第七章 复数（单元自测·提升卷）高一数学人教A版必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第七章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 2．已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 3．已知，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 4．设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若复数为实数，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．以上都不对 6．若，则复数在复平面上的对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 8．设为复数，若，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，，则（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 10．已知为复数，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有（    ） A．为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的最大值为 D．若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数是纯虚数，则实数___________． 13．已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 14．已知，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16．（15分） 已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角的与余弦值． 17．（15分） 已知复数满足：. (1)求复数； (2)求的值. 18．（17分） 设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 19．（17分） 设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第七章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 2．已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 3．已知，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 4．设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若复数为实数，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．以上都不对 6．若，则复数在复平面上的对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 8．设为复数，若，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，，则（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 10．已知为复数，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有（    ） A．为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的最大值为 D．若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数是纯虚数，则实数___________． 13．已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 14．已知，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16．（15分） 已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角的与余弦值． 17．（15分） 已知复数满足：. (1)求复数； (2)求的值. 18．（17分） 设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 19．（17分） 设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第七章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用化简原式，计算求解． 【详解】， ， ． 2．已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据复数模的运算及虚部的定义即可求解． 【详解】，所以的虚部为2， 故选：D． 3．已知，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】首先求复数，再求模. 【详解】由，得，所以. 故选：B 4．设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由题设写出A、B的点坐标，进而得到对应的点坐标，即可判断其对应点所在象限. 【详解】由复数的几何意义知，，故， 所以表示的复数所对应的点位于第四象限. 故选：D 5．若复数为实数，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】由题意可得复数的虚部为0，结合对数函数的定义域，即可求得的值. 【详解】由题意可得，即， 解得或. 故选：C. 6．若，则复数在复平面上的对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】根据题意知，得， 则复数的对应点为，位于第三象限． 7．已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程求出复数，然后计算复数的模. 【详解】因为复数满足：， 所以，所以，解得. 所以. 故选：B. 8．设为复数，若，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，根据题意求出的关系，再根据复数的模的公式即可得解. 【详解】设， 由，得，所以， 由，解得， 则， 所以当时，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，，则（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 【答案】AC 【分析】根据复数的运算化简，再根据复数的概念，实部、虚部概念，复数模的定义依次判断. 【详解】对于A，因为，所以的实部为1，故A正确； 对于BC，，所以的虚部为2，为纯虚数，故B错误，C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：AC. 10．已知为复数，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】用特殊值法判断A，C；根据复数的运算性质及共轭复数的含义判断B；根据复数的运算性质及复数的模的计算判断D . 【详解】对于A，若，则，而，故A错误； 对于B，设，， 则，所以. ，故B正确； 对于C，若，显然满足，但1，故C错误； 对于D，设， 所以， 所以， 又，所以，故D正确． 故选：BD． 11．欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有（    ） A．为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的最大值为 D．若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 【答案】AD 【分析】对于A,B,只需按照欧拉公式赋值代入，计算即可判断；对于C，需要求出的表达式，利用三角函数的值域即得；对于D，需要建立复数与对应向量的一一对应关系，利用向量坐标的夹角公式推出面积的表达式，即可得到. 【详解】对于A，显然为纯虚数，故A正确； 对于B，，其共轭复数为，故B错误； 对于C，因， 故， 因，则，故的最大值为，故C错误； 对于D，由，则有，由，则有， 于是，,则，设, 则，故， 则△面积为， 因，,故△面积的最大值为,故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数是纯虚数，则实数___________． 【答案】2 【分析】首先根据复数乘法公式化简复数，再根据纯虚数的特征列式求解. 【详解】因， 要使其为纯虚数，需使且，解得． 故答案为：2 13．已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 【答案】 【分析】将复数代入到方程中，得到复数等式，结合复数的模求解即可. 【详解】将复数代入到方程中,所以 化简整理得： 所以 解得： 所以 故答案为：. 14．已知，则______. 【答案】 【分析】先根据复数的乘法及除法运算化简复数，再代入计算乘方得出，最后应用模长公式计算求解. 【详解】， ， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据复数的除法及乘法计算，再应用纯虚数的概念计算求参； （2）根据共轭复数及加法计算，最后根据点在第四象限，列出不等式计算求参. 【详解】（1）因为， 所以， 由是纯虚数，得， 解得， 所以； （2）由（1）知 所以 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 16．（15分） 已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角的与余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再利用其对应的点所在象限得不等式组，故可求参数的范围； （2）利用夹角公式可求夹角. 【详解】（1）由题意， ， 第一象限需满足：，解得 . （2）当 时，点 ， ， 设的夹角为，则， 且 17．（15分） 已知复数满足：. (1)求复数； (2)求的值. 【答案】(1) (2)i 【分析】（1）设代入已知等式，整理后利用复数的相等建立方程，即可求得； （2）利用（1）中的代入，化简得，再利用虚数单位的幂的运算性质计算即得. 【详解】（1）设， 由，可得， 即， 则， 解得或（此时方程①无意义，故舍去）， 所以. （2）由（1），可得， 因， 则. 18．（17分） 设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由韦达定理可求； （2）根据题意可得，然后根据虚数根，利用判别式即可求解； （3）设设，则，根据题意可求，再利用韦达定理求即可. 【详解】（1），方程为， 所以. （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 19．（17分） 设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，利用几何图形求解该圆上点到原点距离的范围即为的取值范围； （2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，利用几何图形求解即可. 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. （1）解法代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即. 解法2：由不等式，得，即，解得. （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元自测 第六章 平面向量及其应用·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B D C C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）因为， 所以，（2分） 由是纯虚数，得，（5分） 解得， 所以；（7分） （2）由（1）知 所以（9分） 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以，（11分） 解得， 所以实数的取值范围是.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意， ，（2分） 第一象限需满足：，解得 .（6分） （2）当 时，点 ， ，（8分） 设的夹角为，则， 且（15分） 17．（15分） 【详解】（1）设， 由，可得，（2分） 即，（3分） 则，（5分） 解得或（此时方程①无意义，故舍去）， 所以.（8分） （2）由（1），可得，（10分） 因，（12分） 则.（15分） 18．（17分） 【详解】（1），方程为， 所以.（3分） （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为.（7分） （3）设，则，（8分） ，（9分） ，（13分） 由韦达定理，（15分） ， 所以.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. 代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即.（8分） （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $