第二十一章 四边形 课件 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.1　平行四边形及其性质 第1课时　平行四边形的性质(1) 阅读教材P55～P57内容，归纳结论： 1.两组对边分别______的四边形叫作平行四边形.平行四边形用符号“____”表示，平行四边形ABCD记作“_________”. 2.平行四边形的性质： (1)平行四边形的对边平行且______； (2)平行四边形的对角______； (3)平行四边形的对角线__________. 平行 ▱ ▱ABCD 相等 相等 互相平分 返回首页 1.(教材P57练习T3改编)如图，将两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形.在转动其中一张纸条的过程中，四边形ABCD始终是____________，这里蕴含的数学原理是________________________________________. 1 2 3 4 (第1题) 平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 返回首页 2.(教材P57练习T1改编)在▱ABCD中， (1)已知AB＝5，BC＝3，则它的周长为____； (2)已知∠A＝38°，则∠B＝______，∠C＝_____. 16 142° 38° 1 2 3 4 返回首页 3.(教材P57练习T2)如图，在▱ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长 多少？ 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝10，AO＝AC＝4，DO＝BD＝7，AB＝CD. ∴C△AOD＝AD＋DO＋AO＝10＋7＋4＝21. ∵C△ABC＝AB＋AC＋BC， 1 2 3 4 返回首页 C△DBC＝BD＋CD＋BC， ∴C△DBC－C△ABC＝BD－AC＝6. ∴△DBC的周长长，长6. 1 2 3 4 返回首页 4.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AB＝13，AD＝12，AC⊥BC，求OC的长及▱ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝12. ∵AB＝13，AC⊥BC， ∴AC＝＝5. ∴OC＝AC＝，S▱ABCD＝AC·BC＝5×12＝60. 1 2 3 4 返回首页 1.(4分)如图，在△ABC中，DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则平行四边形有(　　) A.1个　　　 B.2个 C.3个　　　　 D.4个 1 2 3 4 (第1题) C 返回首页 2.(4分)如图，在▱ABCD中，AC＋BD＝18，△AOB的周长为13，则CD＝___. (第2题) 4 1 2 3 4 返回首页 3.(6分)(教材P65习题T1改编)已知▱ABCD的边AB＝6，且AB的长是▱ABCD周长的，求BC的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC. ∵AB＝6，且AB的长是▱ABCD周长的， ∴C▱ABCD＝6÷＝20. ∴AB＋BC＋CD＋AD＝20. ∴AB＋BC＝10. ∴BC＝10－AB＝10－6＝4. 1 2 3 4 返回首页 4.(6分)如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E. (1)若∠DAE＝25°，求∠C，∠B的度数； 解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE＝∠DAB＝25°，∠B＋∠DAB＝180°，∠C＝∠DAB. ∴∠C＝50°，∠B＝130°. 1 2 3 4 返回首页 (2)若AD＝4，AB＝6，求CE的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝6. ∴∠DEA＝∠EAB. ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠EAB. ∴∠DAE＝∠DEA. ∴DE＝AD＝4. ∴CE＝CD－DE＝2. 1 2 3 4 返回首页 布置作业：完成作业本第41～42页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.1　四边形及多边形 21.1.1　四边形及其内角和 阅读教材P46～P49内容，归纳结论： 1.在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作________，组成四边形的各条线段叫作四边形的____，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的______.例如，图中的四边形记作“_____________”. 四边形 边 顶点 四边形ABCD 返回首页 2.连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的________. 3.四边形的内角和等于_____，四边形的外角和等于_____. 4.四边形具有________性. 对角线 360° 360° 不稳定 返回首页 1.(教材P49练习T1)求出下列图形中x的值： 1 2 3 (1) 解：由题意，得x＋x＋140＋90＝360. 解得x＝65. 返回首页 (2) 解：由题意，得3x＋3x＋4x＋2x＝360. 解得x＝30. 1 2 3 返回首页 解：由题意，得80＋120＋75＋180－x＝360. 解得x＝95. (3) 1 2 3 返回首页 2.(教材P49练习T2变式)在四边形ABCD中，∠B＝∠C，若∠A与∠D互补，求∠C的度数. 解：∵∠A与∠D互补， ∴∠A＋∠D＝180°. ∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝∠C， ∴∠B＋∠C＝360°－180°＝180°. ∴2∠C＝180°. ∴∠C＝90°. 1 2 3 返回首页 3.(教材P49练习T3改编)下列图形中具有稳定性的是______.(填序号) ①④ 1 2 3 返回首页 1.(3分)用钉子将几根木条钉成如下图形，其中不具有稳定性的 是(　　) 1 2 3 4 5 C A B C D 返回首页 2.(3分)如图，要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形，至少要再钉上的木条的根数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (第2题) A 1 2 3 4 5 返回首页 3.(3分)如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为_____. (第3题) 360° 1 2 3 4 5 返回首页 4.(6分)求出下列图形中x的值： 解：由题意，得x＋(x＋10)＋60＋90＝360. 解得x＝100. 1 2 3 4 5 返回首页 解：由题意，得82＋73＋90＋180－x＝360. 解得x＝65. 1 2 3 4 5 返回首页 5.(5分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，E是BC边上一点，且∠AEC＝∠BAD，求证：AE∥DC. 证明：在四边形ABCD中， ∵∠BAD＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝∠D＝90°， ∴∠BAD＋∠C＝360°－∠B－∠D＝360°－90°－90°＝180°. ∵∠AEC＝∠BAD， ∴∠AEC＋∠C＝180°. ∴AE∥DC. 1 2 3 4 5 返回首页 布置作业：完成作业本第37～38页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.3　正方形 第2课时　正方形的判定 阅读教材P77～P78内容，归纳结论： 正方形的判定方法： (1)有一组______相等或对角线__________的矩形是正方形； (2)有一个角是______或对角线______的菱形是正方形； (3)对角线____________________的四边形是正方形. 邻边 互相垂直 直角 相等 互相垂直平分且相等 返回首页 1.(教材P78练习T1)满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形； 1 2 3 解：是.∵对角线互相垂直， ∴这个平行四边形是菱形. ∵对角线相等， ∴这个四边形是正方形. 返回首页 (2)对角线互相垂直的矩形； 解：是.∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，矩形的对角线 相等， ∴对角线互相垂直的矩形是正方形. (3)对角线相等的菱形； 解：是.∵对角线相等的平行四边形是矩形，菱形的对角线互相 垂直， ∴对角线相等的菱形是正方形. 1 2 3 返回首页 (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形. 解：是.∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， 又对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形， ∴对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 1 2 3 返回首页 2.(教材P76练习T1改编)(1)把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.依据是______________________________. (2)如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？ 解：一组邻边相等的矩形是正方形，可以在木板的长边上量取短边长，然后过量得的点作长边的垂线或短边的平行线，按线截取，即可得到一块最大的正方形木板. 有一组邻边相等的矩形是正方形 1 2 3 返回首页 3.(教材P78练习T2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CEDF是正方形. 证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠FCE＝∠CED＝∠DFC＝90°. ∴四边形CEDF是矩形. ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCE＝45°. 1 2 3 返回首页 ∴∠CDE＝90°－∠DCE＝45°. ∴DE＝CE. ∴四边形CEDF是正方形. 1 2 3 返回首页 1.(10分)如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点.四边形EFGH是什么四边形？为什么？ 1 2 解：四边形EFGH是正方形.理由如下： 如图，连接AC，BD. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD，AC⊥BD. ∵E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点， 返回首页 ∴EF GH AC，HE FG BD. ∴EF＝FG＝GH＝HE，EF⊥HE. ∴四边形EFGH是菱形，且∠HEF＝90°. ∴四边形EFGH是正方形. 1 2 返回首页 2.(10分)如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°，求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°. ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°. ∵∠CEF＝45°， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°. 1 2 返回首页 ∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°. ∴△AEB≌△AFD(AAS). ∴AB＝AD. ∴四边形ABCD是正方形. 1 2 返回首页 布置作业：完成作业本第61～62页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.1　矩形 第2课时　矩形的判定 阅读教材P70～P71内容，归纳结论： 矩形的判定方法： (1)有一个角是直角的____________是矩形； (2)对角线______的平行四边形是矩形； (3)有三个角是直角的________是矩形. 平行四边形 相等 四边形 返回首页 1.(教材P71练习T1改编)求证：四个角都相等的四边形是矩形(根据题意画出图形，并写出已知、求证和证明过程). 1 2 3 解：已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：如图. 返回首页 ∵四边形ABCD的内角和为360°， 且∠A＝∠B＝∠C＝∠D， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. ∴四边形ABCD是矩形. 1 2 3 返回首页 2.(教材P71练习T2)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝2.求▱ABCD的面积. 解：∵△OAB是等边三角形，AB＝2， ∴OA＝OB＝AB＝2. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OA＝4，BD＝2OB＝4. ∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形. 1 2 3 返回首页 ∴∠ABC＝90°. ∴BC＝＝2. ∴S▱ABCD＝BC·AB＝2×2＝4. 1 2 3 返回首页 3.(教材P71练习T3)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.求证：四边形ADCF是矩形. 证明：∵AB＝AC，D是线段BC的中点， ∴BD＝CD，AD⊥BC. ∴∠ADC＝90°. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. 1 2 3 返回首页 ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE. 在△BDE和△FAE中， ∴△BDE≌△FAE(AAS). ∴BD＝AF. ∴AF＝CD. 1 2 3 返回首页 又AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形. 又∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是矩形. 1 2 3 返回首页 1.(4分) 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是_________________________. 1 2 3 (第1题) ∠BAD＝90°(答案不唯一) 返回首页 2.(8分)如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且CF＝AE.求证：四边形DEBF是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB. ∵CF＝AE， ∴CD－CF＝AB－AE， 即DF＝BE. 1 2 3 返回首页 ∴四边形DEBF是平行四边形. 又DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°. ∴四边形DEBF是矩形. 1 2 3 返回首页 3.(8分)(教材P78习题T1)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2.四边形ABCD是矩形吗？为 什么？ 解：四边形ABCD是矩形.理由： ∵∠1＝∠2， ∴BO＝CO. ∵四边形ABCD是平行四边形， 1 2 3 返回首页 ∴AO＝CO，BO＝DO. ∴AC＝BD. ∴▱ABCD是矩形. 1 2 3 返回首页 布置作业：完成作业本第53～54页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.1　四边形及多边形 21.1.2　多边形及其内角和 阅读教材P49～P52内容，归纳结论： 1.各个角都______、各条边都______的多边形叫作正多边形. 2.一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于________ ______. 3.多边形的外角和等于_____. 相等 相等 (n－3) (n－2) (n－2)× 180° 360° 返回首页 1.(教材P52练习T1)求出下列图形中x的值： 1 2 3 (1) 解：由题意，得2x＋x＋90＋120＋150＝(5－2)×180. 解得x＝60. 返回首页 解：由题意，得x＋x＋x＋x＋90＋90＝(6－2)×180. 解得x＝135. (2) 1 2 3 返回首页 (3) 解：由AB∥CD，得∠B＋∠C＝180°. 所以x＋150＋135＋180＝(5－2)×180. 解得x＝75. 1 2 3 返回首页 2.(教材P52习题T2)填表： 多边形的边数 3 4 5 6 8 12 20 内角和 外角和 180° 360° 540° 720° 1 080° 1 800° 3 240° 360° 360° 360° 360° 360° 360° 360° 1 2 3 返回首页 3.(教材P52练习T2)(1)一个多边形的内角和等于1 080°，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n. 由题意，得(n－2)×180°＝1 080°. 解得n＝8. ∴这个多边形是八边形. 1 2 3 返回首页 (2)一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？ 解：∵这个多边形的每一个内角都等于120°， ∴每一个外角为180°－120°＝60°. 360°÷60°＝6. ∴这个多边形是正六边形. (3)一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？ 解：∵＝5， ∴这个多边形的边数为5，即该多边形是正五边形. 1 2 3 返回首页 1.(3分)已知过一个多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形是(　　) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 1 2 3 4 5 D 返回首页 2.