专题02实数（16大题型）期中复习专项训练 2025-2026学年人教版七年级数学下学期

专题02 实数（十六大题型）期中复习专项训练 （4知识点+16题型） 题型1 求一个数的算术平方根/平方根 5 题型2 利用算术平方根的非负性解题 5 题型3 与算术平方根有关的规律探索题 5 题型4 已知一个数的平方根，求这个数 6 题型5 利用平方根解方程 6 题型6 已知一个数的立方根，求这个数 7 题型7 平方根和立方根的综合应用 7 题型8 无理数定义 7 题型9 无理数的大小估算 8 题型10 无理数整数部分的有关计算 8 题型11 实数与数轴 9 题型12 实数的大小比较 9 题型13 实数的混合运算 9 题型14 程序设计与实数运算 10 题型15 实数的实际应用 11 题型16 实数中新定义问题 12 1. 理解平方根、算术平方根、立方根的定义，掌握其表示方法和核心性质，能熟练求一个数的平方根、算术平方根和立方根； 2. 掌握算术平方根的非负性，能运用非负性解决相关计算问题，探索算术平方根的相关规律； 3. 理解无理数、实数的概念，能区分有理数与无理数，掌握无理数的大小估算方法及整数部分的计算技巧； 4. 掌握实数与数轴的对应关系，能进行实数的大小比较、混合运算，熟练解决实数相关的实际问题； 5. 能应对实数中的程序设计、新定义问题，掌握平方根与立方根的综合应用技巧； 03 知识•梳理 知识点1、平方根与算术平方根 1. 算术平方根 - 定义：如果一个正数x的平方等于a（即x² = a），那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”。 - 特殊规定：0的算术平方根是0，即。 - 核心性质：算术平方根具有非负性，即（a≥0，若a<0，则无意义）。 - 易错点：算术平方根一定是非负数，负数没有算术平方根；注意区分“”与“”，前者是非负数，后者是非正数。 2. 平方根 - 定义：如果一个数x的平方等于a（即x² = a），那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根），记作。 - 平方根的性质： 1. 正数有两个平方根，它们互为相反数（如4的平方根是±2，2和-2互为相反数）； 2. 0的平方根是0； 3. 负数没有平方根（因为任何实数的平方都非负）。 - 核心关联：一个正数a的算术平方根是它的两个平方根中 的非负那个，即是a的正平方根，是a的负平方根。 知识点2、立方根 - 定义：如果一个数x的立方等于a（即x³ = a），那么这个数x叫做a的立方根（也叫三次方根），记作，读作“三次根号a”。 - 立方根的性质： 1. 正数的立方根是正数（如8的立方根是2）； 2. 负数的立方根是负数（如-8的立方根是-2）； 3. 0的立方根是0，即。 - 易错点：立方根与平方根的区别——任何实数都有且只有一个立方根，而负数没有平方根；立方根的符号与被开方数的符号一致，平方根的符号互为相反数（正数）。 知识点3、无理数与实数 1. 无理数 - 定义：无限不循环小数叫做无理数。 - 常见类型： 1. 开方开不尽的数（如、、等）； 2. 特殊常数（如π，注意π是无限不循环小数，不是分数）； 3. 无限不循环的小数（如0.1010010001...，相邻两个1之间0的个数依次增加）。 - 易错点：无限循环小数是有理数，不是无理数；分数（包括有限小数、无限循环小数）都是有理数。 2. 实数 - 定义：有理数和无理数统称为实数。 - 实数的分类： 1. 按定义分：有理数（整数、分数）、无理数（无限不循环小数）； 2. 按正负分：正实数（正有理数、正无理数）、0、负实数（负有理数、负无理数）。 - 实数的性质： 1. 实数与数轴上的点一一对应（每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数）； 2. 实数的大小比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小； 3. 实数的运算法则：与有理数的运算法则一致，包括加减、乘除、乘方、开方，运算顺序也相同（先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）。 知识点4、实数的运算与应用 1. 实数的混合运算 - 核心要点：先算开方（平方根、立方根），再算乘方，然后算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）。 - 注意事项： 1. 计算平方根时，注意符号（正数有两个平方根，算术平方根只有一个非负根）； 2. 计算立方根时，注意符号与被开方数一致； 3. 无理数的运算结果，若需保留近似值，可根据要求取相应的精确度（如保留两位小数）。 2. 实数的实际应用 - 常见场景：求边长（如正方形的面积求边长，用算术平方根；正方体的体积求棱长，用立方根）、高度、距离等实际问题，核心是将实际问题转化为“求平方根”或“求立方根”的数学问题。 - 解题步骤：先根据题意列出等式，再通过开方运算求解，最后结合实际意义检验结果（如边长、高度不能为负数）。 3. 新定义与程序设计问题 - 新定义问题：读懂新定义的运算规则，将其转化为熟悉的实数运算，再代入数值求解； - 程序设计问题：按照程序给出的步骤，依次进行实数运算，注意运算顺序和符号，逐步得出结果。 04 题型•汇总 题型序号 题型名称 对应复习重点（关联知识点） 1 求一个数的算术平方根/平方根 算术平方根、平方根的定义、表示方法及性质，区分两者差异 2 利用算术平方根的非负性解题 算术平方根的非负性（≥0），结合非负项和为0的性质求解 3 与算术平方根有关的规律探索题 算术平方根的计算规律，归纳总结同类题型的解题思路 4 已知一个数的平方根，求这个数 平方根的性质（互为相反数），逆向运用平方根定义求解 5 利用平方根解方程 将方程转化为x²=a的形式，利用平方根定义求解，注意解的个数 6 已知一个数的立方根，求这个数 立方根的定义、表示方法及性质，逆向运用立方根定义求解 7 平方根和立方根的综合应用 区分平方根与立方根的性质差异，综合运用两者解决计算问题 8 无理数定义 无理数的定义（无限不循环小数），区分有理数与无理数 9 无理数的大小估算 利用有理数夹逼法，估算无理数的大致范围 10 无理数整数部分的有关计算 估算无理数的整数部分与小数部分，结合相关性质计算 11 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应，利用数轴表示实数、判断大小 12 实数的大小比较 实数大小比较的方法（差值法、夹逼法、数轴法等） 13 实数的混合运算 实数的加减、乘除、乘方、开方混合运算，掌握运算顺序和技巧 14 程序设计与实数运算 根据程序指令，结合实数运算规则，逐步求解结果 15 实数的实际应用 将实际问题转化为实数计算问题，运用平方根、立方根等知识求解 16 实数中新定义问题 理解新定义的运算规则，结合实数的相关知识，灵活求解 05 题型•训练 题型1 求一个数的算术平方根/平方根 1．16的平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算：（    ） A． B． C．4 D． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 5．如果，那么的值为（   ） A． B．8 C．4 D．1 6．若为实数，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型3 与算术平方根有关的规律探索题 9．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 25 250 … 若，则（   ） A．153 B．485 C． D． 10．一组按规律排列的式子：，，，，…．则第n个式子是（   ） A． B． C． D． 11．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 12．现有一组有规律排列的数如下：0，，，1，按此规律排列后，第2025个数为（    ） A． B． C．44 D． 题型4 已知一个数的平方根，求这个数 13．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（  ） A． B． C． D． 14．若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 15．若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 16．若一个正数的平方根为和，则代数式的值为__． 题型5 利用平方根解方程 17．解方程：． 18．求下列的值：． 19．求下列各式中的值． (1)； (2)． 题型6 已知一个数的立方根，求这个数 20．若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 21．若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 22．已知，则的值为（   ） A．0或1 B．0或2或8 C．0或6 D．0或2或6 题型7 平方根和立方根的综合应用 23．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 24．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 25．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 26．已知是的立方根，是的算术平方根，求的值． 题型8 无理数定义 27．在实数中无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 28．下列实数中：，，0，，，，无理数个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 29．下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 30．下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 题型9 无理数的大小估算 31．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 32．实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A． B． C． D． 33．如图，数轴上的点分别表示数，则表示数的点应落在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 34．已知n是整数，且，则n的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型10 无理数整数部分的有关计算 35．设的整数部分为a，小数部分为b，则值为（   ）． A． B．2 C． D． 36．设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 37．定义：是不大于数x的最大整数，如：，，．规定是x的小数部分．设，a是x的小数部分，b是的小数部分；．则（    ） A． B． C．0 D．1 38．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 题型11 实数与数轴 39．如图数轴上有A，B，C，D四点，根据图中各点的位置，所表示的数与最接近的一点是（    ） A．A B．B C．C D．D 40．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是：（    ） A． B． C． D． 41．如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 题型12 实数的大小比较 42．下列实数中，最大的是（    ） A． B．0 C． D．2 43．下列各数中最小的是（   ） A． B． C．0 D．1 44．在数轴上表示下列四个数：，，，，则距离原点最远的数是（   ） A． B． C． D． 题型13 实数的混合运算 45．计算： 46．计算：． 47．计算： (1)； (2)． 48．计算： (1)． (2)． 题型14 程序设计与实数运算 49．如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 50．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 51．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 52．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 题型15 实数的实际应用 53．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 54．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 55．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 56．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 题型16 实数中新定义问题 57．对实数a、b，定义的含义为：． 例如：，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，求x的值； (2)已知，且，求的值． 58．定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，∴1，4，9这三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)求证：3，12，27这三个数是“和谐组合”； (2)已知4，25，a这三个数是“和谐组合”，且，若最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 59．定义一种新运算“⊕”：⊕，比如：1⊕． (1)求4⊕的值； (2)若⊕，求x的值． (3)若关于x的方程2 ⊕的解为正整数，求整数k的值． 60．定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)试说明无论x取何值时，都为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数（十六大题型）期中复习专项训练 （4知识点+16题型） 题型1 求一个数的算术平方根/平方根 1 题型2 利用算术平方根的非负性解题 2 题型3 与算术平方根有关的规律探索题 4 题型4 已知一个数的平方根，求这个数 6 题型5 利用平方根解方程 7 题型6 已知一个数的立方根，求这个数 8 题型7 平方根和立方根的综合应用 9 题型8 无理数定义 11 题型9 无理数的大小估算 13 题型10 无理数整数部分的有关计算 14 题型11 实数与数轴 16 题型12 实数的大小比较 18 题型13 实数的混合运算 19 题型14 程序设计与实数运算 20 题型15 实数的实际应用 24 题型16 实数中新定义问题 27 1. 理解平方根、算术平方根、立方根的定义，掌握其表示方法和核心性质，能熟练求一个数的平方根、算术平方根和立方根； 2. 掌握算术平方根的非负性，能运用非负性解决相关计算问题，探索算术平方根的相关规律； 3. 理解无理数、实数的概念，能区分有理数与无理数，掌握无理数的大小估算方法及整数部分的计算技巧； 4. 掌握实数与数轴的对应关系，能进行实数的大小比较、混合运算，熟练解决实数相关的实际问题； 5. 能应对实数中的程序设计、新定义问题，掌握平方根与立方根的综合应用技巧； 03 知识•梳理 知识点1、平方根与算术平方根 1. 算术平方根 - 定义：如果一个正数x的平方等于a（即x² = a），那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”。 - 特殊规定：0的算术平方根是0，即。 - 核心性质：算术平方根具有非负性，即（a≥0，若a<0，则无意义）。 - 易错点：算术平方根一定是非负数，负数没有算术平方根；注意区分“”与“”，前者是非负数，后者是非正数。 2. 平方根 - 定义：如果一个数x的平方等于a（即x² = a），那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根），记作。 - 平方根的性质： 1. 正数有两个平方根，它们互为相反数（如4的平方根是±2，2和-2互为相反数）； 2. 0的平方根是0； 3. 负数没有平方根（因为任何实数的平方都非负）。 - 核心关联：一个正数a的算术平方根是它的两个平方根中 的非负那个，即是a的正平方根，是a的负平方根。 知识点2、立方根 - 定义：如果一个数x的立方等于a（即x³ = a），那么这个数x叫做a的立方根（也叫三次方根），记作，读作“三次根号a”。 - 立方根的性质： 1. 正数的立方根是正数（如8的立方根是2）； 2. 负数的立方根是负数（如-8的立方根是-2）； 3. 0的立方根是0，即。 - 易错点：立方根与平方根的区别——任何实数都有且只有一个立方根，而负数没有平方根；立方根的符号与被开方数的符号一致，平方根的符号互为相反数（正数）。 知识点3、无理数与实数 1. 无理数 - 定义：无限不循环小数叫做无理数。 - 常见类型： 1. 开方开不尽的数（如、、等）； 2. 特殊常数（如π，注意π是无限不循环小数，不是分数）； 3. 无限不循环的小数（如0.1010010001...，相邻两个1之间0的个数依次增加）。 - 易错点：无限循环小数是有理数，不是无理数；分数（包括有限小数、无限循环小数）都是有理数。 2. 实数 - 定义：有理数和无理数统称为实数。 - 实数的分类： 1. 按定义分：有理数（整数、分数）、无理数（无限不循环小数）； 2. 按正负分：正实数（正有理数、正无理数）、0、负实数（负有理数、负无理数）。 - 实数的性质： 1. 实数与数轴上的点一一对应（每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数）； 2. 实数的大小比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小； 3. 实数的运算法则：与有理数的运算法则一致，包括加减、乘除、乘方、开方，运算顺序也相同（先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）。 知识点4、实数的运算与应用 1. 实数的混合运算 - 核心要点：先算开方（平方根、立方根），再算乘方，然后算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）。 - 注意事项： 1. 计算平方根时，注意符号（正数有两个平方根，算术平方根只有一个非负根）； 2. 计算立方根时，注意符号与被开方数一致； 3. 无理数的运算结果，若需保留近似值，可根据要求取相应的精确度（如保留两位小数）。 2. 实数的实际应用 - 常见场景：求边长（如正方形的面积求边长，用算术平方根；正方体的体积求棱长，用立方根）、高度、距离等实际问题，核心是将实际问题转化为“求平方根”或“求立方根”的数学问题。 - 解题步骤：先根据题意列出等式，再通过开方运算求解，最后结合实际意义检验结果（如边长、高度不能为负数）。 3. 新定义与程序设计问题 - 新定义问题：读懂新定义的运算规则，将其转化为熟悉的实数运算，再代入数值求解； - 程序设计问题：按照程序给出的步骤，依次进行实数运算，注意运算顺序和符号，逐步得出结果。 04 题型•汇总 题型序号 题型名称 对应复习重点（关联知识点） 1 求一个数的算术平方根/平方根 算术平方根、平方根的定义、表示方法及性质，区分两者差异 2 利用算术平方根的非负性解题 算术平方根的非负性（≥0），结合非负项和为0的性质求解 3 与算术平方根有关的规律探索题 算术平方根的计算规律，归纳总结同类题型的解题思路 4 已知一个数的平方根，求这个数 平方根的性质（互为相反数），逆向运用平方根定义求解 5 利用平方根解方程 将方程转化为x²=a的形式，利用平方根定义求解，注意解的个数 6 已知一个数的立方根，求这个数 立方根的定义、表示方法及性质，逆向运用立方根定义求解 7 平方根和立方根的综合应用 区分平方根与立方根的性质差异，综合运用两者解决计算问题 8 无理数定义 无理数的定义（无限不循环小数），区分有理数与无理数 9 无理数的大小估算 利用有理数夹逼法，估算无理数的大致范围 10 无理数整数部分的有关计算 估算无理数的整数部分与小数部分，结合相关性质计算 11 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应，利用数轴表示实数、判断大小 12 实数的大小比较 实数大小比较的方法（差值法、夹逼法、数轴法等） 13 实数的混合运算 实数的加减、乘除、乘方、开方混合运算，掌握运算顺序和技巧 14 程序设计与实数运算 根据程序指令，结合实数运算规则，逐步求解结果 15 实数的实际应用 将实际问题转化为实数计算问题，运用平方根、立方根等知识求解 16 实数中新定义问题 理解新定义的运算规则，结合实数的相关知识，灵活求解 05 题型•训练 题型1 求一个数的算术平方根/平方根 1．16的平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：， 的平方根是． 2．的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出的值 再求所得结果的平方根，注意区分算术平方根和平方根的概念． 【详解】解： ∵ 的平方根为 即的平方根是． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 4．计算：（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 5．如果，那么的值为（   ） A． B．8 C．4 D．1 【答案】A 【分析】算术平方根和完全平方数都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，先求出的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且 ， ∴，， 即 ，， 解得：，， 将，代入得： ． 6．若为实数，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由绝对值和算术平方根的非负性质得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵为实数，且， ∴，， ∴，， ∴． 7．已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 8．已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，每个非负数都为0是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零则每个部分均为零． 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， 由得， ∴， 代入得，即， ∴， ∴． 故选：D． 题型3 与算术平方根有关的规律探索题 9．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 25 250 … 若，则（   ） A．153 B．485 C． D． 【答案】D 【分析】根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应地向相同方向移动一位，即可得出结果． 【详解】解：， ． 10．一组按规律排列的式子：，，，，…．则第n个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母部分均为，即可得到答案． 【详解】解：∵第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， ... ∴第个式子为． 11．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是． 12．现有一组有规律排列的数如下：0，，，1，按此规律排列后，第2025个数为（    ） A． B． C．44 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数列规律的探索与应用，先分析数列规律，通过整理可以发现，数列的规律是：第n个数为，再应用规律进行求解即可得到结果． 【详解】解：将数列重写为：，，，1，， 观察规律，第n个数为， 则第2025个数为， 因此，第2025个数为44． 故选：C． 题型4 已知一个数的平方根，求这个数 13．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用平方根的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 【点睛】 14．若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先求出参数的值，再计算出，最后求出的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴， ∴， ∵的算术平方根即的算术平方根， ∴的算术平方根为． ∴结果为． 15．若一个数的平方根是，则这个数是（   ） A．5 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的定义，已知一个数的平方根，通过平方运算可求出原数. 【详解】解：∵一个数的平方根是， ∴这个数为， 故选：B． 16．若一个正数的平方根为和，则代数式的值为__． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质及代数式的整体代入求值，关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”这一性质得到与的关系式，再对所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， 整理得：， ∴； 故答案为：． 题型5 利用平方根解方程 17．解方程：． 【答案】或 【详解】解：， ， 解得或． 18．求下列的值：． 【答案】或 【详解】解： 或 或 19．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 题型6 已知一个数的立方根，求这个数 20．若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】利用立方根的性质，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：根据立方根的性质可得：， 又∵， ∴． 21．若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵ ∴． 22．已知，则的值为（   ） A．0或1 B．0或2或8 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【分析】根据立方根等于本身的数有0，，可得到x的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴或或， 解得：或1或2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为0或2或6． 题型7 平方根和立方根的综合应用 23．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：为9的算术平方根，2为的立方根， ， 即； （2）解：， ， 的平方根是． 24．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 25．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 26．已知是的立方根，是的算术平方根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根、算术平方根的定义得出，即可求出m、n的值，进而可求出、，从而问题得解． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴，， ∴． 题型8 无理数定义 27．在实数中无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是整数，属于有理数； ，是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无理数，因此，都是无理数； 是无理数，因此也是无理数； 综上，无理数共有个． 28．下列实数中：，，0，，，，无理数个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如等；③虽有规律但却是无限不循环小数，据此可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可得在，，0，，，，中，无理数有，，共2个． 29．下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：选项A中是分数，属于有理数； 选项B中，是整数，属于有理数； 选项C中是无限不循环小数，因此仍是无限不循环小数，属于无理数； 选项D中是无限循环小数，属于有理数． 30．下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 【答案】A 【分析】本题考查无理数、有理数的基本概念，以及实数与数轴的关系，要求辨析各选项，找出错误的说法． 【详解】解：∵ 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数， ∴ “无限小数都是无理数”的说法错误，A符合题意； ∵ 所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数属于实数， ∴ 无理数能用数轴上的点表示，B说法正确，不符合题意； ∵ 例如和都是无理数，，0是有理数， ∴ 无理数与无理数的和可能是有理数，C说法正确，不符合题意； ∵ 无理数的定义是无限不循环小数，因此无理数都属于无限小数， ∴ “无理数都是无限小数”的说法正确，D不符合题意． 题型9 无理数的大小估算 31．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方根、立方根的性质，再结合不等式的性质求解即可． 【详解】解：A：∵，∴，A正确； B：∵，∴， 不等式两边同除以2得，， 所以B选项的不等式错误； C：∵，∴， 不等式两边同除以2得，C正确； D：∵，∴，D正确． 32．实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用和是与相邻的平方数，得出在4和5之间，再得到的范围；结合、是连续整数且满足，确定、的值；最后计算的结果即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 又∵，是连续整数，且， ∴，， ∴． 33．如图，数轴上的点分别表示数，则表示数的点应落在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】D 【分析】首先估算的大小，然后求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴表示数的点应落在线段上． 34．已知n是整数，且，则n的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先估算的大小，然后求出n的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型10 无理数整数部分的有关计算 35．设的整数部分为a，小数部分为b，则值为（   ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，进而得到的范围，求出整数部分，再根据小数部分等于原数减去整数部分得到，最后计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， ∴， ∴. 36．设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】利用夹逼法求出的值，再求和即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 37．定义：是不大于数x的最大整数，如：，，．规定是x的小数部分．设，a是x的小数部分，b是的小数部分；．则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先估算出的范围，得到和的范围，再结合题目给出的和小数部分的定义，分别求出，最后计算三者的和即可． 【详解】解：∵ ∴ ，即 又 ，即 ． 38．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 题型11 实数与数轴 39．如图数轴上有A，B，C，D四点，根据图中各点的位置，所表示的数与最接近的一点是（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】先估算出 的取值范围，再根据不等式的性质求出的取值范围，最后结合数轴上各点的位置即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 即， 由图可知，点A在与之间，点B在与之间，点C在与0之间，点D在0与1之间， 则点C表示的数与最接近， 故选：C． 40．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上实数的大小比较、绝对值的意义．解题关键是根据数轴确定的范围，再利用有理数的运算法则和绝对值的性质判断各选项．根据数轴可得的范围：，逐个判断选项． 【详解】解：选项A：，错误，在右侧，； 选项B：，错误，是正数，； 选项C：，错误，，因此； 选项D：，正确； ·是到原点的距离， ， ． 故选：D． 41．如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】D 【分析】先估算的取值范围，进而确定的取值范围，从而判断其对应的点的位置． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值所对应的点可能落在点D处． 题型12 实数的大小比较 42．下列实数中，最大的是（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【详解】解：∵在实数中，负数小于0，0小于正数， ∴四个数中最大的是2． 43．下列各数中最小的是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用“负数小于0和正数，两个负数比较，绝对值大的反而小”的法则即可求解． 【详解】解：，，且， ∴， ∴，故最小的数是． 44．在数轴上表示下列四个数：，，，，则距离原点最远的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较四个实数的绝对值的大小即可. 【详解】解：∵，即， ∴， ∵， ∴，，，中，距离原点最远的数是. 题型13 实数的混合运算 45．计算： 【答案】 【详解】解： 46．计算：． 【答案】0 【详解】解： ． 47．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5.5 【详解】（1）解： （2）解： 48．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘方、绝对值及立方根将原式化简，再进行加减运算； （2）根据立方根、绝对值及算术平方根将原式化简，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型14 程序设计与实数运算 49．如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】读懂程序计算过程，把x代入程序中计算，判断结果是否是正数，最后得到结果． 【详解】解：， 的立方根为， ， 的立方根为， 2的算术平方根为， ∴输出的值为． 50．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 51．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 52．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 题型15 实数的实际应用 53．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 55．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 56．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 题型16 实数中新定义问题 57．对实数a、b，定义的含义为：． 例如：，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，求x的值； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先判断，再根据新定义可得 ，再解方程可得答案； （2）由，且，可得，，再根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据新定义运算： ∵，， ∴ ， 解得； （2）解：∵，且， ∴，， ∴根据新定义运算：． 58．定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，∴1，4，9这三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)求证：3，12，27这三个数是“和谐组合”； (2)已知4，25，a这三个数是“和谐组合”，且，若最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1) 见解析 (2) 100 【分析】（1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意可得，求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，，这三个数是“和谐组合”； （2）解：，， 最大算术平方根是，最小算术平方根是， ， 解得，经检验符合题意． 则的值为100． 59．定义一种新运算“⊕”：⊕，比如：1⊕． (1)求4⊕的值； (2)若⊕，求x的值． (3)若关于x的方程2 ⊕的解为正整数，求整数k的值． 【答案】(1) (2) (3)1，2，3，6 【分析】本题主要考查新定义，有理数的运算以及解一元一次方程，准确理解新定义是解题的关键． （1）根据定义得到4⊕，即可得到答案； （2）根据定义得到⊕，解一元一次方程即可得到答案； （3）2 ⊕，根据解为正整数且为整数即可求出答案． 【详解】（1）解：4⊕； （2）解：⊕， 解得； （3）解：2 ⊕， ， ， 由于方程的解为正整数，即x为正整数，且为整数， 故当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故整数的值为1，2，3，6． 60．定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)试说明无论x取何值时，都为定值． 【答案】(1)11 (2)7 (3)见解析 【分析】此题主要考查了定义新运算． （1）根据的定义计算即可； （2）根据的定义计算即可； （3）根据的定义分别计算和，相减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴； 故答案为：7； （3）解：， ， ， 因此，无论x取何值，结果均为0，是定值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $