专题01相交线与平行线（十五大题型）（期中复习专项训练）2025-2026学年人教版七年级数学下学期

专题01相交线与平行线（十五大题型）（期中复习专项训练） （5知识点+15题型） 题型1 对顶角、邻补角求值 4 题型2 垂直+直角的计算 6 题型3 同位角、内错角和同旁内角的识别 8 题型4 平行线的证明 9 题型5 利用平行的性质求角度 12 题型6 平行线的判定与性质的综合运用 15 题型7 猪蹄模型 19 题型8 铅笔模型 22 题型9 平行线综合压轴题 31 题型10 判断命题的真假 39 题型11 写出命题的题设与结论 41 题型12 逻辑与推理 42 题型13 利用平移的性质求解 45 题型14 利用平移解决实际问题 47 题型15 平移作图 50 1. 掌握相交线、对顶角、邻补角、垂线的定义及性质，能熟练进行角度计算； 2. 准确识别同位角、内错角、同旁内角，能区分“三线八角”的位置关系； 3. 熟练运用平行线的判定方法和性质，能解决平行线相关的计算与证明题； 4. 理解命题、定理、证明的概念，能判断命题真假、区分题设与结论； 5. 掌握平移的定义及性质，能运用平移解决相关计算、实际问题及作图题； 6. 熟练掌握本章15大核心题型，突破易错点、难点，提升解题能力，适配期中考查要求。 03 知识•梳理 知识点01、相交线 1. 对顶角 - 定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线（简单记：有公共顶点、两边互为反向延长线）。 - 核心性质：对顶角相等（中考基础考点，常结合角度计算考查）。 2. 邻补角 - 定义：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线（简单记：有公共边、有一条边互为反向延长线）。 - 核心性质：邻补角互补，和为180°（常与对顶角结合，求未知角度）。 3. 垂线 - 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是90°（直角），则这两条直线互相垂直；其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足（符号：⊥，如AB⊥CD）。 - 垂线的两个核心性质： 1. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（注意：“同一平面内”不可省略，异面直线无此性质）。 2. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称：垂线段最短）。 - 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（注意：是“长度”，不是垂线段本身）。 知识点02、同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 核心前提：两条直线被第三条直线（截线）所截，形成8个角，称为“三线八角”；判断时先找截线（中间的那条直线），再找被截线（两条被截断的直线），最后看角的位置关系。 - 同位角：位置相同，在截线的同侧，被截两直线的同一方（形如“F”型）。 - 内错角：在截线的两侧，被截两直线之间（形如“Z”型）。 - 同旁内角：在截线的同侧，被截两直线之间（形如“U”型）。 易错点：混淆内错角和同旁内角的位置，关键看“两侧”还是“同侧”、“之间”还是“之外”。 知识点03、平行线 1. 平行公理及推论 - 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（注意：“直线外一点”，不能是直线上的点）。 - 推论（平行的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（符号表示：若a∥b，b∥c，则a∥c）。 2. 平行线的判定（由角的关系推线平行） 核心：“角相等/互补” ⇒ “线平行”，共4种判定方法，重点掌握前3种： 1. 同位角相等，两直线平行（最常用，结合“F”型同位角判断）； 2. 内错角相等，两直线平行（结合“Z”型内错角判断）； 3. 同旁内角互补，两直线平行（结合“U”型同旁内角判断）； 4. 补充：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行（如a⊥c，b⊥c，则a∥b）。 3. 平行线的性质（由线平行推角的关系） 核心：“线平行” ⇒ “角相等/互补”，与判定互为逆运算，一一对应： 1. 两直线平行，同位角相等； 2. 两直线平行，内错角相等； 3. 两直线平行，同旁内角互补。 易错点：混淆“判定”和“性质”——判定是“先角后线”，性质是“先线后角”。 知识点04、命题、定理、证明 - 命题：判断一件事情的语句，由题设（已知条件）和结论（由已知推出的结果）两部分组成（例如：“两直线平行，内错角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“内错角相等”）。 - 命题分类： 1. 真命题：题设成立，结论一定成立（经过推理证实的正确命题）； 2. 假命题：题设成立，结论不一定成立（只需举一个反例即可证明，如“相等的角是对顶角”是假命题）。 - 定理：经过推理证实的真命题（可作为后续推理的依据，如“对顶角相等”是定理）。 - 证明：在推理过程中，根据已知条件、定义、公理、定理，一步步推出结论的过程（期中常考简单证明题，重点掌握平行线的判定与性质的综合运用）。 知识点05、平移 - 定义：一个图形沿某一个方向移动一定的距离，叫做平移；平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。 - 平移的核心性质（常结合坐标系考查）： 1. 平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； 2. 平移后，对应角相等； 3. 平移后，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。 04 题型•汇总 题型序号 题型名称 对应复习重点（关联知识点） 1 对顶角、邻补角求值 对顶角相等、邻补角互补的性质运用 2 垂直+直角的计算 垂线的定义、直角的性质，结合邻补角、对顶角计算 3 同位角、内错角和同旁内角的识别 三线八角的位置关系，截线、被截线的判断方法 4 平行线的证明 平行线的4种判定方法，逻辑推理过程书写 5 利用平行的性质求角度 平行线的3条性质，结合对顶角、邻补角计算 6 平行线的判定与性质的综合运用 区分判定（角推线）与性质（线推角），灵活综合解题 7 猪蹄模型 平行线中的猪蹄模型（折线角）解题技巧，辅助线添加 8 铅笔模型 平行线中的铅笔模型（平角相关）解题技巧，辅助线添加 9 平行线综合压轴题 平行线判定与性质、模型、角度计算的综合运用 10 判断命题的真假 命题的定义，真/假命题的判断方法，反例的列举 11 写出命题的题设与结论 命题的结构，准确拆分题设（已知）和结论（推出结果） 12 逻辑与推理 证明的基本步骤，结合定义、公理、定理进行推理 13 利用平移的性质求解 平移的3条核心性质，对应线段、角、点的关系运用 14 利用平移解决实际问题 平移的实际应用，转化图形位置解决问题 15 平移作图 平移的作图方法，准确画出平移后的图形 05 题型•训练 题型1 对顶角、邻补角求值 1．如图，要测量两堵围墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，小刚提供的测量方案是：反向延长至点C，若他测量的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．若和是对顶角，且的邻补角为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图：直线，相交于点O，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知点在直线上，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型2 垂直+直角的计算 5．如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A，O，B在一条直线上，，且，垂足为点O，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线、相交于点O，于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线相交于点于点O，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 题型3 同位角、内错角和同旁内角的识别 9．风筝是中国古代劳动人民于春秋时期发明的器物，其材质在不断优化之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”（如图1）．清朝诗人高鼎有诗云“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图2，这是某风筝纸的骨架，在中，与构成同位角的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（   ） A． B． C． D． 11．如图，下列说法不正确的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 12．如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 题型4 平行线的证明 13．如图，下列条件：①；②；③；④其中能判断直线的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 14．如图，在四边形中，点在的延长线上，连接，如果添加一个条件，使，下列不能满足的条件为（    ） A． B． C． D． 15．如图，下列①；②；③；④；⑤．能判定的条件有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 16．如图，分别平分与，且．求证：．（请根据条件进行推理，完成证明，并在括号内填上依据） 证明：分别平分与（已知）， （①______）． （已知）， ②______（等量代换）． （已知）， ③______④______（⑤______） （⑥______）． 题型5 利用平行的性质求角度 17．如图为平面镜的光路图，入射光线经平面镜反射（入射角等于反射角），若，，，则为（   ） A． B． C． D． 18．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 19．如图，直线，点A在直线b上，点C在直线a上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，直接写出的度数． 题型6 平行线的判定与性质的综合运用 21．如图，已知，． (1)求证：． (2)若于，平分，，求的度数． 22．如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 23．如图，与相交于点E，，，，求证：． 24．如图，平分，平分，平分，且， 试说明 ． 题型7 猪蹄模型 25．如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 26．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 27．综合与实践：（1）如图1，，E为图形内一点，连接、得到，求、、之间的关系，并说明理由． 【探究应用】可以利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为线段上一点，，，，求的度数． 题型8 铅笔模型 28．（1）【问题情境】如图①，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质可得的度数是__________； （2）【问题迁移】如图②，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下，当点P在线段上时，如图③；当点P在的延长线上时，如图④．请直接写出与，之间的数量关系，无需证明． 29．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 30．如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 31．已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 32．如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 题型9 平行线综合压轴题 33．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，点O在扶手上，前支架与后支架分别与交于点和点D，与靠背交于点N，． (1)求证：； (2)当前支架与后支架正好垂直，且时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数． 34．某篮球架及侧面示意图如图所示．若于点．求的度数． 由题意，可过点作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过点作平行于， ， ①（___________）（如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （②___________）． ， ， （③___________）， 于点， （④___________）， ， ⑤___________（平角的定义）． 35．已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 36．问题情境：如图①，，点在，之间，且在所在直线的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，请探究，，之间的数量关系． (1)问题解决：小明的思路是：如图②，过点作，根据平行线的性质，可以得到，，之间的数量关系是________． 迁移运用：请运用上面的数量关系解决下列问题： 已知，与的平分线相交于点F． (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，，写出与之间的数量关系，并且说明理由； (4)如图④，若，（n为正整数），设，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 题型10 判断命题的真假 37．下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．垂线段最短 D．互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角 38．有以下三个命题：若，则；两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 39．下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②如果，那么；③经过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④邻补角的平分线互相垂直．其中假命题的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．下列命题：①若，则、两数符号相同；②锐角与直角的和一定是钝角；③两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中是真命题的有______．（写出所有真命题的序号） 题型11 写出命题的题设与结论 41．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 42．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 43．把“相等的角是对顶角”改写成“如果…那么…”的形式：__________，这个命题是 __命题（填“真”或“假”）． 44．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：________；该命题的条件是________，结论是________． 题型12 逻辑与推理 45．，，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 46．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 47．甲、乙、丙、丁各有一个不同的号码，赵同学说：乙是2号，丁是4号；钱同学说：乙是1号，丙是4号；孙同学说：甲是4号，丁是3号；李同学说：甲是1号，丙是3号，他们每个人都说对了一半，则丁是（    ）号． A．1 B．2 C．3 D．4 48．小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（   ）次． A．4 B．5 C．6 D．7 题型13 利用平移的性质求解 49．如图，将沿向左平移得到，，相交于点，如果的周长是，那么与周长之和为（   ） A． B． C． D． 50．如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④阴影部分的面积为．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 51．如图，沿所在直线向右平移得到，则下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 52．如图，在中，．把沿着直线的方向平移2.5cm后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④四边形的周长为17cm．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型14 利用平移解决实际问题 53．有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 54．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 55．如图，长方形花园中，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（    ） A． B． C． D． 56．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 题型15 平移作图 57．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，三角形的顶点、点都在正方形网格的格点上． (1)平移三角形，使点与重合，画出平移后得到的三角形； (2)连接，则线段与的关系是________； (3)四边形的面积是________平方单位． 58．如图，网格图中小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)请画出将三角形向右平移5个单位长度后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段． (2)请指出图中（包括新画出的）所有互相平行的线段． (3)请指出三角形和其平移后的图形中相等的角． 59．在下面的方格纸上： (1)把图中的长方形绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后的图形．旋转后点的位置，用数对表示是（    ）； (2)把图中的圆向右平移格； (3)在三角形的右边，按的比画出三角形缩小后的图形． 60．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，将先向下平移5个单位长度，再向左平移4个单位长度得到． (1)请在图中画出； (2)与的关系是___________； (3)若内有一点经过上述平移后的对应点为，写出点的坐标为___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线（十五大题型）（期中复习专项训练） （5知识点+15题型） 题型1 对顶角、邻补角求值 4 题型2 垂直+直角的计算 6 题型3 同位角、内错角和同旁内角的识别 8 题型4 平行线的证明 9 题型5 利用平行的性质求角度 12 题型6 平行线的判定与性质的综合运用 15 题型7 猪蹄模型 19 题型8 铅笔模型 22 题型9 平行线综合压轴题 31 题型10 判断命题的真假 39 题型11 写出命题的题设与结论 41 题型12 逻辑与推理 42 题型13 利用平移的性质求解 45 题型14 利用平移解决实际问题 47 题型15 平移作图 50 1. 掌握相交线、对顶角、邻补角、垂线的定义及性质，能熟练进行角度计算； 2. 准确识别同位角、内错角、同旁内角，能区分“三线八角”的位置关系； 3. 熟练运用平行线的判定方法和性质，能解决平行线相关的计算与证明题； 4. 理解命题、定理、证明的概念，能判断命题真假、区分题设与结论； 5. 掌握平移的定义及性质，能运用平移解决相关计算、实际问题及作图题； 6. 熟练掌握本章15大核心题型，突破易错点、难点，提升解题能力，适配期中考查要求。 03 知识•梳理 知识点01、相交线 1. 对顶角 - 定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线（简单记：有公共顶点、两边互为反向延长线）。 - 核心性质：对顶角相等（中考基础考点，常结合角度计算考查）。 2. 邻补角 - 定义：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线（简单记：有公共边、有一条边互为反向延长线）。 - 核心性质：邻补角互补，和为180°（常与对顶角结合，求未知角度）。 3. 垂线 - 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是90°（直角），则这两条直线互相垂直；其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足（符号：⊥，如AB⊥CD）。 - 垂线的两个核心性质： 1. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（注意：“同一平面内”不可省略，异面直线无此性质）。 2. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称：垂线段最短）。 - 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（注意：是“长度”，不是垂线段本身）。 知识点02、同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 核心前提：两条直线被第三条直线（截线）所截，形成8个角，称为“三线八角”；判断时先找截线（中间的那条直线），再找被截线（两条被截断的直线），最后看角的位置关系。 - 同位角：位置相同，在截线的同侧，被截两直线的同一方（形如“F”型）。 - 内错角：在截线的两侧，被截两直线之间（形如“Z”型）。 - 同旁内角：在截线的同侧，被截两直线之间（形如“U”型）。 易错点：混淆内错角和同旁内角的位置，关键看“两侧”还是“同侧”、“之间”还是“之外”。 知识点03、平行线 1. 平行公理及推论 - 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（注意：“直线外一点”，不能是直线上的点）。 - 推论（平行的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（符号表示：若a∥b，b∥c，则a∥c）。 2. 平行线的判定（由角的关系推线平行） 核心：“角相等/互补” ⇒ “线平行”，共4种判定方法，重点掌握前3种： 1. 同位角相等，两直线平行（最常用，结合“F”型同位角判断）； 2. 内错角相等，两直线平行（结合“Z”型内错角判断）； 3. 同旁内角互补，两直线平行（结合“U”型同旁内角判断）； 4. 补充：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行（如a⊥c，b⊥c，则a∥b）。 3. 平行线的性质（由线平行推角的关系） 核心：“线平行” ⇒ “角相等/互补”，与判定互为逆运算，一一对应： 1. 两直线平行，同位角相等； 2. 两直线平行，内错角相等； 3. 两直线平行，同旁内角互补。 易错点：混淆“判定”和“性质”——判定是“先角后线”，性质是“先线后角”。 知识点04、命题、定理、证明 - 命题：判断一件事情的语句，由题设（已知条件）和结论（由已知推出的结果）两部分组成（例如：“两直线平行，内错角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“内错角相等”）。 - 命题分类： 1. 真命题：题设成立，结论一定成立（经过推理证实的正确命题）； 2. 假命题：题设成立，结论不一定成立（只需举一个反例即可证明，如“相等的角是对顶角”是假命题）。 - 定理：经过推理证实的真命题（可作为后续推理的依据，如“对顶角相等”是定理）。 - 证明：在推理过程中，根据已知条件、定义、公理、定理，一步步推出结论的过程（期中常考简单证明题，重点掌握平行线的判定与性质的综合运用）。 知识点05、平移 - 定义：一个图形沿某一个方向移动一定的距离，叫做平移；平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。 - 平移的核心性质（常结合坐标系考查）： 1. 平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； 2. 平移后，对应角相等； 3. 平移后，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。 04 题型•汇总 题型序号 题型名称 对应复习重点（关联知识点） 1 对顶角、邻补角求值 对顶角相等、邻补角互补的性质运用 2 垂直+直角的计算 垂线的定义、直角的性质，结合邻补角、对顶角计算 3 同位角、内错角和同旁内角的识别 三线八角的位置关系，截线、被截线的判断方法 4 平行线的证明 平行线的4种判定方法，逻辑推理过程书写 5 利用平行的性质求角度 平行线的3条性质，结合对顶角、邻补角计算 6 平行线的判定与性质的综合运用 区分判定（角推线）与性质（线推角），灵活综合解题 7 猪蹄模型 平行线中的猪蹄模型（折线角）解题技巧，辅助线添加 8 铅笔模型 平行线中的铅笔模型（平角相关）解题技巧，辅助线添加 9 平行线综合压轴题 平行线判定与性质、模型、角度计算的综合运用 10 判断命题的真假 命题的定义，真/假命题的判断方法，反例的列举 11 写出命题的题设与结论 命题的结构，准确拆分题设（已知）和结论（推出结果） 12 逻辑与推理 证明的基本步骤，结合定义、公理、定理进行推理 13 利用平移的性质求解 平移的3条核心性质，对应线段、角、点的关系运用 14 利用平移解决实际问题 平移的实际应用，转化图形位置解决问题 15 平移作图 平移的作图方法，准确画出平移后的图形 05 题型•训练 题型1 对顶角、邻补角求值 1．如图，要测量两堵围墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，小刚提供的测量方案是：反向延长至点C，若他测量的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用邻补角的定义，求解即可. 【详解】解：由题意，. 2．若和是对顶角，且的邻补角为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角和为，对顶角相等两个知识点，即可求出的度数． 【详解】解：∵的邻补角为，邻补角的和为， ∴， ∵和是对顶角，对顶角相等， ∴． 3．如图：直线，相交于点O，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等和邻补角的定义得出，，再根据角平分的定义得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 4．如图，已知点在直线上，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平角定理先求，结合角平分线定理可得，结合进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 题型2 垂直+直角的计算 5．如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件利用角度和差关系求出的度数，再利用对顶角的性质即可得出结果． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∵直线、相交于点O， ∴． 6．如图，点A，O，B在一条直线上，，且，垂足为点O，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算，再根据垂直的定义得到，再利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，直线、相交于点O，于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得，然后利用角的和差关系计算的度数即可． 【详解】解：， ， ，， ． 8．如图，直线相交于点于点O，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义及平角的概念计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 题型3 同位角、内错角和同旁内角的识别 9．风筝是中国古代劳动人民于春秋时期发明的器物，其材质在不断优化之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”（如图1）．清朝诗人高鼎有诗云“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图2，这是某风筝纸的骨架，在中，与构成同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由同位角定义可知，与构成同位角的是． 10．如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内错角的定义判断即可． 【详解】解：由图得，和是内错角的是， 11．如图，下列说法不正确的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、与是对顶角，故该选项正确，不符合题意； B、与不是同位角，故该选项错误，符合题意； C、与是内错角，故该选项正确，不符合题意； D、与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意． 12．如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 题型4 平行线的证明 13．如图，下列条件：①；②；③；④其中能判断直线的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故①符合题意； ∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故④符合题意； 根据，都不能证明，故②③不符合题意； 14．如图，在四边形中，点在的延长线上，连接，如果添加一个条件，使，下列不能满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线平行的判定逐项判断即可． 【详解】对于A，， （内错角相等，两直线平行），故A正确，不符合题意； 对于B，， （同旁内角互补，两直线平行），故B正确，不符合题意； 对于C，， （同旁内角互补，两直线平行），故C正确，不符合题意； 对于D，， （内错角相等，两直线平行），不能推出，故D错误，符合题意． 15．如图，下列①；②；③；④；⑤．能判定的条件有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解决本题的关键是根据同位角相等、两直线平行，内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项进行判断． 【详解】解：和是、被 所截形成的内错角， 当时， 根据同旁内角互补，两直线平行，可证， 故①能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 但是不能判定， 故②不能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 故③能判定； 和是、被所截形成的同位角， 根据同位角相等，两直线平行，可证， 故④能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 但是不能判定， 故⑤不能判定； 综上所述，能判定的条件有个． 故选：C． 16．如图，分别平分与，且．求证：．（请根据条件进行推理，完成证明，并在括号内填上依据） 证明：分别平分与（已知）， （①______）． （已知）， ②______（等量代换）． （已知）， ③______④______（⑤______） （⑥______）． 【答案】①角平分线的定义；②；③；④；⑤等量代换；⑥内错角相等，两直线平行 【分析】结合图形根据题目现有过程前后逻辑关系填空即可． 【详解】证明：分别平分与（已知）， （①角平分线的定义）． （已知）， ②（等量代换）． （已知）， ③④（⑤等量代换） （⑥内错角相等，两直线平行）． 题型5 利用平行的性质求角度 17．如图为平面镜的光路图，入射光线经平面镜反射（入射角等于反射角），若，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质可得，求出，再结合题意得出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵入射光线经平面镜反射（入射角等于反射角） ∴， ∴． 18．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．如图，直线，点A在直线b上，点C在直线a上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，再由两角互余求出的度数即可． 【详解】解：如图所示，在直线上取一点， ，， ， ， ， ． 20．如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由角的关系可得，再根据两直线平行的性质求解； （2）分两种情况：当在内部和在外部，再根据角的关系得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， （两直线平行，内错角相等）； （2）解：解：当在内部时， ， 当在外部时， ， 或． 题型6 平行线的判定与性质的综合运用 21．如图，已知，． (1)求证：． (2)若于，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用已知可得，从而可得，进而可得，然后利用同旁内角互补，两直线平行可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，再利用（1）的结论可得，从而可得，然后利用（1）的结论可得，再利用角平分线的定义可得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 22．如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质以及角的计算．解题的关键是掌握角平分线的定义和平行线的判定定理． (1)先利用角平分线的定义得，再结合已知，通过等量代换得，利用内错角相等判定两直线平行； (2)先由垂直定义得，求出，再利用平行线的同旁内角互补求出，然后利用角平分线定义求出，最后由得的度数． 【详解】（1）证明：平分， ， ，   ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 23．如图，与相交于点E，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据可得，再根据平行线的性质得，等量代换得，即． 【详解】证明：∵， ∴，即， ， ， 又∵， ， ． 24．如图，平分，平分，平分，且， 试说明 ． 【答案】见解析 【分析】首先由角平分线得到，，然后结合得到，推出，然后得到，即可推出． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴． 题型7 猪蹄模型 25．如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形构造平行线的辅助线是解题的关键．过点作，根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，得到，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 26．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 27．综合与实践：（1）如图1，，E为图形内一点，连接、得到，求、、之间的关系，并说明理由． 【探究应用】可以利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为线段上一点，，，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点E作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论； （2）由角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，由（1）中的结论得到，，再利用角的和差、角度间的等量代换即可证明； （3）由（1）中结论可得，，，则有，代入数据求出的度数，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，、为图形内的点， ∴由（1）中结论可得，，， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：∵，E为图形内的点， ∴由（1）中结论可得，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型8 铅笔模型 28．（1）【问题情境】如图①，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质可得的度数是__________； （2）【问题迁移】如图②，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下，当点P在线段上时，如图③；当点P在的延长线上时，如图④．请直接写出与，之间的数量关系，无需证明． 【答案】（1）.；（2），理由见解析；（3）点P在线段OB上时，；点P在BD的延长线上时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，理解题意、作出适合的辅助线是解题关键． （1）根据平行线的性质进行计算，即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质得、，即可求解； （3）点P在线段OB上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解；点P在BD的延长线上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ，， ， ， ． （2）如图，过点作， ，，， ， ，， ． （3）点P在线段上时，如图， 过点作， ，，， ， ，， ． 点P在的延长线上时，如图， 过点P作， ，， ， ，， ． 29．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 30．如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 【答案】C 【分析】过E作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，根据平行线性质从而求出∠C． 【详解】解：过E作直线MN//AB，如下图所示， ∵MN//AB， ∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵， ∴ ∵MN//AB，AB//CD， ∴MN//CD， ∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°， 故选：C． 【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键． 31．已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）过点作，由平行线的性质，从而得到； （2）①由（1）可得，再分别延长交于点，延长交于点，利用平行线的性质得到，因为分别平分，所以可以利用整体法得到，最后求得度数； ②利用（1）中结论，以及方程思想，设 ，分别表示出，代入条件，解得，根据垂直的定义判定． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作， 即 （2）解：①延长交于点，延长交于点， 有（1）知， 分别平分 ②由折叠性质得： 由题意得，， 设 . 即 【点睛】本题考查了角平分线的性质及平行线的性质和判定的综合应用，主要是对平行线拐点模型的应用，根据图形准确的找到角的和差关系是关键． 32．如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． （1）过点过作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （2）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （3）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （4）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】（1）解：过作（如图②）． 原四边形是长方形， ， 又， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， 又， ， 故答案为：；    （2）分别过、分别作、，如图③所示，     原四边形是长方形， ， 又， ． ，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）分别过、、分别作、、，如图④所示，     原四边形是长方形， ， 又，，， ． ，，，， ， ，，， ， 故答案为：； （4）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度， 故答案为：． 题型9 平行线综合压轴题 33．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，点O在扶手上，前支架与后支架分别与交于点和点D，与靠背交于点N，． (1)求证：； (2)当前支架与后支架正好垂直，且时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到，由同位角相等，两直线平行即可求解； （2）根据平行线的性质得到，由垂线的定义得到，进而求出，再根据（1）中，得即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：扶手与底座都平行于地面， ， ， ， ， ． 由（1）知， ． 34．某篮球架及侧面示意图如图所示．若于点．求的度数． 由题意，可过点作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过点作平行于， ， ①（___________）（如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （②___________）． ， ， （③___________）， 于点， （④___________）， ， ⑤___________（平角的定义）． 【答案】①；②两直线平行，同旁内角互补；③两直线平行，内错角相等；④垂直定义；⑤ 【分析】根据平行线的判定和性质及平角的定义补全解题过程即可． 【详解】解：过点作平行于， ， （如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， （两直线平行，内错角相等）， 于点， （垂直定义）， ， （平角的定义）． 35．已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 36．问题情境：如图①，，点在，之间，且在所在直线的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，请探究，，之间的数量关系． (1)问题解决：小明的思路是：如图②，过点作，根据平行线的性质，可以得到，，之间的数量关系是________． 迁移运用：请运用上面的数量关系解决下列问题： 已知，与的平分线相交于点F． (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，，写出与之间的数量关系，并且说明理由； (4)如图④，若，（n为正整数），设，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）先得到，则，再由求解即可； （2）由（1）得，，则，由角平分线可得，过点作，证明即可； （3）设，，由（2）可得，由题意可得，再根据角平分线得到，，由（1）得：，再代入求解即可； （4）同问题（3）求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：、分别是和的平分线， ，， 由（1）得，， ， ， ， 过点作， ∵， ∴， ∴, ∴； （3）解：，理由是： 设，， ∴由（2）可得 ∵，， ∴， 、分别是和的平分线， ∴， 由（1）得：， ， ∴ ； （4）解：设，， ∴由（2）可得 ∵，（n为正整数）， ∴， 、分别是和的平分线， ∴， 由（1）得：， ， ∴； ． 题型10 判断命题的真假 37．下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．垂线段最短 D．互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角 【答案】C 【分析】本题主要考查命题，根据平行线的性质、垂线段的性质、互补的定义等，逐项判断即可． 【详解】A、相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，该选项的命题是假命题； B、只有两直线平行时，同位角才相等，该选项的命题是假命题； C、该选项的命题是真命题； D、互补的两个角可以都是直角，该选项的命题是假命题． 38．有以下三个命题：若，则；两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质，平行线的性质，垂线的基本性质，逐一判断命题真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：对于命题：∵， ∴，因此是真命题； 对于命题：根据平行线的性质，两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，只有特殊情况同旁内角相等，结论不恒成立， 因此是假命题； 对于命题：该命题未指明在同一平面内，结论不成立，因此是假命题； 综上，真命题共个． 39．下列命题：①两直线平行，同旁内角互补；②如果，那么；③经过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④邻补角的平分线互相垂直．其中假命题的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可判断①，根据平方根的定义可判断②，根据平行公理可判断③，根据邻补角的定义和垂线的定义可判断④． 【详解】解：① “两直线平行，同旁内角互补”是平行线的性质，原命题是真命题． ② 时， ∴或，不能推出一定为，原命题是假命题． ③如果该点在已知直线上，则不存在与已知直线平行的直线；如果该点在已知直线外，则有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题； ④ 邻补角的和为，两条平分线分出的两个角的和为， 邻补角的平分线互相垂直，原命题是真命题． 综上，假命题共有个． 40．下列命题：①若，则、两数符号相同；②锐角与直角的和一定是钝角；③两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中是真命题的有______．（写出所有真命题的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查判断命题的真假，根据有理数的乘法法则，角的和差关系，平行线的判定，平行公理，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则、两数符号相同，故①是真命题； 锐角与直角的和一定是钝角；故②是真命题； 在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线平行；故③为假命题； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故④是真命题； 故答案为：①②④． 题型11 写出命题的题设与结论 41．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查命题的组成，命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果，掌握命题题设与结论的区分方法是解题关键． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”可改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”． ∴该命题的题设是“同位角相等”． 42．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 43．把“相等的角是对顶角”改写成“如果…那么…”的形式：__________，这个命题是 __命题（填“真”或“假”）． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假 【分析】先拆分原命题得到条件和结论，将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后，再结合对顶角的定义判断命题的真假． 【详解】解：原命题“相等的角是对顶角”中，条件是两个角相等，结论是这两个角是对顶角． 因此改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角，存在反例， 因此这个命题是假命题． 44．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：________；该命题的条件是________，结论是________． 【答案】 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】本题主要考查了命题与定理，根据命题的构成，如果前面是条件，那么后面是结论，解答即可． 【详解】解：同角的余角相等改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， 该命题的条件是：两个角是同一个角的余角， 结论是：这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；两个角是同一个角的余角；这两个角相等． 题型12 逻辑与推理 45．，，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查单循环赛制问题，利用单循环赛每队最多比赛5场的规则，从比赛场次最多的A出发逐步推理，结合各队已知场次推出F的比赛场数． 【详解】解：∵六个队进行单循环赛，每个队最多和其余5队各赛1场，即每个队最多比赛5场， ∵A已比赛5场， ∴A与B，C，D，E，F都已比赛过； ∵E仅比赛1场， ∴E只和A比赛过，未与B，C，D，F比赛； ∵B已比赛4场，B已和A比赛，未和E比赛， ∴B与A，C，D，F都已比赛过，刚好满足4场； ∵D已比赛2场，D已和A、B比赛过，刚好满足2场，因此D未和C，E，F比赛； ∵C已比赛3场，C已和A，B比赛，未和E，D比赛， ∴C只能和F比赛，满足3场要求； 统计F的比赛场次：F分别和A，B，C各赛1场，共3场， 因此F队比赛场数是3，选B． 46．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 【答案】C 【分析】先根据四人的表述推出确定结论，再逐一排除错误选项，验证得到正确结果． 【详解】解：∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去． ∵乙说“丙去，我就不去”，丙去， ∴乙一定不去， A选项，甲一个人去，与丙一定去矛盾，错误，不符合题意． B选项，乙丙两个人去，与丙去则乙不去矛盾，错误，不符合题意． D选项，四个人都去，与乙一定不去矛盾，错误，不符合题意． C选项，甲丙丁三个人去：符合丙去乙不去的结论，甲的表述为“乙去我就肯定去”，乙不去不影响甲去，丁的表述为“甲乙中至少有一人去，我就去”，甲去满足条件，丁去符合要求，所有条件均成立，结论正确，符合题意． 47．甲、乙、丙、丁各有一个不同的号码，赵同学说：乙是2号，丁是4号；钱同学说：乙是1号，丙是4号；孙同学说：甲是4号，丁是3号；李同学说：甲是1号，丙是3号，他们每个人都说对了一半，则丁是（    ）号． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题使用假设推理法，根据每人只说对一半，且四人号码各不相同，通过推导验证是否存在矛盾，即可得到丁的号码． 【详解】解：∵四人号码各不相同，且每人都说对一半， ∴先假设赵同学说“乙是2号”为真，则“丁是4号”为假， ∵乙是2号， ∴钱同学说“乙是1号”为假，可得“丙是4号”为真， ∵丙是4号， ∴孙同学说“甲是4号”为假，可得“丁是3号”为真， ∵丁是3号， ∴李同学说“丙是3号”为假，可得“甲是1号”为真，此时四人号码为甲1号，乙2号，丙4号，丁3号，所有号码不同，每人都对一半，符合题意， 若假设赵同学说“丁是4号”为真，则“乙是2号”为假，可得孙同学说“丁是3号”为假，推出“甲是4号”为真，此时甲和丁都是4号，号码重复，假设不成立， ∴丁是3号． 48．小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（   ）次． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查推理论证，需根据无平局的规则，结合双方出拳次数对应分析赢的情况． 【详解】解：∵10次对决无平局， ∴小华出石头（6次）时，小益只能出剪刀或布（小益共3次剪刀、3次布，总数6次，刚好对应）， ∵石头赢剪刀， ∴这6局中小华赢了3次， 又∵小华剩余1次剪刀、3次布，对应小益的4次石头（）， ∵布赢石头， ∴这4局中小华赢了3次， ∴小华共赢了次， 故选：C． 题型13 利用平移的性质求解 49．如图，将沿向左平移得到，，相交于点，如果的周长是，那么与周长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得，，然后判断出与的周长之和等于的周长，即可求解． 【详解】解：将向左平移得到， ，，， 又∵的周长是， 与的周长之和 ． 50．如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④阴影部分的面积为．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据平移的性质判断即可． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，， ∴，，，，①②正确； ∵， ∴， 由平移性质可得：， ∴，③正确； ∵，， ∴， ∵阴影部分的面积的面积的面积 的面积的面积 四边形的面积 ，故④正确． 51．如图，沿所在直线向右平移得到，则下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，结合图形逐项判断即可． 【详解】解：∵将沿直角边所在的直线向右平移得到， ∴，，，， ∴，则， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 现有条件无法得到，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 52．如图，在中，．把沿着直线的方向平移2.5cm后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④四边形的周长为17cm．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到，连接， ∴，故①正确； ，故②正确； ，根据平移得，则，故③正确； ∵，沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到， ∴四边形周长为，故④正确； 故选：D． 题型14 利用平移解决实际问题 53．有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 可得种花部分为长米，宽米的长方形， 所以种花的面积是平方米． 54．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 55．如图，长方形花园中，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，代数式表示，解题的关键在于将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积． 结合图形将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积，再结合长方形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：长方形花园中，， 将可绿化部分平移到一起， 可得绿化部分的面积为， 故选：C． 56．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 题型15 平移作图 57．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，三角形的顶点、点都在正方形网格的格点上． (1)平移三角形，使点与重合，画出平移后得到的三角形； (2)连接，则线段与的关系是________； (3)四边形的面积是________平方单位． 【答案】(1)画图见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】（）根据平移的性质画出图形即可； （）根据平移的性质即可求解； （）利用割补法计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：由平移的性质可得，线段与的关系是平行且相等； （3）解：四边形的面积（平方单位）． 58．如图，网格图中小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)请画出将三角形向右平移5个单位长度后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段． (2)请指出图中（包括新画出的）所有互相平行的线段． (3)请指出三角形和其平移后的图形中相等的角． 【答案】(1)画图见解析，和，和，和，、和 (2)和，和，和，、和 (3)和，和，和 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，解题的关键是： （1）先找出A、B、C向右平移5个单位长度后的对应点D、E、F，如何顺次连接即可，再根据平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 相等的线段有：和，和，和，、和； （2）解：互相平行的线段：和，和，和，、和； （3）解：三角形和其平移后的图形中相等的角有：和，和，和． 59．在下面的方格纸上： (1)把图中的长方形绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后的图形．旋转后点的位置，用数对表示是（    ）； (2)把图中的圆向右平移格； (3)在三角形的右边，按的比画出三角形缩小后的图形． 【答案】(1)画图见解析，； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】此题考查了图形的旋转、平移、放大与缩小的方法以及数对表示位置的方法的综合应用． （）根据图形旋转的方法，先把图中的长方形与点相连的两条边绕 点按逆时针方向旋转，再利用长方形的画法画出另外两条边，即可画出旋转后的图形，数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行；由此即可标出旋转后 点的位置； （）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此将圆心向右平移格，利用圆的画法画出这个平移后的圆即可； （）根据图形放大与缩小的方法，先把三角形的两条直角边按照缩小，画在原三角形的右边，再把第三条边连接起来即可得出缩小后的三角形． 【详解】（1）解：如图所示，长方形即为所求，旋转后点的位置为， 故答案为：； （2）解：如图所示，圆即为所求； （3）如图所示，三角形即为所求． ． 60．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，将先向下平移5个单位长度，再向左平移4个单位长度得到． (1)请在图中画出； (2)与的关系是___________； (3)若内有一点经过上述平移后的对应点为，写出点的坐标为___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据平移条件画出符合题意的图形； （2）根据平移性质即得与平行且相等； （3）先向下平移5个单位长度，再向左平移4个单位长度，即纵坐标减5，横坐标减4，根据已知条件中的平移要求即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：∵是由平移得到， ∴． 故答案为：． （3）解：∵将先向下平移5个单位长度，再向左平移4个单位长度，内有一点经过上述平移后的对应点为， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $