第七章 复数（能力提升卷）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高三·云南大理·月考） A． B． C．-1 D．1 2．（25-26高三上·广东·月考）复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西抚州·期末）已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·重庆江津·月考）已知复数满足则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·陕西咸阳·月考）已知复数，则，和在复平面内对应的点关于（   ） A．坐标原点对称 B．轴对称 C．轴对称 D．直线对称 6．（25-26高三下·河北衡水·月考）已知复数为虚数单位），则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．的共轭复数为 7．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知复数，，则，；若复数，那么（    ） A．0 B． C． D．1 8．（24-25高一·江苏·假期作业）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·安徽宣城·期末）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内对应的点位于第一象限，在复平面内对应的点位于第四象限 B．记的共轭复数为，则 C．若，则 D．若，在复平面内对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则 10．（24-25高二下·浙江·期末）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·福建·月考）已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的有（    ） A．复数z的共轭复数的模为1 B．复数z在复平面内对应的点在第一象限 C．复数z是方程的解 D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·安徽池州·月考）已知复数，则____________ 13．（25-26高一·全国·课后作业）已知是复数，，则复数_________ 14．（2026·重庆·模拟预测）在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cos(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·广东东莞·月考）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 16．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 17．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 18．（25-26高一下·重庆·月考）已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 19．（25-26高二上·重庆·月考）代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高三·云南大理·月考） A． B． C．-1 D．1 【答案】A 【分析】由题意利用复数的运算法则计算所给的复数即可. 【详解】，故选A． 【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程． 2．（25-26高三上·广东·月考）复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的除法法则求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：A. 3．（24-25高二下·江西抚州·期末）已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而判断其虚部. 【详解】解：因为， 所以，所以复数的虚部等于； 故选：A． 4．（25-26高一下·重庆江津·月考）已知复数满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法法则，求得复数，再根据复数模的计算公式求得答案. 【详解】由可得 ， 故. 故选：A. 5．（25-26高三下·陕西咸阳·月考）已知复数，则，和在复平面内对应的点关于（   ） A．坐标原点对称 B．轴对称 C．轴对称 D．直线对称 【答案】B 【分析】利用复数的运算和几何意义求解即可. 【详解】因为，所以，对应的点为， 又，所以，对应的点为， 点与点关于轴对称. 故选:B． 6．（25-26高三下·河北衡水·月考）已知复数为虚数单位），则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．的共轭复数为 【答案】D 【分析】由复数除法法则化简复数，然后根据复数的定义、共轭复数的定义，复数的模判断各选项． 【详解】由，故的共轭复数为， 实部为，虚部为，，只有D正确． 故选：D． 7．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知复数，，则，；若复数，那么（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用复数的运算法则化简分子，然后利用复数的除法求解即可. 【详解】复数，，则，； 若复数， 则 故选：C 8．（24-25高一·江苏·假期作业）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，由题意得，则，分别计算其立方值，代入后即可求解． 【详解】设，则， 根据，得， 根据，得， 由，解得，故， ， 由于 ， 同理得 ， 因此得． 故选：D 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·安徽宣城·期末）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内对应的点位于第一象限，在复平面内对应的点位于第四象限 B．记的共轭复数为，则 C．若，则 D．若，在复平面内对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则 【答案】BC 【分析】对于A，结合复数的几何意义，即可求解；对于B，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解；对于C，结合复数的四则运算，即可求解；对于D，结合复数的几何意义，求出，，再结合平面向量的数量积运算，即可求解． 【详解】，则在复平面内对应的点位于第一象限， 在复平面内对应的点位于第二象限，故A错误； 的共轭复数为，则，故B正确； 由， 得，故C正确； 若在复平面内对应的向量分别为为坐标原点），则， 故，故D错误． 故选：BC． 10．（24-25高二下·浙江·期末）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由复数的模长公式结合复数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，设，则，故B正确； 对于C，设，则， ，故C正确； 对于D，若，则，故D错误． 故选：BC． 11．（25-26高三下·福建·月考）已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的有（    ） A．复数z的共轭复数的模为1 B．复数z在复平面内对应的点在第一象限 C．复数z是方程的解 D． 【答案】AD 【分析】先将复数化简后，再逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，因为，所以，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限，所以B错误， 对于C，因为， 所以复数z不是方程的解，所以C错误， 对于D，因为，所以D正确. 故选：AD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·安徽池州·月考）已知复数，则____________ 【答案】 【分析】根据复数的除法运算、共轭复数的概念化简，再由复数的模的运算求解. 【详解】， ， 故答案为： 13．（25-26高一·全国·课后作业）已知是复数，，则复数_________ 【答案】或/或 【分析】设，则，根据复数运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则， 则，所以，，解得， 因此，. 故答案为：或 14．（2026·重庆·模拟预测）在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cos(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________. 【答案】 【分析】当时，求得点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积. 【详解】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，π)，如图：当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和. 由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积. 因为∠=2×=，所以扇形的面积为等于. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由“的面积等于的面积”得到“向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积”. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·广东东莞·月考）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【详解】（1）由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； （2）由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 16．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由已知写出点、、的坐标，写出向量，，即可求； （2）由已知可得复数对应的点到点和点距离相等，可知复数对应的点在AB的垂直平分线上，即的实部为3，再计算到的距离，由复数对应的点到原点的距离等于该值，即可解出. 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以； （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或. 17．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用共轭复数性质和韦达定理求解方程参数； （2）将复数转化为向量，利用向量夹角为钝角的条件（数量积为负且不共线）求解参数范围． 【详解】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 18．（25-26高一下·重庆·月考）已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用已知求得，可得z； （2）结合（1），利用在第二象限，可得t所满足的条件，进而求得实数t的取值范围； （3）利用实系数方程的根的性质可得，计算可求得的值． 【详解】（1）设． 因为为实数，所以，故， 又， 因为它是纯虚数，所以其实部为0，即，故． （2）由（1）知，所以其共轭复数为． 因此． 因为在第二象限，所以 由，得． 由，得，得． 综上，． （3）因为方程系数为实数，所以另一个根为． 于是． 故，，所以． 19．（25-26高二上·重庆·月考）代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简该方程后借助因式分解结合求根公式计算即可得； （2）化简方程后借助推论三计算即可得； （3）设出中点，代入计算后结合推论三可得点坐标，结合体型菱形对角线垂直计算即可得解. 【详解】（1）由题意，，即，所以， 所以或，对，有， 即复根有. （2）由题意，，化简得，， 由推论三：该方程的解个数多于方程最高次数，得，解得. （3）在菱形中，与互相垂直平分，设中点， 由得，所以， 即， 化简得：， 由点是的图象上的四个不同的点，故该关于的方程有四个不同的解， 故，解得，故， 又，故 由菱形，可得， 所以， 故． 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于对推论三的理解与运用，从而结合题意得到中点的坐标. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $