专题1 二次根式19种题型 期中复习讲义 2025-2026学年人教版数学 八年级下册

该初中数学二次根式复习讲义通过知识框架系统梳理概念、性质、运算及应用，以思维导图呈现“概念-性质-运算-应用”逻辑脉络，突出双重非负性、最简二次根式等核心考点，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与“三步取值法”“0+0=0套路”等技巧指导，如“含参二次根式最值问题”“非负性应用”培养运算能力与推理意识，基础题巩固概念，综合题提升应用能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习高效突破难点。

专题1 二次根式 一、二次根式的概念与有意义条件 1.定义：形如（）的式子叫做二次根式，“”是二次根号，. 2.有意义条件（必考） 在实数范围内有意义⟺ 被开方数. 3.双重非负性（核心考点） ≥0且（两个非负同时成立）; 二、二次根式的核心性质（4条，必背） 1.（）; 2.; 3.乘法法则：（,b≥0）; 逆用：（,b≥0）; 4.除法法则：（,b>0）; 逆用：（,b>0）. 三、最简二次根式（化简标准） 满足两个条件： 1.被开方数不含分母（分母中无根号）; 2.被开方数中不含能开得尽方的因数/因式. 四、二次根式的运算 1. 乘除运算（法则 + 化简） 乘法法则:（,b≥0）; 系数相乘：（,b≥0）; 除法法则:（,b>0）; 系数相除：（,） 分母有理化（去分母根号）:，. 2. 加减运算（核心：先化简，再合并同类二次根式） 同类二次根式:几个二次根式化为最简后，被开方数相同，就是同类二次根式. 加减步骤: 1.把每个二次根式化为最简二次根式; 2.合并同类二次根式（系数相加减，根号及被开方数不变）; 3.非同类二次根式不能合并，直接保留. 3. 混合运算顺序 先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内；运算律（交换、结合、分配）同样适用. 一、概念与有意义条件易错 1.只看根号，不看被开方数：看到就默认是二次根式，忽略必须满足; 2.分母带二次根式时漏条件：如有意义，易错写成，正确是（分母≠0）; 3.双重非负性不会用：≥0 且，遇到+∣b∣=0 只让一个为0，正确是都为0. 二、性质应用高频易错 1.混淆 ()2 与 （）; （必须加绝对值）. 2.乱用积、商的性质：只在,b≥0 时成立; 3.开方时漏系数、漏因式. 三、最简二次根式易错 1.被开方数含分母不算最简; 2.被开方数含能开尽方的因数; 3.根号外系数与根号内数字乱约分. 四、加减运算最容易错 1.没化成最简就合并; 2.不是同类二次根式硬合并; 3.合并时系数算错. 五、乘除运算易错 1.系数与根式分开算，漏乘系数; 2.除法忘记分母有理化; 3.带分数直接开方. 六、混合运算与符号易错 1.去括号时符号错; 2.运算顺序乱：先乘除后加减，有括号先括号，易错从左到右乱算; 3.结果不化最简：. 七、隐藏陷阱（考试最爱出） 1.含字母的化简不讨论符号，直接去绝对值:如（默认），没条件必须写∣∣; 2.结果漏写负号、多写负号：尤其这类题; 3.实际问题中忽略长度、面积必须为正：算出负数根直接舍去，易错保留. 一、判断有意义：三步取值法 1.根号里整体≥ 0; 2.分母≠ 0; 3.多个条件同时满足，取交集. 技巧：看到 “有意义”，先列不等式组. 二、非负数模型：0+0=0 套路 适用：+∣b∣+c2=0万能技巧：每一部分都必须等于0，直接列方程求解. 三、化简两大神器 1. 去根号技巧 · ,先写绝对值，再根据题目条件判断正负; · （）. 2. 因式分解开方 把被开方数拆成：完全平方数×剩余部分. 四、最简二次根式：固定三步走 1.被开方数不含分母; 2.分母不含根号; 3.被开方数不含能开尽方的因数. 技巧：能开出去的全部开到根号外面，别留在里面. 五、分母有理化：万能模板 1.; 2.（乘共轭根式）. 技巧：分子分母同乘分母的共轭式，把根号消掉. 六、二次根式加减：同类合并法 核心只有一句话：先化成最简，再合并同类二次根式。 技巧：不是同类根式坚决不合并. 七、乘除运算：系数、根式分开算 1.乘法：； 2.除法：. 技巧：系数归系数，根号归根号，最后统一化简. 八、比较大小常用技巧 1.平方法：都平方后比大小（均为正数）; 2.倒数法：倒数大的反而小; 3.作差法：看结果正负; 4.分母有理化后比较. 九、含字母化简：绝对值判断法 看到： 1.先写:; 2.再根据题目范围（数轴/大小关系）去绝对值. 技巧：没给范围就必须保留绝对值. 十、混合运算顺序（必记） 先乘方→再乘除→最后加减:有括号先算括号，能用分配律就用分配律简化. 十一、快速验算技巧 1.结果必须是最简二次根式; 2.结果不能为负（长度、面积类）; 3.代入原题检验是否成立. 题型一 二次根式的定义判断 【例1】下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【变式1-1】下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 含参二次根式中的最值问题 【例2】已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【变式2-1】已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知是整数，则满足条件的最小正整数n是___． 【变式2-3】二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是______． 题型三 二次根式有意义的条件 【例3】若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【变式3-1】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【变式3-2】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【变式3-3】若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 题型四 根据二次根式的性质化简 【例4】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 【变式4-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【变式4-2】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式4-3】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 题型五 二次根式非负性的应用 【例5】若，满足，则_______． 【变式5-1】若，则的立方根是________． 【变式5-2】若实数x，y满足，则的值为__________． 【变式5-3】若为实数，且满足，则的值是________． 题型六 二次根式的乘法 【例6】计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【变式6-1】化简计算正确的结果是（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式6-2】计算：（    ） A．12 B． C． D． 【变式6-3】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型七 二次根式的除法 【例7】计算：______． 【变式7-1】计算：_____________． 【变式7-2】计算:____ 【变式7-3】计算：______． 题型八 二次根式的乘除混合运算 【 例8】计算： 【变式8-1】计算：． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【变式8-3】运算能力计算： (1)； (2)． 题型九 最简二次根式的判断 【例9】下列四个选项中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型十 化为最简二次根式 【例10-1】化简的结果是_____． 【例10-2】已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】化简：___________________． 【变式10-2】化简： ____________________． 【变式10-3】化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式10-4】已知，化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 题型十一 同类二次根式的判断 【例11】下列二次根式中与是同类二次根式的是（　 　） A． B． C． D． 【变式11-1】下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】二次根式①，②，③，④中，与是同类二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十二 二次根式的加减运算 【 例12】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】计算：___________． 【变式12-2】下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】计算： (1)； (2)． 题型十三 二次根式的混合运算 【例13】计算：______． 【变式13-1】计算： 【变式13-2】计算： (1)； (2)． 【变式13-3】计算 (1) (2) 题型十四 二次根式的分母有理化 【例14】计算：________． 【变式14-1】化简：_____． 【变式14-2】化简：__________________． 【变式14-3】将代数式分母有理化，结果是______． 题型十五 知字母的值，化简求值 【例15】已知，，则的值为（    ） A．4 B．12 C．10 D．6 【变式15-1】设，，则_______；_______． 【变式15-2】已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【变式15-3】计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型十六 知条件式，化简求值 【例16】已知对，，求的值． 【变式16-1】已知，，求值． 【变式16-2】已知，则的值为______． 【变式16-3】已知：，，且，求的值． 题型十七 比较二次根式的大小 【例17】比较大小：__________（填“”、“=”、“”）． 【变式17-1】比较大小：________（填“”，“”或“”）． 【变式17-2】比较大小：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【变式17-3】比较大小__________． 题型十八 二次根式的应用 【例18】如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为______． 【变式18-1】如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为_________． 【变式18-2】如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 【变式18-3】某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？    题型十九 复合二次根式 【例19】化简：____________________． 【变式19-1】__________． 【变式19-2】化简＝_______ 【变式19-3】化简：______________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 二次根式 一、二次根式的概念与有意义条件 1.定义：形如（）的式子叫做二次根式，“”是二次根号，. 2.有意义条件（必考） 在实数范围内有意义⟺ 被开方数. 3.双重非负性（核心考点） ≥0且（两个非负同时成立）; 二、二次根式的核心性质（4条，必背） 1.（）; 2.; 3.乘法法则：（,b≥0）; 逆用：（,b≥0）; 4.除法法则：（,b>0）; 逆用：（,b>0）. 三、最简二次根式（化简标准） 满足两个条件： 1.被开方数不含分母（分母中无根号）; 2.被开方数中不含能开得尽方的因数/因式. 四、二次根式的运算 1. 乘除运算（法则 + 化简） 乘法法则:（,b≥0）; 系数相乘：（,b≥0）; 除法法则:（,b>0）; 系数相除：（,） 分母有理化（去分母根号）:，. 2. 加减运算（核心：先化简，再合并同类二次根式） 同类二次根式:几个二次根式化为最简后，被开方数相同，就是同类二次根式. 加减步骤: 1.把每个二次根式化为最简二次根式; 2.合并同类二次根式（系数相加减，根号及被开方数不变）; 3.非同类二次根式不能合并，直接保留. 3. 混合运算顺序 先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内；运算律（交换、结合、分配）同样适用. 一、概念与有意义条件易错 1.只看根号，不看被开方数：看到就默认是二次根式，忽略必须满足; 2.分母带二次根式时漏条件：如有意义，易错写成，正确是（分母≠0）; 3.双重非负性不会用：≥0 且，遇到+∣b∣=0 只让一个为0，正确是都为0. 二、性质应用高频易错 1.混淆 ()2 与 （）; （必须加绝对值）. 2.乱用积、商的性质：只在,b≥0 时成立; 3.开方时漏系数、漏因式. 三、最简二次根式易错 1.被开方数含分母不算最简; 2.被开方数含能开尽方的因数; 3.根号外系数与根号内数字乱约分. 四、加减运算最容易错 1.没化成最简就合并; 2.不是同类二次根式硬合并; 3.合并时系数算错. 五、乘除运算易错 1.系数与根式分开算，漏乘系数; 2.除法忘记分母有理化; 3.带分数直接开方. 六、混合运算与符号易错 1.去括号时符号错; 2.运算顺序乱：先乘除后加减，有括号先括号，易错从左到右乱算; 3.结果不化最简：. 七、隐藏陷阱（考试最爱出） 1.含字母的化简不讨论符号，直接去绝对值:如（默认），没条件必须写∣∣; 2.结果漏写负号、多写负号：尤其这类题; 3.实际问题中忽略长度、面积必须为正：算出负数根直接舍去，易错保留. 一、判断有意义：三步取值法 1.根号里整体≥ 0; 2.分母≠ 0; 3.多个条件同时满足，取交集. 技巧：看到 “有意义”，先列不等式组. 二、非负数模型：0+0=0 套路 适用：+∣b∣+c2=0万能技巧：每一部分都必须等于0，直接列方程求解. 三、化简两大神器 1. 去根号技巧 · ,先写绝对值，再根据题目条件判断正负; · （）. 2. 因式分解开方 把被开方数拆成：完全平方数×剩余部分. 四、最简二次根式：固定三步走 1.被开方数不含分母; 2.分母不含根号; 3.被开方数不含能开尽方的因数. 技巧：能开出去的全部开到根号外面，别留在里面. 五、分母有理化：万能模板 1.; 2.（乘共轭根式）. 技巧：分子分母同乘分母的共轭式，把根号消掉. 六、二次根式加减：同类合并法 核心只有一句话：先化成最简，再合并同类二次根式。 技巧：不是同类根式坚决不合并. 七、乘除运算：系数、根式分开算 1.乘法：； 2.除法：. 技巧：系数归系数，根号归根号，最后统一化简. 八、比较大小常用技巧 1.平方法：都平方后比大小（均为正数）; 2.倒数法：倒数大的反而小; 3.作差法：看结果正负; 4.分母有理化后比较. 九、含字母化简：绝对值判断法 看到： 1.先写:; 2.再根据题目范围（数轴/大小关系）去绝对值. 技巧：没给范围就必须保留绝对值. 十、混合运算顺序（必记） 先乘方→再乘除→最后加减:有括号先算括号，能用分配律就用分配律简化. 十一、快速验算技巧 1.结果必须是最简二次根式; 2.结果不能为负（长度、面积类）; 3.代入原题检验是否成立. 题型一 二次根式的定义判断 【例1】下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 【变式1-2】下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 题型二 含二次根式中的最值问题 【例2】已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值． 【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 【变式2-1】已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 【变式2-2】已知是整数，则满足条件的最小正整数n是___． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的定义和化简；先把化简成，再根据是整数分析最小正整数n的值即可. 【详解】解：∵且是整数， ∴是完全平方数， ∴正整数n的最小值是2. 故答案为：2. 【变式2-3】二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 题型三 二次根式有意义的条件 【例3】若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】x≥8 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 【变式3-1】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3-2】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式3-3】若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数、分式分母不为0的性质，列不等式组求解m的取值范围即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴需满足， 解，得， 解，得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 题型四 根据二次根式的性质化简 【例4】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 【变式4-2】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】根据数轴判断，，，然后根据，以及去括号法则、合并同类项法则化简即可． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，，， ∴ ． 【变式4-3】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 题型五 二次根式非负性的应用 【例5】若，满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式5-1】若，则的立方根是________． 【答案】2 【分析】根据平方、二次根式的非负性可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴， ∴的立方根是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到，是解题的关键． 【变式5-2】若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 【变式5-3】若为实数，且满足，则的值是________． 【答案】-1 【分析】根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y，代入求值即可； 【详解】∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案是-1． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解和代数式求值，准确利用绝对值和二次根式的非负性求解是解题的关键． 题型六 二次根式的乘法 【例6】计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案． 【详解】． 故选：B． 【变式6-1】化简计算正确的结果是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法运算法则，准确计算．根据二次根式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式6-2】计算：（    ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法法则． 根据二次根式的乘法法则：计算即可． 【详解】解：, 故选：D． 【变式6-3】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解决本题的关键是根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D ． 题型七 二次根式的除法 【例7】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式7-1】计算：_____________． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式除法运算，熟练掌握二次根式除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：6． 【变式7-2】计算:____ 【答案】 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 【变式7-3】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 题型八 二次根式的乘除混合运算 【 例8】计算： 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除混合运算法则．根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式8-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先将根号下的小数化为分数，再将除法转化为乘法，最后计算根号内的乘法即可． 【详解】解： ． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算． （1）根据二次根式乘除运算法则计算即可； （2）根据二次根式乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式8-3】运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型九 最简二次根式的判断 【例9】下列四个选项中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义（被开方数为整数或整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，分母不含根号），逐一判断选项即可． 【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数是整数或整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时分母不含根号， A项：的被开方数是分数，不符合最简二次根式定义； B项：的被开方数是整数2，且2不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义； C项：，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义； D项：的分母含有根号，不符合最简二次根式定义， ∴属于最简二次根式的是B选项， 故选：B． 【变式9-1】下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数（即不含平方因子）；②被开方数不含分母，逐一分析各选项即可确定答案． 【详解】解： A、不是最简二次根式； B、不是最简二次根式； C、符合最简二次根式条件； D、，不是最简二次根式； 故选：C 【变式9-2】下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查的是最简二次根式的概念，熟练掌握是解题的关键．被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的定义，逐一验证各选项即可． 【分析】A. ：被开方数，含完全平方因数，可化简为，不是最简二次根式． B. ：被开方数是质数，无完全平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件． C. ：被开方数，含分母，可化为，不是最简二次根式． D. ：被开方数，含完全平方因数，可化简为，不是最简二次根式． 故选：B． 【变式9-3】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 题型十 化为最简二次根式 【例10-1】化简的结果是_____． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 【例10-2】已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 【变式10-1】化简：___________________． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．由即可化简． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式10-2】化简： ____________________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式10-3】化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．由已知可得，根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵有意义， ∴且， ， 故选：B． 【变式10-4】已知，化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简，判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选A． 题型十一 同类二次根式的判断 【例11】下列二次根式中与是同类二次根式的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误； B、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误； C、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误； D、，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确． 故选：D． 【变式11-1】下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断． 【详解】解：A、＝2，故A不符合题意； B、＝2，故B不符合题意； C、＝2，故C不符合题意； D、＝2，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的含义，熟记同类二次根式的定义是解本题的关键． 【变式11-2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类二次根式，同类二次根式的定义，理解定义“几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．”是解题的关键．将各项二次根式化简作答即可． 【详解】解：A.与不是同类二次根式，故不符合题意； B.，与不是同类二次根式，故不符合题意； C.，与不是同类二次根式，故不符合题意； D.，与符合同类二次根式的定义，故符合题意； 故选：D． 【变式11-3】二次根式①，②，③，④中，与是同类二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴①③④与是同类二次根式， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 题型十二 二次根式的加减运算 【 例12】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【详解】解：A、，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项不符合题意； C、，所以C选项符合题意； D、，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【变式12-1】计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 【详解】解：； 故答案为：． 【变式12-2】下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加法、减法、除法分别进行进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 【变式12-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，进行计算，即可． （1）先化简，去绝对值，然后根据二次根式的加减，进行计算，即可； （2）先化简，然后根据二次根式的加减运算，进行计算，即可． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解： 原式 ． 题型十三 二次根式的混合运算 【例13】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式将题目中的式子展开，同时化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式13-1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 【变式13-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除，再合并即可； （2）根据二次根式、绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式13-3】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型十四 二次根式的分母有理化 【例14】计算：________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分母有理化，直接把分子分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式14-1】化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，把二次根式的分子、分母同时乘以，可得：原式，然后再约去分子、分母的公因数即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式14-2】化简：__________________． 【答案】 【分析】利用平方差公式，将分子分母同乘分母的有理化因式，消去分母中的根号后化简得到结果． 【详解】解：． 【变式14-3】将代数式分母有理化，结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化．分子分母同乘以求解作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十五 知字母的值，化简求值 【例15】已知，，则的值为（    ） A．4 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，根据已知求出，再根据完全平方公式将式子化为，求出结果即可． 【详解】解：，， ， ∴， 故选：B． 【变式15-1】设，，则_______；_______． 【答案】 15 【分析】本题考查二次根式的计算：通过有理化分母化简a和b的值，然后分别计算和． 【详解】解：， ， ； ， ， ， ． 故答案为：；15． 【变式15-2】已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵，， ∴，， 则． 【变式15-3】计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 题型十六 知条件式，化简求值 【例16】已知对，，求的值． 【答案】 3 【分析】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可． 本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握的取值范围是解题关键． 【详解】解：∵, ∴, ． 【变式16-1】已知，，求值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，需要先根据已知条件判断的正负性，再对原式进行化简，最后将与的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：已知，， 根据有理数乘法法则“同号得正”可知同号， 又∵两数之和为正， ∴， 将，，代入 原式． ∴的值． 【变式16-2】已知，则的值为______． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 【变式16-3】已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 题型十七 比较二次根式的大小 【例17】比较大小：__________（填“”、“=”、“”）． 【答案】 【分析】根据，结合，得到，解答即可． 本题考查了二次根式的大小比较，比较被开方数的大小是解题的关键． 【详解】解：根据，又，故， 故答案为：． 【变式17-1】比较大小：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是两个无理数的大小比较，二次根式的性质；比较两个无理数的大小，进行恰当的转化可以较直观的比较． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：． 【变式17-2】比较大小：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式17-3】比较大小__________． 【答案】< 【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案． 【详解】解：左边求倒数为， 右边求倒数为， ， ． 故答案为：< 题型十八 二次根式的应用 【例18】如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，则两张正方形纸片边长分别为和，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴两张正方形纸片边长分别为和， ∴剩余部分的面积为， 故答案为：． 【变式18-1】如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为_________． 【答案】24 【分析】此题考查了二次根式的应用，利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积，正确掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为 故答案为24． 【变式18-2】如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，再求出原矩形木板的长为，宽为，进而根据矩形的面积得到答案； （2）求出剩余木料的长为，宽为，进而可得出答案． 【详解】（1）解：（1）∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为，， ∴原矩形木板的长为，宽为， ∴原矩形木板的面积为； （2）解：剩余木料的长为，宽为， ∴剩余木料的周长为． 【变式18-3】某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？    【答案】元 【分析】先计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费． 【详解】解： （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． 【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键． 题型十九 复合二次根式 【例19】化简：____________________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式19-1】__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，将原式变形为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式19-2】化简＝_______ 【答案】 【分析】将原式化为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式19-3】化简：______________. 【答案】 【分析】将5拆成3和2，然后运用完全平方公式化简即可. 【详解】解： 【点睛】本题考查二次根式的性质和完全平方公式，灵活运用所学知识是解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $