新疆乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

乌鲁木齐市第一中学2024--2025学年第一学期 2026届高二年级期中考试 数学试卷 (请将答案写在答题纸上) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的. 1.直线V3x-3y-1=0的倾斜角是() A君 B君 c 2π D. 5π 6 2.圆t+y+2x-4y-6=0的圆心和半径分别是() A.(-1,-2),11 B.（-1,2),11 c.(-1,-2),1D.(-1,2), 3.以椭圆亡+二-1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（) 34 A.x21 B.v2 31 C.x2y -=1 D. -=1 62 26 4.如果实数x,y满足等式(x-2少+y2=3,那么上的最小值是() 1 A.- 8.3 c.-3 D.-V5 3 2 5数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(1,3),B (2,4),C(3,2),则△ABC的欧拉线方程为() A.x+y-5=0 B.x+y+5=0 C.x-y+1=0 D.2x+y-7=0 6我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳 第1页共9页 马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD,且AB=AD=AP=3,EC=2PE, 则AE.DE=() B A.-3 B.3 C.2 D.5 7.已知椭圆C号+号-1a>b>0的左焦点为F,直线y=5x与能圆C相交于A,B两点，且 AF1BF,则椭圆C的离心率为() A B.V2-1 C.3-1 D.3-1 2 8.如图，在三棱锥D-ABC中，AB=BC=CD=DA,∠ABC=90°，E,F,O分别为棱 BC,DA,AC的中点，记直线EF与平面BOD所成角为日，则O的取值范围是() A. ππ ππ B. 43 D 6’2 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知椭圆C: x2y2 2516 =1的左、右焦点分别是、F,点P为椭圆C上一点，∠耳PF,=90 则下列关于椭圆C的结论正确的有() A.长轴长为5 B.离心率为5 C.△PEF的周长为16 D.△PFF的面积为16 第2页共9页 10.已知直线1：x-y+(1-k)=0,圆C:(x+1)2+(y-2)2=1,以下正确的是() A.1与圆C不一定存在公共点 B.圆心C到l的最大距离为√5 C.当1与圆C相交时，-3<k<0 4 0.当k=-1时，圆C上有三个点到1的距离为2-互 2 11.已知正三棱柱ABC-AB,C的各棱长都为1，E为AB的中点，则() A.直线BC与直线AE为异面直线 B.BC,/平面AEC C.二面角A-8C-A的正弦值为 5 7π D.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线C:士-二=1的左右焦点依次为R,B,且3R=10,若点P在双曲线的右 a216 支上，则P-P= 13.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0 (A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零)，点P(x,,-o)到平面C的距离 d-++C二+2，则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中，底面中心0到 √A2+B2+C2 侧面PAB的距离d等于 14.已知直线1：x+y+=0交圆C:(x-1)2+y2=1于A(,乃)，B(x2,y2)两点，则 :-4+4+2-2+4的取值范围为 第3页共9页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题13分) 已知直线：(m+2)x+(m+3)y+5=0和12：6x+(2m-1)y=3.当m为何值时，有： (1)41l2: (2)4112. 16.(本题15分) 已知⊙P:x2+y2+x-6y+m=0与直线1：x+2y-3=0. (1)若m=0,判断直线1与⊙P位置关系： (2)若直线1与⊙P相交于A,B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求的值. 第4页共9页 17.(本题15分) 已知椭圆C: +多-Ka>6>0)的离心率为5，其两个顶点和两个焦点构成的四边 y2 3 形面积为2√5· (1)求椭圆C的方程； (2)过点M1,1)的直线I与椭圆C交于A,B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线1 的方程. 第5页共9页 18.(本题17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,ADIIBC, A=AD=CD2,BC3.E为PD的中点，点P在PC上，且- D F E G B (1)求证：CD⊥平面PAD; (2)求直线PC与面AEF所成角的正弦值； (3)在线段PB上是否存在点G,使得A、E、F、G四点共面，如果存在求出 PG 的值；如 PB 果不存在说明理由。 第6页共9页 19.(本题17分) 已知椭圆C的两个顶点分别为4(0,1)、B(0,-1),焦点在x轴上，离心率为9，直线y= kx-化<0)与椭圆C交于M、N两点. (1)求椭圆C的方程： (2)当k变化时，是否存在过点A的定直线m,使直线m平分LMAN?若存在，求出该定直线的 方程；若不存在，请说明理由. 第7页共9页 五、附加题（本题10分，登峰班必须做附加题，理特班鼓励做附加题，平行班可以不做） 定义：若点(，o,(x刘，0)在椭圆证+ g +61(a>b>0)上，并满足+=L, a' b2 则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点(xo,o)关于M的一个共轭点为(xo',yo)· 已知点A(2,1）在椭圆M亡+二=1上，O是坐标原点 63 (1)求点A关于M的所有共轭点的坐标： (2)设点P,Q在M上，且PO∥OA,求点A关于M的所有共轭点和点P,O所围成封闭图 形面积的最大值。 第8页共9页 第9页共9页乌鲁木齐市第一中学2024--2025学年第一学期 2026届高二年级期中考试 数学试卷 （请将答案写在答题纸上) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的 1.直线V3x-3y-1=0的倾斜角是() A君 B君 2π C. 5π D. 6 【答案】A 2.圆x+y+2x-4y-6=0的圆心和半径分别是() A.（-1,-2),11 B.(-1,2),11 c.(-1,-2),1 D.(-1,2),1 【答案】D 3.以椭圆二+二1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是《） 34 A51 8.y2 31 C. x2 y2 =1 D y2 x2 =1 62 26 【答案】B 4,如果实数x,y满足等式x-2+y=3,那么兰的最小值是() A.、1 D.-5 3 【答案】D 5.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(1,3),B (2,4),C(3,2),则△ABC的欧拉线方程为() A.xty-5=0 B.x+叶5=0 C.x-y+1=0 D.2x+y-7=0 【答案】A 6我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳 第1页共9页 马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD,且AB=AD=AP=3,EC=2PE, 则AE.DE=() A.-3 B.3 C.2 D.5 【答案】B 7已知椭圆C三+三-1a>b>0的左焦点为F,直线y=Vx与桶圆C相交于A。B两点，且 AF⊥BF,则椭圆C的离心率为() A B.V2-1 C.3-1 D.3-1 2 【答案】D 8.如图，在三棱锥D-ABC中，AB=BC=CD=DA,∠ABC=90°，E,F,O分别为棱 BC,DA,AC的中点，记直线EF与平面BOD所成角为O,则O的取值范围是() ππ B. D 4’3 6’2 【答案】A 二、多选选择题：本题头3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合趣目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有谜错的得0分 9.已知椭圆C: x2y2 2516 =1的左、右焦点分别是耳、F,点P为椭圆C上一点，∠耳PF,=90° 则下列关于椭圆C的结论正确的有( A.长轴长为5 B离心率为5 C.△PrF的周长为16 D.△P耳F的面积为16 【答案】BCD 第2页共9页 10.已知直线1：kx-y+(1-k)=0,圆C:(x+1)2+(y-2)2=1,以下正确的是() A.1与圆C不一定存在公共点 B.圆心C到l的最大距离为√5 C.当1与圆C相交时，-3<k<0 4 D.当k=-1时，圆C上有三个点到1的距离为2- 2 【答案】ABD 11.已知正三棱柱ABC-AB,C的各棱长都为1，E为AB的中点，则() A.直线BC与直线AE为异面直线 B.BC,//平面AEC C.二面角4-BC-A的正弦值为 5 7π D.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 3 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线C:女-y a216 =1的左右焦点依次为耳，，且F=10,若点P在双曲线的右 支上，则Pr-P= 【答案】6 13.在空间直角坐标系中，定义：平面x的一般方程为Ax+By+Cz+D=0 (A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零)，点P(xo,o,-o)到平面C的距离 d-A,+8+C+D VA+B2+C ,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中，底面中心O到 侧面PAB的距离d等于 【答案)9 14.已知直线1：x+y+=0交圆C:(x-1)2+y2=1于A(,乃)，B(x2,y2)两点，则 ,-+4+2-y,+4的取值范围为 【答案】(9-5,22+8 第3页共9页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本题13分) 已知直线：(m+2)x+(m+3)y+5=0和2：6x+(2m-1)y=3.当m为何值时，有： (1)41/02; (2)4112. 【详解】(1)由(+2)(2-1)=6(m+3),且-3(m+2)≠6x5,解得m=4或m=- J 故当m=4或m=-时，4， 2 (2)由6(m+2)+(01+3(2n-1)=0，得m=-1或=-2 9 做当m=-1或m=号时，4上 16.（本题15分) 已知⊙P:x2+y2+x-6y+m=0与直线1：x+2y-3=0. (1)若=0，判断直线l与⊙P位置关系： (2)若直线1与⊙P相交于A,B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求m的值， 【1详解】 当m=0时，⊙P可化为：x2+y2+x-6y=0, 表示圆心为P 半径r= 37的圆，设P到1的距离为d,则d= √5 √5 2 ∴.d<r∴.直线1与OP相交 【2详解】 设A(x,),B(x2,y2),由OA⊥OB, 直线与坐标轴的交点为(3,0)，(0，子)，这两点不可能同时在圆⊙P上，因此OA,OB斜率 都存在，所以oA'KoB=-1,即xx2+y2=0, x+2y-3=0, 由 x2+y2+x-6y+m=0 消元，得5x2+10x+4m-27=0. 第4页共9页 41-27 ..xx= m+12 ”+5=26-小3-)9-35+]=m2 4m-27m+12 =0,∴.11=3 5 5 经检验；1=3时，△>0. m=3. 17.(本题15分) 已知椭圆C:】 +台=Ka>6>0的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边 y 形面积为2√5· (1)求椭圆C的方程： (2)过点M1,1)的直线1与椭圆C交于A,B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线1 的方程。 【详解】解：(1)椭圆c的离心率为V5 g a2=b2+c2.b2=2c2,即b=√2c :椭圆Cc的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为2√2，：.bc=√2 .√2c2=,c=1,从而得a=√5，b=√2 精嗣C的方程为写号1： (2)显然，直线1的斜率存在，设该斜率k, 直线1的方程为y-1=k(x-1),即y=c+1-k, 直线1的方程与椭圆C的方程联立，消去y得： (3+2)x2+6k(1-k)x+31-k)'-6=0且该方程显然有二不等根， 记A,B两点的坐标依次为(8，)，(x2,y2), 名+立=1，即X+6,=2, 2 -2,解得=号 3k2+2 ∴.所求直线1的方程为2x+3y-5=0 第5页共9页 18.(本题17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,ADBC, A=AD=CD=2,BC3.B为PD的中点，点P在PC上，且-月 G B (1)求证：CD⊥平面PAD; (2)求直线PC与面AEF所成角的正弦值： 3)在线段PB上是否存在点G,使得A、E、F、G四点共面，如果存在求出 PG 的值：如 PB 果不存在说明理由。 【详解】(1)由PAL平面ABCD,CDC平面ABCD,则PA⊥CD, 又AD⊥CD,PAOAD=A,PA,ADC平面PAD,所以CDL平面PAD. (2)以A为原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP的正方向为y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系A-xz, ZA 则有A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),B(2,-1,0), B为PD的中点，m-号元，得(0.1)，P后) 224 则台丽=@.亚（后元-(22-2，丽=(2-1-2） AE.=y+Z=0 设平面AEF的一个法向量为=(x,y,=),则 AF.m=2x2 44」 =01 31 3 令y=1,则x=1,z=-1,得i=(1,1,-1) 第6页共9页 PC.m 设直线PC与面AEF所成角为O,则有sinO=cos PC,成= 6 PCm |2W3xg1, 所以直线PC与面AEF所成角的正弦值为1. (3)若线段PB上存在点G使A、B、P、G四点共面，设G=元，0≤≤1， PB 则PG=PB=(21,-1,-2),AG=AP+PG=(2,-2,2-2), 若A、E、F、G四点共面，则AG在平面AEF内， 又平面4BF的一个法向量为m=(LL-1),则有4Gm=22-2+22-2=0,解得2=名 所以线段P8上存在点G,使得A、E、F、G四点共面，此时PC-2 PB 3 19.(本题17分) 已知椭圆C的两个顶点分别为4(0,1)、B(0,-1),焦点在x轴上，离心率为9，直线y= kx-化<0)与椭圆C交于M、N两点. (1)求椭圆C的方程： (2)当k变化时，是否存在过点A的定直线m,使直线m平分LMAN?若存在，求出该定直线的 方程；若不存在，请说明理由 【详解】(1)解：由椭圆C的两个顶点分别为A(0,1)、B(0,-1),可得b=1, 又由e=-云-县解得a=2, a 所以椭圆C的方程的标准方程为号+y2=1. (2)解：假设存在定直线m,显然直线m的斜率存在，设为k,且M(x1,y1)、N(x2,y2), 联立方程组 y=x-号 +y2-1 整理得(1+4k2)x2_9kx+4=0, 3 则(-92-4(1+4×g>0,且+x2=x1x2= 1+4k2) 由k4M·kw=L.22=1,】-a6+竖 X1 X2 X1X2 X1X2 =k2-5k2+1+42=1. 设直线AM、AN及直线m的倾角分别为a,B,Y,设直线m与直线l交于点P, 则∠MAP=Y-a,∠NAP=B-Y,所以tan/MAP=tan/NAP, 第7页共9页 Btan(y-d)tamy-tame=tan(B-y)tang-tany 1+tanytana 1+k kAM 1+tanBtany 1+k'kAN 所以=即(k-kaM)(1+kkw)=(kw-k)(1+kkA) 1+kkam 1+kkan 化简得k(kAM+kAN)=(kAM+kAN)且kAM+kAN≠O, 所以k=1,解得k=1或K=-1(舍)， 所以存在过点A的定直线m,使直线m平分LMAN,该定直线的方程为x-y+1=0; 五、附加题（本题10分，登峰班必须做附加题，理特班鼓励做附加题，平行班可以不做） 定义：若点(，o,(x刘，0)在椭圆证+ a P=1(a>b>0)上，并满足+=1， a- b2 则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点(xo,o)关于M的一个共轭点为(xo',yo)· 已知点A(2,1）在椭圆M三+二=1上，0是坐标原点. 63 (1)求点A关于M的所有共轭点的坐标： (2)设点P,O在M上，且PO∥OA,求点A关于M的所有共轭点和点P,O所围成封闭图 形面积的最大值. 26+0=1 【详解】(1)设点A关于M的共轭点的坐标为(x,),由题意有 63 +-1 063 消去6得2-4+4=0，解得2 。=1 即点A关于M的共轭点有且只有一个，坐标为(2,1)，即为A本身. 1 (2)由题设直线P吧方程为：y=2+, 第8页共9页 (1 V=-x+ 将其与椭圆方程联立有 2 x2,y2 ,消去y得3x2+4mx+4m2-12=0. (631 题有其△>0→144-32r>0→m<号又设P(Sy,Q(3 则X+x2= 3,5= n24 则@-产-可-i-蓝+， =94gr-4-956-2m 又设A(2,1)到直线y= +m距离为d,则d= m-25 4 则所围成的图形面积为S= 方4pg号o-2m州=号方o-2m)2m 3 (9-2m2+2m2） 35，当且仪当9-22=2m2,即m=±多取等男 3 3 故点A关于M的所有共轭点和点卫，Q所围成封闭图形面积的最大值为3 3 第9页共9页