0!＝1 An ＝n！ n 作者编号：32100 典例剖析 例1 计算：(1) ； (2) ； (3) ； (4) . A7 3 A7 4 A7 7 A4 4 A6× 4 A2 2 解析：根据排列数公式，可得： ＝7×6×5＝210 A7 3 (1) ＝7×6×5×4＝840 A7 4 (2) ＝ ＝7×6×5＝210 (3) A7 7 A4 4 7! 4! A6× 4 A2 2 ＝6×5×4×3×2×1＝6!＝720 (4) 变式训练 练习1 计算： A12 4 (1) ； A8 8 (2) ； A15 5 －15A14 4 (3) ； A12 7 A12 6 (4) . 解析： A12 4 (1) ＝12×11×10×9＝11880 A8 8 (2) ＝8×7×6×5×4×3×2×1＝40320 A15 5 －15A14 4 (3) ＝15×14×13×12×11－15×14×13×12×11＝0 A12 7 A12 6 (4) ＝6 12×11×10×9×8×7×6 12×11×10×9×8×7 ＝ 公式理解 思考：由例1可以看到， 排列数公式的阶乘形式： 连乘形式一般用于计算， 阶乘形式用于化简或证明. An m 观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？ 作者编号：32100 变式训练 练习3 已知 ,则n＝ . An ＝132 2 12 解析： An ＝n(n－1)＝132， 2 即n2－n－132＝0， 解得n＝12，或n＝-11(舍去) C 练习2 乘积 5×6×7×···×12＝( ) A. B. C. D. A12 8 A12 5 A12 7 A12 4 变式训练 练习3 一个火车站有 8 股岔道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法? 解析：要停放 4 列不同的火车，需要从 8 股岔道上任选 4 股岔道，所以不同的停放方法有 变式训练 练习4 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？ 解析：从6个门中选取进出各一个门，有 种不同的 进出方式. 典例剖析 例2 用 0~9 这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：在0~9 这10个数字中，因为 0 不能在百位上，其他 9 个数字可以在任意数位上，因此 0 是一个特殊元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题. 典例剖析 例2 用 0~9 这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法1：如图，由于百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第①步，确定百位上的数字，可以从 1~9 这9个数字中取出1个，有 取法； 百位 十位 个位 种 A9 1 A9 2 A9 1 第②步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有 取法. 种 A9 2 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 A9 2 A9 1 × ＝9×9×8＝648 特殊位置法 典例剖析 例2 用 0~9 这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法2：分为三类： ①每一位数字都不是0； ②个位上的数字都是0； ③十位上的数字都是0. 百位 十位 个位 0 百位 十位 个位 0 百位 十位 个位 A9 3 A9 2 A9 2 A9 3 A9 2 A9 2 ＋ ＋ ＝9×8×7＋9×8＋9×8＝648 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为： 特殊元素优先法 典例剖析 例2 用 0~9 这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法3：从 0~9 这10个数字中选取3个的排列数为 A10 3 其中0在百位上的排列数为 A9 2 ，即所求三位数的个数为 A10 3 百位 十位 个位 A9 2 百位 十位 个位 0 A9 2 A10 3 － ＝10×9×8－9×8＝648 间接法 方法归纳 带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则 直接法 间接法 位置分析法 元素分析法 以位置为主，优先考虑特殊位置 以元素为主，优先考虑特殊元素 先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数 分步 先分类 后分步 作者编号：32100 变式训练 练习5 有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有(　　) A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 120种 解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A4＝24(种). 4 B 变式训练 练习6 植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为(   ) A. 30 B. 36 C. 40 D. 42 C 变式训练 练习7 用数字2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为(　　) A. 120 B. 72 C. 60 D. 48 B 课堂总结 1. 排列数公式： 2. 全排列数: 3. 阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示， 4. 排列数公式的阶乘形式： 即 作者编号：32100 课后练习 1. 等于( ) A. 9×3 B. 93 C. 9×8×7 D. 9×8×7×6×5×4×3 A9 3 C 2. 89×90×91×92×…×100 可表示为( ) C 课后练习 3. 从 5 人中选 3 人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？ 解法一: (特殊元素法) 第一类: 不选甲，则从剩下的4人中选3人排列，有 种； 第二类: 选甲，先排甲有 种，然后从剩下的4人中选2人排列有 种，则共有 种； 所以共有 种不同的排列方法. ＋ ＝4×3×2＋2×4×3＝48 课后练习 3. 从 5 人中选 3 人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？ 解法二: (特殊位置法) 第一步: 从其余 4 位同学中找 1 人站排头，有 种； 第二步: 剩下的 4 人(含甲)中找 2 人排列，有 种； 所以共有 种不同的排列方法. ＝48 课后练习 3. 从 5 人中选 3 人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？ 解法三：(间接法) 所以共有 种不同的排列方法. 先从 5 人中选 3 人排列，有 种 然后计算甲站排头有 种 解析：若丙在第一或第五位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，甲乙看作一个整体，和剩余的两个学生进行全排列，故不同的浇水顺序有 种， 若丙在第二位或第四位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，且甲乙只能有两个位置可以选择，再将剩余的两位同学进行排列，则不同的浇水顺序有 种，则不同的浇水顺序共有 种.故选：C. A. A B. A C. A D. A 解析　89×90×91×92×…×100＝＝＝A. $