平面向量的概念部分题型介绍与素养能力提升 讲义- 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

平面向量的概念部分题型介绍与素养能力提升课原题 展示·基础素养能力 1.给出下列四个命题：①单位向量都相等；②若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形；③向量的充要条件是且；④已知为实数，若，则与共线.则其中不正确的命题序号是 ． 2.(多选题)下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是( ) A． B． C． D． 实践·素养能力提升 考法1单位向量、相等向量与相反向量 1.设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是(　　) A．　　 B． C．　　 D． 2.已知点D,E,F分别是的边AB,BC,AC的中点.在以点A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，请问：(1)与向量相等的向量有哪些？(2)与向量共线的向量有哪些？ 3.有下列四个命题：①若非零向量与的方向相同或相反，则与,其中之一的方向相同；②⇔与的方向相同；③；④若(为实数)，则.其中叙述错误的命题个数有_______个． 4.下列有四个结论，其中说法正确的结论是(　 ) A．平行向量不一定是共线向量 B．模为0的向量与任意向量共线 C．若，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 考法2向量的加、减法应用 5.如图所示，在正六边形ABCDEF中，有(　　) A．　　 B． C．　 D． 6.设为所在平面内一点，且，则(　　) A．　 B． C． D． 考法3向量的模与夹角计算 7.如图,在中，分别是边上的点，且满足，. (1)若,，求和的值； (2)若，求向量与夹角的大小. 8.有一轮船向着垂直河岸的方向行驶，已知轮船在静水中的速度是12 km/h ,河水的流速是6 km/h.(1)求轮船在河水中的实际运动速度是多少？轮船实际速度方向与河水流动方向夹角的余弦值是多少？(2)要使轮船沿垂直河岸方向到达对岸码头，求船头方向与河水流动方向的夹角是多少？ 考法4向量中的几何图形判断 9.在平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状为(　　) A．梯形　 B．菱形 C．矩形　 D．正方形 10.在四边形ABCD中，若有，则四边形ABCD所对应的图形是(　　) A．平行四边形　 B．梯形 C．菱形　 D．矩形 11.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　 　) A．一定成立 B．一定成立 C．一定成立 D．一定成立 拓展·素养能力深化 1.(多选题)下列四个命题中，其中错误的命题是(　　) A．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 B．若三点A,B,C满足,则该三点一定是的顶点 C．不等式中两个等号不可能同时成立 D．若向量不共线，则向量与向量必不共线 2.若是任意向量，有下列四个命题:①若与共线,与共线,则与共线；②设是任一向量,是平行的一个单位向量,则；③“与共线”是“与方向相反”的必要不充分条件；④若,则中至少一者为.则其中真命题的是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的概念部分题型介绍与素养能力提升课原题 展示·基础素养能力 1.给出下列四个命题：①单位向量都相等；②若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形；③向量的充要条件是且；④已知为实数，若，则与共线.则其中不正确的命题序号是 ． 2.(多选题)下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是( ) A． B． C． D． 实践·素养能力提升 考法1单位向量、相等向量与相反向量 1.设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是(　　) A．　　 B． C．　　 D． 2.已知点D,E,F分别是的边AB,BC,AC的中点.在以点A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，请问：(1)与向量相等的向量有哪些？(2)与向量共线的向量有哪些？ 3.有下列四个命题：①若非零向量与的方向相同或相反，则与,其中之一的方向相同；②⇔与的方向相同；③；④若(为实数)，则.其中叙述错误的命题个数有_______个． 4.下列有四个结论，其中说法正确的结论是(　 ) A．平行向量不一定是共线向量 B．模为0的向量与任意向量共线 C．若，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 考法2向量的加、减法应用 5.如图所示，在正六边形ABCDEF中，有(　　) A．　　 B． C．　 D． 6.设为所在平面内一点，且，则(　　) A．　 B． C． D． 考法3向量的模与夹角计算 7.如图,在中，分别是边上的点，且满足，. (1)若,，求和的值； (2)若，求向量与夹角的大小. 8.有一轮船向着垂直河岸的方向行驶，已知轮船在静水中的速度是12 km/h ,河水的流速是6 km/h.(1)求轮船在河水中的实际运动速度是多少？轮船实际速度方向与河水流动方向夹角的余弦值是多少？(2)要使轮船沿垂直河岸方向到达对岸码头，求船头方向与河水流动方向的夹角是多少？ 考法4向量中的几何图形判断 9.在平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状为(　　) A．梯形　 B．菱形 C．矩形　 D．正方形 10.在四边形ABCD中，若有，则四边形ABCD所对应的图形是(　　) A．平行四边形　 B．梯形 C．菱形　 D．矩形 11.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　 　) A．一定成立 B．一定成立 C．一定成立 D．一定成立 拓展·素养能力深化 1.(多选题)下列四个命题中，其中错误的命题是(　　) A．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 B．若三点A,B,C满足,则该三点一定是的顶点 C．不等式中两个等号不可能同时成立 D．若向量不共线，则向量与向量必不共线 2.若是任意向量，有下列四个命题:①若与共线,与共线,则与共线；②设是任一向量,是平行的一个单位向量,则；③“与共线”是“与方向相反”的必要不充分条件；④若,则中至少一者为.则其中真命题的是 ． 平面向量的概念部分题型介绍与素养能力提升课原题答案与解析 展示·基础素养能力 提炼重点，整合方法 1.给出下列四个命题：①单位向量都相等；②若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形；③向量的充要条件是且；④已知为实数，若，则与共线.则其中不正确的命题序号是 ． 解析 对于①，由于单位向量模都相等，但方向不一定相同，故①不正确.对于②，因为，所以，且；又A，B，C，D是不共线的四点，知四边形ABCD为平行四边形，故②正确．对于③，当向量且方向相反时，即使，也不能得到，从而知向量的必要不充分是且，故③不正确.对于④，当实数时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故④不正确.综上所述，知不正确的命题序号是 ①③④. 答案 ①③④ 【总结提升】正确理解向量的基本概念是解决本题的关键，特别要对相等向量、单位向量、零向量理解到位．应注意以下三点：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性；(2)共线向量即为平行向量，由于课本所指的平面向量是自由向量，它们均与起点无关；(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． 2.(多选题)下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是( ) A． B． C． D． 解析 对于选项A，正确；对于选项B，不正确；对于选项C，可得正确；对于选项D，可知正确.综上，故选ACD. 答案 ACD 【总结提升】掌握平面向量的加、减法合成运算满足三角形法则或平行四边形，这是向量加、减法运算在几何作图中所要遵循的本质规律.但在向量式的字母运算和化简中，两向量和的运算主要利用当前一向量的终点和后一向量的起点相同(即两向量首尾相接)时，其运算结果等于连结前一向量的起点与后一向量的终点，且箭头指向后一向量的终点所对应的向量；而两向量差的运算是通过当前、后两向量共起点时，其运算结果等于连结两向量的终点，且箭头指向被减向量(即前一向量)的终点所对应的向量． 实践·素养能力提升 依据考点，罗列考法 考法1单位向量、相等向量与相反向量 1.设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是(　　) A．　　 B． C．　　 D． 1.D 由，得，又因向量和是分别表示与非零向量和同方向的单位向量；从选项入手只有当时,才能使成立.故选D． 2.已知点D,E,F分别是的边AB,BC,AC的中点.在以点A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，请问：(1)与向量相等的向量有哪些？(2)与向量共线的向量有哪些？ 2.解:(1)依题意，先画出图形分析，并结合图形由三角形中位线的性质定理及两向量相等的定义，知在以点A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中,与向量相等的向量有和. (2)结合图形,由(1)及两向量共线的定义,知在以点A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中,与向量共线的向量有,,,,,,. 3.有下列四个命题：①若非零向量与的方向相同或相反，则与,其中之一的方向相同；②⇔与的方向相同；③；④若(为实数)，则.其中叙述错误的命题个数有_______个． 3.4 对于①，当时，其方向任意，它与的方向都不相同；对于②，当中有一个为零向量时结论不成立；对于③，因为两个向量之和仍是一个向量，所以，而非；对于④，当时，，此时不一定有.综上,知错误的命题有4个. 4.下列有四个结论，其中说法正确的结论是(　 ) A．平行向量不一定是共线向量 B．模为0的向量与任意向量共线 C．若，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 4.B　对于A，共线向量是两个方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以A错误；对于B，模为0的向量是零向量，而零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，当时，满足，但与不一定是平行向量,所以C错误；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误.综上，知选项B正确，故选B． 考法2向量的加、减法应用 5.如图所示，在正六边形ABCDEF中，有(　　) A．　　 B． C．　 D． 5.C 因为，由向量加法法则,得.故选C. 6.设为所在平面内一点，且，则(　　) A．　 B． C． D． 6.B 在中，由，即，则 .故选B． 考法3向量的模与夹角计算 7.如图,在中，分别是边上的点，且满足，. (1)若,，求和的值； (2)若，求向量与夹角的大小. 7.解：(1)依题意及题图，由，得,所以；又因,得,则有,知，所以与相似，从而有，即，解得. (2)由(1)知，,则,故向量与夹角为. 8.有一轮船向着垂直河岸的方向行驶，已知轮船在静水中的速度是12 km/h ,河水的流速是6 km/h.(1)求轮船在河水中的实际运动速度是多少？轮船实际速度方向与河水流动方向夹角的余弦值是多少？(2)要使轮船沿垂直河岸方向到达对岸码头，求船头方向与河水流动方向的夹角是多少？ 8.解:(1)依题意，作向量表示轮船在静水中的速度,表示河水的流动速度，以和为邻边作一平行四边形，如图所示.因为,所以四边形是矩形，且向量就表示轮船的实际运动速度，而就是轮船实际速度方向与河水流动方向的夹角.在中，由于,,由勾股定理得(km/h)； .故轮船的实际运动速度是 km/h，所求夹角的余弦值为. (2)采用与(1)同样方法,作一平行四边形,如图所示.由题意知，,向量与均垂直，且就是船头方向与河水流动方向的夹角；在中, ，则,所以.故船头方向与河水流动方向的夹角是. 考法4向量中的几何图形判断 9.在平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状为(　　) A．梯形　 B．菱形 C．矩形　 D．正方形 9.C 如图，由向量加、减法的平行四边形法则，运算得,，所以.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形.故选C. 10.在四边形ABCD中，若有，则四边形ABCD所对应的图形是(　　) A．平行四边形　 B．梯形 C．菱形　 D．矩形 10.B 由，得，则,且，即在四边形ABCD中,有,且,知四边形ABCD是梯形.故选B. 11.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　 　) A．一定成立 B．一定成立 C．一定成立 D．一定成立 11.A　在平行四边形ABCD中,由向量加、减法的平行四边形法则，知一定成立，一定成立，一定成立，但不一定成立.故选A． 拓展·素养能力深化 诠释疑难，深化思维 1.(多选题)下列四个命题中，其中错误的命题是(　　) A．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 B．若三点A,B,C满足,则该三点一定是的顶点 C．不等式中两个等号不可能同时成立 D．若向量不共线，则向量与向量必不共线 1.ABC 对于A，当时，显然与是共线向量，但若，此时不存在实数使,故选项A错误；或若，此时存在任意实数使,故同样知选项A错误.对于B，由于任意三点A,B,C满足,但当A,B,C三点共线时，它们不能是三角形的顶点，故选项B错误.对于C，当时，该不等式中两个等号就能同时成立,故选项C错误.对于D，因向量不共线，则向量,,,均不为零向量；假设与共线,则存在实数使,即,于是,则,解得，故假设不成立，从而知向量与不共线，故选项D正确.故选ABC． 2.若是任意向量，有下列四个命题:①若与共线,与共线,则与共线；②设是任一向量,是平行的一个单位向量,则；③“与共线”是“与方向相反”的必要不充分条件；④若,则中至少一者为.则其中真命题的是 ． 2.②③ 由于零向量是一个特殊的向量,其模为,方向是任意的,且规定零向量与任意向量共线.对于①,当时满足条件,但与不一定共线,故①错误.对于②,显然是共线向量,注意到有两个不同方向,则,故②正确.对于③,因为与共线等价于与方向相同或相反,故③正确.对于④,当均不为,且时,将向量平移至共起点,以所对应的有向线段为邻边作一平行四边形；因，则该平行四边形为矩形，而矩形的两对角线线段相等，即有成立,故④错误.综上所述知②③为真命题. 学科网（北京）股份有限公司 $