6.2.3 组合 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦“组合”核心知识点，通过复习排列定义及问题实例，对比“选2名同学参加活动是否考虑顺序”的异同，搭建从排列到组合的学习支架，帮助学生迁移旧知理解组合定义。 其亮点在于以问题链驱动探究，引导学生用数学眼光观察顺序对结果的影响，通过对比表格培养数学思维中的推理意识，结合集合子集、握手次数等实例让学生用数学语言表达组合与排列的区别。课堂小结明确判断方法，助力学生形成结构化知识，教师使用可提升教学效率。

6.2 排列和组合 6.2.3 组合 学习目标 通过实例理解组合的定义 正确认识组合与排列的区别与联系. 会用组合知识解决一些简单的组合问题. 1.排列的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 2.排列数： 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 3.排列数公式： = 4.全排列数公式： = 复习回顾 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动, 其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（6.2.1问题1） 问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙 甲乙， 甲丙， 乙丙 追问 这两个问题有什么异同点？ 相同点：从3个不同的元素中取出2个 （1）问题1选出来的两个人要考虑顺序 （2）问题2只要选出来两个人即可，不要考虑顺序 不同点： 复习回顾 追问2 如果将该问题的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样概括? 问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 从3个不同的元素中取出2个作为一组，一共有多少个不同的组？ 这里的每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题. 新知探究 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 一、组合的定义 注意： (1)组合要求 n 个元素是不同的，取出的 m 个元素也是不同的， 即从 n 个不同的元素中进行 m 次不放回地取出. (2)取出的 m 个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求. 概念生成 探究：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？ 名称 排列 组合 相同点 不同点 区分 都是从 n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素，元素无重复 排列与元素的顺序有关 排列的有序性 组合与元素的顺序无关组合的无序性 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题 归纳辨析 1.判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 组合 排列 (4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, 共有多少种分法? 组合 组合 有序排列，无序组合. (3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多少种不同的火车票价? (5)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, 共需握手多少次? 组合 (6)从4个风景点中选出2个游览, 有多少种不同的方法? (7)从4个风景点中选出2个, 并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 组合 排列 小试牛刀 例题解析 例1 平面内有A、B、C、D共4个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条? 解: (1)一条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个 点中的两个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列数，共有 条. (2) 将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数, 共有如下6条：AB, AC, AD, BC, BD, CD. 这12条有向线段分别为 1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. (1) 列出所有各场比赛的双方； (2) 列出所有冠、亚军的可能情况. 解：(1) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁. (2) 冠军 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁 亚军 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙 巩固练习 解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4个. 2. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形. 3. 现有1, 3, 7, 13这4个数. (1) 从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? (2) 从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差? 解：(1) 不相等的和为4, 8, 14, 10, 16, 20，共6个. (2) 不相等的差为－2, －6, －12, 2, －4, －10, 6, 4, 12, 10共10个. 巩固练习 1.组合的定义 2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法： 排列问题 组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination). 课堂小结 例1 校门口停放着 9 辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有 3 辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从中选 3 辆，有多少种不同的方法？ (2)从中选 3 辆给 3 位同学，有多少种不同的方法？ 解析：(1)选出3辆车即可，没有顺序，是一个组合问题； (2)不仅要选出3辆车，还要分配给3位同学，是有顺序的， 是一个排列问题. 补充练习 (多选)下列问题是组合问题的是(　　) A.某班选10名同学参加拔河比赛 B.从1,2,3,4中选出两个数,构成平面向量a的坐标 C.从1,2,3,4中选出两个数分别作为实轴长和虚轴长,构成焦点在x轴上的双曲线 方程 D.从正方体的8个顶点中任取2个点构成线段 【解析】选AD.A,D中选出的元素与顺序无关,B,C中选出的元素与顺序有关,由排 列、组合的定义可知,A,D为组合问题,B,C为排列问题. √ √ 补充练习 $