(4分)十边形的内角和为_______. 1 440° 1 2 3 4 5 返回首页 3.(4分)某工厂加工一批八角螺帽，其轮廓是一个正八边形，如图所示，则∠1的度数为____. (第3题) 45° 1 2 3 4 5 返回首页 4.(4分)如图，在正五边形ABCDE内以CD为边作直角三角形FCD，∠DCF＝90°，则∠BCF的度数为____. (第4题) 18° 1 2 3 4 5 返回首页 5.(5分)一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的边数是n. 由题意，得(n－2)×180°＝360°×3. 解得n＝8. 答：这个多边形的边数是8. 1 2 3 4 5 返回首页 布置作业：完成作业本第39～40页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.2　菱形 第2课时　菱形的判定 阅读教材P74～P75内容，归纳结论： 菱形的判定方法： (1)有一组邻边______的平行四边形是菱形； (2)对角线互相______的平行四边形是菱形； (3)四条边______的四边形是菱形. 相等 垂直 相等 返回首页 1.(教材P75练习T1)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分.求证：四边形ABCD是菱形. 1 2 3 证明：∵对角线AC，BD互相垂直平分， ∴AB＝BC，AD＝CD，AB＝AD. ∴AB＝AD＝BC＝CD. ∴四边形ABCD是菱形. 返回首页 2.(教材P75练习T2)如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 解：四边形ABCD是一个菱形.理由如下： 如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F. ∵纸条等宽， ∴AE＝AF. ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 1 2 3 返回首页 ∵S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF ∴BC＝CD. ∴四边形ABCD是一个菱形. 1 2 3 返回首页 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12，BD＝6，AB＝9.求证：▱ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝6， ∴OA＝AC＝6，OB＝BD＝3. ∴OA2＋OB2＝62＋(3)2＝81. ∵AB＝9， ∴AB2＝81＝OA2＋OB2. 1 2 3 返回首页 ∴∠AOB＝90°. ∴AC⊥BD. ∴▱ABCD是菱形. 1 2 3 返回首页 1.(4分)如图，下列条件中，不能使▱ABCD成为菱形的是(　　) A.AB＝AD B.AC⊥BD C.∠ABD＝∠CBD D.AC＝BD 1 2 3 (第1题) D 返回首页 2.(6分)如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE∥AC，DF∥AB，求证：四边形AEDF是菱形. 证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形. ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD. ∵DF∥AB， 1 2 3 返回首页 ∴∠EAD＝∠FDA. ∴∠FAD＝∠FDA. ∴AF＝FD. ∴四边形AEDF是菱形. 1 2 3 返回首页 3.(10分)如图，在▱ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF. (1)求证：四边形ACFD是菱形； 解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC. ∵AB⊥AF， ∴CD⊥AF. ∵CF＝BC， 1 2 3 返回首页 ∴AD∥CF，AD＝CF. ∴四边形ACFD是平行四边形. ∵CD⊥AF， ∴四边形ACFD是菱形. 1 2 3 返回首页 (2)若AB＝5，DF＝6.5，求AF的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5. ∵四边形ACFD是菱形， ∴DE＝CD＝2.5，AF＝2EF，且CD⊥AF. 在Rt△DEF中，DE2＋EF2＝DF2， 即2.52＋EF2＝6.52. 解得EF＝6. ∴AF＝2EF＝12. 1 2 3 返回首页 布置作业：完成作业本第57～58页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.2　平行四边形的判定 第1课时　平行四边形的判定(1) 阅读教材P59～P60内容，归纳结论： 平行四边形的判定方法： (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别______的四边形是平行四边形； (3)两组对角分别______的四边形是平行四边形； (4)对角线__________的四边形是平行四边形. 相等 相等 互相平分 返回首页 1.(教材P60练习T1)如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠CBD，∠C＋∠ABC＝180°，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由. 1 2 3 解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下： ∵∠ADB＝∠CBD， ∴AD∥BC. ∵∠C＋∠ABC＝180°， ∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 返回首页 2.(教材P60练习T2)如图，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF.图中有哪些互相平行的线段？ 解：∵AD＝BC，AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AD∥BC，AB∥DC. ∵DE＝CF，DC＝EF， ∴四边形DCFE是平行四边形. ∴DC∥EF，DE∥CF. ∴AB∥DC∥EF，AD∥BC，DE∥CF. 1 2 3 返回首页 3.(教材P60练习T3)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F分别是OA，OC的中点，连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形DEBF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝OA，OF＝OC. ∴OE＝OF. ∴四边形DEBF是平行四边形. 1 2 3 返回首页 1.(6分)如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形. 1 2 3 证明：∵AD⊥AC，BC⊥AC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°. 在Rt△ABC和Rt△CDA中， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). 返回首页 ∴BC＝DA. 又AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 1 2 3 返回首页 2.(6分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°， ∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°. ∴∠B＝∠D. ∵AB∥DC， ∴∠DAB＝180°－∠D＝125°， 1 2 3 返回首页 ∠DCB＝180°－∠B＝125°. ∴∠DCB＝∠DAB. ∴四边形ABCD是平行四边形. 1 2 3 返回首页 3.(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO， (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； 解：证明：∵AD∥BC， ∴∠ODA＝∠OBC. 在△AOD和△COB中， 1 2 3 返回首页 ∴△AOD≌△COB(AAS). ∴DO＝BO. ∴四边形ABCD是平行四边形. 1 2 3 返回首页 (2)若AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，求BD的长. 解：∵AB＝10，AD＝6，AC⊥BC， ∴BC＝AD＝6，∠ACB＝90°. ∴AC＝＝＝8. ∴CO＝AO＝AC＝4. ∴BO＝＝＝2. ∴BD＝2BO＝4. 1 2 3 返回首页 布置作业：完成作业本第45～46页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.1　平行四边形及其性质 第2课时　平行四边形的性质(2) 阅读教材P58～P59内容，归纳结论： 1.两条平行线之间的任何两条平行线段都______.如图，a∥b，c∥d，则AB＝_____，AC＝______. 相等 CD BD 返回首页 2.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作________________________.如图，a∥b，A是a上任意一点，且AB⊥b于点B，则线段____的长就是平行线a，b之间的距离. 这两条平行线之间的距离 AB 返回首页 1.(教材P59练习T1)如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC且与AD相交于点E，DF∥EB且与BC相交于点F.求∠1的大小. 1 2 3 解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝70°， ∴∠ABE＝∠EBF＝∠ABC＝35°. ∵DF∥EB， ∴∠DFC＝∠EBF＝35°. 返回首页 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝70°. ∴∠DFC＝∠ADF＝35°. ∴∠1＝∠ADC－∠ADF＝35°. 1 2 3 返回首页 2.(教材P59练习T2)如图，▱ABCD的周长为16，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，OE⊥AC.求△CDE的周长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， 对角线AC，BD相交于点O， ∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC. ∵▱ABCD的周长为16， ∴AD＋CD＝8. 1 2 3 返回首页 ∵OA＝OC，OE⊥AC， ∴EC＝AE. ∴C△CDE＝DE＋EC＋CD＝DE＋AE＋CD＝AD＋CD＝8. 1 2 3 返回首页 3.(教材P59练习T3)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，E为边BC上一点，AB∥DE.求AD，BC之间的距离. 解：∵AD∥BC，AB∥DE，AD＝3，AB＝4， ∴AB＝DE＝4，AD＝BE＝3. ∵BC＝5，∴CE＝2. ∵∠C＝90°， ∴在Rt△DEC中，DC＝＝＝＝2. ∴AD，BC之间的距离为2. 1 2 3 返回首页 1.(4分)(教材P66T9变式)如图，直线a∥b，点C，D在直线a上，点A，B在直线b上，线段BC，AD相交于点E，与△ABD面积相等的三角形是________，与△ACD面积相等的三角形是_______. 1 2 3 (第1题) △ABC △BCD 返回首页 2.(8分)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C. ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE＝AD，CF＝BC. ∴AE＝CF. ∴△ABE≌△CDF(SAS). ∴BE＝DF. 1 2 3 返回首页 3.(8分)如图，O为▱ABCD的对角线的交点，过点O作直线EF分别交CD，AB于点E，F. (1)若AB＝5，BC＝4，OE＝1.5，求四边形EFBC的周长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝OA，AB∥CD. ∴∠OCD＝∠OAB. 又∠COE＝∠AOF， ∴△OCE≌△OAF(ASA). 1 2 3 返回首页 ∴OE＝OF＝1.5，CE＝AF. ∴DE＝BF. ∴EF＝3，BF＋CE＝DE＋CE＝CD＝AB＝5. ∴四边形EFBC的周长为3＋5＋4＝12. 1 2 3 返回首页 (2)若S四边形EFBC＝10，直接写出S▱ABCD的值：____. 20 1 2 3 返回首页 布置作业：完成作业本第43～44页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.2　平行四边形的判定 第2课时　平行四边形的判定(2) 阅读教材P61～P62内容，归纳结论： 一组对边____________的四边形是平行四边形. 平行且相等 返回首页 1.(教材P62练习T1改编)如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，依据是铁轨和枕木构成的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边平行，所以两条铁轨平行.判定铁轨和枕木构成平行四边形的依据是(　　) A.平行线间的距离处处相等 B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1 2 3 B (第1题) 返回首页 2.(教材P62练习T2)如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∴∠ADE＝∠CBF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB. 1 2 3 返回首页 ∴∠AEF＝∠CFE. ∴AE∥CF. 在△AED与△CFB中， ∴△AED≌△CFB(AAS). ∴AE＝CF. ∴四边形AFCE是平行四边形. 1 2 3 返回首页 3.(教材P66T5改编)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF＝CE.求证：∠AEC＝∠CFA. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥CE. 又AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形. ∴∠AEC＝∠CFA. 1 2 3 返回首页 1.(4分)如图，若AD＝BC，则添加下列选项后不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A.AD∥BC B.AB＝CD C.∠ACB＝∠CAD D.AB∥CD 1 2 3 (第1题) D 返回首页 2.(8分)(教材P66T8)如图，四边形AEFD和四边形EBCF都是平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵四边形AEFD和四边形EBCF都是平行四边形， ∴AD∥EF，AD＝EF，BC∥EF，BC＝EF. ∴AD∥BC，AD＝BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 1 2 3 返回首页 3.(8分)如图，在▱ABCD中，延长BC至点E，延长DA至点F，使AF＝CE，连接EF交BD于点O.求证：EF与BD互相平分. 证明：连接BF，DE，如图所示. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DA∥BC，AD＝BC. ∴DF∥BE. ∵AF＝CE， 1 2 3 返回首页 又DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴EF与BD互相平分. ∴AD＋AF＝BC＋CE，即DF＝BE. 1 2 3 返回首页 布置作业：完成作业本第47～48页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.2　菱形 第1课时　菱形的性质 阅读教材P72～P73内容，归纳结论： 1.有一组邻边______的平行四边形叫作菱形. 2.菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质外，还具有的特殊性质为： (1)菱形的四条____都相等； (2)菱形的两条对角线________，并且每一条对角线平分一组_____. 相等 边 互相垂直 对角 返回首页 3.菱形是________图形，对称轴是______________________. 4.菱形的面积等于对角线____________或________. 轴对称 每条对角线所在的直线 乘积的一半 底乘高 返回首页 1.(教材P73练习T1改编)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4. (1)AC＝___，BD＝___； (2)菱形ABCD的周长为____，面积为____. 1 2 3 (第1题) 8 6 20 24 返回首页 2.(教材P73练习T2)如图，在菱形ABCD中，BD＝4，∠A∶∠ABC＝1∶2.求△ABD的周长. 解：∵在菱形ABCD中，AD∥BC， ∴∠A＋∠ABC＝180°. ∵∠A∶∠ABC＝1∶2， ∴3∠A＝180°，解得∠A＝60°. 1 2 3 返回首页 ∵AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形. ∵BD＝4， ∴C△ABD＝3×4＝12. 1 2 3 返回首页 3.(教材P73练习T3)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，连接对角线BD，E，F分别是边AB，BC的中点，分别连接DE，DF，EF.求证：△DEF是等边三角形. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝120°. ∴△ADB为等边三角形. ∴∠ABD＝∠CBD＝60°. ∵点E，F分别是边AB，BC的中点， 1 2 3 返回首页 ∴AE＝BF. 在△AED和△BFD中， ， ∴△AED≌△BFD(SAS). ∴DE＝DF，∠ADE＋∠BDE＝∠BDF＋∠BDE＝60°. ∴∠EDF＝60°. ∴△DEF是等边三角形. 1 2 3 返回首页 1.(4分)如图，在菱形ABCD中，若∠C＝100°，则∠ABD的度数 是(　　) A.10° B.40° C.50° D.80° 1 2 3 (第1题) B 返回首页 2.(8分)如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF.求证：AE＝AF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D. 又∠BAE＝∠DAF， ∴△BAE≌△DAF(ASA). ∴AE＝AF. 1 2 3 返回首页 3.(8分)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24. (1)求对角线BD的长； 解：∵菱形ABCD的周长为24， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝＝6. 又∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴BD＝AB＝6. 1 2 3 返回首页 (2)求菱形ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD为菱形， ∴OB＝BD＝×6＝3，∠AOB＝90°. 又AB＝6， ∴AO＝＝＝3. ∴AC＝2AO＝6. ∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×6×6＝18. 1 2 3 返回首页 布置作业：完成作业本第55～56页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.1　矩形 第1课时　矩形的性质 阅读教材P68～P69内容，归纳结论： 1.有一个角是______的平行四边形叫作矩形，也就是长方形. 2.矩形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质外，还具有的特殊性质为： (1)矩形的四个角都是______；(2)矩形的对角线______. 3.矩形是________图形，对称轴是___________________________. 4.直角三角形斜边上的中线等于____________. 直角 直角 相等 轴对称 每组对边中点连线所在的直线 斜边的一半 返回首页 1.(教材P70练习T1改编)如图，矩形ABCD的对角线AC＝8，∠AOD＝120°.求AB，BC的长. 1 2 3 解：∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°. ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝90°. ∴OA＝OB. 返回首页 ∴△AOB为等边三角形. ∴AB＝AO＝AC＝4. 在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝4， ∴BC＝＝4. 1 2 3 返回首页 2.(教材P70练习T2)如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE∥AC.△DBE是等腰三角形吗？试说明理由. 解：△DBE是等腰三角形.理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CE，AC＝BD. ∵DE∥AC， ∴四边形ADEC是平行四边形. 1 2 3 返回首页 ∴AC＝DE. ∴BD＝DE. ∴△DBE是等腰三角形. 1 2 3 返回首页 3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E，F分别是边AB，AC的中点，AB＝6，AC＝8，BC＝10.求△DEF的周长. 解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵在Rt△ADB中，E是边AB的中点，AB＝6， ∴ED＝AB＝3. 同理可得DF＝AC＝4. ∵E，F分别是边AB，AC的中点， 1 2 3 返回首页 ∴EF是△ABC的中位线. ∴EF＝BC＝5. ∴C△DEF＝ED＋DF＋EF＝3＋4＋5＝12. 1 2 3 返回首页 1.(4分)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.若AD＝3，BD＝5，则AC＝___，AB＝___，矩形ABCD的周长为____，面积为____. 1 2 3 (第1题) 5 4 14 12 返回首页 2.(8分)如图，在矩形ABCD中，E是边CD的中点.求证：AE＝BE. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°. ∵E是边CD的中点， ∴DE＝CE. ∴△ADE≌△BCE(SAS). ∴AE＝BE. 1 2 3 返回首页 3.(8分)如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝8，BC＝14，求EF的长. 解：∵DE为△ABC的中位线，BC＝14， ∴DE＝BC＝7. ∵∠AFB＝90°，AB＝8， ∴DF＝AB＝4. ∴EF＝DE－DF＝3. 1 2 3 返回首页 布置作业：完成作业本第51～52页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.3　特殊的平行四边形 21.3.3　正方形 第1课时　正方形的性质 阅读教材P75～P76内容，归纳结论： 1.正方形既是矩形，又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的 性质. 2.正方形是轴对称图形，它有___条对称轴. 4 返回首页 1.(教材P76练习T2)如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.李明和张华在AB边上取了一点E，EC＝30 m，EB＝10 m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 1 2 3 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°. 在Rt△BEC中，EC＝30 m，EB＝10 m， 由勾股定理，得BC＝＝＝20(m). 返回首页 ∴这块场地的面积是BC2＝(20)2＝800 (m2). 由四边形ABCD是正方形可知，它的对角线相等且互相垂直. 设该场地的对角线长都为x m， 则x2＝800. 解得x＝40(负值舍去). ∴这块场地的对角线长是40 m. 1 2 3 返回首页 2.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的点.求证：AE＝CE. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE. 在△ABE和△CBE中， ∴△ABE≌△CBE(SAS). ∴AE＝CE. 1 2 3 返回首页 3.(教材P76练习T3)如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A，B，C，D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF.这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 解：BE＝AF，BE⊥AF.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°. ∵DE＝CF， ∴AE＝DF. 1 2 3 返回首页 ∴△BAE≌△ADF(SAS). ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF. ∴∠ABE＋∠AEB＝∠DAF＋∠AEB＝90°. ∴BE⊥AF. 1 2 3 返回首页 1.(4分)正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　) A.四个角相等　　　　 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补　　　　　 D.对角线相等　　　　　　　　　 1 2 3 4 B 返回首页 2.(4分)一个正方形的对角线长为2，则它的面积是(　　) A.2　　　 B.4 C.6　　　 D.8 A 1 2 3 4 返回首页 3.(4分)(教材P86T1(4)改编)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为_____. (第3题) 15° 1 2 3 4 返回首页 4.(8分)如图，在正方形ABCD中，延长BC到点F，过点B作BG⊥DF交DF于点G，交CD于点E.求证：CE＝CF. 证明：∵在正方形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°， 又BG⊥DF， ∴∠EBC＋∠F＝∠FDC＋∠F＝90°. ∴∠EBC＝∠FDC. ∴△BCE≌△DCF(ASA). ∴CE＝CF. 1 2 3 4 返回首页 布置作业：完成作业本第59～60页练习. 返回首页 $第二十一章　四边形 21.2　平行四边形 21.2.3　三角形的中位线 阅读教材P63～P64内容，归纳结论： 1.连接三角形两边______的线段叫作三角形的中位线. 2.三角形的中位线定理：三角形的中位线________三角形的第三边，并且等于第三边的______. 3.“平行且相等”可用符号“____”表示. 中点 平行于 一半 返回首页 1.(教材P65练习T3变式)如图，为测量位于池塘旁的两点A，B间的距离，在AB外选一点O，分别取OA，OB的中点C，D.若量得CD＝10 m，则A，B两点间的距离是(　　) A.5 m B.10 m C.20 m D.40 m 1 2 3 (第1题) C 返回首页 2.(教材P65练习T1)如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形？ 解：能画3个平行四边形，有▱BEFD，▱ADEF，▱CFDE. 理由：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴DF∥BC，DF＝BC，BE＝BC. ∴DF BE. ∴四边形BEFD是平行四边形. 同理，四边形ADEF是平行四边形，四边形CFDE是平行四边形. 1 2 3 返回首页 3.(教材P65练习T2)如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，且F，G分别是OB，OC的中点.求证：四边形DEFG是平行四边形. 证明：∵BD，CE分别是边AC和AB上的中线，点F，G分别是线段OB，OC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，FG是△OBC的中位线. ∴DE∥BC，且DE＝BC，FG∥BC，且FG＝BC. ∴DE∥FG，且DE＝FG. ∴四边形DEFG是平行四边形. 1 2 3 返回首页 1.(4分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，若AD＝3，则EF的长为(　　) A.2 B.1.5 C.1 D.2.5 1 2 3 (第1题) B 返回首页 2.(6分)如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD，与AC相交于点F.若E为BC的中点，连接DE，求DE 的长. 解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD， ∴∠BAD＝∠FAD，∠ADB＝∠ADF＝90°. 又AD＝AD， ∴△ADB≌△ADF(ASA). ∴AB＝AF＝6，BD＝DF. 1 2 3 返回首页 ∴CF＝AC－AF＝4. 又E为BC的中点， ∴DE＝CF＝2. 1 2 3 返回首页 3.(10分)如图，在△ABC中，D，E分别是线段AB，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接FC.求证： (1)△ADE≌△CFE； 证明：∵E是线段AC的中点， ∴EA＝EC. 在△ADE和△CFE中， ∴△ADE≌△CFE(SAS). 1 2 3 返回首页 (2)四边形DFCB是平行四边形. 证明：∵D，E分别是线段AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥BC，BC＝2DE. ∵DE＝EF， ∴DF＝2DE＝BC. ∴四边形DFCB是平行四边形. 1 2 3 返回首页 布置作业：完成作业本第49～50页练习. 返回首页 $