精品解析：湖南郴州市明星高级中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷

明星高级中学2026年上期高一年级 第一次月考试题卷 数 学 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. ，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 平面向量满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，若，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选） A. B. C. D. 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 一个平面内有且只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B. 互为相反向量的两个向量的模相等 C. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D. 向量与共线存在不全为零的实数，使 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则__________． 13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 14. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简下列向量线性运算： （1）； （2）； （3）． 16. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求． 17. 设向量，，. （1）若A、B、C三点共线，求实数x的取值； （2）若，的夹角为锐角，求实数x的取值范围. 18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c; （1）已知，，，求； （2）已知，， ，求． （3）若， ， ，求B; 19. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明星高级中学2026年上期高一年级 第一次月考试题卷 数 学 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理，可得， 又，故或. 4. ，，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量坐标的定义计算即得. 【详解】因，，则. 故选：C. 5. 平面向量满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合向量的模长公式和运算法则即可求解. 【详解】由可得， 又，所以，所以 所以. 故选：D. 6. 已知平面向量，，若，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再根据向量共线列式求值. 【详解】由题意，得．又，由，得，解得． 故选：B． 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，，， 则向量在向量上的投影向量为. 8. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故A正确； 选项B，因为，所以共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故B不正确； 选项C，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确； 选项D，是零向量，与任何向量都共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D不正确. 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数量积的坐标公式即可判断A；根据向量的模的坐标公式即可判断B；根据平面向量线性运算的坐标表示即可判断C；根据平面向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC． 11. 下列结论正确的是（ ） A. 一个平面内有且只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B. 互为相反向量的两个向量的模相等 C. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D. 向量与共线存在不全为零的实数，使 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基底的定义即可判断A；根据相反向量的定义即可判断B；根据向量的定义即可判断C；根据共线向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，由平面基底的概念可知， 只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误； 对于B，方向相反模模相等的两个向量为相反向量，故B正确； 对于C，向量不能比较大小，故C错误； 对于D，向量与共线存在不全为零的实数，使，故D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理及正弦定理求解即可. 【详解】， 由余弦定理可得：， ，， 由，及正弦定理可知，， . 13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 14. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 【答案】500 【解析】 【分析】根据题意，设塔高，可得出； 在中，由，则可得出； 在中，结合余弦定理可得出方程，计算即可求出值. 【详解】设塔高，在中，，则， 在中，，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：500. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简下列向量线性运算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. （2）根据向量模的计算公式计算可得. （3）利用向量夹角余弦公式可求出答案. 【小问1详解】 因为，, 所以 【小问2详解】 因为，, 所以， 所以, 【小问3详解】 . 17. 设向量，，. （1）若A、B、C三点共线，求实数x的取值； （2）若，的夹角为锐角，求实数x的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得. （2）利用向量夹角的余弦，结合共线向量求解即得. 【小问1详解】 向量，，，则， 由A、B、C三点共线，得，则，解得， 所以实数x的取值为. 【小问2详解】 由，，得， 由，的夹角为锐角，得，且与不共线， 于是，解得且， 所以实数x的取值范围是. 18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c; （1）已知，，，求； （2）已知，， ，求． （3）若， ， ，求B; 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）这两问根据余弦定理求解； （3）根据正弦定理求解. 【小问1详解】 由余弦定理，得 所以． 【小问2详解】 在中，已知，，， 由余弦定理，得 所以． 【小问3详解】 在中，， ， ， 由正弦定理得，， 即，由，得， 所以. 19. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； 【小问2详解】 由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $