2026年全国中学生数学奥林匹克广西赛区选拔赛试题

**基本信息** 2026年广西数学奥赛选拔赛试题，通过复数九宫格、数列不等式恒成立等创新情境，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，凸显竞赛选拔的思维深度与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|8/80|复数运算（九宫格）、集合充分条件、数列不等式恒成立、函数最值、立体几何二面角|以跨模块知识融合（如复数与幻方）考查数学眼光，通过不等式恒成立问题发展推理能力| |解答题|4/70|概率应用（取球模型）、椭圆几何证明、数列综合（求和与最值）、函数极值证明|概率题结合实际情境培养应用意识，数列与函数综合题通过多问设计（求通项、最值、参数范围）体现问题层次性，契合竞赛对逻辑推理与模型观念的考查趋势|

2026年全国中学生数学奥林匹克广西赛区选拔赛试题参考答案 一、填空题（每小题10分，共80分） 〔+打提示：设第一行另两个小格内填的复数为3，则每行、每 2i 列及对角线三个格内的复数和都等于x+y+2,于是正中间那一格 为x+z-3,右下方那一格为x+y-2i,于是含x的对角线三个小格 内的复数和为x+y+z,得x+(x+z-3)+(x+y-2)=x+y+,解得x= 2 ti. 经检验，x=3+1满足题设要求」 2.(-2,2)提示：由X-<0解得-1<x<1,即 x+1 A=-1<x<1}A={-1<x<,当a=1时，解得B={b-1<x<b+1 AnB≠0台 -1<1,合-2<b<2另一方面，当-2<b<2时，取a=2,则 b+1>-1 A∩B≠0.因此，b的取值范围是(-2,2). 3 提示：设等差数列{a}的公差为d,则 +g-+a-f-g =2a+30n-1a,d+30m-1)2d (a-'dr-Dnad 5 5 当m-14=0,也筑是爱0加)时取到等号.放人 、 4.√6+√2提示：由 fx,)=Vx2+y2-2W2y+2+Vx2+y2+2W2x+2+Vx2+y2-2W2x+2 =Vx2+b-V+Vx+2+y2+Vx-}+y2, 令A(0,V②)，B(-√2,0)，C(W2,0),P(x,y),可知△4BC是等腰直角三角形，且 f(x,)=PA+PB+PC. 当点P为△4BC的费马点时，f(x,)最小. 由∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，可知∠PBO=30°. 放PB1==29,10P1=10Btan300= 3 千是小为252写=5+=0y= 3 5.(0 提示：由已知有当x>0时，f'(x)=e-1-2a≥0恒成立. 2 即当x>0时，a≤ -1恒成立. 2x (1)令g(x)=e-1-x,则g(0)=0,g(x)=e-1,x>0. 故x>0时，()>0.从而当x>0时，e-≥1 2x 因此a≤}时，ase-1,f)单调递增。 2 2x (2)若a> 令()=。-1-2ar,则0)=0，hG)g 故x∈(0，ln2a时，t(x)<0,此时h(x)递减，从而x∈(0，ln2a时，h(x)<0. 因此x∈(0,1n2a)时，a>e-1.此时不满足x>0时f9单调递增。 2x 故a的取值范围是(02 6.6提示：圆C:(x-4)2+(0y-1)2=4的圆心(4，)关于直线 y=x+1的对称点为(0,5)，故圆C3:x2+(y-5)=4与圆 2 C:(x-4)+(y-1)2=4关于直线y=x+1的对称.对于圆C上的任意点M,在圆 C3上存在点M',使得|PM=PM'I. 因此只需求|PM'|-PW|的最大值. 由于圆C,和圆C,外切，|PM'|-|PN<MNS4+2=6, 因为当P(0,1),M'(0,7),N(0,1)时等号成立，所以所求最大值为6. 7.2W6提示：联结AC,AD,BD,AB,CD,过点C作CE⊥BD于E,交AB于F, 联结AE,因为AB=BC,由对称性可知AE⊥BD,AE=EC,于是∠AEF为二 面角A-BD-A的平面角，即=∠AEF. 设 AB=a, 则 BC=a,CC=2a 从而 AD =5a,AC =2a,BD =16a. 在R4BD,中，有AE=ABAD=9 V√5a BD 6a 在△AEC中，由余弦定理有 C08LAEC=AE'+CE-AC22AE:-AC? 2AE·CE 2AE 51 故cosa=co8∠AEF=0s(r-∠AEC)=-oS∠AEC= 5 从而m&--ea-25,所以m-g-2石 cos a 8.196提示：要使1≤a≤b≤100，且69ab,显然，69=3×23， 下面分四类讨论： (1)若69a,则a=69,于是b=69,70,,100,则(a,b)有32个： (2)若69b,且69{a,则b=69,于是a=1,2,…,68,则(a,b)有68个； (3)若3a,23拓，且4≠69，b≠69，则b=23,46,92, 当b=23时，4=3,6，，21，共7个： 3 当b=46时，1=3,6，，45，共15个： 当b=92时，a=3,6,,66,72,,90,共30-1=29个，则(@，b)有51个： (4)若23a,3b,且a≠69，b≠69，则a=23,46,92, 当a=23时，b=24,27,,66,72,,99,共26-1=25个： 当a=46时，b=48,51,66,72,,99,共18-1=17个： 当a=92时，b=93,96,99,共3个，则(a,b)有45个； 综上，符合条件的正整数对(a,b)的个数是32+68+51+45=196个. 二、解答题(9、10每小题15分，11、12每小题20分，共70分) 9.解：(1)记“取出两个红球”为事件A,记“取出一红一白两个球”为事件B. 则P(A)= C川 C·C 依题意有P0=k:PB趴，.kEN,也就是C=kXC 02 即mm=D=m 2 所以=2n+1,故m必为奇数. …5分 (2)记“取出两个白球”为事件C,则P(C)= C品 C m+n 由已知有PU+PC)=P(B,也就是CS+C-C·C C2 即m十n=(2-).从而m十n必为完全平方数.…10分 又由m>n≥4且m+n≤40，于是9≤m+n≤40 从而m+n可能为9,16,25,36. m+n=9m+n=16「m+n=25 m+n=36 所以m-n=3；m-n=4；m-n=5 1-n=6· 〔m=6(不合题意，舍去)； m=10「m=15 m=21 解得m=3 m=6:m=10:1m=15 4 故满足条件的数组(m,n)为10,6)，(15,10)，（21,15)共三组.…15分 10.解：设直线AW,CD的倾斜角为0，则0<日<严 因点A的坐标为A(-a,0),故AN的参数方程为 x=-a+tcos0 y=tsin 令x=0,则t=a ,即 cos0 M AM=、a .…5分 0 cose 将N的参数方程代入椭圆方程得 (←-a+tcos0)2(tsin)2 52 -=1. a' a'b2-2ab21c0s0+b't cos20+a't'sin20=ab2 2ab'cose 2ab'cose t=°co820+asin6 故AN= b2cos20+a2sin20 2a2b2 所以AM·AN= …10分 b2 cos20+a'sin20 x=tcos0 又AN∥OD,故OD的参数方程为 (y=tsing' 代入椭圆方程得 1 cos20 t2 sin20 b2 =1,t= ab2 a' b2cos20+a'sin20 故OD2= a'b2 b2cos20+a'sin20 2a2b2 由CD关于O点对称可知CO=OD.于是，CO.CD=2OD= b2cos20+a2sin日 因此AMAN=COCD…15分 另解：设直线CD的方程为y=,而A点坐标为(-a,0),AN/CD,则直线AN 为y=k(x+a.… …3分 设C,D两点的坐标为C(x,),D(x2,2),则 CD2=(x-x)2+(x2-x)2=1+k2x-)2. 「x2y2 由+61, 可得x2= a'b? b2+a'k2 y=kx a'b? a'b2 4a2b3 V万4aF'V万+x'CD=0+)云R 从面C0cD-0D=01220e 2a2b2 …9分 设A,N两点的坐标为A(x,k(x3+),N(x4,(x4+a), 则AW=V(x-x)》2+[k(x4+a)-k(x+a=V1+2,x4-x. 山层京1万之，101用 y=k(x+a) a b2 (b2+a2k2)x2+2a2k2x+ad2(a2k2-b2)=0. 由韦达定理有x?+x,= 6+R=4a-b 2ak? b2+a'k? 因此AW=V1+k2.x4-x3上V1+k2V(x+x4)P-4xx =V1+积 2ak? 4a2(a2k2-b2) b+ak? b2+ak2 =V1+k Aak-Ad(ak2-b2)(b2+ak) (b2+a2k2)2 =+k 2ab? b2+ak? 又A(-a,O),M为直线y=(x+)与y轴交点，故M为点(O,a, 从而AM=V√+(a)2=aW1+k2. 于是，AMAW=aV1+k+k.,2b b=4+63 因此，M·AN=COCD.…15分 6 11.解：（1)因为点(a,Sn)位于直线y=2x-2上，所以Sm=24,-2. 于是S1=2a,-2,41=2a-2,故a1=2. 当n22时，S,n-1=2a-1-2,故an=Sn-Sm-1=2a.-2a-1,由此可得a=2a-1, 从而a=a:2-1=2”,且n=1时也成立. 因此a=2” …6分 (2)6,=11-1 易知&a3-)经) 4-小84 65-好如 68- 事实上，当n≥5时，由+D_n+1Dn+2-n+10-2>0可知 2 2+1 2+1 当≥5时，数列+为一个递减数列，+D≤5x6<1. 、2 2n 25 于是，T<T<T<T4,T4>T>T6>，即对任意n∈N均有T之Tn 故k=4.…12分 c040+20+27入以 dh+l 2+1 &g动r6g 小2 故，}单调递增。当t<时，存在充分大的n使得1<几< 3 因此，元的最小值为 2 .…20分 12.解：（1)当m=-2时，函数f(x)=xx+x2-x=x(nx+x-1),x>0. 令g()=血r+x-1,则g)=1+1>0. 于是函数f(x)=x(nx+x-1)在(0，+oo)上是单调递增函数， 而f四)=0，所以当m=-2时，函数f()由唯一的零点x=1.…6分 (2)x、x是函数f()的两个极值点，故x、x是导函数∫'(x)的两个零点. 不妨设0<x<x,.f)=x.+lnx-m-1=nx-m. Inx -mx =0 即 Inx nx 由x、x是∫()的两个零点可得 nx2-x2=0' Inx2 =nx2 两式相加可得m=血+血，两式相减可得m=血-血飞 X1+x2 X1一X2 五支 于是，血+飞_血-血龙，血y= x+x3x1-x2X1+x2-2 G3+,)h主在+1Dh玉 从而血= .…13分 X1-X2 立-1 令t=龙，则0<t<1. x. 令函数0=n1-21-2,0<t≤1.则 t+1 h0=}21-2y-+D-2-2)-+y-14=-D>0. (t+1) t(t+1)2tt+1)2 故函数h()在区间(0,1)上单调递增. 又h0=0,故tE(0,)时，都有0<0=0，从而nt-21-2 <0. t+1 于是，+D1血4>2,0<1<1. t-1 因此，1nxx2>2,由此可得xx2>e2.…20分 2026 年全国中学生数学奥林匹克广西赛区选拔赛试题 一、填空题（每小题10分，共80分） 1．一个九宫格如图所示，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线三个格内的复数和都相等，则表示的复数是 ． 2．集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是 ． 3．设为数列的前项之和，若不等式对任何等差数列及任何正整数恒成立，则的最大值为 ． 4．若函数，则的最小值是 ． 5．设函数，当时单调递增，则的取值范围是 ． 6．已知为直线上一点，分别为圆与圆上的点，则的最大值为 ． 7．如图，在长方体中，，若二面角的度数为，则 ． 8．使得，且的正整数对的个数是 ． 二、解答题（9、10每小题15分，11、12每小题20分，共70分） 9．一个袋子中装有个红球和个白球，它们除了颜色不同外，其余都相同．现从中任取两个球． （1）若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：必为奇数． （2）若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足的所有数组． 10．如图，是椭圆的一条过中心的弦，过椭圆的左顶点作的平行线，交椭圆于另一点，交轴于点． 求证：． 11．已知数列的前项之和为，且点位于直线上． （1）求数列的通项公式； （2）设是数列的前项之和，求正整数，使得对任意均有； （3）设是数列的前项之和，若对任意均有成立，求的最小值． 12．已知函数． （1）当时，求函数的所有零点； （2）设、是函数的两个极值点，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $