专题01二次根式期中复习讲义 (13大题型+题型突破)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题01二次根式期中复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 L.概念明晰：掌握二次根式1.化简能力：能灵活运用性1.必拿分（基础）： 的定义，熟记有意义条件 质，将复杂根式精准化简为 秒杀：有意义条件求解、简 (被开方数0，分母0)。 最简二次根式。 单的性质化简。 2.性质熟练：吃透三大核心 2.运算能力：能独立完成加、满分：乘除运算、最简二次 (Wa)2=a、ya2=la 减、乘、除及混合运算，保 根式判断与化简。 性质 证结果最简、无误。 2.稳拿分（中档）： |及非负性。 3应用能力：能进行化简求通杀：混合运算（含分母有 3.法则精通：熟记乘除法则， 理化)、化简求值题 值、大小比较，并能用根式 3.抢分点（拓展）： 理解同类二次根式概念，明 知识解决基础实际问题。 巧解：二次根式大小比较、 确分母有理化的步骤。 复合根式化简、实际应用题 ☆ 题型梳理 题型1二次根式的识别与有意义的条件 题型2利用二次根式的性质化简 题型3求二次根式的值与参数 题型4二次根式的乘法运算 题型5二次根式的除法运算 题型6二次根式的乘除混合运算 题型7最简二次根式的判断与化简 题型8已知最简二次根式求参数 题型9同类一次根式与加减运算 题型10分母有理化与混合运算 题型11化简求值 题型12二次根式的大小比较 题型13实际应用与复合根式化简 解答题7题 ☆专 知识梳理 知识点01：二次根式的概念 1.定义一般地，形如√ (a≥0)的式子叫做二次根式，“√”是二次根号， a是被开方数。 2.判定条件 必须含有二次根号√； 试卷第1页，共3页 被开方数a必须是非负数(a≥0)。 3.有意义/无意义条件 有意义：被开方数a≥0； 无意义：被开方数a<0。 4.双重非负性 V反≥0且a≥0(a≥0)，即二次根式本身与被开方数均为非负数。 知识点02：二次根式的性质 1.(Wa2=a(a≥0) 2.Va2 al a,a≥0 -a,a<0 3.Vab=√a.√b(a≥0，b≥0) a va 4.V6= (a≥0，b>0 知识点03：最简二次根式 1.定义 满足以下两个条件的二次根式为最简二次根式： 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2.化简步骤 ()分解被开方数的质因数/因式，找出完全平方数/式： (2)利用积的算术平方根性质，将完全平方数/式开方移出根号： (3)分母有理化（若被开方数含分母）。 3.分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 试卷第1页，共3页 分母类型 有理化方法 举例 1×V2 V2 单根式（√@） 分子分母同乘√ā V2 V2×√2 2 V3 √3×v√5 √W15 根式倍数(nva) 分子分母同乘√ā 2v5 2V5×V5 10 知识点04：同类二次根式 1.定义 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同 类二次根式。 2.判定步骤 (1)化简各二次根式为最简形式： (2)比较被开方数是否相同。 知识点05：二次根式的运算 1.乘法运算 法则：a.b-ab(a≥0，b≥0) 推广：mVa·ny石=mnvab (a≥0，b≥0)； 结果：化为最简二次根式。 2.除法运算 法则：后= (a≥0，b0) 推广：mya-nyb-v层 (a≥0，b>0): 关键：分母有理化。 3.加减运算（核心：合并同类二次根式) 步骤：一化→二找→三合 试卷第1页，共3页 (1)化：将所有二次根式化为最简二次根式： (2)找：找出被开方数相同的同类二次根式： (3)合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数与根指数不变）。 公式：myVa±nVb=mn√a(a≥0)。 4.混合运算 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (Va+/b)(Va-b)=a-b; (Va+Vb)2-a+b+2vab 1.忽略二次根式有意义的条件（≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆（√）2与V2,后者结果必须加绝对值； 3运算时未先化简就直接合并，导致错误： 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 ☆ 题型精析 题型01：一次根式的识别与有意义条性 【典例】下列各式是二次根式的是() A.4 B.5 C.√2-π D.§ 【跟踪专练1】若a=√b-5+V5-b+4,则a=,b= 【跟踪专练2】若x,y为实数，y=√x2-4+√4-x2+1,则4y-3x的值为 【跟踪专练3】若√+4x2=-x√r+4,则x的取值范围是() A.x≤0 B.x≥-4 C.-4≤x≤0 D.-4≤x<0 题型02：利用一次根式的性质化简 【典例】计算：√27=· 【跟踪专练1】已知1≤x≤3，则V1-x)+V3-x)2=（) 试卷第1页，共3页 A.0 B.1 C.2 D.3 【跟踪专练2】若1<x<2,化简Vx2-2x+1-V2-4x+4= 【跟踪专练3】把a 1 根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是() N a A.a B.-a C.--a D.a 题型03求一次根式中的值与参数 【典例】下列式子中，是二次根式的是() A.√2 1 B.√-2 c. 3 D.刀 【跟踪专练1】二次根式√2b+1与√a-的和为0，则a+b的值为 【跟踪专练2】若√24n是整数，则满足条件的最小正整数n的值为、· 【跟踪专练3】下列各式是二次根式的有() (1)21;(2)-19;(3)x2+1;(4)9;(5)√-2x-2 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 题型04：一次根式的乘法运算 【典例】已知x,y为实数，且y=√x-8-√6-2x+9,则VF√= 【跟踪专练1】设√2=a,√5=b,则v0.02×√5可以表示为0 A.ab B.10ab 100 c D.1 ab 【跟踪专练2】幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若 干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等.类比幻方，我 们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等， 则数值A+B+C+D= A B 5W2 √10 C V2 10 D 试卷第1页，共3页 【跟踪专练3】计算(2+1(、2-的结果为() A.√2+1 B.√2-1 C.1 D.3 题型05：一次根式的除法运算 【奥们计宝得 【跟踪专练1】若3√5⊕√5=3，则运算符号“⊕”表示() A.+ B.- C.× D.÷ 【跟踪专练2】计算：√a2-b2÷V3a+3b= 【跟踪专练3】若 m+3√m+3 4-m√4-m 成立，则m的值可以是() A.-4 B.2 C.4 D.5 题型06：一次根式的乘除湿合运算 【典例】下列计算正确的是() A.V-2)×(-8)=√-2×√-8 B.V2+V⑧=10 C.√8-√2=2 D.V⑧÷√2=4 【跟踪专练1】对于任意不相等的两个实数a,b,定义一种运算“※”如下： a※b= √ax√b (b>a≥0，则2※6= b-a 【跟踪专练2】从√2、√5，√6中任意选择两个数，分别填在算式（口+○）÷√2里面的“口” 与“o”中，计算该算式的结果是 (只需写出一种结果) 【跟踪专练3】己知V7=a,√70=b,则√4.9用a、b表示为() A.0+b B.a-b C. b D. ab 10 10 10 题型0☑：最简二次根式的判断与化简 【典例】若√24与最简二次根式√2t-1可以合并，则t的值为 【跟踪专练1】下列二次根式中，最简二次根式是() A.0.1 1 B. C.√12 D.13 【跟踪专练2】己知n>0,若√3n是最简二次根式，请写出一个符合条件的正整数n: 试卷第1页，共3页 【跟踪专练3】若a>0,把 4a3 化成最简二次根式为()， 6 A. B. 2a Jab C.- b 2a ab D.2abv√-ab 6 题型08：已知最简一次根式求参数 【典例】己知最简二次根式√2a-4与√2是同类二次根式，则a的值是() A.2 B.3 C.4 D.5 【跟踪专练1】若√2m+-2和、√33m-2a*2都是最简二次根式，则=，n= 【跟踪专练2】已知二次根式√25-a与√⑧化成最简二次根式后，被开方数相同，若a是正 整数，则a的最小值为· 【跟踪专练3】若最简二次根式3a-4a+3b和√2a-b+6能合并，则a、b的值分别是() A.2和1 B.1和2 C.2和2 D.1和1 题型09：同类二次根式与加减运算 【典例】若最简二次根式√3m-1与√2是同类二次根式，则m的值为 【跟踪专练1】下列计算正确的是() A.V⑧-√5=V8-3 B.√4+5=√4+9 C.35-V5=3 D.3√2-V2=2√2 【跟踪专练2】若√20能与最简二次根式√x+1合并，则x的值为 【跟踪专练3】对于任意不相等的两个实数a,b,定义运算※如下：当a<b时， a※b=2Va+Vb,当a≥b时，a※b=2Va-√b,例如5※2=2V5-√2，按上述规定，计算 (3※2)-(8※12)的结果为() A.45-5√2B.-5√2 C.4V5-3V2 D.32 题型10分母有理比与湿合运算 【典例】已知a=√5+5，b=√5-√5，则(a+b)2等于 【跟踪专练1】已奥a=万+2b=2则a与b的关系为《） 3 A.ab=1 B.ab=-1 C.a=b D.a=-b 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】计算4-而-万 5 4 【跟踪专练3】若√万的整数部分是a,小数部分是b,求(V厅+ab的值为() A.7-27 B.3 C.5 D.2W7-3 题型11：化简求值 【典例】己知m=√5+1，n=√5-1，则m2+2m+n2的值为() A.4 B.12 C.10 D.6 【跟踪专练1】已知a+b=√2，则代数式a2-b2+2√2b+9的值为 【跟踪专练2】若a-3-V2+Vb-3+2=0,则代数式ab+3的值为 【製踪考练】已知6-方2，则+右位为《) A.2√2 B.±2V2 C.2W3 D.±25 题型12：一次根式的大小比较 【典例】比较大小： 3-1 √5（用“>”、“<”或“=”填空）. 4 【跟踪专练1】估计与√3-1最接近的整数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【跟踪专练2】比较大小：V5-2一2-V5· 【跟踪专练3】已知a=2,b=√5，c=√5，则a,b,c的大小关系是() A.cxaxb B.axc>b C.axb>c D.b>c>a 题型13：实际应用与复合根式化简 【典例】化简： y>0) 【跟踪专练1】如图，从一个大正方形中裁去面积分别为15cm2和24cm的两个小正方形， 剩余部分的面积是() 15cm2 24cm2 试卷第1页，共3页 A.6v10cm2 B.9v10cm2 C.12√10cm2 D.20V10cm2 【跟踪专练2】已知xy=12,x+y=-8,则y, 的值为 【跟踪专练3】如图，从一个大正方形中裁去面积为28cm2和50cm的两个小正方形，则余 下部分的面积为() 28cm 50cm A.20W14cm2B.10W14cm2 C.78cm2 D.4v7+10W2)cm 【解答题】 1.已知Vx-1002+98-x=200,y=√m+24+√m-i+-m,求y-x的平方根 2.计算：6aa万÷-2ab b (a>0,b>0). 3.计算 (1)√6xV2-√27+√8÷√6 ②ai层+5jw5- 4.阅读材料，完成任务：我们知道（店+小店-列4，因此将店-3分子、分母同时 1 乘“√3+3”，分母就变成了4，例如： 5+√ 5-55-VNs+v万5+2 )模仿材料中的计算方法，化简7+后 1 ；5-2 1 1 (2)计算： 1 2+i+3+2+4+5+…+2025+N2024 (V2025+1: 2 ③)已知a三5+b3’求a+b+b的值. 5.我们规定：若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数. (1)若3与x是关于1的平衡数，5-√2与y是关于1的平衡数，求x,y的值. (2)若(m+V3)×(1-V3)=-2n+3(V3-1),当m,n为何值时，m+√3与5n-√3是关于1 试卷第1页，共3页 的平衡数？并说明理由. a-b a-4ab +4b 1.1 6.先化简，再求值： 其中Q是4的算术平方根， Na+b √a-2b a+ b是a的倒数， 7.(1)比较大小：4+3 24×3,1+ 1 6 2,1× ,5+525x5(填 6 “>”,“<”或“=”)； (2)由(1)中各式猜想2√mn(m≥0，n≥0)与m+n的大小关系，并说明理由； (3)请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所 示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m的花圃，所用的篱笆至少需要多少 米？ 试卷第1页，共3页 专题01二次根式期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.概念明晰：掌握二次根式的定义，熟记有意义条件（被开方数≥0，分母≠0）。 2.性质熟练：吃透三大核心性质 ——()2=a、=∣a∣ 及非负性。 3.法则精通：熟记乘除法则，理解同类二次根式概念，明确分母有理化的步骤。 1.化简能力：能灵活运用性质，将复杂根式精准化简为最简二次根式。 2.运算能力：能独立完成加、减、乘、除及混合运算，保证结果最简、无误。 3.应用能力：能进行化简求值、大小比较，并能用根式知识解决基础实际问题。 1.必拿分（基础）： 秒杀：有意义条件求解、简单的性质化简。 满分：乘除运算、最简二次根式判断与化简。 2.稳拿分（中档）： 通杀：混合运算（含分母有理化）、化简求值题。 3.抢分点（拓展）： 巧解：二次根式大小比较、复合根式化简、实际应用题。 题型1 二次根式的识别与有意义的条件 题型2 利用二次根式的性质化简 题型3 求二次根式的值与参数 题型4 二次根式的乘法运算 题型5 二次根式的除法运算 题型6 二次根式的乘除混合运算 题型7 最简二次根式的判断与化简 题型8 已知最简二次根式求参数 题型9 同类二次根式与加减运算 题型10 分母有理化与混合运算 题型11 化简求值 题型12 二次根式的大小比较 题型13 实际应用与复合根式化简 解答题7题 知识点01:二次根式的概念 1. 定义 一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“​” 是二次根号，a 是被开方数。 2. 判定条件 必须含有二次根号 ； 被开方数 a 必须是非负数（a≥0）。 3. 有意义 / 无意义条件 有意义：被开方数 a≥0； 无意义：被开方数 a<0。 4. 双重非负性 ≥0 且 a≥0（a≥0），即二次根式本身与被开方数均为非负数。 知识点02:二次根式的性质 知识点03:最简二次根式 1. 定义 满足以下两个条件的二次根式为最简二次根式： 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2. 化简步骤 (1)分解被开方数的质因数 / 因式，找出完全平方数 / 式； (2)利用积的算术平方根性质，将完全平方数 / 式开方移出根号； (3)分母有理化（若被开方数含分母）。 3. 分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 知识点04:同类二次根式 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。 2. 判定步骤 (1)化简各二次根式为最简形式； (2)比较被开方数是否相同。 知识点05:二次根式的运算 1. 乘法运算 法则：=（a≥0，b≥0） 推广：mn=mn（a≥0,b≥0）； 结果：化为最简二次根式。 2. 除法运算 法则：（a≥0,b>0）； 推广：m÷n=（a≥0,b>0）； 关键：分母有理化。 3. 加减运算（核心：合并同类二次根式） 步骤：一化→二找→三合 (1)化：将所有二次根式化为最简二次根式； (2)找：找出被开方数相同的同类二次根式； (3)合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数与根指数不变）。 公式：m±n=(m±n)（a≥0）。 4. 混合运算 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 六、常考易错点 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 题型01:二次根式的识别与有意义条件 【典例】下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、 ，被开方数为负数，无意义，不符合条件； B、 ，根指数为2且被开方数，符合二次根式定义； C、，，则，被开方数为负数，不符合条件； D、，根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式条件； 故选：B． 【跟踪专练1】若，则_____，_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，求出的值，再代入原式即可求出的值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， 故答案为：，． 【跟踪专练2】若，为实数，，则的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：实数，满足， ， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为：或． 【跟踪专练3】若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确求解是解题的关键． 根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 题型02:利用二次根式的性质化简 【典例】计算：______． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，将被开方数分解出完全平方因数，再化简得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解其性质是解题的关键． 根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ， ∴ 原式． 故选：C． 【跟踪专练2】若，化简______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 题型03:求二次根式中的值与参数 【典例】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式； 中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式； 是二次根式． 故选：A． 【跟踪专练1】二次根式与 的和为0，则的值为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 【跟踪专练2】若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 _____． 【答案】6 【分析】把24分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可． 【详解】解：， ∵是整数， ∴满足条件的最小正整数． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练把24分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键． 【跟踪专练3】下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 题型04:二次根式的乘法运算 【典例】已知x，y为实数，且，则________________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．要使二次根式有意义，被开方数要为非负数，即大于等于0．根据二次根式的性质可求出x的值，进而可得y的值，代入即可得答案． 【详解】解：由题意得且， ∴， ∴， ∴原式． 故答案为：． 【跟踪专练1】设，，则可以表示为() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 又， ． 故选：C． 【跟踪专练2】幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值_____________． A B 5 C 10 D 【答案】 【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 题型05:二次根式的除法运算 【典例】计算：_____________． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式除法运算，熟练掌握二次根式除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：6． 【跟踪专练1】若，则运算符号“”表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据算式特点和运算结果判断即可． 【详解】解：∵． ∴符号“”表示． 故选：D． 【跟踪专练2】计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】若成立，则的值可以是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据被开方数大于等于零，分母不能为零，建立不等式组计算即可． 【详解】因为成立， 所以， 解得， 只有m=2符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式除法运算的基本条件，熟练掌握运算具备的条件是解题的关键． 题型06:二次根式的乘除混合运算 【典例】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式运算法则和二次根式性质逐项计算即可． 【详解】A. ，被开方数是负数，二次根式无意义，不符合题意； B. ，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项正确，符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，解题关键是明确二次根式的性质和运算法则，准确进行计算． 【跟踪专练1】对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义的实数运算，二次根式的乘除混合运算，根据新定义的运算，结合二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是______．（只需写出一种结果） 【答案】（或或，写出一种结果即可） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【跟踪专练3】已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 题型07:最简二次根式的判断与化简 【典例】若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把化简成最简的二次根式，即可得到关于t的一元一次方程，求出t即可． 【详解】解：化简：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得： 【跟踪专练1】下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、的被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意； B、分母中含有根号，不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数，含有开得尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合题意； D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，符合题意。 故选：D． 【跟踪专练2】已知，若是最简二次根式，请写出一个符合条件的正整数n：_______． 【答案】1 【分析】根据根号下不含能开得尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案． 【详解】解：∵且是最简二次根式， ∴， 故答案为：1(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键． 【跟踪专练3】若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、二次根式有意义的条件、不等式的性质，先根据二次根式有意义的条件以及得到，再将根号内的表达式分解为平方因子和非平方因子，并处理符号问题，得到结果即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选C． 题型08:已知最简二次根式求参数 【典例】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．所以根据题意得解出a的值即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 故选B． 【点睛】此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，属于基础题． 【跟踪专练1】若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 【跟踪专练2】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 题型09:同类二次根式与加减运算 【典例】若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为________． 【答案】 1 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，被开方数相同，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得 ． 故答案为：1． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的加减法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，，故B错误； C．，故C错误； D．，正确． 故选D． 【跟踪专练2】若能与最简二次根式合并，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 题型10:分母有理化与混合运算 【典例】已知，，则等于________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的计算，直接代入计算即可作答． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】计算=______． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 通过有理化分母，分别简化两个分式，然后相减得到结果． 【详解】解：对于第一项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 对于第二项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 原表达式为第一项减第二项： ， 故答案为． 【跟踪专练3】若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得解，正确估算出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴，， ∴， 故选：B． 题型11:化简求值 【典例】已知，，则的值为（    ） A．4 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，根据已知求出，再根据完全平方公式将式子化为，求出结果即可． 【详解】解：，， ， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为________． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 【跟踪专练2】若，则代数式的值为______． 【答案】10 【分析】本题考查非负性，二次根式的运算，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10 【跟踪专练3】已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 题型12:二次根式的大小比较 【典例】比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解：， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】估计与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，先估算出的范围，再求出与中点与比较大小，进而得到最接近的整数 【详解】解：，，， ，即， ，且， ， ，即， 与最接近的整数是， 故选：C． 【点睛】本题考查利用二次根式的性质估算无理数的范围，得出的范围是，并取与得中点与比较大小是解决问题的关键． 【跟踪专练2】比较大小∶ _____ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型13:实际应用与复合根式化简 【典例】化简：___________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，剩余部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：两个空白小正方形的面积是、， 两个空白小正方形的边长是、， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 阴影部分的面积是． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用二次根式的性质进行计算是解答本题的关键． 先利用二次根式的性质计算出两小正方形的边长，则可得到大正方形的边长，然后用大正方形的面积分别减去两小正方形的面积得到留下部分的面积． 【详解】由条件可知两个阴影小正方形的边长是，， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 余下部分的面积=大正方形的面积-阴影部分的面积． 故选：A． 【解答题】 1．已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 2．计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3．计算． (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘、除法，算术平方根． （1）先计算二次根式的乘、除法，算术平方根，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘、除法，算术平方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 4．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简___________；___________． (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)2024 (3)10 【分析】（1）根据材料提示分别将分母有理化即可解答； （2）分别将第一个括号内的每一项分母有理化，即可化简得到，再根据平方差公式计算即可； （3）先根据完全平方公式把原式化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴ ． 5．我们规定：若，则称与是关于1的平衡数． (1)若3与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求，的值． (2)若，当，为何值时，与是关于1的平衡数？并说明理由． 【答案】(1), (2)，时，与是关于1的平衡数，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）对式子进行化简，得到、的关系，再联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，， 解得，． 故答案为，． （2）解： 与是关于1的平衡数， ． ． 将②代入①，， ， 整理得． ， 代入②得，． 综上，当，时，与是关于1的平衡数． 6．先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 7．（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 【答案】（1），，；（2） ，见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）理由如下： 当，时，， ， ， ． （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $