精品解析：四川省成都东部新区养马高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

成都东部新区养马高级中学2024-2025学年度（下） 高2023级期中考试 数学 试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前，务必将自己的姓名、班级填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在处的导数等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出导函数的值. 【详解】函数，求导得，所以. 故选：A 2. 在等比数列中，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】等比数列的性质可知,故选. 3. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到，再运用等差数列的前n项和公式计算即得. 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：B 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再解不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B 5. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，依次计算即得. 【详解】数列中，， . 故选：B 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用导函数正负与函数单调性的关系判断B，C，再根据导函数的函数值变化得出原函数的切线斜率变换判断A，D. 【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在轴上方，导函数值大于0，所以原函数的图象必然单调递增，排除B，C； 且导函数的函数值在区间上递减，即原函数在区间上的切线斜率递减， 导函数的函数值在区间上递增，即原函数在区间上的切线斜率递增，D选项错误. 故选:A 7. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用累加法得到的通项公式，从而得到. 【详解】由，得， 所以 ， 所以. 故选：A. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构建，利用导数可知在上单调递增，结合单调性分析判断. 【详解】令，则在上恒成立， 可知在上单调递增，则， 可得，即. 故选：C. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列，则下列说法正确的是 （ ） A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第23项 C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第25项 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件求得数列的通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】数列， 所以，A选项正确，C选项错误. ，B选项正确， ，D选项错误. 故选：AB 10. 已知函数若，则实数的值可为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据常见初等函数的导数公式，结合代入法，分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，， 解得，（舍去）；当时，，解得． 故选：BC 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 数列为等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】因为，所以数列是等比数列，即可求出，利用分组求和即可求出，进而即可判断CD. 【详解】因为，所以，所以数列是以首项为， 公比为2的等比数列，所以，故A正确； 数列的前项和为 ，故B正确； 因为，故C错误； 令，所以数列为等差数列，故D错误. 故选：AB. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 12. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，可求数列的通项公式． 【详解】由题意时，， 又也满足上式，所以． 故答案为：. 13. 已知函数，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的计算法则计算即可. 【详解】∵， ∴， ∴ ∴. 故答案为：2. 14. 已知数列满足，则的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】对取倒数，然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可. 【详解】对两边取倒数得，即， 当时，，，，，， 将以上各式累加得，又， 所以，所以，当时，也满足，所以. 故答案为： 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由公式写出等差数列前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，则， 故， 所以； 【小问2详解】 ，所以. 16. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 问题：已知等差数列为其前n项和，若______________． （1）求数列的通项公式； （2）设，求证：数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）任选条件①②③： （2） 证明：由（1）得， 所以 【解析】 【分析】（1）选①由与的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可； （2）由（1）可得，利用裂项相消法证明即可. 【小问1详解】 若选①：在等差数列中，， 当时，， 也符合， ∴； 若选②：在等差数列中， ， ，解得 ； 若选③：在等差数列中， ，解得 ； 【小问2详解】 略 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）由导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程. （2）求导后，分别在和的情况下，根据正负得到函数单调性. 【小问1详解】 当时，，则，， 又，在处的切线方程为：，即 【小问2详解】 由题意得：定义域为，， 当时，，在上单调递增. 当时，若和，则. 若，则；在，上单调递增，在上单调递减. 18. 已知函数． 当时，求的单调增区间； 若在上是增函数，求得取值范围． 【答案】(1) .(2) . 【解析】 【分析】（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可； （2）已知在区间（0，1）上是增函数，即在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可． 【详解】（1）当时，， 所以， 由得，或， 故所求的单调递增区间为. （2）由，∵在上是增函数， 所以在上恒成立，即恒成立， ∵（当且仅当时取等号）， 所以，即. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和对勾函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力． 19. 已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且. （1）求的通项公式； （2）求出的通项公式； （3）设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由等比数列的通项公式即可得出的通项公式 (2)由利用累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式. (3)由得,利用错位相减法求出,不等式可转化为,利用 的单调性求出最小值即可. 【小问1详解】 数列是首项为3，公比为3的等比数列， ， 【小问2详解】 当时， ， 即，，. 又也满足上式， 数列的通项公式为 【小问3详解】 由（1），可得， ①， ②， 由①-②，得， ， 不等式可化为， 即对任意的恒成立， 令且为递增数列，即转化为. 又，所以， 综上，λ的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都东部新区养马高级中学2024-2025学年度（下） 高2023级期中考试 数学 试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前，务必将自己的姓名、班级填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在处的导数等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 在等比数列中，，则 A. B. C. D. 3. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列，则下列说法正确的是 （ ） A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第23项 C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第25项 10. 已知函数若，则实数的值可为（ ） A. 2 B. C. D. 4 11. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 数列为等比数列 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 12. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________. 13. 已知函数，则________. 14. 已知数列满足，则的通项公式为______. 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 问题：已知等差数列为其前n项和，若______________． （1）求数列的通项公式； （2）设，求证：数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性． 18. 已知函数． 当时，求的单调增区间； 若在上是增函数，求得取值范围． 19. 已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且. （1）求的通项公式； （2）求出的通项公式； （3）设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $