平面向量的应用和解三角形题型讲义-2025-2026学年下学期高一数学北师大版必修第二册

平面向量的应用和解三角形题型分类与素养能力提升课原题 展示·基础素养能力 1.(1)在平面直角坐标系中,已知点P在以坐标原点为圆心,1为半径的圆上，点A的坐标为(－2,0)，则·的取值范围为 ． (2)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．3 2.已知向量＝(2,sin ),＝(sin (2x－)＋cos ,2)，其中x∈R,函数f(x)＝·－2． (1)求函数f(x)的单调递增区间及其图象的对称中心；(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，其中A为锐角，a＝，c＝1，且f(A)＝2，求△ABC的面积S. 3.(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin A＝3sin B，c＝，且cos C＝，则a＝(　　) A．2　　 B．3　 　C．3　 　D．4 (2)在△ABC中，sin A︰sin B︰sin C＝4︰5︰6，则＝ ． 4．在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c(acos B－b)＝a2－b2．(1)求角A；(2)若a＝，求b＋c的取值范围． 实践·素养能力提升 考法1有关向量数量积的最值问题 1.在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，其中x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为(　　) A．－　 B．－ 　C．－　 D．－ 2.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( 　) A．－2　 　B． －　 　C．－　　 D．－1 考法2向量与三角函数的综合问题 3.已知向量＝(2，f(x))，＝(，sin (2x＋θ))(|θ|<)，若，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称．(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A)＝，且b＝5，c＝2，求△ABC外接圆的面积． 4.已知的内角所对的边分别为,向量,,且,.(1)求及面积的最大值；(2)求的取值范围. 考法3正、余弦定理和三角形面积公式的应用 5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c；已知a＝,c＝2,cos A＝，则b＝(　　) A．　　 B．　　 C．2　 　D．3 6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝(　　) A．45°　　 B．60° 　　 C．75° 　 　D．105° 7.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 . 考法4正、余弦定理的综合应用 8.在中，已知内角的对边分别为；若,且.(1)求边长的值；(2)求的值. 9.在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C＝(3a－c)cos B.(1)若·＝4，求△ABC的面积S；(2)若，求cos A的值；(3)在(1)的条件下，若a＋c＝4，求b的值. 考法5求解或判断三角形形状 10.在△ABC中，若a＝8，b＝10，A＝45°，则此三角形解的情况是(　　) A．一解　　 B．两解 C．一解或两解　 　D．无解 11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin A＝2sin Bcos C，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形　　 B．直角三角形 C．等边三角形　　 D．等腰直角三角形 12.在△ABC中，内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c，A为锐角，且lgb＋lg＝lg sin A＝－lg，则△ABC为(　　) A．锐角三角形　　 B．等边三角形 C．钝角三角形　　 D．等腰直角三角形 考法6向量在平面几何中的综合应用 13.如图所示，半径长为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在弧AB上，且∠COB＝30°，若＝λ＋2μ(λ,μ∈R)，则λ＋μ＝ . 14.如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，M,N分别是边AB,CD的中点，若P为该正六边形边上的动点，则·的取值范围为 . 考法7实际问题中解三角形的综合应用 15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，此时仰角为30°，则此山的高度CD＝ m. 16.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°,∠BCD＝30°,∠BDC＝105°,∠ADC＝60°，试求AB的长(用含a的式子表示)． 拓展·素养能力深化 1.已知向量,.(1)若与的夹角小于,求实数的取值范围；(2)若与的夹角为钝角,求实数的取值范围. 2.在中,已知,且有一个内角为直角.求实数的值. 3.已知的内角所对的边分别为,若的外接圆半径为,且.(1)求；(2)若,求的面积. 平面向量的应用和解三角形题型解析与素养能力提升课讲义 展示·基础素养能力 提炼重点，整合方法 1.(1)在平面直角坐标系中,已知点P在以坐标原点为圆心,1为半径的圆上，点A的坐标为(－2,0)，则·的取值范围为 ． (2)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．3 解析 (1)法一:设P(x,y)，且O(0,0)，则；由题意知，，即，因为,所以,解得；又点A(－2,0),则＝(2,0)，所以·＝(2,0)·(x＋2,y)＝2x＋4∈[2,6]，故·的取值范围为[2,6]． 法二:由题意知，＝(2,0)，由三角函数的定义,令P(cos α，sin α),其中,则＝(cos α＋2,sin α)，所以·＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4∈[2,6]，故·的取值范围为[2,6]． (2)法一:如图，由于AD⊥CD，则以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.又因AB＝AD＝1,∠BAD＝120°,AB⊥BC,则∠BCD＝60°,可得DC＝，易知A(1,0)，B(,)，C(0,)；令E(0,t)，t∈[0,]，所以·＝(－1,t)·(－,t－)＝t2－t＋＝(t－)2＋，且t∈[0,]，所以当t＝时,·取得最小值,(·)min＝.故选A． 法二:令＝λ(0≤λ≤1),由题意可得DC＝；由于＝＋＝＋λ，而＝＋＝＋＋λ，注意AD⊥CD，则有·＝0．所以·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋λ·＋||2＋λ2||2＋2λ·＝1×1×cos60°＋λ×1×cos150°＋1＋3λ2＝3λ2－λ＋＝3(λ－)2＋，且λ∈[0,1]，所以当λ＝时,·取得最小值,(·)min＝.故选A． 答案 (1)[2,6]；(2)A. 【总结提升】本题主要考查数量积的综合应用，在向量的最值问题中常用数形结合的方法或函数的思想方法求解，建立函数关系时，可用平面向量基本定理，也可利用向量的坐标运算．平面几何问题的向量解法通常有两种：①坐标法,把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决；②基向量法,适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解． 2.已知向量＝(2,sin ),＝(sin (2x－)＋cos ,2)，其中x∈R,函数f(x)＝·－2． (1)求函数f(x)的单调递增区间及其图象的对称中心；(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，其中A为锐角，a＝，c＝1，且f(A)＝2，求△ABC的面积S. 解析 (1)依题意，得f(x)＝·－2＝2[sin (2x－)＋cos ]＋2sin －2＝2sin (2x－)(x∈R)； 则由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．因f(x)＝2sin (2x－)，由2x－＝kπ，解得x＝＋(k∈Z)，故函数f(x)的图象的对称中心为(＋，0)(k∈Z)． (2)由条件f(A)＝2sin (2A－)＝2，得sin (2A－)＝1；又因A∈(0，)，则2A－∈(－，)， 于是得2A－＝，所以A＝；又a＝，c＝1及余弦定理,得a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2－b－2＝0且b>0，解得b＝2，从而得△ABC的面积S＝bcsin A＝. 答案 (1)递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)，对称中心为(＋，0)(k∈Z)；(2). 【总结提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路一般有两种:①题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线、垂直和平行、数量积、等式成立等关系，得到三角函数的解析式，然后再求解；②给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其它向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得所需值．另外，本题还涉及三角函数的图象与性质，以及正、余弦定理和三角形的面积公式，要熟练掌握和灵活运用这些知识才能使问题轻松获解. 3.(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin A＝3sin B，c＝，且cos C＝，则a＝(　　) A．2　　 B．3　 　C．3　 　D．4 (2)在△ABC中，sin A︰sin B︰sin C＝4︰5︰6，则＝ ． 解析 (1)由sin A＝3sin B及正弦定理，得a＝3b；不妨设b＝m，则a＝3m(m>0)，由c＝及余弦定理得cos C＝＝＝，化简得m2＝1,且m>0,解得m＝1，则a＝3m＝3.故选B． (2)依题意,由正弦定理得sin A︰sin B︰sin C＝a︰b︰c＝4︰5︰6，可设a＝4k(k>0),则b＝5k,c＝6k，由余弦定理得cos A＝＝＝，所以＝＝2××cos A＝2××＝1． 答案 (1)B；(2)1． 【总结提升】在用正、余弦定理解题时,应注意以下几点:①在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判明是否有解(例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，则sin B＝sin A＝>1，问题就无解)，如果有解，是一解还是两解要搞清楚；②正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系；③在三角形的判断中注意应用“大边对大角、小边对小角”定理,反之亦然；④已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理． 4．在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c(acos B－b)＝a2－b2．(1)求角A；(2)若a＝，求b＋c的取值范围． 解析 (1)由c(acos B－b)＝a2－b2及余弦定理，化简得a2＋c2－b2－bc＝2a2－2b2，即a2＝b2＋c2－bc，又由于a2＝b2＋c2－2bccos A，所以得cos A＝；又因0<A<π，故得A＝． (2)法一:由(1)知a2＝b2＋c2－bc及a＝，得3＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc；因b,c>0,由基本不等式得bc≤()2，从而由上式得3≥(b＋c)2－3()2，即(b＋c)2≤12，且b＋c>a＝，解得<b＋c≤2，故b＋c∈(，2]为所求范围． 法二:依题意,由(1)知A＝及正弦定理得b＝＝＝2sin B，c＝＝＝2sin C；所以b＋c＝2sin B＋2sin C＝2sin B＋2sin (A＋B)＝2sin B＋2sin Acos B＋2cos Asin B＝3sin B＋cos B＝2sin (B＋) ；又因B∈(0，)，所以B＋∈(，)，则sin (B＋)∈(，1]，所以b＋c∈(，2]为所求范围． 法三:由条件及正弦定理得b＋c＝2(sin B＋sin C),和差化积得b＋c＝因为B＋C＝,知0<B,C<,则,所以，从而b＋c＝∈(，2]为所求范围． 答案 (1)；(2)(，2]． 【总结提升】本题第(1)问关键是用余弦定理将条件中的cos B化为边,再次又用余弦定理求角A；第(2)问是涉及解三角形中的常见问题,即在△ABC中，若已知角A及其对边a,可求三角形周长和面积的取值范围或最值.解决这类题的思想和方法一般有三种:①先用余弦定理并凑得含有ab、a＋b和a2＋b2的等式，再利用基本不等式化为以a＋b或ab为变量的不等式求得a＋b或ab的取值范围或最值，就能得到三角形周长和面积的取值范围或最值． ；②可用正弦定理“将边化角”的方法求出形如b＋c＝(sin B＋sin C)的式子，而已知，故可转化为求sin B＋sin C的取值范围，然后消去一角再利用辅助角公式求解；③利用和差化积公式得b＋c＝()，这里为常数,而B＋C为定角，角B－C定范围，自然水到渠成问题迎刃而解． 实践·素养能力提升 依据考点，罗列考法 考法1有关向量数量积的最值问题 1.在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，其中x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为(　　) A．－　 B．－ 　C．－　 D．－ 1.B 如图,由题意知，＝－＝(1－x)－，＝－＝(1－y)－，又因x＋y＝1，则＝－＋x；又||＝||＝1，得·＝1×1×cos60°＝，所以·＝[(1－x)－]·(－＋x)＝＝ －(x－)2－，则当x＝时,·的最大值为－．故选B． 2.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( 　) A．－2　 　B． －　 　C．－　　 D．－1 2.B　法一:结合题意画出图形,如图所示；设BC的中点为D，AD的中点为E,连接AD,PE, PD,则有＋＝2，则·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．易得AD＝，则2＝()2＝，当点P与点E重合时，2有最小值0，此时·(＋)取得最小值,最小值为－22＝－2×＝－.故选B. 法二:如下图所示，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系；则得A(0,),B(－1,0),C(1,0),设P(x,y),则＝(－x,－y)，＝(－1－x,－y)，＝(1－x,－y)，所以·(＋)＝(－x,－y)·(－2x,－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.故选B. 考法2向量与三角函数的综合问题 3.已知向量＝(2，f(x))，＝(，sin (2x＋θ))(|θ|<)，若，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称．(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A)＝，且b＝5，c＝2，求△ABC外接圆的面积． 3.解:(1)由于，所以2sin (2x＋θ)－f(x)＝0，得函数f(x)＝sin (2x＋θ)；又函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则2×＋θ＝kπ＋,k∈Z，即得θ＝kπ＋,k∈Z，又因|θ|<，知θ＝；故f(x)＝sin (2x＋).由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋,k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋,k∈Z；故f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋],k∈Z. (2)因为f(A)＝sin (2A＋)＝，所以sin (2A＋)＝1.又A∈(0，π)，则2A＋∈(，)， 所以2A＋＝，即A＝.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋12－2×5×2cos ＝7，所以a＝.由正弦定理得2＝＝2R，所以R＝，故△ABC外接圆的面积S＝πR2＝7π. 4.已知的内角所对的边分别为,向量,,且,.(1)求及面积的最大值；(2)求的取值范围. 4.解:(1)由题意,得,即.由余弦定理得,因,得.又 ,即,则.故. (2)法1:由(1)知,即,且,解得.故的取值范围为. 法2:由(1)及正弦定理得,得,且,得.则 ,注意,且,可得. 考法3正、余弦定理和三角形面积公式的应用 5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c；已知a＝,c＝2,cos A＝，则b＝(　　) A．　　 B．　　 C．2　 　D．3 5.D　由题意及余弦定理，得5＝b2＋4－2×2bcos A，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)．故选D． 6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝(　　) A．45°　　 B．60° 　　 C．75° 　 　D．105° 6.C　由题意及正弦定理＝，得sin B＝＝×＝；又b<c,则B<C＝60°,可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.故选C. 7.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 . 7.2　设△ABC中的角A，B，C对应的边分别为a，b，c.依题意知b＝4，a＝2， 由余弦定理得cos A＝＝＝，整理得(c－2)2＝0，解得c＝2.所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2.故填2. 考法4正、余弦定理的综合应用 8.在中，已知内角的对边分别为；若,且.(1)求边长的值；(2)求的值. 8.解:(1)由正弦定理及,得,又；于是得,即,且,可得.则由余弦定理得. (2)由(1)知,,则,得；由条件及正弦定理得,解得,则, ；故. 9.在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C＝(3a－c)cos B.(1)若·＝4，求△ABC的面积S；(2)若，求cos A的值；(3)在(1)的条件下，若a＋c＝4，求b的值. 9.解:(1)在△ABC中，将条件bcos C＝(3a－c)cos B，化为bcos C＋ccos B＝3acos B，由余弦定理得bcos C＋ccos B＝＋(或由射影定理知bcos C＋ccos B＝a)，从而得a＝3acos B，且a ≠0，得cos B＝，于是知B为锐角,所以.又因·＝4，即accos B＝4，则得ac＝12.故△ABC的面积. (2)由(1)知，又因，知A<B,所以A为锐角；根据正弦定理,得,故. (3)在(1)的条件下，知ac＝12，且cos B＝，又a＋c＝4，由余弦定理得. 考法5求解或判断三角形形状 10.在△ABC中，若a＝8，b＝10，A＝45°，则此三角形解的情况是(　　) A．一解　　 B．两解 C．一解或两解　 　D．无解 10.B 法一:因a＝8<10＝b，则45°＝A<B<135°；由正弦定理得∈(,1),可知角B在角度区间(45°,90°)和(90°,135°)上各有一解,即三角形有两解.故选B. 法二:因为bsin 45°＝5<8<b＝10，所以三角形有两解.故选B. 11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin A＝2sin Bcos C，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形　　 B．直角三角形 C．等边三角形　　 D．等腰直角三角形 11.A 由条件sin A＝2sin Bcos C及正、余弦定理,得，整理化简得b2＝c2，即得b＝c(取正),所以△ABC是等腰三角形.故选A. 12.在△ABC中，内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c，A为锐角，且lgb＋lg＝lg sin A＝－lg，则△ABC为(　　) A．锐角三角形　　 B．等边三角形 C．钝角三角形　　 D．等腰直角三角形 12.D 依题意,由lgb＋lg＝lg＝－lg＝lg，得＝，即c＝b；由lgsin A＝－lg，得sin A＝，又A为锐角，得A＝45°，所以cos A＝；由c＝b及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，化简得a2＝b2，即a＝b(取正),则B＝A＝45°，知C＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形.故选D. 考法6向量在平面几何中的综合应用 13.如图所示，半径长为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在弧AB上，且∠COB＝30°，若＝λ＋2μ(λ,μ∈R)，则λ＋μ＝ . 13. 根据题意，可得OA⊥OC，以O为坐标原点，OC,OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则有A(0,1)，C(1,0)，B(cos 30°,－sin 30°)，即B(,－)，于是＝(0,1)，＝(1,0)，＝(,－).由＝λ＋2μ，得(1,0)＝λ(0,1)＋2μ(,－),则得λ－μ＝0,且μ＝1，解得λ＝,μ＝，所以λ＋μ＝.故填. 14.如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，M,N分别是边AB,CD的中点，若P为该正六边形边上的动点，则·的取值范围为 . 14.[－,] 法一:连结AD，易知MN为梯形ABCD的中位线，所以MN＝＝3.又AM＝1,∠AMN＝120°，结合图及数量积的几何意义，易知当动点P与点A重合时，·取得最小值；而·＝3×1×cos 120°＝－，故·的最小值为－.连结DM，当动点P与点D重合时，·取得最大值；因为DN＝1，MN＝3，∠MND＝120°，所以在△DMN中，由余弦定理可求得DM＝，再由余弦定理求得cos∠DMN＝，所以·＝3××＝，故·的最大值为.综上可知,·的取值范围为[－,]． 法二:如图所示，建立平面直角坐标系xMy；依题意,求得点D(1,2),C(2,),则CD中点N(,)．易知向量＝(－1,0)，＝(1,2)，＝(,)； 所以·＝－，故·的最小值为－；·＝,故·的最大值为．故得·的取值范围为[－,]． 考法7实际问题中解三角形的综合应用 15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，此时仰角为30°，则此山的高度CD＝ m. 15.100 依题意知∠BAC＝30°,∠ABC＝105°.在△ABC中,由∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°,所以∠ACB＝45°，因为AB＝600 m，由正弦定理可得＝，解得BC＝300 m.在Rt△BCD中，因为∠CBD＝30°，BC＝300 m，所以tan 30°＝＝，解得CD＝100 m.故填100. 16.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°,∠BCD＝30°,∠BDC＝105°,∠ADC＝60°，试求AB的长(用含a的式子表示)． 16.解:在△ACD中,已知CD＝a(定值),∠ACD＝60°,∠ADC＝60°,知△ACD为正三角形,所以AC＝a ①.在△BCD中，由∠BCD＝30°,∠BDC＝105°,知∠DBC＝45°，由正弦定理可得＝，所以BC＝＝a ②.在△ABC中，又因为∠ACB＝30°，所以由余弦定理得.故AB的长为. 拓展·素养能力深化 诠释疑难，深化思维 1.已知向量,.(1)若与的夹角小于,求实数的取值范围；(2)若与的夹角为钝角,求实数的取值范围. 1.解:(1)由于与的夹角小于等价于.依题意得,解之得或为所求. (2)由于与的夹角为钝角等价于,且与不平行.依题意有,且,解之得,且.故实数的取值范围为且. 2.在中,已知,且有一个内角为直角.求实数的值. 2.解:因为,则.依题意下面分三种情况讨论:(1)当时,由,解得；(2)当时,由,解得;(3)当 时,由,解得.故综合得或或. 3.已知的内角所对的边分别为,若的外接圆半径为,且.(1)求；(2)若,求的面积. 3.解:(1)由及正弦定理得,且,化简得,即得,又,得.又的外接圆的半径,由正弦定理,解得. (2) 由(1)知,所以由余弦定理得 ,解得,则.故的面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的应用和解三角形题型分类与素养能力提升课原题 展示·基础素养能力 1.(1)在平面直角坐标系中,已知点P在以坐标原点为圆心,1为半径的圆上，点A的坐标为(－2,0)，则·的取值范围为 ． (2)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．3 2.已知向量＝(2,sin ),＝(sin (2x－)＋cos ,2)，其中x∈R,函数f(x)＝·－2． (1)求函数f(x)的单调递增区间及其图象的对称中心；(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，其中A为锐角，a＝，c＝1，且f(A)＝2，求△ABC的面积S. 3.(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin A＝3sin B，c＝，且cos C＝，则a＝(　　) A．2　　 B．3　 　C．3　 　D．4 (2)在△ABC中，sin A︰sin B︰sin C＝4︰5︰6，则＝ ． 4．在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c(acos B－b)＝a2－b2．(1)求角A；(2)若a＝，求b＋c的取值范围． 实践·素养能力提升 考法1有关向量数量积的最值问题 1.在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，其中x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为(　　) A．－　 B．－ 　C．－　 D．－ 2.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( 　) A．－2　 　B． －　 　C．－　　 D．－1 考法2向量与三角函数的综合问题 3.已知向量＝(2，f(x))，＝(，sin (2x＋θ))(|θ|<)，若，且函数f(x)的图象关于直线x＝对称．(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A)＝，且b＝5，c＝2，求△ABC外接圆的面积． 4.已知的内角所对的边分别为,向量,,且,.(1)求及面积的最大值；(2)求的取值范围. 考法3正、余弦定理和三角形面积公式的应用 5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c；已知a＝,c＝2,cos A＝，则b＝(　　) A．　　 B．　　 C．2　 　D．3 6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝(　　) A．45°　　 B．60° 　　 C．75° 　 　D．105° 7.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 . 考法4正、余弦定理的综合应用 8.在中，已知内角的对边分别为；若,且.(1)求边长的值；(2)求的值. 9.在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C＝(3a－c)cos B.(1)若·＝4，求△ABC的面积S；(2)若，求cos A的值；(3)在(1)的条件下，若a＋c＝4，求b的值. 考法5求解或判断三角形形状 10.在△ABC中，若a＝8，b＝10，A＝45°，则此三角形解的情况是(　　) A．一解　　 B．两解 C．一解或两解　 　D．无解 11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin A＝2sin Bcos C，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形　　 B．直角三角形 C．等边三角形　　 D．等腰直角三角形 12.在△ABC中，内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c，A为锐角，且lgb＋lg＝lg sin A＝－lg，则△ABC为(　　) A．锐角三角形　　 B．等边三角形 C．钝角三角形　　 D．等腰直角三角形 考法6向量在平面几何中的综合应用 13.如图所示，半径长为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在弧AB上，且∠COB＝30°，若＝λ＋2μ(λ,μ∈R)，则λ＋μ＝ . 14.如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，M,N分别是边AB,CD的中点，若P为该正六边形边上的动点，则·的取值范围为 . 考法7实际问题中解三角形的综合应用 15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，此时仰角为30°，则此山的高度CD＝ m. 16.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°,∠BCD＝30°,∠BDC＝105°,∠ADC＝60°，试求AB的长(用含a的式子表示)． 拓展·素养能力深化 1.已知向量,.(1)若与的夹角小于,求实数的取值范围；(2)若与的夹角为钝角,求实数的取值范围. 2.在中,已知,且有一个内角为直角.求实数的值. 3.已知的内角所对的边分别为,若的外接圆半径为,且.(1)求；(2)若,求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $