8.6.1 直线与直线垂直 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.1 直线与直线垂直 学习目标： （1）通过直观感知、操作确认，归纳出异面直线所成角的概念；（数学抽象） （2）会求一些较特殊的异面直线所成的角；（数学运算） （3）掌握两直线垂直的概念，会判定两直线垂直。（逻辑推理） 一、复习引入 面面平行 判定 性质 线线平行 线面平行 判定 性质 性质 类比： 线线垂直 线面垂直 面面垂直 平行直线 共面直线 异面直线 相交直线 不同在任何一个平面内，没有公共点． 在同一平面内，没有公共点． 在同一平面内，有且只有一个公共点． 空间中直线与直线的位置关系： (1) (2) (3) 异面直线图示： 一、复习引入 3 二、探究新知 问题1：如下图，其中的直线与是什么位置关系？ 追问1：它们的位置关系有区别吗？区别在哪里？ 都是异面直线 “歪”的程度不一样 追问2：怎么刻画这种区别呢？ (1) (2) (3) 4 我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度． 图中的角θ即为直线a与直线b的夹角． 思考：异面直线能否用“角”度量“歪”的程度？ 二、探究新知 5 二、探究新知 追问3：“角”是平面图形，但图中的直线与不共面，如何用角度量？ 使两条直线相交共面 平移 追问4：平移至共面后，直线与形成了多个夹角，选择哪个合适呢？ 选择较小角来刻画 追问5：直线所成角的大小与点的位置有关吗？ 无关，根据等角定理即可得证 异面直线平移至共面——立体问题平面化 6 a′ b′ O θ ？ O a′ 平移 a b （1）将空间图形转化为平面图形 （2）异面直线夹角转化为相交直线的夹角 二、异面直线所成角定义 已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角(或夹角). 异面直线所成角 范围: 如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直。直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b. 异面直线所成角的取值范围：0°< α ≤90° 垂直分为两种： 相交直线的垂直 异面直线的垂直 思考：两条直线垂直一定相交吗？ 不一定 二、直线与直线垂直 当两条直线相互平行时，我们规定它们所成的角为0°. 思考1：如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？ 垂直 思考2：垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 不一定 A' B' C' D' D C B A 平行线定理 a b l 二、直线与直线垂直 三、知识应用 题型一：求异面直线所成角(数学运算) 例1. 如图，在正方体中， 求异面直线与所成角的大小。 平移至 异面直线与所成角 即为 即，∠ 直接平移法 题型一：求异面直线所成角(数学运算) 例2.如图，在正方体中， 是点，求异面直线 与所成角的大小。 连接， 连接， 与的交点是中点 取中点 连接 异面直线与所成角 即为 直线所成角 中位线平移法 三、知识应用 例2.如图，在正方体中， 是点，求异面直线 与所成角的大小。 在原正方体右侧补一个全等的正方体 连接，并平移至 连接 在中，利用余弦定理 异面直线与所成角 即为 直线所成角 补形平移法 题型一：求异面直线所成角(数学运算) 三、知识应用 步骤：找点→平移→ 证明→求解 方法：直接平移法、中位线平移法、补形平移法； 题型一：求异面直线所成角(数学运算) 方法小结 求两条异面直线所成的角的一般步骤： 　1．作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常用平移法)异面直线所成的角(或其补角)； 　2．证：证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角； （注：证明线线平行） 　3．求：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小； （注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面 直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）． 13 例3.（课本147页例2）如图，在正方体中，为底面的中心.求证：. 分析： 题型二：证明两异面直线垂直(逻辑推理) 三、知识应用 推出 异面直线夹角转化为相交直线的夹角 14 例3.如图，在正方体中，为底面的中心. 求证：. 分析：要证明应先构造直线所成的角，再证明这个角是直角 解： 连接.∵是正方体， ∴且. ∴四边形是平行四边形. ∴ ∴直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接，易证. 又为底面的中心， ∴为的中点，∴.∴. A B C D A1 B1 C1 D1 O1 题型二：证明两异面直线垂直(逻辑推理) 三、知识应用 15 求两条异面直线所成的角的一般步骤： 　1．作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常用平移法)异面直线 所成的角(或其补角)； 　2．证：证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角； （注：证明线线平行） 　3．求：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小； （注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面 直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）． 题型二：证明两异面直线垂直(逻辑推理) 方法小结 步骤：1.平移——作异面直线所成角； 2.计算——求异面直线所成角的大小（余弦值、特殊三角形）； 3.结论——异面直线所成角是否为90°，即线线垂直； 16 例4. 在四面体中,,分别是,的中点.若,所成的角为, 且,则________.  解：如图,取中点,连接,. 因为∥,∥, 所以与所成的锐角(或直角)即为与所成的角. 而,所成的角为, 所以或 当时,; 当时,取的中点,连接, 则,. 题型三：异面直线所成角的应用(数学运算) 方法小结 17 已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角(或夹角). 四、课堂总结 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画“×”． ①. 中,空间中直线∥,∥,则直线,所成的角是.（ ） ②.相互垂直的直线一定是相交直线（ ） ③.如果一条直线与平行直线中的一条垂直,那么这条直线也与另一条直线垂直.（ ） 2.如图,在长方体中,若,, 则异面直线和所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. D. 五、随堂练习 感谢您的观看与聆听 THANKS 20 $