16.3.4 求一次函数的表达式课件 2025-2026学年华东师大版 数学八年级下册

0℃和100℃分别对应多少华氏度？ 其实，这两种温度单位之间的换算并不是随意的，而是隐藏着一种确定的数学规律，今天我们就来一起探索这个规律。 华氏温度计 情境导入 22251 16.3.4 求一次函数的表达式 22251 1. 会用待定系数法求一次函数的解析式. 2. 根据题中的已知信息灵活运用待定系数法求一次函数的解析式，进而解决实际问题. 学习目标 22251 确定正比例函数的表达式需要1个条件，确定一次函数的表达式需要2个条件 求正比例函数 的表达式． 解：由正比例函数的定义知 m2－15＝1且m－4≠0， ∴m＝－4， ∴y＝－8x. 可利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？如果是一次函数又需要几个条件呢？ 新知探究 22251 世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家则采用华氏温标，在研究性学习活动中，某小组同学查阅到以下资料，设某一时刻温度计上的华氏温度为 y ( ℉)，摄氏温度为 x ( ℃ )，已知 y 是 x 的一次函数，试写出这个一次函数的表达式. 在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为 0 摄氏度，记作 0 ℃ ; 把沸水的温度规定为 100 摄氏度，记作 100 ℃ . 在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为 32华氏度 ，记作 32 ℉ ; 把沸水的温度规定为 212 华氏度 ，记作 212 ℉. 分析：已知 y 是 x 的一次函数，函数的表达式可写成：y = kx + b ( k ≠ 0 ) ，问题就转化为求 k 和 b 的值. x=0→y=32，x=100→y=212 确认该一次函数表达式的2个条件是什么？ 典例精析 22251 一次函数的一般形式是 y = kx + b (k，b为常数，k ≠ 0) ，要求出一次函数的表达式，关键是要确定 k 和 b 的值 (即待定的系数) . 函数表达式 y = kx + b 满足条件的两点 (x1，y1)，(x2，y2) 一次函数的图象 直线 l 选取 解出 画出 选取 新知探究 22251 解 设所求一次函数的表达式为 y = kx + b ( k≠0 ) ，根据题意 ，得 0 · k + b = 32， 100 k + b = 212. 解这个方程组，得 k = 1.8，b = 32 . 所以，所求一次函数的表达式为 y = 1.8x + 32. x=0→y=32，x=100→y=212 确认该一次函数表达式的2个条件： 新知探究 22251 这种先设待求函数的表达式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法. 想一想 刚才所求的一次函数的表达式 y = 1.8x + 32中的一次项系数 1.8 和常数项 32 有怎样的实际意义? 一次项系数 1.8 表示摄氏温度：每增加 1 摄氏度时华氏温度增加的度数，常数项 32 表示摄氏温度为 0 摄氏度时所对应的华氏温度的度数. 归纳 22251 已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点 (-1，1)和点 (1，-5) ，求当 x = 5 时的函数值. 解：设所求的函数表达式为 y = kx +b (k≠0)， 当 x = 5 时 ，y = -3×5 -2 = -17. 所以，所求的函数表达式为 y = -3x - 2. 解得 k = -3, b = -2. -k + b = 1, k + b = -5, 根据题意得 巩固练习 22251 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1. 设出含字母系数的一次函数表达式：y = kx + b； 2. 将已知条件代入上述表达式中，得到关于 k，b 的二元一次方程组； 3. 解这个二元一次方程组，得 k，b 的值； 4. 写出一次函数的表达式. 归纳 22251 (1)两个点的坐标 (x1​，y1​)、(x2​，y2​)，本质是给出了两组满足 该一次函数关系的自变量与因变量的对应值，即： 自变量 x=x1​ 时，因变量 y=y1​；自变量 x=x2​ 时，因变量 y=y2​ (2)先求函数表达式，是为了建立自变量 x 与因变量 y 之间的通用对应关系，从而可以计算任意 x（包括 x=5）对应的 y 值 思考交流： (1)在巩固练习中，已知条件是一次函数图象上两个点的坐标，它反映了自变量 x 与因变量 y 的值之间怎样的对应关系？ (2)题目没有要求写出函数表达式，解题时却通常先求函数的表达式，它在这里起了什么作用？ 22251 用待定系数法求一次函数的解析式 2. 根据已知条件列出关于 k，b 的方程组； 1. 设所求的一次函数表达式为 y = kx + b； 3. 解方程组，求出 k，b 值； 4. 把求出的 k，b 代回表达式即可. 课堂小结 22251 1. 已知一次函数 y = kx + 5 的图象经过点 (-1，2)，则 k =_____. 3 2. 如图，直线 l 是一次函数 y = kx + b 的图象，填空： 　(1) b = ______，k =______； (2) 当 x = 30 时，y =______； (3) 当 y = 30 时，x =______. 2 -18 -42 l x y 随堂小练 22251 3.如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点A，分别求出这两个函数的解析式； 解：把点代入中，得，解得：， ∴正比例函数的解析式为， 把点，代入，得：， 解得： ，∴一次函数的解析式为。 随堂小练 22251 4. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当时，求y的值． 解：（1）设y与之间的函数解析式为，将时，代入，得， 解得，则y与x之间的函数解析式为。 （2）将代入， 得。 随堂小练 22251 5. 在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x (千克) 的一次函数. 一根弹簧不挂物体时长 14.5 厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16 厘米. 请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度. 解：设 y = kx + b (k ≠ 0) 由题意，得 14.5 = b，16 = 3k + b，解得 b=14.5，k=0.5. ∴在弹性限度内，y = 0.5x + 14.5. 当 x = 4 时，y ＝ 0.5×4＋14.5 = 16.5（厘米）. 故当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度为 16.5 厘米. 随堂小练 22251 $