3 正比例 反比例&第3单元 正比例 反比例 整合提升-【拔尖特训】2025-2026学年六年级下册数学（冀教版）

正比例 反比例 第1课时 习基础进阶 1.铁块的质量和对应的体积如下表。 质量(kg) 7.8 15.6 23.4 31.2 体积(dm3) 3 4 比值 (1)把上表填写完整。 (2)这个比值表示( )。 (3)铁块的质量和体积成正比例吗？为 什么？ 2.★判断下面各题中的两种量是否成正比例， 成正比例的在括号里画“√”，不成的画“X”。 (1)大豆的出油率一定，大豆的质量和榨出 豆油的质量。 () (2)车轮的直径一定，所行的路程和车轮转 动的圈数。 (3)图上距离和实际距离。 ( (4)某杂志的单价一定，订阅该杂志的总价 和数量 3.(生话应用)已知王老师的汽车行的路程和 耗油量成正比例，请完成下表 汽车所行的路程(km) 15 30 90 耗油量(L) 2 3 8 王老师开车去40km的市教育局办事，往返 需要多少升汽油？ 成正比例的量 团能力攀升 4.(说理表达)小马说：“因为圆的周长：圆周 率=直径，所以圆的直径一定，周长和圆周率 成正比例。”你认为小马说得对吗？为什么？ 5.下表是有关正方体木块的一些量，先把表格 填写完整，再通过观察回答问题。 棱长(cm) 1 2 3 底面积(cm2) 16 表面积(cm2) 6 54 体积(cm) 质量(g) 2 16 54 128 (1)该正方体木块的表面积和底面积成正比 例吗？为什么？ (2)该正方体木块的底面积和棱长成正比例 吗？为什么？ (3)你还能找出哪两种量成正比例？ 6(思维过程)一箱苹果质量的号与一箱大枣质 量的。相等，一箱苹果质量与一箱大枣质量 成正比例关系吗，为什么？ 15 拔尖特训 数学（冀教版）六年级下 第2课时 画图表 习基础进阶 1.★（传统文化）蔚县剪纸是河北省蔚县地方传 统手工剪纸技艺，2006年5月20日，蔚县剪 纸列人首批国家级非遗名录。下表是梁阿姨 剪纸的数量与时间的关系。（每天剪纸数量 一样) (1)完成下表。 时间（天） 3 数量（张） 0 6 12 18 (2)把表中的数据在方格纸上画图表示 出来。 ↑数量（张） 4 42 36 30 4 18 09 1234567时间（天） (3)点(8.5,51)( )(填“在”或“不在”)上 面的图象上，这一点表示( )。 2.下面是一个水龙头打开后出水量与时间之间 的关系。 ↑出水量（升） 10 6 2 09 102030405060时间（秒） (1)看图填表。 时间（秒） 10 20 30 40 出水量（升） (2)这个水龙头的出水量与打开的时间成 ( )比例： (3)根据图象判断，35秒能出水( )升；出 水9升要用( )秒。 16 示成正比例的量 团能力攀升 3.(数形结合)如图所示为某小学购买甲、乙两 种课外书的数量和总价的变化情况。 总价（元） 80 60 40 20 012345678910数量（本） (1)两种课外书各买5本，一共需要多少元？ (2)买14本乙种课外书的钱，可以买( 本甲种课外书。 4.(恩维过程)用弹簧秤称物体时，所称物体的 质量与弹簧长度的变化情况如图所示。 弹簧长度（厘米） 20 10 0 2 345质量（千克） (1)所称物体的质量为4.5千克时，弹簧伸 长到()厘米。 (2)弹簧伸长6厘米时，所称物体的质量是 ()千克。 (3)在该弹簧秤称量范围内，所称物体的质 量与哪种量成正比例？ 第3课时 习基础进阶 1.王叔叔给一间房子铺方砖，设计了三种不同 的方案。 每块方砖的面积（平方分米） 9 36 16 所需方砖的数量（块） 160 40 90 (1)表中的( )和( 是两种相关联的量。 (2)这两种相关联的量成反比例吗？为什么？ 2.*下面各题中的两种量是否成比例？不成比 例的在括号里画“X”,成比例的在括号里写 出成什么比例。 (1)路程一定，车轮的周长和车轮滚动的 圈数。 (2)长方形的长一定，宽和面积。( (3)一本书，已看的页数和剩下的页数。 ( (4)圆的半径和面积。 (5)长方体的体积一定，底面积和高。 3.(数形结合)下面的图形都是由长度为96cm 的铁丝围成的。先填写表格，再回答问题。 正方形的个数 正方形的边长(cm) 围成的正方形的个数与每个正方形的边长是 否成反比例？为什么？ 三正比例反比例 成反比例的量 团能力攀升 4.(题组训练)某服装厂将一批布料制作成服装， 每小时制作服装的数量与所需时间如下表。 每小时制作服装的数量（件） 9 12 18 24 所需时间（时） 8060 (1)把上表填写完整。 (2)每小时制作服装的数量和所需时间成 ( )比例。 (3)如果制作每件服装需要2.5米布料，那 么这批布料至少有多少米？ 5.(思维过程)从A地到唐山市，汽车的行驶速 度和所用时间的情况如图所示，观察图象回 答问题。 速度（千米/时） 120 100 80 60 40 20 04 123456时间（时） (1)根据上图填写下表。 时间（时） 1 2 3 6 速度（千米/时） (2)速度和时间成什么比例？ (3)若这辆汽车8：40出发，11：10到达唐山 市，则每小时行多少千米？ 17 拔尖特训数学（冀教版）六年级下 第4课时 整理与复习 d能力攀升 ☒思维拓展 1.1倍数、倍数、几倍数是三个相关联的量，且1 3.(推理意识)如果甲、乙是两个成反比例的量， 倍数×倍数=几倍数。当( )一定时， 那么当甲减少20%时，( )。 ( )和( )成( )比例；当 A.乙增加20% B.乙减少20% )一定时，( )和( )成 C.乙增加25% D.乙减少25% )比例；当( )一定时，( )和 4.(数形结合)某厂甲、乙两个车间各生产600 ( )成( )比例 个零件的任务过程中，生产零件的个数与生 2.一种消毒液是由消毒粉和水按照1：200的 产天数的关系如图所示。 质量比配制而成的。 生产零件的个数 一甲车间---乙车间 600 (1)题中两种相关联的量是( )和 550 500 ( ),这两种相关联的量( 450 400 一定，因此( )和( )成 350 300 ( )比例。（填“正”或“反”) 250 200 50 (2)把消毒粉的质量和水的质量的关系在下 100 50 图中表示出来。 0123456789101112131415 水的质量（克） 生产天数 2200 (1)从图中可以看出：甲车间生产季件的个 2000 1800 数与它的生产天数成( )比例。 1600 1400 1200 (2)甲车间生产( )天后，乙车间才开始 1000 800 生产，乙车间生产()天后赶上甲车间生 600 400 产零件的个数。甲、乙两个车间完成任务时， 200 012345678910111213消毒粉的 )车间用的时间多。 质量（克） (3)当乙车间完成任务时，甲车间还有 (3)看图估一估，要把10.5克消毒粉配制成 )个零件没生产，( )车间的工作效 消毒液，需要加入多少克水？要把1.7千克 率高，比另一个车间高( )% 水配制成消毒液，需要加入多少克消毒粉？ 5.(思维过程)一对互相啮合的齿轮，甲齿轮有 60个齿，比乙齿轮多10个齿，当甲齿轮转25 转时，乙齿轮转多少转？ 18 三正比例反比例 提分真题集训 1.填空。 3.(邯郸广平)如图，长方形中有两个圆。用数 (1)(石家庄正定)若y=5.x(x和y是非0 学的眼光去观察图形之间变与不变的关系， 自然数)，则x和y成()比例；x和y的 联系相关数学知识分析，无论按怎样的比放 最大公因数是()：最小公倍数是( )。 大或缩小，这个长方形的长与宽是否成比例？ (2)(石家庄高邑)把8升水倒入长方体容器 若成比例，则成什么比例？ 中，水的高度和容器的底面积成( )比例。 (3)(秦皇岛抚宁区)观察表格，如果x与y 成正比例，那么m的值为( );如果x与 y成反比例，那么m的值为( )。 4 m 4.(邯郸武安)小明一家三口准备暑假从武安驾 y 6 8 车到北京游玩。下图是小明爸爸所驾汽车行 4)(邯郸临漳)如果。a b(a,b均不为 6 驶的路程和耗油量的情况。 耗油量（升） 8.0 0),a:b=( ),a和b成( )比例；如 7.2 6.4 果'智=是(m,m均不为0，郑么m= 5.6 4.8 4.0 (),m和n成( )比例。 3.2 2.4 2.选择。 1.6 0.8 (1)(沧州黄骅)成语“立竿见影”是指在阳光 0 102030405060708090100路程（千米） 下竖起竹竿，立刻就能看到竹竿的影子。在 (1)汽车的耗油量与所行驶的路程成( 同一时间、同一地点，竹竿的影长和竿高 比例。因为( ()。 )。 A.成正比例 B.成反比例 (2)根据上图，可得汽车行驶55千米的耗油 C.不成比例 D.无法确定 量是( )升。如果耗油12升，那么汽车行 (2)(邢台威县)有下面的说法：①正方体的 驶了( )千米。 体积和它的棱长成正比例；②如果y=4x (3)如果爸爸驾驶这辆汽车沿着地图规划的 (x≠0)，那么y和x成正比例；③百米赛跑 路线，从武安到八达岭长城大约要行驶530 中，跑步的速度和所用的时间成反比例；④妈 千米，那么需要耗油多少升？ 妈每月工资一定，支出的钱数和剩下的钱数 成反比例。其中，正确的个数是()。 A.0 B.1 C.2 D.3 19 拔尖特训数学（冀教版）六年级下 第三单元整合提升 )分类提优训练 类型二利用比例关系解决实际问题 类型一运用比例关系图象解决问题 利用比例关系解决实际问题时，要先判断两种相关联 的量成什么比例，再找出相关联的量的对应数值，最 运用比例关系图象解决问题时，可以先在图象上找几 后可根据正、反比例的意义列出方程来解答。 个点，再分别算出这几个点对应的几组数据的比值 (或乘积)，从而判断变化的两种量成什么比例，然后 3.装修一间办公室，用边长为4分米的方砖铺 运用正、反比例的意义解决问题。 地，正好需要750块。如果改用边长为5分 米的方砖铺地，那么需要多少块？（用方 1.(题组训练)下面的图象反映的是斑马和长颈 程解) 鹿的奔跑情况。 ◆路程（千米 斑马 长颈鹿 24 20 16 12 ①素养拓展训练 4 素养点运用数形结合思想解决实际问题 0 51015202530时间（分） 4.(操作探完)如图，杠杆左侧刻度2处挂有 (1)斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比 3个质量均为10克的钩码，右侧刻度5处挂 例？长颈鹿呢？ 有1个质量为12克的钩码，此时杠杆平衡。 如果拿走左侧的1个钩码，那么左侧剩下的 (2)从图象上看，斑马跑得快还是长颈鹿跑 钩码应移动到左侧刻度几处，才能使杠杆仍 得快？ 然保持平衡？ +543212345 (3)估计一下，两种动物18分钟分别跑多少 10克 12克 千米？ 10克 10克 2.(数形结合)三角形的底边长为a厘米，高为 h厘米，a与h的关系如图所示。 思路提示：解决本题的关键是明确当杠杆平衡时， h(厘米) 左侧钩码的总质量×左侧钩码到支点的距离=右 24 侧钩码的总质量X右侧钩码到支点的距离。 20 16 8 0 4812162024a(厘米) (1)三角形的面积是( )平方厘米。 (2)当a=8时，h的值是()。 20三 正比例 反比例 第1课时 成正比例的量 1.(1) 质量(kg) 7.8 15.6 23.4 31.2 体积(dm3) 1 2 3 4 比值 7.8 7.8 7.8 7.8 (2)每立方分米铁块的质量(3)成正比例 因为铁块的质量和体积是两种相关联的量，铁块的 质量随着体积的变化而变化，且铁块的质量和体积 的比值是一定的 2.(1)V(2)(3)X(4)V 方法归纳》 判断两种量是否成正比例 两种量成正比例，必须符合下面这些要 求：首先，两种量必须是相关联的量；其次，一 种量会随着另一种量的变化而变化；最后，它 们的比值为定值。 汽车所行的路程(km)1522.530 6090 耗油量(L) 2 3 4 8 12 ×40X2- 2 4.不对因为圆周率不会随着圆的周长变化而变 化解析：成正比例的两种量除了比值一定，还必 须是相关联的量，且一种量会随着另一种量的变化 而变化。 棱长(cm) 2 3 4 底面积(cm2) 4 9 16 表面积(cm) 6 24 54 96 体积(cm3) 8 27 64 质量(g) 2 16 54 128 (1)该正方体木块的表面积和底面积成正比例 因为该正方体木块的表面积和底面积是两种相关 联的量，表面积随着底面积的变化而变化，且 表面积=6，比值是一定的 底面积 (2)该正方体木块的底面积和棱长不成正比例 因为-技长。比筒不一定 (3)该正方体木块的质量和体积成正比例 解析：先根据相关公式计算填表，再根据正比例的 意义判断哪两种量成正比例。 6.一箱苹果质量与一箱大枣质量成正比例关系。 因为一箱苹果质量×号=一箱大枣质量×日，一箱 李果质量：一箱大零质量=日：号-一定) 第2课时 画图表示成 正比例的量 1.(1)22430 (2),↑数量（张） 48 42 36 30 24 18 12 6 04 1234567时间（天） 解析：根据第(1)题中表中的数据描出各点，连线时 要从(0,0)开始，不能只连到(5,30)，要画出头 一些。 (3)在梁阿姨8.5天剪了51张纸 知识归纳》 正比例的图象 成正比例关系的两种相对应的量表示的 各点在同一条过点(0,0)的直线上，即正比例 的图象是一条直线。 2.(1) 时间（秒） 10 20 30 40 出水量（升）2 4 6 (2)正(3)745 3.(1)(20+10)×5=150(元) (2)7解析：根据题图可知，甲种课外书每本 20元，乙种课外书每本10元，则14本乙种课外书 的总价是10×14=140（元），140元可以买140÷ 20=7(本)甲种课外书。 4.(1)19解析：根据题图可知，称4.5千克物体， 弹簧伸长(2X4.5)厘米，将弹簧伸长的长度与未称 物体时弹簧的长度合起来即可。 (2)3 (3)所称物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例 解析：从题图中可以看出，当弹簧秤上没有挂物体 时，弹簧长度是10厘米，挂物体时，弹簧伸长的长 度与所称物体的质量的比值一定，所以所称物体的 质量与弹簧伸长的长度成正比例。 第3课时成反比例的量 1.(1)每块方砖的面积所需方砖的数量(2)这 两种相关联的量成反比例因为所需方砖的数量 随着每块方砖的面积的变化而变化，每块方砖的面 积增大，所需方砖的数量就减少，且每块方砖的面 积×所需方砖的数量=1440平方分米（乘积一 定)，所以这两种量成反比例 2.(1)反比例(2)正比例(3)X(4)X (5)反比例 方法归纳>》 判断两种量是否成反比例 若两种量是相关联的量，一种量会随着另 一种量的变化而变化，且乘积一定，则这两种 量成反比例。 3.241286围成的正方形的个数与每个正 方形的边长成反比例，因为正方形的边长会随着正 方形的个数的变化而变化，且它们的乘积一定 4.(1) 每小时制作服装的数量（件） 9 12 1824 所需时间（时） 80 60 40 30 (2)反(3)9×80×2.5=1800（米） 5.(1) 时间（时） 1 2 3 6 速度（千米/时） 120 60 40 20 (2)成反比例解析：由题图可知，速度与时间的乘 积为120千米，是一定的，所以速度和时间成反比例。 (3)11时10分-8时40分=2时30分 2时30分=2.5时120÷2.5=48（千米） 第4课时整理与复习 1.1倍数倍数几倍数正倍数1倍数 几倍数正几倍数1倍数倍数反 2.(1)水的质量消毒粉的质量比值水的质 量消毒粉的质量正 (2) 4水的质量（克） 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 012345678910111213消毒粉的 质量（克） (3)要把10.5克消毒粉配制成消毒液，需要加入 2100克水；要把1.7千克水配制成消毒液，需要加 入8.5克消毒粉 3.C 4.(1)正 (2)28甲解析：两条线相交的点对应的生产 零件的个数相等，此时甲车间生产了10天，乙车间 生产了8天。甲车间完成任务用的生产天数是 15,而乙车间用的生产天数是12，所以甲车间用的 时间多。 (3)40乙25解析：当乙车间完成任务时，甲 车间还要生产1天，甲车间1天可生产600÷15= 40(个)零件；相同的工作量乙车间需要的时间少， 所以乙车间的工作效率高，乙车间每天可生产 600÷12=50(个)零件，所以乙车间比甲车间的工 作效率高(50-40)÷40×100%=25%。 5.60-10=50(个)解：设乙齿轮转x转。 60×25=50Xxx=30解析：互相啮合的齿轮， 齿数与转数成反比例关系，即甲齿轮的齿数×甲齿 轮的转数=乙齿轮的齿数×乙齿轮的转数，据此 解答。 提分真题集训川 1q)正xy(2)反3)93 w9 正18反解析：根据比例的基本性质 知3 5a=b(a,b均不为0)可改写为a:b=n 6: 号-（一定），因此Q和b成正比例。根据比例 的基本性质知”=3(，n均不为0)可改写为 6 mn=18(一定)，因此m和n成反比例。 2.(1)A(2)C 3.设圆的半径是r,则长方形的长为3r,长方形的 宽为2r,所以长方形的长：宽=3r:2r=3：2= 多（一定）。所以这个长方形的长与宽成正比例 解析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看 这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积 定，如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一 定，就成反比例。本题可以假设圆的半径是T,则 长方形的长和宽分别为3r和2r,即长与宽的比值 为多，因此这个长方形的长与宽成正比例。 41)正8=20-30 0.81.62.4 =…=0.08(一定)，即 汽车的耗油量汽车行驶每千米的耗油量（一定） 所行驶的路程 (2)4.4150解析：观察题图可知，因为汽车行 驶50千米的耗油量是4升，行驶5千米的耗油量 是0.4升，则行驶55千米需要耗油4+0.4 4.4(升)；耗油2.4升，汽车行驶30千米，则耗油 1.2升，汽车行驶15千米，于是耗油12升，汽车行 驶150千米。 (3)0.08×530=42.4(升)解析：因为汽车行驶 每千米的耗油量是0.08升，则行驶530千米需要 耗油0.08×530=42.4（升）。 第三单元整合提升 1.(1)斑马的奔跑路程与奔跑时间成正比例；长 颈鹿的奔跑路程与奔跑时间也成正比例解析：两 种动物的奔跑路程和奔跑时间都是相关联的量，且 它们的比值都是一定的，所以都成正比例。 (2)斑马跑得快(3)斑马18分钟跑21.6千米（合 理即可)；长颈鹿18分钟跑14.4千米（合理即可） 2.(1)48 (2)12解析：先在题图中找到a=8对应的点，再 看其对应的h的值是多少。 3.解：设需要x块。42×750=52×xx=480 解析：铺地的总面积=每块方砖的面积×方砖的数 量，即铺地的总面积一定，每块方砖的面积和方砖 的数量成反比例，据此可列出方程求解。 4.12×5÷(10×2)=3应移动到左侧刻度3处 解析：由题意可知，左侧钩码的总质量X左侧钩码 到支点的距离=右侧钩码的总质量×右侧钩码到 支点的距离，即(10克×3)×2=12克×5，它们的 乘积一定，此时杠杆平衡。根据题意，右侧设变，拿 走左侧的1个钩码，左侧钩码的总质量变为10× 2=20(克)，要使杠杆平衡，应考虑20×()= 12×5,从而求出左侧剩下的钩码到支点的距离应 为12×5÷20=3，所以左侧剩下的钩码应移动到 左侧刻度3处，才能使杠杆仍然保持平衡。 四 圆柱和圆锥 第1课时 圆柱和圆柱的 侧面积 1.(1)ABD(2)C 2.(1)20cm40cm40cm20cm800cm