特训11 正方形的性质与判定-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训11 正方形的性质与判定 【特训过关】 1．下列说法一定正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．下列思路中不能判定四边形是正方形的是（   ） A．先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 B．先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 C．先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 D．先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直 3．如图，在正方形的外侧，作等边，连接，则为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接，则（　　） A． B． C． D．不能确定 5．如图，将边长为8cm的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 6．如图，已知正方形的边长为4，以为边在正方形内部作等边，连接，交的延长线于点F，则的长为（    ） A． B． C． D．5 7．如图，点E是正方形的对角线上的一点，连接，过点E作，垂足为F，若，，则正方形的面积为（   ） A．196 B．256 C．144 D．100 8．如图，正方形的对角线相交于点O，点E在边上，点F在上，过点E作，垂足为点G，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 9．如图，点P是正方形的对角线上一点(点P不与点B、D重合)，于点E，于点F，连接给出下列五个结论：①；②；③仅有当或时，是等腰三角形；④：⑤，其中正确的有(　　)个． A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，正方形中，点E是边的中点，、交于点H，、交于点G，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，四边形是菱形，与相交于点O，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 12．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 13．如图，将矩形纸片（）沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 14．如图，正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且，若，则 ． 15．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，在正方形中，P为对角线上的一点，于点E，若点E是的三等分点，，则的长为 ． 17．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点O，连．若，，则与的和为 度；且另一条直角边的长为 ．    18．折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作：①把翻折，点A落在边上的点F处，折痕为，点E在边上；②把纸片展开并铺平；③把翻折，点C落在线段上的点H处，折痕为，点G在边上，若，，则 ． 19．如图，正方形的边长为4，点G为边上的动点（不与点A、B重合），将沿折叠，点A的对应点为点H，连接，，若为等腰三角形，则的长为 ． 20．如图，已知四边形为正方形，边长为2，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接．当点E从A点运动到C点时，求的最小值为 ． 21．已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接、．求证：． 22．如图，A，C是菱形的对角线上的两点，且，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若正方形的边长为3，，求菱形的面积． 23．如图，矩形的对角线相交于点O，点P在射线上，连接，作，交射线于点Q，连接． （1）如图1，当，点P在线段上（不与点A，B重合）时，请直接写出线段、、之间的数量关系（用含等号的式子表示）． （2）如图2，当，点P在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明：若不成立，请写出新的结论，并说明理由． （3）若，，连接，当为直角三角形时，请直接写出线段的长． 24．【问题提出】 如图，四边形和均为菱形，且，连接和． 【探究猜想】 （1）如图（1），当时， ①线段和之间的数量关系为_______； ②直线和直线相交所成的较小角的度数为_______； 【深入思考】 （2）如图（2），当，且点E在线段上时，过点A作于点H，探究线段，，之间的数量关系，并求的度数； 【拓展延伸】 （3）当，且点E在线段的延长线上时，过点A作于点H，请你补全图形，并直接写出线段，，之间的数量关系及的度数． 25．正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质．如图1，正方形的边长是4，P是对角线上一点． （1）求证：． （2）如图2，过点P作，，垂足分别为E，F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，M是的中点，连接，，求的最小值． （4）如图4，过点P作，交于点N，以，为邻边作矩形，连接，若N恰好为的中点，直接写出矩形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训11 正方形的性质与判定 【特训过关】 1．下列说法一定正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C． 【解析】解：A．平行四边形的对角线互相平分，故原说法错误，此项不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，此项不符合题意； C．矩形的对角线相等，故原说法正确，此项符合题意； D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，此项不符合题意． 故选：C． 2．下列思路中不能判定四边形是正方形的是（   ） A．先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 B．先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 C．先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 D．先判定四边形的对角线相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直 【答案】D． 【解析】解：A. 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； B. 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； C. 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，能判定四边形是正方形，故该选项不符合题意； D. 先判定四边形的对角线互相平分且相等，再确定这个四边形的对角线互相垂直，故该选项不符合题意； 故选：D． 3．如图，在正方形的外侧，作等边，连接，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 4．如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接，则（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A． 【解析】解：在正方形中，， 在菱形中，， 所以，， 在中，， 解得． 故选：A． 5．如图，将边长为8cm的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】A． 【解析】解：由折叠可得，设，则， ∵， ∴， 解得：， 即线段的长是3cm． 故选：A． 6．如图，已知正方形的边长为4，以为边在正方形内部作等边，连接，交的延长线于点F，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B． 【解析】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵等边， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故选B． 7．如图，点E是正方形的对角线上的一点，连接，过点E作，垂足为F，若，，则正方形的面积为（   ） A．196 B．256 C．144 D．100 【答案】A． 【解析】解：如图，过点E作于H，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：A． 8．如图，正方形的对角线相交于点O，点E在边上，点F在上，过点E作，垂足为点G，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， 如图，作于M，延长交于N，作于H， ， 则， ∴四边形、为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 9．如图，点P是正方形的对角线上一点(点P不与点B、D重合)，于点E，于点F，连接给出下列五个结论：①；②；③仅有当或时，是等腰三角形；④：⑤，其中正确的有(　　)个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D． 【解析】过P作于点G，如图所示： ∵点P是正方形的对角线上一点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，①正确，， ∴，④正确； 延长到上于一点H， ∴， ∵， ∴， ∴，②正确， ∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形，故③正确． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 即，⑤正确． ∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个． 故选D． 10．如图，正方形中，点E是边的中点，、交于点H，、交于点G，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D． 【解析】∵四边形是正方形，E是边上的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 即：，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选：D． 11．如图，四边形是菱形，与相交于点O，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】解：∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 【答案】． 【解析】解：如图所示： 可得：，，， ，， ∴，四边形是正方形， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如图，将矩形纸片（）沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 【答案】． 【解析】由折叠可得：，， ∵是矩形， ∴， ∴是正方形， ∴， ∴， 则（阴影部分）的面积， 故答案为：． 14．如图，正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且，若，则 ． 【答案】． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， 故答案为：. 15．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4． 【解析】解：连接、，如图所示： ∴， ∴， ∵是正方形，O为正方形的中心， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案是：4． 16．如图，在正方形中，P为对角线上的一点，于点E，若点E是的三等分点，，则的长为 ． 【答案】． 【解析】解：当点E在靠近点A的三等分点时， 过点P作于F，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点E在靠近点D的三等分点时， 同理可得出：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点O，连．若，，则与的和为 度；且另一条直角边的长为 ．    【答案】180，5． 【解析】解：作于点F，交的延长线于点G，则， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：180，5．   18．折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作：①把翻折，点A落在边上的点F处，折痕为，点E在边上；②把纸片展开并铺平；③把翻折，点C落在线段上的点H处，折痕为，点G在边上，若，，则 ． 【答案】． 【解析】解：设，则， ∵把翻折，点A落在边上的点F处， ∴，，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵把翻折，点C落在直线上的点H处，折痕为，点G在边上， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 整理得，解得，（舍去）， 即的长为． 故答案为：． 19．如图，正方形的边长为4，点G为边上的动点（不与点A、B重合），将沿折叠，点A的对应点为点H，连接，，若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或． 【解析】解：∵正方形中，边长， ∴，， 过点H作，垂足为K，交于N，过点H作，垂足为M， ∴四边形、、是矩形， ∴，，，， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； ②当时， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， 解得； ③当时，H和C重合，不符题意，舍去， 综上，或， 故答案为：或． 20．如图，已知四边形为正方形，边长为2，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接．当点E从A点运动到C点时，求的最小值为 ． 【答案】． 【解析】解：如图，过点E作于点M，作于点N， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，且， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即取得最小值， ∵， ∴此时点E为中点， ∵， ∴最小值为， 故答案为：． 21．已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接、．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 22．如图，A，C是菱形的对角线上的两点，且，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若正方形的边长为3，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）证明：连接交于点O，如图： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴ 四边形是菱形， ∵， ∴， 即， ∴四边形是正方形． （2）解：∵正方形的边长为， ∴，，， ∴中，， ∵， ∴， ∴． 23．如图，矩形的对角线相交于点O，点P在射线上，连接，作，交射线于点Q，连接． （1）如图1，当，点P在线段上（不与点A，B重合）时，请直接写出线段、、之间的数量关系（用含等号的式子表示）． （2）如图2，当，点P在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立请证明：若不成立，请写出新的结论，并说明理由． （3）若，，连接，当为直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）或． 【解析】（1）解：，理由如下： 当，则四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）（1）中的结论成立，证明如下： 延长交的延长线与点E，连接，如图所示： ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当时，如图所示：此时点Q与点D重合， 由（2）得， ∴， 设， 则， ∴即， 解得：， ∴； 当时，如图所示： 由（2）得， 设， 则， ∴即， 即， 解得：， ∴， ∴， 设， 则， ∴即， ∴即， ∴， 解得：， ∴， 当时，不符合题意舍去， 综上可得或． 24．【问题提出】 如图，四边形和均为菱形，且，连接和． 【探究猜想】 （1）如图（1），当时， ①线段和之间的数量关系为_______； ②直线和直线相交所成的较小角的度数为_______； 【深入思考】 （2）如图（2），当，且点E在线段上时，过点A作于点H，探究线段，，之间的数量关系，并求的度数； 【拓展延伸】 （3）当，且点E在线段的延长线上时，过点A作于点H，请你补全图形，并直接写出线段，，之间的数量关系及的度数． 【答案】（1）①，②；（2），；（3），． 【解析】解：（1）①∵四边形和均为菱形，且，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②如图， ∵， ∴， ∵， ∴，较小角的度数为． 故答案为：； （2）∵， ∴四边形和均为正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴． ∵． 同（1）可证， ∴，， ∴，， ∴； （3）如图，连接， ∵， ∴四边形和均为正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴． ∵． 同（1）可证， ∴，， ∴，， 25．正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质．如图1，正方形的边长是4，P是对角线上一点． （1）求证：． （2）如图2，过点P作，，垂足分别为E，F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，M是的中点，连接，，求的最小值． （4）如图4，过点P作，交于点N，以，为邻边作矩形，连接，若N恰好为的中点，直接写出矩形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）；（4）10． 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． 在与中， ∴， ∴． （2）解：． 证明：如图，连接． ∵，，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 由（1）可知， ∴． （3）解：如图，连接，与交于点，连接，． ∵，当点P与点重合时，，此时取得最小值，最小值是线段的长． ∵四边形是正方形，M是的中点，， ∴，，， ∴， ∴的最小值是． （4）如图，过点P作于点S，于点T， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 连接， ∵N恰好为的中点， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$