专题04 解题技巧专题：分式的混合运算和新定义型问题（6大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题04 解题技巧专题：分式的混合运算和新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式的混合运算问题 1 题型二、分式的混合运算先化简求值问题 4 题型三、分式的混合运算错解复原问题 6 题型四、分式的混合运算规律探究问题 10 题型五、分式的混合运算新定义型问题 14 题型六、分式的混合运假分式问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式的混合运算问题 1．（25-26八年级上·西藏拉萨·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的乘方，再计算乘除法即可； （2）把分式的除法变为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：原式= 2．（24-25八年级下·河南周口·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后计算分式的乘法即可； （2）先分解分式，将除法转化为乘法，计算分式的乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的通分及运算法则是的关键； （1）先进行分式的通分，在利用同分母分式的减法法则计算，然后进行约分，即可得到答案； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）； ， ； （2） = ． 4．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算， （1）先根据乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行乘法运算； （2）先进行括号内的减法运算，同时将除法化为乘法，然后约分后进行乘法运算； 掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型二、分式的混合运算先化简求值问题 5．（25-26八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】本题考查分式的混合运算及代入求值，涉及知识点包括分式的通分、因式分解、分式的乘除运算法则．关键是遵循先括号内后括号外的运算顺序，通过因式分解约去公因式简化分式，再代入数值计算． 【详解】解： ； 将代入，原式． 6．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据负指数幂求得x的值，再根据分式的混合运算法则化简，然后将x的值代入计算即可． 【详解】解：， ． 当时，原式． 【点睛】掌握以及分式的混合运算法则是解题的关键． 7．（25-26八年级上·广东东莞·期末）化简求值：已知．求的值． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后根据，可以得到，再代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式． 8．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值．先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型三、分式的混合运算错解复原问题 9．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）下面是小明同学计算的过程： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)上面的运算过程从第________步开始错误，错误原因是_____________． (2)请写出正确的运算过程． 【答案】(1)一，运算顺序错误 (2)正确运算过程见详解 【分析】本题考查了分式乘除混合运算的运算顺序． （1）在分式乘除混合运算中，运算顺序是从左到右依次进行，观察小明同学的运算过程发现第一步开始错误，其先计算了后面的乘法，改变了运算顺序，所以从第一步开始错误； （2）先算，再将乘以，根据分式乘法法则即可得出结果． 【详解】（1）解：小明同学在运算的过程中，第一步出现了错误，导致后续步骤出现错误，而错误的原因是运算顺序出现错误，应先计算除法，再计算乘法， 故答案为：一，运算顺序错误． （2）解：． 10．（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简时，嘉淇同学发现一种特别简单的做法： (1)老师说嘉淇做错了，请找出从第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)三 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，分式的基本性质，熟知分式的相关知识是解题的关键． （1）第三步中，把两个分式的分子乘以，但是分母没有乘以，从而改变了原式的值，进而计算错误； （2）先把两个分式通分，再把分子合并化简，最后约分即可得到答案． 【详解】（1）解：观察可知，从第三步开始出现错误，错误原因是把两个分式的分子乘以，但是分母没有乘以，从而改变了原式的值； （2）解： ． 11．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下面是小红同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 ．…………第五步 任务： (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误； (2)请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值． 【答案】(1)四； (2)见解析， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题中的计算过程解答即可； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第四步进行化简时分子的符号没改变， 故答案为：四； （2）解： ， 当时，原式． 12．（25-26八年级上·江西宜春·期末）小明同学化简的过程如下： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)化简过程中第_____步出现错误，出现错误的原因是_____． (2)请你书写正确的化简过程及结果． 【答案】(1)三；去括号时，第二项没有变号 (2)见解析， 【分析】本题考查了分式的加减运算，关键是熟练应用运算法则计算； （1）错误出现在第三步，去括号时符号错误； （2）根据分式的加减运算法则计算即可，注意符号变化和约分． 【详解】（1）解：错误出现在第三步，去括号时，第二项没有变号； 故答案为：三；去括号时，第二项没有变号； （2）解：原式 ． 题型四、分式的混合运算规律探究问题 13．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式类规律题，分式的加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）观察给出的3个等式，找出分数的分子、分母的变化规律，即可求解； （2）用含n的等式表示（1）中发现的规律，写出第n个等式，再根据异分母的分式加法法则计算化简即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意得，第n个等式为：， 证明： ． 14．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识． （1）根据，，，得出第⑤个等式中分母应为，根据规律得到答案； （2）根据，，，，得出规律，从而得到答案． 【详解】（1）解：由第①个等式，得 由第②个等式，得 由第③个等式，得 ∴第⑤个等式应为：，得． （2）解：第1个等式中分母为， 第2个等式中分母为， 第3个等式中分母为， 第4个等式中分母为， 得第个等式中分母为应为： ∴第个等式为：， ∵左边， 右边， ∴左边右边． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字规律探究，分式的运算与通分，掌握裂项相消是解题关键． （1）根据前个等式的规律，直接写出第个等式； （2）先归纳出第个等式的猜想形式，再通过分式通分计算，验证等式左右两边相等． 【详解】（1）解：由题可知，． 答：． （2）解：，证明如下： ， ， ． 16．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； （4）解： ． 题型五、分式的混合运算新定义型问题 17．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）定义新运算：，若，则的值是______． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【答案】(1)是 (2)①；② 1​, 3​ 或 4​ 【分析】分析 ​​（1）计算 和 ​，判断是否相等． ​​（2）​​​①​ 设分式A，由定义 ，解方程求A． ​②​ 令A为正整数，求整数x，再得A的值． 【详解】（1）解：设． ， ， 故​ 是的“友好分式”， 故答案为： ​是； （2）​​​①​分式是分式A的“友好分式”， 设分式． 则 移项，得， ， ， ， 分式A为 ​​． ​②​，要求A为正整数，x为整数且 ． 令（k正整数），则：， ， ， ， x整数，故 k−2 整除2，即： 当时， 当时，， 当时， 当时（舍去，非正整数） A的值为 1​, 3​ 或 4​． 【点睛】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程、整数解问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． 19．（24-25八年级上·广东湛江·期末）我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 【答案】(1)C不是D的“雅中式” (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式作差并计算后进行判断即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴不是D的“雅中式”； （2）解：∵分式，，P是Q的“雅中式”， 且P关于Q的“雅中值”是2， ∴ ． 20．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)2＋，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 题型六、分式的混合运假分式问题 21．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 【答案】(1) (2)，或或0或1 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】（1）原式 ； （2）解：原式 ， ∵x为整数，该分式的值也为整数， ∴或或1或2， ∴或或0或1． 22．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或4或6 (3)75 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照例题操作即可得解； （2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解； （3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； （3）解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 23．（25-26八年级上·内蒙古兴安·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 24．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：， 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，； 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： ． (1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）． (2)探究：将假分式化为带分式______． (3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真 (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键． （1）根据真假分式的定义判断即可； （2）仿照例题计算即可； （3）先化简，再根据要求确定x的值． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数， ∴是真分式， 故答案为：真． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ∵该式的值为整数，且，0，1， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简运算，正确计算是解题的关键．先利用平方差公式对分子因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分得到结果． 【详解】解：原式， ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除运算，通过直接计算每个选项的左边表达式，与右边结果比较，只有D选项正确利用了相反数的性质进行简化，即可求解． 【详解】解：A：∵ ，∴ A错误； B：∵ ，∴ B错误； C：∵ ，∴ C错误； D：∵ ，∴ ，与右边相等，∴ D正确． 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东广州·月考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的化简求值、完全平方公式，由已知方程变形得到 ，利用完全平方公式可得，最后代入化简后的表达式求解． 【详解】解：，且 ， 等式两边除以，可得：， ， ， ， ， 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简、平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先将分式化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 由，且， ，， ，， ， ，， 原式， 故选：B． 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可． 【详解】解：根据题意得， 则， ， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）化简 _______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，两个分式的分母相同，直接把分子合并同类项，再约分即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：2． 7．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，整体代入求值，解题的关键是掌握分式运算法则． 由已知条件通分得，即，代入所求表达式化简． 【详解】解：由，通分得， 所以． 则． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下．例如：．若，则＝______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ，（不为0） ，即 ∴ 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【答案】1，3，4 【分析】本题考查分式的加法运算，分式的求值，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，为正整数，， ∴能被2整除，且（此时） ∴ ∴或或； 故答案为：1，3，4． 10．（25-26八年级上·山东淄博·期末）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即 的值为的倒数，即 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法、倒数，理解例题的思路是解题的关键；已知等式取倒数，求出 的值，再求待求式子的倒数，利用完全平方公式变形求解． 【详解】解：由 ，， ∴ ， 即 ， ∴， ∴ ， ∴待求式 的倒数为 ， 故 ． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·江西赣州·一模）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】；1 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据，得，最后把代入计算即可求解，解题的关键是对相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 12．（25-26八年级上·全国·单元复习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先将化为，并计算括号里的加法，再计算乘法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)若分式，，请判断是否为的“雅中式”？若是，请求出关于的“雅中值”；若不是，请说明理由． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为，试用含的式子表示． 【答案】(1)为的“雅中式”，关于的“雅中值”为，理由见详解 (2) 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的加减运算； 本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简， （1）计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得，即有，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴为的“雅中式”，关于的“雅中值”为 （2）解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 14．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知题目“先化简，再求值：，其中．”嘉嘉和淇淇的部分运算过程如下． 嘉嘉： 解：原式 … 淇淇： 解：原式 … (1)嘉嘉第一步运算的依据是________，淇淇第一步运算的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质  ②分式的基本性质  ③乘法对加法的分配律  ④乘法交换律 (2)从嘉嘉和淇淇的解法中，任选一种，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见解析 【分析】本题考查了分式的化简计算，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）根据分式的基本性质和乘法对加法的分配律求解； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式，然后把x的值代入计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉第一步运算的依据是分式的基本性质，淇淇第一步运算的依据是乘法对加法的分配律； 故答案为：②，③； （2）解：原式 ， 当时，原式 15．（24-25八年级上·山东济宁·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①真；②x，； (2)，或或或 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值； 【详解】（1）①分式中，分子2可看作，最高次数是；分母的最高次数是 ，分子的最高次数低于分母的最高次数， ∴分式是真分式； ② ； 故答案为：真；x，； （2）解： ， ∵这个分式的值为整数， ∴或或或， 或或或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04解题技巧专题：分式的混合运算和新定义型问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、分式的混合运算问题… 题型二、分式的混合运算先化简求值问题！ .4 题型三、分式的混合运算错解复原问题… 6 题型四、分式的混合运算规律探究问题… .10 题型五、分式的混合运算新定义型问题… .14 题型六、分式的混合运假分式问题… 19 B综合攻坚·能力跃升 ● A 题型建模·专项突破 题型一、分式的混合运算问题 1.(25-26八年级上·西藏拉萨·期末)计算： 2x(x+2 x+2 2.(24-25八年级下·河南周口·期末)计算： 3x+6÷x-21 (2)x2+4x+4x+2x-2 3.(25-26八年级上·山东青岛期末)计算： 2a1 (0a2-4a-2 x2+2x 2)x2-1÷ +1+2r+1 x-11 4.(24-25八年级上·辽宁营口期末)计算： j(: (x+2 x-1）.x-4 (2x2-2x2-4x+4x 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、分式的混合运算先化简求值问题 5.(25-26八年级上·福建厦门期末)先化简，再求值： 1+ a=31 6.(25-26八年级上·甘肃甘南期末)先化简，再求值： x+2x2-4, 7（2526八年级上广东东莞期未)化简求值：已知心-3m-4:0求号m-1m子)的值 m+2 12-x,x2+x 8.(25-26八年级上·湖南娄底期末)先化简，再求值： x+1-4r+4*x-2,其中x=V5 题型三、分式的混合运算错解复原问题 9.《2526八年级上陕西榆林期未)下面是小明同学计算x(x-小x一的过程： 解：x÷(x-1 x-1 =xiI-1 x-1…第一步 =x÷1.…第二步 =x…第三步 (1)上面的运算过程从第 步开始错误，错误原因是 (2)请写出正确的运算过程. 122 10.(25-26八年级上河北唐山~期未)化简m2-9+3-m 时，嘉淇同学发现一种特别简单的做法： 第一步 第二步 12+2 12 2 m2-9 3-m (m+3)(m-3) m-3 第五步 第四步 第三步 -2m+6K/12-2(m+3)k 12 2 -(m+3)(m-3) (m+3)(m-3)m-3 (I)老师说嘉淇做错了，请找出从第 步开始出现错误. (2)请写出正确的解答过程. 11.(25-26八年级上·河北石家庄·期末)下面是小红同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的 任务 解： a2+12a+36a-1 a2+6a 2a 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (a+6)2a-1 aa+6) 2a … …第一步 =a+6a-1 a 2a … …第二步 =2a+12a-1 2a 2a… …第三步 2a+12-a-1 2a 。+++年 …第四步 a+11 …第 2a 五步 任务： (①)上述解题过程中，从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的计算过程，并求当a=-3时，该分式的值. 4x2 12.(25-26八年级上江西宜春·期末)小明同学化简一9x一3的过程如下： 4x 解：原式x+3x-3)x-3第一步 4x 2(x+3) (x+3(r-3)(x+3(x-3第二步 4x-2x+6 x+3列(r-3第三步 2x+6 (x+3x-3第四步 =_2 -3·第五步 (1)化简过程中第步出现错误，出现错误的原因是一· (2)请你书写正确的化简过程及结果. 题型四、分式的混合运算规律探究问题 13.(24-25八年级上江苏泰州期末)观察下列式子，并探索它们的规律： 22.4 2.24 2.24 ①1x3+3x55,②3x5+5x72i,®5x7+7x945 3/10 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请写出第④个等式： (2)试写出第个等式表示这个规律，并加以证明， 14.(23-24八年级下·江苏盐城期末)观察下列等式： 11 ①1-2V2' 2 2 ②2-525 3 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式： (2)用含n(n为正整数)的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明. 15.(25-26八年级上·安徽合肥·期末)观察下列各式： 第，个等式：-1×=-1+ 2 2； 1111 第2个等式：2×行23 1111 第3个等式：×43+4 111.1 第4个等式：一4×54+5 111,1 第5个等式：5x656 … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第n(n为正整数)个等式： 一，并证明. 16.(24-25八年级下宁夏中卫·期末)下面是按一定规律排列的一列等式： @1-1=3 113 。113 113 4=1×4:②252×5：③363×6：④474×7 11 3 (①)根据上面等式的规律补全等式：300))： (2)用含n(n为正整数)的式子表示上述第n个等式： (3)请证明(2)中等式的正确性： (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+1+1 1 十十 1×44×77×10 100×103 题型五、分式的混合运算新定义型问题 17.(24-25八年级上辽宁大连期末)定义新运算：a©b=+, 3ab =。+方，若a⊙(-b)=3,则2a-2b的值是 18.(24-25八年级下山东枣庄期末)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积.即A-B=AB,则称 11 1 分式：是分式4的“友好分式”，如中卢中2因为中1中2+儿x+习 中x++所以2是4的友好分式” 1 1 1 1 (0)填空：分式x+4 分式中的“友好分式”，（筑“是”或“不是”） 2x+2 ②)已知分式3x+2是分式A的“友好分式”· ①求分式A的表达式： ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值. 19.(24-25八年级上广东湛江·期末)我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数， 那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”， 例如分式A=2x 9品，48=22-2+22+ +1,Bs2 x+1x+1x+1x+1 =2,则A是B的“雅中式”，A关于 B的“雅中值”为2. +2,D=+5xt6 (四尼知分式C=1 +4+4,判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请 求C关于D的“雅中值”： 2)已知分式P二g-r,Q2 3二x,P是2的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表 的代数式 20.(24-25八年级上湖南娄底·期末)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和 的形式，则称这个分式为“和谐分式” 面411+212止22a3a-D+0+,则1-2a+ 都是“和 x-1x-1x-1x-1 1+-ia-1 a-1 谐分式”. 0将不瑞分式 二化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x2+5 2)应用：求分式文+的最大值： 3x+6x-1.x2-1 (3)应用：先化简 x+1 x x2+2x' 并求x取什么整数时，该式的值为整数. 题型六、分式的混合运假分式问题 21.(24-25八年级上·四川绵阳·期末)我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的 次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式.例如，分式43是真分式。如果分子的次数不 x+2'x3-4x 低于分母的次数，则称这祥的分式为假分式例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个 整式与一个真分式的和，例如，x+-2-1-2 x+1x+1 +1 x2(x-1+2x-1 x-1 x-1 =(x-1+2x-+1 x-1 x+1+1 x-1 请按照以上方法解决下列问题. 2x+1 (①)将假分式x-1化为一个整式与一个真分式的和： 2)将假分式+1 x+化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数 22.(24-25八年级上·辽宁大连期末)分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分 母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，，是真分式。如果分子的次数不低于分母的次 2x 数，称这样的分式为假分式.例如：2公-2+2-2-24x+刊-2x=2x-2x+2-2-2x-2+2 x+1 x+1 x+1x+1 x+1 +1 4x+1 (①)将假分式2x-i化为一个整数与一个真分式的和： ②若x是整数，且假分式2的值为正整数，求x的值： )若假分式4t13化为个整式与一个真分式的和的形式为4+ +B,A,B均为关于x的多项式，若 A=4a-9,B=b-10,求a2+b2+ab的最小值. 23.(25-26八年级上·内蒙古兴安·期末)阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.6+2=2+2=2 2 33 3 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为 “假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 如，-+1.x22 x+1’x-2’x+2’x-1 这样的分式就是假分式： 31x2x 再如：x+1?x-22-1’2+1 这样的分式就是真分式， 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）· 如：-+-21-2，+-2+3-1+3 x+1x+1 1-x+1’x-2-x-2 -21 解答下列问题： 2 )分式是 分式（填“真”或“假”）； 2x-1 (②)将假分式x+1化为带分式一 2x-1 (3)当x+1的值为整数时，求整数x的值. 24.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考)阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式， 当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：】， x+2’x-1 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：3， x+1’x2+1 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： x2+2x_（x2+2x+1-1(x+12-1_(x+1)21 x+1x+1x+1 x+1-1 x+1 x+1 x+1 ()思考：分式2x+是分式（填“真”或“假”）· ②)探究：将假分武x一3化为带分式 3x-4x+2,x2-4 (3)拓展：先化简 x-2 x x2-x ,并求x取何整数时，该式的值为整数 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 a2-4 1.(25-26八年级上河南周口·期末)化简 a+2 ÷a-2)的结果是() A.a+2 B.a-2 C.1 D.-1 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上：广东广州期末)下列运算正确的是() A.2.1.55 2x 2y xy B.5+22 5 y C.7 2b2 a b *2b=5a D.y-x刘”=-y x-y a2 3.（25-26八年级上广东广州：月考)已知。.50H=0'则。+d+的值是（） 1 1 1 A.22 B.23 C.24 D.25 本256人级上全短楼后作aa。60,发-w则公-0京j的面是 () A.5 B.-5 C. D.-5 5 6(2526八年级上四川凉山期末)对于正数，规定/=文，例如：3)=33 1 ,的值为() 3 A.2025 B.2024 C.2023.5 D.2024.5 二、填空题 2x+153 6.(25-26八年级上·湖北十堰期末)化简 x+6x+6 7.（2526八年级上福建度门期末)已知2+-2，则+b。 a b a+b 11 8.(25-26八年级上全国单元测试)对于任意两个非零实数a,b,定义新运算“*”如下a*h=。方·例 11_1 2026xy 如：2*3=236：若x*y=2:则x-y 2,w2x 9。(25-:26八年级上江西南昌期末)已知：x是整数，M=牛， x十1·设y二 +N,则所有符合 要求的y的正整数值为 x2 02526八年级上山东淄博期末)深作发现：阅读下列解题过程：已知=了，求 +的值 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解由知0所以生3，即x -2=32-2=7 的值为，的倒数，即一月 x4+17 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫 做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 1 x2 已知-x+4,则x-x+的值为 三、解答题 11.(2025·江西赣州一模)先化简，再求值： 1+》产x+2其中x满足-2-2=0 12.(25-26八年级上·全国单元复习)先化简， 再球信：- 其中x=2 13.(24-25八年级上陕西西安·期末)定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称 是。的“雅中式”、这个常数称为关于的“雅中值”例如分式才=，B一 x+1, A-B=4红44+-4，则，是。的“雅中式”，关于B的“雅中值”为4 x+1x+1x+1 B R (0)若分式C=r+5 3 x2+2’ 2十2请判断c是否为D的“雅中式”？若是，请求出c关于)的“雅中 D= 值”；若不是，请说明理由. 3,W=2x (2)已知分式M=E x+3,M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”为3，试用含的式 子表示E. 14.(25-26八年级上河北张家口·期末)已知题目“先化简，再求值： x-2x+2 ,其中 3xx）x2-4 x=2025.”嘉嘉和淇淇的部分运算过程如下。 嘉嘉： 淇淇： 3xx+2 x(x-2) x2-4 解：原式= 3xx2-4xx2-4 (x-2(x+2)(x-2)(x+2) 解：原式= x-2 x+2 x (I)嘉嘉第一步运算的依据是 淇淇第一步运算的依据是 (填序号) ①等式的基本性质②分式的基本性质③乘法对加法的分配律④乘法交换律 9/10 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)从嘉嘉和淇淇的解法中，任选一种，写出完整的解答过程. 15.(24-25八年级上山东济宁·期末)阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称 之为“假分式”，例如：二，士，这样的分式就是假分式：当分子的次数小于分母的次数时，我们称 x+1’x+2 之为“真分式”，例如： 石，这样的分式就是真分式，我们知道，积分数可以化为带分数。侧如： 8_3×2+2=3 33 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： x2+2x-1xx+2)-1 1 =X- x+2 x+2 +2 x2(x2+2x-2xxx+2)-2x-4+4_xx+2-2x+2+4_ x+2 x+2 x+2 x+2 x-2+4 x+2 请根据上述材料，解答下列问题： ()填空：①分式x+2是 分式（填“真”或“假”）. ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： x2-3x+5 x-3 2)把分式+2r-13 x-3 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为 整数. 10/10