专题04不等式与一元一次不等式专项训练(15大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题04不等式与一元一次不等式专项训练 题型01.不等式及其性质 题型02.一元一次不等式定义 题型03.解一元一次不等式 题型04.数轴表示不等式的解集 题型05.求不等式的整数解 题型06.不等式解的最值问题 题型07.含绝对值不等式的解法 题型08.列一元一次不等式 题型09.不等式的实际应用 题型10.不等式的几何应用 题型11.不等式组与新定义运算 题型12.不等式组与方程组结合问题 题型13.不等式组整数解求参数 题型14.不等式组有解无解问题 题型15.不等式组的特殊整数解问题 解答题7题 知识点01.不等式及其性质 （一）核心概念 不等式:用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接两个代数式，表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合。 解不等式：求不等式解集的过程。 (二）不等式的基本性质（核心考点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 （三）易错警示 不等式两边同乘 / 除以负数时，必须改变不等号方向 不等式两边不能同乘 0（乘 0 后不等号变为等号，失去不等关系）。 知识点02.一元一次不等式 （一）核心概念 一元一次不等式：只含一个未知数，且未知数的次数是 1，不等号两边都是整式的不等式。标准形式：ax+b＞0（或＜、≥、≤，a0） 一元一次不等式的解集：满足一元一次不等式的所有未知数的值，可在数轴上直观表示。 （二）解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 （三）解集的数轴表示（关键技巧） 空心圆圈：表示不包含该点（对应＞、＜）。 实心圆点：表示包含该点（对应≥、≤）。 方向：大于向右画，小于向左画。 高频易错点（考试必避坑） 1.两边同乘 / 除以负数时，忘记变号（最常丢分） 2.去分母时，常数项漏乘公分母 3.数轴表示：空心实心分不清、方向画反 4.把 “≥” 写成 “＞”、“≤” 写成 “＜” 题型01.不等式及其性质 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 3．如果，那么下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 5．的最小整数解是，的最大整数解是，则的值为_____． 6．如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为_________． 7．下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 8．若，则下列式子正确的是（　　）． A． B． C． D． 题型02.一元一次不等式定义 9．下列不等式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 10．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 11．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 题型03.解一元一次不等式 12．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 13．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 14．若（为实数），则（    ） A． B． C． D． 15．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型04.数轴表示不等式的解集 16．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 17．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 18．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 题型05.求不等式的整数解 19．若不等式的最大整数解是，则__________． 20．不等式的正整数解是________． 21．不等式的非负整数解为_________． 22．用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 题型06.不等式解的最值问题 23．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为______． 24．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 25．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型07.含绝对值不等式的解法 26．已知不等式的解是，则a＝_______． 27．已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________． 28．若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型08.列一元一次不等式 29．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 30．如图①，一个容量为的杯子中装有的水．将四个相同的小球放入这个杯子中，水没有溢出，如图②．设每个小球的体积为．根据题意可列不等式为（    ） A． B． C． D． 31．杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了x道题，若得分不低于72分，可列出关于x的不等式是（   ） A． B． C． D． 题型09.不等式的实际应用 32．杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于72分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 33．学校准备用3000元购买口琴和笛子作为校园歌手大赛的奖品，其中笛子每支80元，口琴每把200元，现已经购买笛子21支，最多还能购买（    ）把口琴． A．5 B．6 C．7 D．8 34．春节期间，某服装店降价促销．若在该服装店购买定价为元的服装，根据该服装店促销方案列不等式为，那么该服装店促销方案为（   ） A．买两件等价的服装可减120元，再打八折，最后不超过500元 B．买两件等价的服装可打八折，再减120元，最后不超过500元 C．买两件等价的服装可减120元，再打八折，最后不到500元 D．买两件等价的服装可打八折，再减120元，最后不到500元 35．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是________． 题型10.不等式的几何应用 36．已知三角形的两边长为2，4，则第三边长应为（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 37．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 38．如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次沿ED翻折，第三次沿CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型11.新定义运算题 39．在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，如：，则不等式的负整数解的积是______． 40．定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的最小整数解为___________． 41．定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 42．定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．对于任意实数，，定义一种新运算：．例如：． (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)请根据上述定义解不等式． 题型12.不等式组与方程组结合问题 44．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 45．若不等式组的解集是，则____． 46．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型13.不等式组整数解求参数 47．若不等式组有三个整数解，则实数的取值范围是______． 48．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 49．若关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型14.不等式组有解无解问题 51．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 52．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 53．如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 54．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型15.不等式组的特殊整数解问题 55．若关于的不等式组有且只有四个整数解，则实数的取值范围是______． 56．关于的不等式组，恰好有两个整数解，则的取值范围是___________． 57．已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 58．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解答题 59．已知实数、、满足，，求证：． 60．解不等式： (1)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； (2)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； 61．若不等式的最小整数解是方程的解，求a的值． 62．对任意实数，定义一种新运算“”，规定：，例如． (1)求不等式的最小整数解； (2)若，求的取值范围． 63．如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 64．随着“双减”政策的逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品店购买若干个篮球和排球． (1)若该学校第一次到该体育用品店购买篮球和排球共100个，且购买排球数量不少于篮球数量的，那么该学校最多可以购买多少个篮球？ (2)若此体育用品店篮球的售价为每个160元，排球的售价为每个120元，学校第二次从该体育用品店一次性购买篮球和排球共60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？ 65．如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04不等式与一元一次不等式专项训练 题型01.不等式及其性质 题型02.一元一次不等式定义 题型03.解一元一次不等式 题型04.数轴表示不等式的解集 题型05.求不等式的整数解 题型06.不等式解的最值问题 题型07.含绝对值不等式的解法 题型08.列一元一次不等式 题型09.不等式的实际应用 题型10.不等式的几何应用 题型11.不等式组与新定义运算 题型12.不等式组与方程组结合问题 题型13.不等式组整数解求参数 题型14.不等式组有解无解问题 题型15.不等式组的特殊整数解问题 解答题7题 知识点01.不等式及其性质 （一）核心概念 不等式:用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接两个代数式，表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合。 解不等式：求不等式解集的过程。 (二）不等式的基本性质（核心考点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 （三）易错警示 不等式两边同乘 / 除以负数时，必须改变不等号方向 不等式两边不能同乘 0（乘 0 后不等号变为等号，失去不等关系）。 知识点02.一元一次不等式 （一）核心概念 一元一次不等式：只含一个未知数，且未知数的次数是 1，不等号两边都是整式的不等式。标准形式：ax+b＞0（或＜、≥、≤，a0） 一元一次不等式的解集：满足一元一次不等式的所有未知数的值，可在数轴上直观表示。 （二）解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 （三）解集的数轴表示（关键技巧） 空心圆圈：表示不包含该点（对应＞、＜）。 实心圆点：表示包含该点（对应≥、≤）。 方向：大于向右画，小于向左画。 高频易错点（考试必避坑） 1.两边同乘 / 除以负数时，忘记变号（最常丢分） 2.去分母时，常数项漏乘公分母 3.数轴表示：空心实心分不清、方向画反 4.把 “≥” 写成 “＞”、“≤” 写成 “＜” 题型01.不等式及其性质 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的定义“用不等号连接的式子是不等式”逐项判断即可． 【详解】解：A．是代数式，不含不等号，不是不等式，不符合题意； B．是用等号连接的等式，不是不等式； C．是用不等号连接的式子，符合不等式的定义，是不等式，符合题意； D．是用等号连接的等式，不是不等式，不符合题意． 2．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格中的数据，根据时邮资为元即可求解，看懂表格是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当信件质量满足时，邮资为元， ∴此平信的质量可能为克， 故选：． 3．如果，那么下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、∵，∴，故该不等式正确，不符合题意； B、∵，∴，故该不等式正确，不符合题意； C、∵，∴，故该不等式正确，不符合题意； D、∵，∴，故该不等式错误，符合题意． 4．若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，不等号方向发生改变，说明不等式两边除以的系数为负数，据此建立关于的不等式求解即可． 【详解】解： 关于的不等式可化为，不等号方向发生改变， 由不等式的性质3可知，系数， 解得． 5．的最小整数解是，的最大整数解是，则的值为_____． 【答案】6075 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． 根据不等式的整数解定义，确定和的值，再计算乘积即可． 【详解】解：由，得最小整数解为，故； 由，得最大整数解为，故． 因此． 故答案为：． 6．如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的定义，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 7．下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解得定义去判定即可． 【详解】， ， A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意； B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意； C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意； D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意； 故选：A． 8．若，则下列式子正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于A：不等式两边同乘以一个负数，不等号会改变，因此，故A错误； 对于B：不等式两边同乘以一个正数，不等号不变，因此，故B错误； 对于C：由两边同乘以得，再同加上，得，故C错误； 对于D：不等式两边同减去一个数，不等号不变，因此，故D正确． 题型02.一元一次不等式定义 9．下列不等式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元一次不等式的定义判断即可，一元一次不等式的定义为：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且不等号两边都是整式的不等式． 【详解】解：∵一元一次不等式满足：只含一个未知数，未知数最高次数为1，不等号两边均为整式. A、 含有2个未知数，不符合定义，错误； B、 中 是分式，不等号两边不都是整式，不符合定义，错误； C、 中未知数的最高次数为2，不符合定义，错误； D、 只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，正确． 10．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为的整式不等式，称为一元一次不等式；据此逐一判断即可． 【详解】A．含有和两个未知数，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， B．未知数的次数为，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， C．分母含有未知数，不是整式不等式，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， D．只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式不等式，故该选项是一元一次不等式，符合题意． 11．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的不等式叫做一元一次不等式. 【详解】、是一元一次不等式； 、不含未知数，不符合定义； 、含有两个未知数，不符合定义； 、未知数的次数是，不符合定义， 故选：A. 【点睛】此题考查一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的不等式叫做一元一次不等式. 题型03.解一元一次不等式 12．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先移项，然后将系数化为1即可． 【详解】解：， 移项得， 两边同除以，将系数化为得． 13．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵去括号得 移项得 合并同类项得 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得 ∴不等式的解集为． 14．若（为实数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方的非负性，可得，从而得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵为实数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 题型04.数轴表示不等式的解集 16．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”可得，不等式的解集在数轴上表示如D选项所示． 17．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤得到不等式的解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 在数轴上表示为：空心圆圈在1处，折线向右延伸， 故选：C． 18．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出每个不等式的解，即得不等式组的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上， ， 故选：A． 题型05.求不等式的整数解 19．若不等式的最大整数解是，则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了不等式的解集，根据不等式的性质求解，再结合整数解即可求解． 【详解】解：， 解得，， ∴最大整数解为， 故答案为：3 ． 20．不等式的正整数解是________． 【答案】1，2 【分析】解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出符合要求的正整数即可． 【详解】解：解不等式， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 因此满足不等式的正整数解为和． 21．不等式的非负整数解为_________． 【答案】0，1 【分析】先求解不等式，得到的取值范围，再找出非负整数解． 【详解】解： ， 两边同乘得 ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 即 ． 非负整数解为和． 故答案为． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 22．用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要考查取整函数，利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于100的正整数中6的倍数的个数． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 题型06.不等式解的最值问题 23．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 24．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 25．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 题型07.含绝对值不等式的解法 26．已知不等式的解是，则a＝_______． 【答案】 【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可． 【详解】∵ ∴，即， ∴ ∴或 ∴或 ∵不等式的解是， ∴应舍去， ∴，解得， 经检验，是方程的解． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解． 27．已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，不等式恒成立问题，利用转化的思想是解题的关键． 不等式变形为，令，此时不等式问题转化为函数问题，再分类讨论，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 令， 当时，， ∴当恒成立时，则， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， 综上：， 故答案为：． 28．若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为， 无解， ， 故选：D． 题型08.列一元一次不等式 29．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“非负数”的含义是大于等于0，即可根据题意列出不等式． 【详解】解：x与2的差可表示为， x与2的差的3倍可表示为， ∵该式子是非负数， ∴． 30．如图①，一个容量为的杯子中装有的水．将四个相同的小球放入这个杯子中，水没有溢出，如图②．设每个小球的体积为．根据题意可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抓住将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，说明水和玻璃球的总体积小于杯子的容积． 本题考查了一元一次不等式，解题的关键是：弄清楚题目中的量之间的关系． 【详解】解：根据题意可知起始水位为，增加4个玻璃球后， 此时的水位为：， 结果水没有满，即水和玻璃球的总体积小于， 故不等式为： 故选：A． 31．杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了x道题，若得分不低于72分，可列出关于x的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意正确表示总得分，根据“不低于”的含义为大于等于，列出不等式． 【详解】解：设答对了道题，则答错或不答的题数为道， 根据题意得：． 题型09.不等式的实际应用 32．杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于72分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，关键是准确表示总得分并理解“不低于”的含义(即大于等于)．首先根据答对题数得出答错或不答的题数，再推导总得分的表达式，最后根据“得分不低于分”的条件列出不等式． 【详解】解：∵答对了道题，总题数为道， ∴答错或不答的题数为道； 根据题意，可列出不等式． 故选：D． 33．学校准备用3000元购买口琴和笛子作为校园歌手大赛的奖品，其中笛子每支80元，口琴每把200元，现已经购买笛子21支，最多还能购买（    ）把口琴． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设还能购买把口琴，先计算已买笛子的总花费，再结合总预算列出不等式，求口琴数量的最大正整数解即可． 【详解】解：设还能购买把口琴，根据题意得： ， 解得：， ∵是非负整数． ∴的最大值为6． 即最多还能购买6把口琴． 34．春节期间，某服装店降价促销．若在该服装店购买定价为元的服装，根据该服装店促销方案列不等式为，那么该服装店促销方案为（   ） A．买两件等价的服装可减120元，再打八折，最后不超过500元 B．买两件等价的服装可打八折，再减120元，最后不超过500元 C．买两件等价的服装可减120元，再打八折，最后不到500元 D．买两件等价的服装可打八折，再减120元，最后不到500元 【答案】C 【分析】根据题意，可以写出表示的含义，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得，表示买两件等价的服装可减120元，再打八折，最后不到500元． 35．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是________． 【答案】164 【分析】本题主要考查了不等式的应用，关键是根据题意正确列出不等式，难度大，需要超强的解题能力． 设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个，根据在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，列出方程并整理得，再根据6件B的总价与9件C的总价相同，得，进而得，再根据在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．列出方程，把代入并整理得，根据在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，得，，要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量，结合，便可求得结果． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个， ∵在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多， ∴， 整理得， ∵6件B的总价与9件C的总价相同， ∴，即， ∴， ∵在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多． ∴， 把代入上式并整理得， ∴， ∵在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150， ∴， 又∵，即， ∴要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量， ∵， ∴， 解得， ∴x的最大值为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴y的最大值为， 则， ∴， ∴商家在丙处购买三种商品的数量和最少为：， 故答案为：164． 题型10.不等式的几何应用 36．已知三角形的两边长为2，4，则第三边长应为（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系求解即可，三角形三边关系，两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 【详解】解：∵三角形的两边长为2，4， 设第三边为， ∴ 即 故选B 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键． 37．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 38．如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次沿ED翻折，第三次沿CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可； 【详解】解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°， 第二次翻折后3a+∠BDC=180°， 第三次翻折后4a+∠BDE=180°， 第四次翻折后5a+∠BDC=180°， 若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°， 若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°， 当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上， ∴30°＜a＜36°， 故选：D； 【点睛】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键． 题型11.新定义运算题 39．在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，如：，则不等式的负整数解的积是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解和实数的运算，先根据已知条件中的新定义，列出关于x的不等式，解不等式求出x的取值范围，从而求出不等式的负整数解，从而求出不等式负整数解的积． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的负整数解为：，， 不等式的负整数解的积是：， 故答案为： 40．定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的最小整数解为___________． 【答案】0 【分析】本题考查定义新运算，求不等式的整数解，根据新运算的法则，列出不等式，进而求出不等式的解集，确定最小整数解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴最小整数解为：0， 故答案为：0． 41．定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解的含义求解字母的取值范围，根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得． 【详解】解：∵， 对于： ∵， ∴， 即， 对于： ∵， ∴， 即， ∴不等式组解为 要求恰有三个整数解，即 ∴需， ∴． 故选：B． 42．定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①分类讨论当时和当时，结合新定义的运算法则计算即可判断；②由绝对值的非负性可知．再分类讨论当时和当时，化简绝对值求解即可；③解不等式得：，即得出，，，结合新定义的运算法则可求出 ．再分类讨论当时，即时和当时，即时，化简绝对值求解即可；④由二元一次方程组的解的定义可求出a和b的值，结合完全平方公式可将原方程组改为，再根据平方的非负性结合新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：①当时，即， ∴， 解得：； 当时，即， ∴， 解得：，不符合题意， 综上可知若，则，故①错误； ②∵， ∴， ∴． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上可知若，则或，故②错误； ③∵， ∴，或，， 解得：． ∴，，， ∴， ∴． 当时，即时，， ∴此时当时有最小值，为； 当时，即时，． 综上可知若，则的最小值为14，故③正确； ④将代入，得：， ∴原方程组为， ∴． ∵，，，，，，， ∴， ， ， ， ∴原方程为， 解得：， ∴，故④错误． 综上可知正确的只有③． 故选A． 【点睛】本题考查新定义运算，化简绝对值，解不等式和不等式组，二元一次方程组的解和解二元一次方程组，完全平方公式的应用，分类讨论思想的运用．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 43．对于任意实数，，定义一种新运算：．例如：． (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义分别计算出和的值，然后比较大小即可． （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， ， ∴ （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 题型12.不等式组与方程组结合问题 44．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则可变形为，可变形，再分别求解即可得出答案． 【详解】解：由得， 则可变形为， 解得， 可变形为， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 45．若不等式组的解集是，则____． 【答案】 【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于，的方程，然后求出，的值，最后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】由， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集为：， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组解集的求法、解一次方程以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于，的方程是解题的关键． 46．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 【详解】解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 题型13.不等式组整数解求参数 47．若不等式组有三个整数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解出不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，即可得到，然后求出的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组有三个整数解， ∴三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴实数的取值范围是． 48．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有4个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为． 49．若关于x的不等式组只有2个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的方法，以及根据整数解的个数确定参数取值范围的思路是解题的关键． 先解不等式组得到解集，再根据只有2个整数解确定整数解为0和1，从而推导a的取值范围． 【详解】解：解不等式组： ∵ 且 ∴解集为． ∵解集只有2个整数解，且， ∴整数解为和． 为确保只有这两个整数解： 在解集中，∴； 不在解集中，∴． ∴． 故选 C． 50．关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解的不等式组，然后根据整数解的个数确定的不等式组，解出取值范围即可． 【详解】解：不等式组， 解得：， 不等式组只有个整数解，即解只能是，，，，， 的取值范围是：， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解的个数确定关于的不等式组． 题型14.不等式组有解无解问题 51．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 【详解】解：∵， 解①得，， 解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 52．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 首先解不等式组中的第一个不等式，然后根据不等式组无解，可以得到答案． 【详解】解：解不等式 ，得； ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 53．如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】19 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 54．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】先根据不等式组有解集求出m的取值范围，再根据分式方程有非负整数解求出符合条件的m值，再求和即可． 【详解】解不等式组，得． 因为该不等式组有解，所以， 即． 由分式方程有非负整数解， 得，且. 当时，； 当时，（不符合题意）； 当时，（不符合题意）； 当时，； 当时，（不符合题意）； 当时，（不符合题意）； 当时，（不符合题意）； 当，时，不符合题意； 当时，； 当时不符合题意． 故符合题意的m的值有7，4，－2， 所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，解含字母系数的分式方程，注意：当分式方程产生增根时不符合题意． 题型15.不等式组的特殊整数解问题 55．若关于的不等式组有且只有四个整数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解每个不等式，根据不等式组有且只有个整数解得出，然后解这个不等式组求即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组有且只有四个整数解， ∴，解得， ∴实数的取值范围是． 56．关于的不等式组，恰好有两个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：关于的不等式组的解集为， 不等式组恰好有两个整数解， 这两个整数解为、， 57．已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键． 先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 58．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】解不等式组得出关于的范围，根据不等式组有4个整数解得出的范围，继而可得整数的取值． 【详解】解：由不等式，解得， 由不等式，解得， 不等式组有且只有4个整数解， ， 解得：； 所以满足条件的整数的值有、、共3个， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解，熟练掌握解不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键． 解答题 59．已知实数、、满足，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据得，把代入，得，再整理即可证明． 【详解】证明：， ． 把代入，得， ， ． ． 60．解不等式： (1)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； (2)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：， 两边同除以，得， 两边同加上，得． 数轴表示如下所示： （2）解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 数轴表示如下所示： 61．若不等式的最小整数解是方程的解，求a的值． 【答案】a的值为4． 【分析】此题可先将不等式化简求出x的取值，然后取x的最小整数解代入方程，化为关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值． 【详解】解：由不等式得， ， 所以最小整数解为， 将代入中，得， 解得． ∴a的值为4． 62．对任意实数，定义一种新运算“”，规定：，例如． (1)求不等式的最小整数解； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（或）． 【分析】（）将给定的新运算表达式代入定义式，转化为常规的不等式，再通过去括号、合并同类项化简不等式，求解不等式后，找出大于解集的最小整数，得到不等式的最小整数解； （）先根据新定义运算，依次计算出的表达式，再将其代入给定的不等式，化简后解一元一次不等式，得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据新定义：， 将展开:代入不等式,得:, 化简计算: 即： 解得： ∵大于的最小整数为， 即不等式的最小整数解是； （2）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 解得：, 即的取值范围（或）． 63．如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了列不等式以及分类讨论思想；，熟练运用分类讨论思想是关键． （1）正确列出不等式，然后根据条件计算即可； （2）运用分类讨论思想正确列出不等式，然后根据条件计算即可；． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得，     为正整数，且为偶数， ； （2）解：当输入的为奇数时，， 解得， 则的最小值为19；     当输入的为偶数时，， 解得， 则的最小值为18；     综上所述，符合条件的的最小值为18． 64．随着“双减”政策的逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品店购买若干个篮球和排球． (1)若该学校第一次到该体育用品店购买篮球和排球共100个，且购买排球数量不少于篮球数量的，那么该学校最多可以购买多少个篮球？ (2)若此体育用品店篮球的售价为每个160元，排球的售价为每个120元，学校第二次从该体育用品店一次性购买篮球和排球共60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)该学校最多可以购买60个篮球 (2)学校最多可以购买篮球36个 【分析】（1）设学校购买篮球个，则购买排球个，根据“购买排球数量不少于篮球数量的”列不等式求解即可； （2）设学校购买篮球y个，则购买排球个，根据“总费用不超过8640元”列不等式求解即可； 【详解】（1）解：设学校购买篮球个，则购买排球个， 依题意得：． 解得：． 答：该学校最多可以购买60个篮球． （2）解：设学校购买篮球y个，则购买排球个， 依题意得：． 解得， 答：学校最多可以购买篮球36个． 65．如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 【答案】(1)点A、B间的距离是； (2)； (3)表示数的点落在线段上． 【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． （1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可； （2）求出的范围，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴代表的数为， ∴点A、B间的距离是； （2）解：由题意，得：， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴表示数的点落在线段上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $