8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台 的表面积和体积 学习目标： （1）了解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式。 （2）理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 一、复习巩固 O 圆柱的侧面展开图是矩形 圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它们的各个面的面积和． 探究1：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么？怎么求它的表面积？ 二、面积探究 圆柱 圆柱侧面展开图、表面积 3 圆锥的侧面展开图是扇形 O 探究2：圆锥的展开图是什么？怎么求它的表面积？ 二、面积探究 圆锥侧面展开图、表面积 圆锥 4 探究3：参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ，它的表面积是什么？ O O’ 圆台的侧面展开图是扇环 二、面积探究 圆台侧面展开图、表面积 (r′、r为上、下底面半径，l是母线长) S侧面积 圆台 5 思考：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 上底面扩大到与下底面全等 上底面缩小为一个点 r′=r r′=0 2πrl　 πrl　 π(r′＋r)l　 l O O' r O' O r' r l • • h O S l r 二、面积探究 圆柱 圆台 圆锥 祖暅原理：（幂势既同，则积不容异）教材121页 夹在两个平行平面内之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 三、体积探究 底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。 V圆柱 圆柱、圆锥、圆台的体积 S S S V柱体=sh 圆柱体积 三、体积探究 h 类似的,底面积相等,高也相等的 两个锥体的体积也相等. V圆锥= sh S S S V锥体= sh 圆锥体积 三、体积探究 h S S S' S' V圆台= V台体= 圆台体积 三、体积探究 l O O' r h • • O S l r h • O' O r' r l • • h 柱体 锥体 台体 S′=S S′=0 r′=r r′=0 三、体积探究 设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数. 事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是 O 四、球的表面积与体积 思考：在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出 球的体积吗？ 类比利用圆周长求圆面积方法, 我们可利用球的表面积求球的体积. 如图, 把球O的表面分成n个小网格, 连接球心O和每个小网格的顶点, 整个球体就被分割成n个“小锥体”. 当n越大，每个小网格越小，每个“小椎体”的底面越平，“小椎体”就越接近似于棱锥，其高越近似于球的半径R. 设O-ABCD是其中一个“小椎体”，那么它的体积就为 由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积这个就是球的表面积. 因此，球的体积为 四、球的表面积与体积 O A B C D 例1：已知的三边长分别是以所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积。 五、典例探究 例2：已知圆台的高为3，在轴截面中，母线与底面圆轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积。 反思感悟：对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单体的底面半径、母线长及高，再分别代入表面积或体积公式求解。 五、典例探究 解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。 例3.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。 五、典例探究 C 六、实践应用 17 A 六、实践应用 18 六、实践应用 19 六、实践应用 20 8 六、实践应用 21 六、实践应用 22 六、实践应用 23 2πrl　 2πr(r＋l)　 πrl　 πr(r＋l)　 π(r′l＋rl)　 π(r′2＋r2＋r′l＋rl)　 七、课堂总结 Lavf59.14.100 1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　) A．1∶2　　　　　　　　 B．1∶eq \r(3) C．1∶eq \r(5) D.eq \r(3)∶2 【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq \r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq \r(5)πr2，S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶eq \r(5). 2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　) A．7　　　　B．6　　　　C．5　　　　D．3 【解析】设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7. 3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为 ． 【解析】由已知圆台上、下底面积分别为 S上＝π，S下＝4π. 则V圆台＝eq \f(1,3)·(π＋eq \r(π·4π)＋4π)·3＝7π. 4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π. 5．一个正方体的八个顶点都在体积为eq \f(4,3)π的球面上，则正方体的表面积为 ． 【解析】设球的半径为R，正方体的棱长为a， 则eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π，故R＝1，由eq \r(3)a＝2R＝2，所以a＝eq \f(2,\r(3))，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))eq \s\up20(2)＝8. 6．已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积． 【解析】　由题意V锥体＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)πr2·h＝eq \f(20π,3). 7．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积； (2)已知球的体积为eq \f(108π,3)，求它的表面积． 【解析】　(1)由R＝1，所以S球＝4πR2＝4π，V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π. (2)由V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(108,3)π， 所以R＝3，所以S＝4πR2＝36π. $