精品解析：新疆塔城地区第一高级中学2025-2026学年第二学期高一月考一数学试卷

塔地一高2025-2026学年第二学期高一月考一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题各5分） 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理，可得， 又，故或. 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘方和除法的运算，求得，再利用共轭复数的定义求得，最后复数的数乘和加法运算计算即可. 【详解】，， 故选：D 4. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底. 选项B: , , , 共线, 不能作为基底. 选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底. 选项D: , , , 不共线, 可以作为基底. 5. 已知，点在直线上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由得或，利用坐标运算即可求解. 【详解】由题意得：或，设点， 所以， 当时，所以，解得，所以， 当时，所以，解得，所以. 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 7. 若平面向量，两两夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方展开原式，结合向量的模分别求解两两夹角为和时的值即可. 【详解】 当两两夹角为时，，可得： 所以. 当两两夹角为时，，可得： ， 所以， 故或. 8. 设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选择为基底法，由， ，求得.根据向量共线定理及，确定点的位置，从而求得. 【详解】由已知， ； ； 联立可得. 设，. 则. 因为，所以，解得. 所以，点是上靠近点的三等分点， 所以； 二、多选题（每题各6分） 9. 在复平面内，复数对应的点为A，复数对应的点为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量对应的复数是1 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的模、复数的几何意义逐一分析即可. 【详解】因为，所以， 所以， ，A正确； ，B错误； 由上可得，对应复数为，C错误； ，，D正确. 故选：AD 10. 已知内角A，B，C对边分别为a，b，c．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形． B. 若，则为等腰三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理边化角判断A；由正弦定理边化角判断B；利用正弦函数单调性推理判断C；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断D. 【详解】对于A，由及余弦定理，得，为锐角，无法确定，A错误； 对于B，由及正弦定理，得，为等腰三角形，B正确； 对于C，在锐角中，，则，即，C正确； 对于D，由，，得，，， 由正弦定理得，D正确. 故选：BCD 11. 已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则O为垂心 B. 若，则O为外心 C. 若，则O为内心 D. 若，则O为重心 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，因为，故， 整理得， 又， 所以，则， 因为方向的单位向量， 故AO与的角平分线共线，同理BO与的角平分线共线，CO与的角平分线共线， 所以O为的内心，故A错误； 对于B，因为，所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心，故B正确； 对于C，因为，所以， 则，即，则，同理可得， 所以点O为的垂心，故C错误； 对于D，因为，所以， 设D为BC的中点，则，所以点O为的重心，故D正确． 三、填空题（每题各5分） 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理可得，， 因为，所以， 故的面积为. 13. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可得； 【详解】在方向上的投影向量的公式为：， 所以，， 将结果代入公式: . 14. 已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，结合图形，利用平面向量的数量积的几何意义判断求解即可． 【详解】画出图形如图， ， 它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积， 由图可知，在处时，取得最大值，， 此时，可得，即最大值为6， 在处取得最小值，此时， 最小值为， 因为是边长为2的正六边形内的一点，取不到临界值， 所以的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义及其应用，考查了向量在几何中的应用，同时考查了数形结合思想的应用，是中档题． 四．解答题 15. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【小问1详解】 由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 16. 已知向量，， （1）若，求实数的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标形式可求的值； （2）利用向量垂直的坐标形式可求的值，再利用公式可求向量与的夹角的余弦值. 【小问1详解】 向量，则， 由，得，解得. 【小问2详解】 ，由，有， 解得，则， . 所以向量与的夹角的余弦值. 17. 在中，内角，，所对边的长分别是，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）根据正弦定理求解； （3）利用二倍角公式和两角和的余弦公式求解. 【小问1详解】 由余弦定理可知， 即，即，解得 （舍去）； 【小问2详解】 因为，， 所以， 由得 【小问3详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 18. 如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． （1）若是上靠近的三等分点，用和表示； （2）若是中点，设，，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据图形，利用向量的加法法则计算可得； （2）利用向量的四边形法则结合共线的基本定理可得. 【小问1详解】 因为是上靠近的三等分点，所以， 则由空间向量的加法法则得， 由空间向量的减法法则得 ，故. 【小问2详解】 若是中点，设，， 则， 因为三点共线，所以. 19. 已知分别是锐角三个内角的对边，且，． （1）求的值； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【小问1详解】 在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， 【小问2详解】 由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塔地一高2025-2026学年第二学期高一月考一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题各5分） 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，点在直线上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 7. 若平面向量，两两夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 3或 8. 设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题各6分） 9. 在复平面内，复数对应的点为A，复数对应的点为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量对应的复数是1 D. 10. 已知内角A，B，C对边分别为a，b，c．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形． B. 若，则为等腰三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，，则的取值范围为 11. 已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则O为垂心 B. 若，则O为外心 C. 若，则O为内心 D. 若，则O为重心 三、填空题（每题各5分） 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 13. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 14. 已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是__________. 四．解答题 15. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 16. 已知向量，， （1）若，求实数的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 17. 在中，内角，，所对边的长分别是，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． （1）若是上靠近的三等分点，用和表示； （2）若是中点，设，，求的值． 19. 已知分别是锐角三个内角的对边，且，． （1）求的值； （2）求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $