第08讲 高中曲线运动题型归纳-2025-2026学年高一下学期物理满分练曲线运动专题

第08讲 高考曲线运动题型全归纳 目 录 题型 01: 曲线运动基本概念的理解 2 题型02：曲线运动的动力学解释 8 题型03：合运动与分运动的关系 12 题型04：两互成角度运动合运动性质的判断 17 题型05：小船过河模型 21 题型06：绳(杆)端的关联速度问题 32 （一）绳端关联速度的分解问题 32 （二）杆端关联速度的分解问题 41 题型07: 平抛运动规律及应用 54 题型08: 平抛运动临界与极值问题 62 题型09：斜抛运动问题 71 题型10: 平抛运动相遇问题 83 题型11：斜面上的平抛 88 （一）顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 88 （二）对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 100 （三）对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 108 题型12：对着竖直墙壁的斜抛运动（反向平抛） 111 题型13：圆弧面上的平抛运动 115 题型14：类平抛运动 121 题型15：平抛与圆周的临界问题 129 题型16：平抛的多解问题 133 题型17：抛体运动中的功能与动量 136 题型18：圆周运动中的运动学分析 145 题型19：水平面上的圆周运动——圆锥摆模型 157 （一）圆锥摆（类圆锥摆）模型 157 （二) 转盘问题 171 题型20：竖直面内圆周运动 176 题型21：生活中的圆周运动 184 题型22：圆周运动中的临界问题 192 （一）水平面的圆周运动临界问题 192 （二）竖直平面内的圆周运动临界问题 209 （三）斜面上圆周运动的临界问题 237 题型23：圆周运动与图像结合问题 243 （一）水平面内圆周运动与图像结合问题 243 （二）竖直面内圆周运动与图像结合 248 题型24：曲线运动解答题 259 题型 01: 曲线运动基本概念的理解 【典型例题1】图示为国产新型战斗机大仰角加速向上爬升过程的飞行轨迹，轨迹为曲线。下列说法正确的是（　　） A．研究战斗机姿态调整时可以把战斗机看成质点 B．战斗机的路程等于位移大小 C．战斗机所受合力沿轨迹的切线方向 D．飞行员处于超重状态 【答案】D 【详解】A．研究战斗机姿态调整时，战斗机自身的大小不能忽略，所以不能把战斗机看成质点，故A错误； B．战斗机的轨迹为曲线，其位移小于路程，故B错误； C．战斗机所受合力指向轨迹的凹面，故C错误； D．战斗机以大仰角加速向上爬升的过程中，有竖直向上的加速度，所以飞行员处于超重状态，故D正确。 故选D。 【典型例题2】近年来，我国在高超音速滑翔飞行器（HypersonisGlide Vehicle，HGV）技术领域取得突破性进展。某型HGV采用“助推-滑翔”弹道技术，由运载火箭发射至大气层边缘后，用类似打水漂的方式以超过5马赫的速度进行无动力滑翔飞行，具有射程远、突防能力强、轨迹多变等特点，可应用于航天返回、快速全球打击等任务，展现了我国在先进飞行器领域的科技实力，其弹道轨迹如图所示。下列说法错误的是（    ） A．导弹在a点速度方向指向轨迹切线方向 B．导弹在a点所受合力的方向指向地球 C．导弹在b点所受合力的方向沿轨迹切线方向 D．导弹在b点附近一小段轨迹可视为匀变速曲线运动 【答案】C 【详解】A．导弹做曲线运动，导弹速度方向一定沿着轨迹切线方向，A正确，不符合题意； B．导弹在a点附近处于大气层外，没有空气阻力，a点附近导弹只受重力，所以导弹在a点所受合力的方向指向地球，B正确，不符合题意； C．导弹在b点受到的合力方向不可能沿轨迹切线方向，而应指向曲线凹侧，导弹在b点所受合力的方向背向地球，C错误，符合题意； D．导弹在b点附近一小段可以看做匀速圆周运动的一小部分，向心加速度大小不变，方向与速度垂直，当时间趋于零，可认为加速度不变，轨迹可视为匀变速曲线运动，D正确，不符合题意。 故选C。 【变式训练1-1】书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 【答案】A 【详解】A．笔尖由a点经b点回到a点过程，初位置和末位置相同，位移为零，故A正确； B．笔尖由a点经b点回到a点过程，轨迹长度不为零，则路程不为零，故B错误； C．两次过a点时轨迹的切线方向不同，则速度方向不同，故C错误； D．摩擦力方向与笔尖的速度方向相反，则两次过a点时摩擦力方向不同，故D错误。 故选A 。 【变式训练1-2】如图所示为神舟18号返回舱顺利返回地球的示意图，返回舱先与轨道舱分离再进行减速，调整姿态后从A点进入大气层，最后降落在地球上B点处，关于返回舱在A点受到的合外力F的示意图，下列可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】神舟18号返回舱在A点进入大气层，受到的空气阻力与速度方向相反，此时还受到地球对其指向地心的引力（重力），这两个力的合力方向应介于这两力的夹角之间，故ABC错误，D正确。 故选D。 【变式训练1-3】如图所示，甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车赛道的实景图，乙图是其示意图。比赛时，运动员从起点沿赛道快速向终点滑去，先后经过A、P、B、C、D五点。运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【详解】根据曲线运动某点的速度方向沿着该点的切线方向，由图中可知运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是点，A正确，BCD错误； 故选A。 【变式训练1-4】（多选）如图所示，下雨时，某人竖直撑着雨伞向左行走，假定水滴从伞的珠尾处下落瞬间相对雨伞的速度沿竖直方向，当人向左走时，他看到的从身侧珠尾滴落的水滴的轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A．根据题图，雨滴在落到雨伞上之前,斜向左下做直线运动，雨滴一定受到重力,则空气对雨滴的作用力一定有向左的分量，即存在向左的风。若水滴因风产生的向左的加速度与人的加速度相等,轨迹可能如A所示，故A正确； B．结合上述分析可知，若人做减速或匀速运动,轨迹可能如B所示，故B正确; C．同理可知，若人向左的加速度较大，轨迹可能如C所示，故C正确； D．水滴从珠尾滴落时相对伞的速度沿竖直方向,即轨迹最上端的切线一定沿竖直方向,故D错误。 故选ABC。 【变式训练1-5】我国选手徐一璠首进美网决赛，成为美网历史上第一位打进女双决赛的中国大陆选手。由网球运动员在边界处正上方水平向右击出的网球在空中的运动轨迹如图所示，、、为轨迹上的三点，、为两点连线，为曲线在点的切线，网球在运动过程中可视为质点，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．网球做变加速运动，在点的速度方向沿方向 B．网球做变加速运动，在点的速度方向沿方向 C．网球做匀变速运动，在点的速度方向沿方向 D．网球做匀变速运动，在点的速度方向沿方向 【答案】C 【详解】网球在空中运动时只受重力作用，根据牛顿第二定律可知网球的加速度为重力加速度，故网球做匀变速运动，做曲线运动的网球在运动轨迹上某点的速度方向沿该点的切线方向，因此网球在点的速度沿方向。 故选C。 【变式训练1-6】在航空表演中，一架特技飞机进行展示“落叶飘”飞行技术动作，轨迹呈螺旋形。关于该飞机的运动，下列说法正确的是（　　） A．速度方向不断变化 B．竖直方向做匀加速直线运动 C．加速度保持不变 D．所受合力方向与速度方向相同 【答案】A 【详解】A．飞机做螺旋运动时，轨迹为三维曲线，速度方向始终沿切线方向且不断改变，故A正确； B．螺旋下降过程中，飞机受重力和空气阻力作用，竖直方向加速度非恒定，故B错误； C．螺旋运动包含向心加速度（改变速度方向）和切向加速度（改变速度大小），合加速度方向不断变化，故C错误； D．曲线运动中，合力方向指向轨迹凹侧（提供向心力），与速度方向不共线，故D错误。 故选A。 【变式训练1-7】在珠海航展上，我国自主研制的“威龙”J-20高性能五代歼击机在空中表演时做了连续的开普勒抛物线飞行，飞机从左向右运动的飞行轨迹如图所示，图中各点瞬时速度与飞机所受合力的方向可能正确的（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【答案】B 【详解】当物体的速度的方向和合力方向不在一条直线上时，物体做曲线运动，因此d点不符合，物体做曲线运动时，速度为某点的切线方向，是正确的速度方向，曲线运动的运动轨迹弯向受力的一侧，只有点的速度方向和所受合力方向符合实际情况。 故选B。 【变式训练1-8】“玉兔二号”是我国自主设计制造并成功登陆月球的第二辆无人探测车，图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，巡视器质量为130kg，则巡视器（　　） A．受到月球的引力为1300N B．在AB段运动时加速度可能为0 C．OA段与AB段的位移相同 D．从O到B的路程等于OAB轨迹长度 【答案】D 【详解】A．在月球上的g与地球不同，故质量为130kg的巡视器受到月球的引力不是1300N，故A错误； B．由于在AB段运动时做曲线运动，速度方向一定改变，一定有加速度，故B错误； C．由图可知OA段与AB段位移方向不同，故C错误； D．根据路程的定义可知，从O到B的路程等于OAB轨迹长度，故D正确。 故选D。 【变式训练1-9】将一条长为L的纸带扭转180°后连接两端就构成了一个莫比乌斯环，不考虑连接纸带时的长度损失。一只蚂蚁以恒定的速率v从纸带上标记点P沿纸带中线向前爬行，当其再一次来到P点的过程中，蚂蚁的（　　） A．平均速度为零 B．运动时间为 C．加速度始终为零 D．重力的瞬时功率不变 【答案】A 【详解】A．平均速度是位移与所用时间的比值，蚂蚁的位移为零，故平均速度为零，故A正确； B．运动时间应为，故B错误； C．蚂蚁做曲线运动，加速度不为零，故C错误； D．蚂蚁竖直方向的速度有变化，故重力的瞬时功率变化，故D错误。 故选A。 题型02：曲线运动的动力学解释 【典型例题1】如图所示，某运动员主罚任意球时，踢出快速旋转的“落叶球”，则“落叶球”（  ）    A．在空中的运动轨迹是对称的 B．运动到最高点时速度为零 C．相比正常轨迹的球，下落更快 D．在最高点时加速度方向一定竖直向下 【答案】C 【详解】A．落叶球被踢出后还在快速旋转，在空气作用力的影响下，轨迹不对称，故A错误； B．落叶球运动到最高点时，速度方向沿轨迹切线方向，速度不为零，故B错误； C．落叶球下落更快是因为在运动过程中还受到了指向曲线轨迹内侧的空气作用力，故C正确； D．落叶球在最高点时还受到空气作用力，因此加速度方向一定不是竖直向下，故D错误。 故选C。 【典型例题2】（多选）足球比赛中，运动员发任意球时，踢出的足球有时会在行进中绕过“人墙”转弯进入球门（如图甲），这就是所谓的“香蕉球”。踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时，足球向前运动的同时还在绕轴自转（如图乙所示）；自上向下观察（如图丙所示）由于足球的自转使贴着足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动，导致足球、两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，使得足球发生偏转。则（　　） A．甲图中足球受到空气压力向左 B．甲图中足球受到空气压力向右 C．空气流速大的一侧压力大 D．空气流速小的一侧压力大 【答案】BD 【详解】AB.甲图中足球受到空气的压力，而绕过“人墙”转弯进入球门，根据曲线运动的特点，可知足球受到的空气压力指向运动轨迹的凹侧，根据甲图中足球的运动轨迹可判断，足球受到的空气压力向右。A错误，B正确； CD.踢出“香蕉球”是因为足球两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，压力较大的一侧会推动足球向压力较小的一侧偏转。从丙图可知，压力差指向空气流速快的一侧，即空气流速大的一侧压力小，空气流速小的一侧压力大。C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练2-1】一列车沿直线向右匀加速运动的过程中，列车车厢顶部落下一个小物块，不计空气阻力，则物块相对车厢的轨迹a和相对地面的轨迹b均可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物块从车厢顶部落下后，在水平方向上，由于不计空气阻力，它不受任何水平力作用。根据牛顿第一定律（惯性定律），物块将保持脱离车厢瞬间的水平速度做匀速直线运动。在竖直方向上，物块只受重力作用，做自由落体运动。因此，物块相对地面的运动是平抛运动，其轨迹是一条抛物线。 以车厢为参考系，在物块下落的过程中，车厢在水平方向上向右做匀加速直线运动，而物块在水平方向上做匀速直线运动。因此，物块在水平方向上相对于车厢向左做初速度为零的匀加速直线运动（加速度大小等于车厢的加速度，方向向左）。在竖直方向上，物块相对于车厢做自由落体运动。 物块相对于车厢的运动，可以看作是水平方向向左的匀加速直线运动和竖直方向向下的匀加速直线运动（自由落体）的合运动。由于这两个分运动都是从静止开始的，根据运动的合成，其合运动的轨迹是一条过起点的直线，方向指向左下方。 故选B。 【变式训练2-2】某自动流水线装置可以使货物在水平传送带上运动方向转过，其示意图如图所示。货物与传送带间不发生相对滑动，则（　　） A．以地面为参考系，货物是静止的 B．转弯过程中，货物始终处于平衡状态 C．转弯过程中，货物的惯性发生变化 D．研究货物的运动轨迹时，可以将其视为质点 【答案】D 【详解】A．以地面为参考系，货物是运动的，故A错误； B．转弯过程中，货物运动方向发生改变，不处于平衡状态，故B错误； C．转弯过程中，货物的质量不变，惯性不变，故C错误； D．研究货物的运动轨迹时，货物的大小，形状没有影响，可以将货物视为质点，故D正确。 故选D。 【变式训练2-3】如图所示，乒乓球从斜面滚下后，以某一速度在水平的桌面上做直线运动。在与乒乓球路径垂直的方向上放一个直径略大于乒乓球的纸筒。当乒乓球经过纸筒正前方时，用吸管对着球横向吹气。下列说法正确的是（　　） A．乒乓球仍沿着直线运动 B．乒乓球将偏离原来的运动路径，但不进入纸筒 C．乒乓球一定能进入纸筒 D．只有用力吹气，乒乓球才能进入纸筒 【答案】B 【详解】当乒乓球经过纸筒口时，对着乒乓球横向吹气，乒乓球所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上，乒乓球做曲线运动，故乒乓球会偏离原有的运动路径；而乒乓球会获得一个横向的速度，此速度与乒乓球原有的速度合成一个斜向左下方的合速度，因此乒乓球将向左下方运动但不进入纸筒；故ACD错误，B正确。 故选B。 【变式训练2-4】我国首台国产深海微生物原位采样自主水下航行器（MSAUV），实现了深海微生物的原位采样、保存和分析。如图所示是航行器某次水下采样的运动轨迹，已知A到B的轨迹长度为3km，直线距离为1.2km，BC段轨迹为曲线，完成整个过程所用时间为0.3h，则（　　） A．航行器在D点处的加速度为零 B．航行器经过C点的速度与经过D点的速度可能相同 C．整个过程，航行器的平均速率约为1.1m/s D．整个过程，航行器的平均速度大小约为1.1m/s 【答案】D 【详解】A．BC段轨迹为曲线，则该过程速度发生了变化，即速度的变化量不等于0，根据加速度的定义可知，航行器在D点处的加速度不为零，故A错误； B．曲线运动的速度方向沿轨迹切线方向，根据图示可知，航行器经过C点与经过D点的速度方向不相同，即速度不相同，故B错误； C．整个过程，航行器的平均速率，故C错误； D．整个过程，航行器的平均速度大小，故D正确。 故选D。 【变式训练2-5】为使汽车快速平稳转弯，驾驶员经常采用“入弯减速，出弯加速”的技巧。汽车采用该技巧在单向路面水平弯道入、出弯道时，其所受水平合力为、速率为。则下列方向关系图中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】速度沿轨迹的切线方向，“减速入弯”时力和速度的夹角是钝角，“加速出弯”时力和速度的夹角是锐角，故C正确，ABD错误。 故选C。 【变式训练2-6】一个带正电的试探电荷在一负点电荷产生的电场中运动的轨迹如图中实线所示，已知试探电荷只受电场力作用，且在M点加速度比在N点加速度大，则负点电荷可能位于（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【答案】C 【详解】AB．由于试探电荷带正电，场源电荷带负电，因此试探电荷与场源电荷间的电场力为引力，又由于试探电荷受到的电场力指向轨迹凹的一侧，因此场源电荷不可能位于a、b点，AB错误； CD．由于试探电荷在M点加速度比在N点加速度大，说明试探电荷在M点距离负点电荷近，因此场源电荷可能位于c点，C正确，D错误。 故选C。 【变式训练2-7】如图所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右点。不计重力，下列表述正确的是（ C ） A．粒子在M点的速率最大 B．粒子所受电场力沿电场方向 C．粒子在电场中的加速度不变 D．粒子在电场中的电势能始终在增加 解析：根据做曲线运动物体的受力特点合力指向轨迹的凹一侧,再结合电场力的特点可知粒子带负电，即受到的电场力方向与电场线方向相反，B错；从N到M电场力做负功，减速，电势能在增加，当达到M点后电场力做正功加速电势能在减小则在M点的速度最小A错，D错；在整个过程中只受电场力，根据牛顿第二定律加速度不变。 题型03：合运动与分运动的关系 【典型例题1】（多选）图甲为一种常见的3D打印机的实物图，打印喷头做x轴、y轴和z轴方向的运动，时，打印喷头从打印平台的中心开始运动，在x轴方向的位移-时间图像和y轴方向的速度-时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A. 末喷头的速度大小为 B. 喷头运动轨迹可能是图丁中的轨迹P C. 末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为 D. 末喷头离打印平台中心的距离为 【答案】BCD 【解析】由图乙可知，在x轴方向做匀速直线运动，速度大小为 由图丙可知，在y轴方向做匀加速直线运动，加速度大小为 末喷头在y轴的分速度大小为 末喷头的速度大小为 故A错误；由以上分析可知，喷头在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀加速直线运动，所以合力沿y轴方向，所以轨迹可能为P，故B正确；末喷头沿y轴方向的分速度大小为 设末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为，则 解得 故C正确；末喷头沿x轴的位移大小为 在y轴方向的位移大小为 所以，末喷头离打印平台中心的距离为，故D正确。 【典型例题2】深圳大疆公司是全球知名的无人机生产商，生产的无人机在各行各业中得到了广泛应用。一测试员应用无人机搭载的加速度传感器进行飞行测试。图甲是在测试软件中设定的x、y、z轴的正方向，其中z轴沿竖直方向，无人机开始时沿y轴正方向匀速飞行，从t=0时刻开始测试员进行变速操作，软件生成了x、y、z轴方向的（加速度－时间）图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．0~1s无人机处于失重状态 B．0~1s沿x轴方向无人机做减速动 C．1s~2s沿y轴方向无人机做加速动 D．1s~2s沿z轴方向无人机做加速动 【答案】D 【详解】A．由图可知，0~1s无人机沿z轴方向的加速度为零，即无人机在沿z轴方向受力平衡，故A错误； B．由图可知，0~1s无人机有沿x轴负方向的加速度，沿x轴方向的初速度为零，所以无人机沿x轴负方向做加速运动，故B错误； C．无人机开始时沿y轴正方向匀速飞行，由图可知，0~2s无人机有沿y轴负方向加速度，所以无人机沿y轴正方向先做减速运动，由于不确定0~1s无人机沿y轴正方向是否减小到零，所以1s~2s沿y轴正方向无人机可能做减速运动、先沿y轴正方向减速后反向加速或者y轴负方向加速运动，故C错误； D．由图可知，0~1s无人机沿z轴方向的加速度为零，初速度为零，所以0~1s无人机沿z轴方向的速度一直为零；由图可知，1s~2s无人机有沿z轴负方向的加速度，所以无人机沿z轴负方向做加速运动，故D正确。 故选D。 【变式训练3-1】（多选）某实验小组做了一个有趣的实验，在沿水平直线行驶的汽车内部顶上固定一个水罐，水罐底部有小孔源源不断向车内漏水。忽略空气阻力，如果汽车在做匀变速直线运动，则关于车上的人观测到空中水的排列，下图中哪些可能正确（　　）（曲线为抛物线） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】如果汽车做匀加速直线运动，由图可知，水罐也向右匀加速， 以水罐为参考系，水滴t秒末的竖直位移为 水滴t秒末的水平位移为 落下的水滴相对于水罐斜向左下方做匀加速直线运动，故A图正确； 如果汽车做匀减速直线运动，由图可知，水罐也向右做匀减速直线运动，水滴离开水罐以后相对于地面在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，以水罐为参考系，水滴t秒末的竖直位移为 水滴t秒末的水平位移为 所以以水罐为参考系，水滴的排列应该是匀加速直线运动，图B正确。 故选AB。 【变式训练3-2】2025年元宵节晚上，闽江延平段进行无人机表演，给节日氛围增添了几许惊艳。某参演的无人机在x、y方向的，图像如图（a）（b）所示。则在时间内，该无人机运动的轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】0-内，无人机具有沿轴正方向的速度，加速度沿x轴正方向，则合外力沿轴正方向，则轨迹向轴正方向偏，时间内，x轴方向加速度为0，图像的斜率表示加速度，即加速度沿y轴正方向，则合外力沿轴正方向，则轨迹向轴正方向偏，可知，只有第一个选择项满足要求。 故选A。 【变式训练3-3】达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间内水平方向增加量，竖直方向做在自由落体运动，在时间增加；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的倾角就是一定的。 故选D。 【变式训练3-4】跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中，一位极限运动员从飞机上由静止跳下后，下列说法中正确的是（    ） A．风力越大，运动员下落时间越长 B．运动员下落时间与风力无关 C．风力越大，运动员落地时的竖直速度越大 D．运动员落地速度与风力无关 【答案】B 【详解】ABC．运动员同时参与了竖直和水平两个方向的分运动，两个分运动同时发生，相互独立，则水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，根据得 落地时竖直速度也不变，为 AC错误，B正确； D．水平风力越大，水平方向的加速度越大，对应落地时水平速度也大，则落地的合速度越大， D错误。 故选B。 题型04：两互成角度运动合运动性质的判断 【典型例题1】如图甲为我国研制的爆轰驱动超高速高焓激波风洞，其各项性能指标均处于领先地位。假设某风洞能够产生水平方向的恒定风力，在竖直平面内建立如图乙所示直角坐标系。从轴上点以某一速度抛出一小球，一段时间后小球到达轴上点，已知小球在点时速度方向与水平方向的夹角为，在点速度方向与水平方向的夹角为间的距离为，则运动过程中小球的最小速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于小球在水平和竖直方向上受力均恒定，则小球在水平和竖直方向上均做匀变速直线运动，小球在点和点竖直方向上的速度大小相等，设小球在点竖直方向的速度大小为，由直线运动规律可知从到小球运动的时间为 设小球在水平方向上的加速度为，则在水平方向上有， 联立解得 小球合加速度如图1所示，则小球所受合力方向与轴方向夹角为，斜向右下方，小球的初速度大小为。当小球沿合力方向的速度为零时，小球的速度最小，如图2所示，此时小球的速度大小为垂直合力方向的速度大小，即 故选A。 【典型例题2】如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与抛出点间的水平距离为2 h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，竖直方向有 有风时竖直方向运动情况不变，落到与抛出点等高的位置所用时间 水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，有 联立解得，故选C。 【变式训练4-1】如图，物块以某一初速度滑上足够长固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为，加速度为大小，斜面倾角为，物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，A、B项错误；物块在竖直方向上做匀减速直线运动，速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故C项正确，D项错误。 【变式训练4-2】如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度在光滑水平桌面上沿直线匀速运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上有一个洞，当球经过洞口正前方时，对球沿三个不同的方向吹气，下列说法正确的是（　　） A．沿方向1吹气，乒乓球可能进入洞内 B．沿方向2吹气，乒乓球可能进入洞内 C．沿方向3吹气，乒乓球可能进入洞内 D．沿三个方向吹气，乒乓球均不可能进入洞内 【答案】C 【详解】分别沿方向1、方向2、方向3吹气，对乒乓球的速度分析 吹气时乒乓球在原有速度的基础上分别增加速度、、，只有沿方向3吹气时，合运动方向才可能指向洞口，乒乓球才可能进入洞内。 故选C。 【变式训练4-3】空中一热气球在风力作用下运动，沿水平方向（x轴）、竖直方向（y轴）运动的分运动vx−x、vy−y图像如图所示，则关于热气球的运动和受力说法正确的是（　　） A．合运动为匀变速直线运动 B．合运动为变加速曲线运动 C．所受的合力为恒力 D．所受合力一直减小 【答案】B 【详解】由图像可知，热气球竖直方向做匀速直线运动，水平方向做加速直线运动，由图可知，相等的位移速度增加量相等，平均速度增大，所用的时间减少，根据，所以加速度增大。根据牛顿第二定律可知，热气球受到的合力一直增大，与合速度方向不在同一直线上，做变加速曲线运动。 故选B。 【变式训练4-4】一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度及竖直向上的速度，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是（    ） A．演员在时刻处于超重状态 B．演员在这段时间内沿直线飞行 C．演员在时刻上升至最高点 D．演员在时间内做匀变速曲线运动 【答案】D 【详解】A．演员在时刻竖直向上的速度减小，则加速度向下，处于失重状态，选项A错误； B．演员在这段时间内水平方向做匀加速运动；竖直方向做匀减速运动，则合初速度和合加速度一定不共线，则合运动为曲线运动，选项B错误； C．演员在时间内的竖直速度一直不为零，可知时刻还没有上升至最高点，选项C错误； D．演员在时间水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀速运动，可知合运动为匀变速曲线运动，即演员做匀变速曲线运动，选项D正确。 故选D。 【变式训练4-5】如图所示，在一次直升机营救演练中，某段时间内直升机用吊绳拉着被营救人员在水平方向做匀速直线运动，同时吊绳穿引被营救人员沿竖直方向做匀加速运动，不计空气阻力，此过程中，下列说法正确的是（　　） A．被营救人员所受的合外力竖直向上 B．被营救人员所受的合外力斜向上 C．相对地面，被营救人员的速度大小随时间均匀增大 D．相对地面，被营救人员的运动轨迹为斜向上的直线 【答案】A 【详解】AB．被营救人员水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速运动，加速度沿竖直方向，因此合外力竖直向上，故A正确，B错误； C．被营救人员竖直方向的速度随时间均匀增大，水平方向速度不变，因此合速度大小随时间不是均匀变化的，故C错误； D．被营救人员合外力与速度不在一条直线上，因此运动轨迹为曲线，故D错误。 故选A。 题型05：小船过河模型 【典型例题1】如图所示，两平行河岸的间距为d，水稳定沿着河岸流动，一条小船从河岸渡到河对岸，船在静水中的速度（为已知量）指向河的上游与河岸的夹角为37°，船速（即合速度）（为未知量）指向河的下游与河岸的夹角也为37°，水流的速度（为未知量），，，下列说法正确的是（   ） A．船速 B．水速 C．小船被冲向下游的距离为 D．小船渡河的时间为 【答案】B 【详解】B．、、构成的矢量三角形如图所示 由几何关系可得， 解得，A错误，B正确； C．由几何关系可得小船被冲向下游的距离，C错误； D．小船渡河的位移s与同向，与河岸的夹角为37°，河宽为d，由几何关系可得 小船渡河的时间，D错误。 故选B。 【典型例题2】解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为d的小河。现有甲、乙两个战斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ角，两船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A点，则（    ） A．甲船渡河时间为 B．乙船比甲船更早到达对岸 C．靠岸时两船间距增大了 D．如果河水流速增大，甲船不改变船头方向也能到达A点 【答案】C 【详解】AB．将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，可知甲、乙两船到达对岸的时间均为 故两船同时到达对岸，故AB错误； C．靠岸时两船间距增大了 故C正确； D．水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A点，则 故如果河水流速增大，要使甲船到达A点，小船船头与河岸夹角应减小，故D错误。 故选C。 【变式训练5-1】一条两岸平直的宽为d的小河如图所示，河水流速恒定。一人驾驶小船从上游渡口A前往下游渡口B。已知全程船在静水中的速度大小恒定，船在静水中的速度大小与河水流速大小之比为，行驶中船头始终垂直河岸，则A、B两渡口沿河岸方向的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设船在静水中速度为、河水流速为，船头垂直河岸，小船实际行驶方向与河岸之间夹角为，则 、两渡口沿河岸方向的距离为 故B正确。 故选B。 【变式训练5-2】游泳是人们很喜爱的运动之一。如图，某游泳运动员在河中的点发现正下游处有一半径为的旋涡，当时水流速度为点与点的距离，该运动员为了能避开旋涡沿直线到达安全地带，其在静水中的速度至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】水流速度是定值，只要保证合速度方向指向漩涡危险区切线方向即可，如图所示 为了能避开漩涡沿直线到达安全地带，运动员在静水中的速度至少是 故选B。 【变式训练5-3】如图，一艘小船船头始终垂直于河岸，从岸边向对岸航行。已知船在静水中的速度大小，水流速度大小，河的宽度，下列说法正确的是（　　） A．小船过河的时间为15s B．小船过河的时间为20s C．小船能垂直到达河的正对岸 D．小船不能垂直到达河的正对岸 【答案】AD 【详解】AB．小船船头始终垂直于河岸，则过河时间，故A正确，B错误； CD．由于小船船头始终垂直于河岸，根据速度合成可知，合速度方向斜向右上方，即小船不能垂直到达河的正对岸，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练5-4】现代宇航服自带推力系统，航天员进行太空出舱活动离开飞船，即使没有安全绳，也能通过宇航服的自带推力系统喷射气体获得的反冲速度，使宇航员回到飞船。如图所示，某宇航员通过宇航服的推力系统以的初速度平行于舱壁匀速运动。舱门在舱壁上A点，初速度方向上B点与离A点最近，A、B两点间距离。宇航员在平行舱壁匀速运动到某位置再通过宇航服的推力系统获得大小为u的反冲速度后，运动位移x回到舱门A点。将宇航员视为质点。下列说法正确的是（　　） A．宇航员在B点向下喷气，能到达A点 B．宇航员最快能1s回到舱门 C．当反冲速度大小时，x的最小值为5m D．当反冲速度大小时，x的最小值为10m 【答案】D 【详解】A．由分析可知宇航员在B点向下喷气获得向上的分速度，因为同时还有平行于舱壁的速度，故合速度方向不沿BA方向，所以不能到达A点，故A错误； B．回到舱门的时间由垂直舱壁方向的运动决定，设反冲速度方向与初速度方向夹角为，所以回到舱门的时间为 所以当，时，宇航员回到舱门时间最短，最短时间为，故B错误； C．当时，由于，此时宇航员无法垂直舱壁运动到达舱门A点，所以位移最小值应大于，即x的最小值应大于5m，故C错误； D．当时，由分析可知当与垂直时，位移有最小值。设反冲速度方向与初速度方向夹角为，如图所示 根据三角函数关系有 所以位移的最小值为，故D正确。 故选D。 【变式训练5-5】一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短 B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大 C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大 D．图甲和图乙中小船均做曲线运动 【答案】A 【详解】A．由于图甲中比图乙中小船在垂直于河岸方向的分速度较大，所以图甲中比图乙中小船渡河的时间短，选项A正确； BC．根据运动的合成法则，图甲中比图乙中小船渡河的合速度小，因甲图中合速度与河岸的夹角较大，则合位移也小，选项B、C错误； D．图甲和图乙中小船两个方向的分运动都是匀速运动，可知合运动是匀速运动，即两船均做匀速直线运动，选项D错误。 故选A。 【变式训练5-6】法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出光线传播的路径是所需时间最少的路径，即费马原理，光的折射即遵从这一原理实际生活中的下述现象也可类比折射定律来理解。如图所示，地面上陶陶在距笔直的河岸10m处的A点，发现落水的琪琪位于水面上距河岸50m处的B点。陶陶在地面上奔跑的速度大小为，在水中游泳的速度大小为，奔跑、游泳均视为匀速直线运动。可知此次营救中，陶陶在陆地的速度与河岸夹角30°，在水中的速度与河岸夹角60°将最省时。由题中信息和所学物理知识可知（　　） A．陶陶在水中游泳的速度大小为 B．陶陶在水中游泳的速度大小为 C．陶陶到达琪琪处的最短时间为12s D．陶陶到达琪琪处的最短时间约为16s 【答案】A 【详解】AB．设陶陶在陆地的速度为v1​，与河岸夹角为；在水中的速度为，与河岸夹角为 ，将陶陶的运动分解为沿河岸方向和垂直河岸方向，在陆地时，垂直河岸方向分速度v1y​v1​sinα 在水中时，垂直河岸方向分速度v2y​v2​sinβ 因为要保证最省时，也就是整个运动过程中垂直河岸方向要以最大的有效速度去通过相应的距离，所以各段垂直河岸方向的分速度应该相等，即v1​sinαv2​sinβ 解得 故A正确，B错误。 CD．首先计算垂直河岸方向需要通过的总距离，在陆地上距离河岸10m，在水中距离河岸50m，所以垂直河岸方向总的距离d10+5060m 而垂直河岸方向的分速度vy​v1​sinα2.5m/s（前面已分析各段垂直河岸方向分速度相等）。 则最短时间 故CD 错误。 故选A。 【变式训练5-7】如图所示，消防员正在宽度为d=100m，河水流速为 的河流中进行水上救援演练，可视为质点的冲锋舟距离下游危险区的距离为x=75m，其在静水中的速度为v2，则（　　） A．若冲锋舟以在静水中的初速度为零，船头垂直于岸的加速度为a=0.9m/s²匀加速冲向对岸，则能安全到达对岸 B．为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中的速度v2不得小于3m/s C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度 匀速航行，则恰能到达正对岸 D．冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t=25s 【答案】A 【详解】A．冲锋舟的运动分解为沿船头与沿水流两个方向，有 解得 沿水流方向的位移为 能安全到达对岸。故A正确； BD．冲锋舟沿OP方向匀速航行恰能安全到达对岸，如图所示 设冲锋舟的合速度与水流速度夹角为，则冲锋舟在静水中的速度至少应为 由几何知识，可得 联立，解得 由图可知 冲锋舟以最小速度匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间为 故BD错误； C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度 匀速航行，则有 可知冲锋舟的合速度不指向正对岸，所以不能到达正对岸。故C错误。 故选A。 【变式训练5-8】小王和小张学习运动的合成与分解后，在一条小河中进行实验验证。两人从一侧河岸的同一地点各自以大小恒定的速度向河对岸游去，小王以最短时间渡河，小张以最短距离渡河，结果两人抵达对岸的地点恰好相同，若小王和小张渡河所用时间的比值为1：2，则小王和小张在静水中游泳的速度的比值为（　　） A．1：2 B． C． D．2：1 【答案】B 【详解】设小王和小张在静水中游泳的速度分别为，水流速度为，设河宽为d，小王以最短时间渡河，则小王渡河最短时间 小张以最短距离渡河，且两人抵达对岸的地点恰好相同，可知此时小张渡河的合速度与垂直，设合速度方向与河岸方向成角，则小张渡河时间 题意知 联立解得 设小王到河对岸时沿河岸的位移为 设小张到河对岸时沿河岸的位移为 因为， 联立整理得 联立以上可得 故选B。 【变式训练5-9】如图甲，某同学需要通过小木筏渡过一条河，已知小木筏在静水中的速度大小为。受地形等因素影响，不同位置河水流速会有变化。出发点A下游某位置的水流速度与该位置到A点的沿河距离关系如图乙所示，已知小木筏前端始终垂直河岸，最终到达对岸偏离正对面的B处，则以下说法正确的是（　　） A．小木筏在河水中的轨迹是直线 B．河的宽度为 C．若水流速度恒为，小木筏过河时间将变短 D．若水流速度恒为，小木筏可调节前端指向使轨迹垂直河岸渡河 【答案】B 【详解】A．由题图乙可知，小木筏在沿水流方向上做变减速运动，垂直河岸方向上做匀速直线运动，合外力与合速度不共线，轨迹一定为曲线，故A错误； B．设在沿河方向运动极短距离耗时，根据瞬时速度定义，则有 渡河总时间 河宽 故B正确； C．过河时间取决于河宽和小木筏垂直河岸的分速度，由题可知小木筏前端始终垂直，则小木筏垂直河岸的分速度始终为，小木筏过河时间不受水流速度影响，故C错误； D．当水流速度恒为时，无论如何调节小木筏前端指向，水速和木筏速度都无法合成垂直河岸的速度，故此时无法使轨迹垂直河岸渡河，故D错误。 故选B。 【变式训练5-10】在体育场的水平地板上建立平面直角坐标系，一辆电动玩具小车在地板上运动，坐标原点为时刻小车的位置坐标，如图（a）所示，其沿轴正方向的速度随时间变化规律如图（b）所示，沿轴正方向的位移随时间的变化规律如图（c）所示（图线为抛物线的一部分，坐标原点为抛物线的顶点），则（　　） A．小车的加速度大小为 B．时刻小车的速度大小为 C．时刻小车的位移大小为 D．时刻小车的位置坐标为（32m，24m） 【答案】D 【详解】A．由图可知，小车沿轴正方向的运动为初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小 沿轴正方向的运动也为初速度为零的匀加速直线运动，根据 加速度大小为 所以小车的实际加速度大小为 方向与轴正方向成37°角，A项错误； B．由可知，时刻小车的速度大小为 B项错误； C．由运动学公式可得时刻小车的位移大小为 C项错误； D．同理可知时刻小车的位移大小为 即时刻小车的位置坐标为，D项正确。 故选D。 【变式训练5-11】下落的雨滴由于受水平风力的影响往往会倾斜匀速下落，假设有一段和风向平行的公路，小明坐在顺风行驶的汽车里，他通过侧面车窗观察到雨滴形成的雨线大约偏向后方30°，如图1所示。小红坐在逆风行驶的汽车里（两车的速率相同），她通过侧面车窗观察到雨滴形成的雨线大约偏向后方60°，如图2所示。则车速与雨滴的水平速度之比约为（　　） A．1:2 B．2:1 C．3:1 D．3:1 【答案】B 【详解】设车速为，风速为，雨滴的竖直速度为，根据题意可知，雨滴的水平速度也为，根据运动的合成与分解有 解得 故选B。 【变式训练5-12】（多选）如图所示，河宽为d，河水的流速恒定、船在静水中的速度的大小不变，船从河岸的A点沿虚线轨迹运动，匀速到达河对岸的B点，、与虚线的夹角分别为、，下列说法正确的是（　　） A．船的实际运行速度为 B．船的实际运行速度 C．渡河时间与河水的流速有关 D．当时，渡河的时间为 【答案】AD 【详解】AB．、的合速度即船的实际运行速度为 ，沿虚线所在的方向，把、分别沿着虚线和垂直于虚线所在的方向正交分解，则有 船的实际运行速度 所以A正确；B错误； C．渡河的时间 由、、、d几个量共同决定的，与无关，所以C错误； D．当，渡河时间为 所以D正确； 故选AD。 题型06： 绳(杆)端的关联速度问题 （1） 绳端关联速度的分解问题 【典型例题1】如图所示，通过光滑的定滑轮拉着小船靠岸，拉绳的速度恒为，开始时拴接小船的绳与水平方向的夹角，经时间绳与水平方向的夹角为，已知滑轮与小船上沿的高度差为，不计定滑轮大小，，。则下列说法正确的是（　　） A．小船做匀速运动 B． C．时小船的速度大小为 D．时小船的速度大小为 【答案】C 【详解】A．将船速分解为沿绳方向和垂直绳方向，则 为绳和水平方向夹角，随着角度变大，船速变大，故A错误； B．根据几何关系，故B错误； C．时小船的速度大小为，故C正确； D．时小船的速度大小为，故D错误。 故选C。 【典型例题2】（多选）如图所示，足够长的直角支架固定在竖直平面内，其中细杆粗糙，沿水平方向，细杆光滑，沿竖直方向。质量分别为m和的小圆环P和Q分别套在两个细杆上，两个小圆环用轻绳拴接。初始时，圆环P被锁定，绷紧的轻绳与水平方向的夹角为，圆环P与细杆间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，，，则下列说法正确的是（　　） A．初始时，轻绳上的拉力大小为5mg B．解除P锁定后瞬间，轻绳上的拉力大小为 C．解除P锁定后瞬间，圆环P的加速度大小为 D．解除P锁定后瞬间，圆环Q的加速度大小为 【答案】ABD 【详解】A．初始时以Q为研究对象，根据受力平衡可得 故A正确； BCD．设解除锁定瞬间绳子拉力为T′，以Q为研究对象，根据牛顿第二定律可得 以P为研究对象，根据牛顿第二定律可得，， 两球沿绳子方向的加速度相等，则 联立解得，， 故BD正确，C错误。 故选ABD。 【变式训练6-1-1】如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为。则（　　） A．若A做匀速运动，则B也做匀速运动 B．若B做匀速运动，则A做加速运动 C．若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为时，拉力F有最小值 D．若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为时，拉力F一直在增大 【答案】D 【详解】AB．对AB两滑块速度关系如图所示 由几何关系有 若A做匀速运动，逐渐减小，逐渐增大，则B的速度逐渐增大；若B做匀速运动，逐渐减小，逐渐增大，则A的速度逐渐减小，故AB错误； CD ．对滑块B有 对滑块A有进行受力分析如图所示 由于滑块A从图示（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至过程中 可知 则在竖直方向上有 则在水平方向有 联立解得 假设， 解得 则可求得 滑块A从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，减小，可知F逐渐增大，当时 解得拉力F有最大值 故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练6-1-2】质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。已知重力加速度为g。当小车和滑轮间的细绳与水平方向成θ2夹角时（如图所示），下列判断正确的是（ ） A．P的速率为vcosθ1 B．P的速率为vsinθ2 C．运动过程中P处于超重状态 D．绳的拉力始终等于mgsinθ1 【答案】C 【详解】AB．将小车的速度沿细绳和垂直细绳方向分解，可知当小车和滑轮间的细绳与水平方向成夹角时，沿细绳方向分速度为，由于细绳不可伸长，P的速率等于小车速度沿绳方向分速度的大小，则有 故AB错误； CD．小车向右匀速运动过程，P的速率表达式为 由于不变，小车和滑轮间的细绳与水平方向的夹角逐渐减小，则P的速度变大，P沿斜面向上做加速运动，P的加速度方向沿斜面向上，由牛顿第二定律得 可知绳的拉力大于，P在竖直方向上有向上的加速度分量，处于超重状态，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练6-1-3】在水平面上有A、B两物体，通过一根跨过定滑轮的轻绳相连，现A物体以的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面的夹角分别为α、β时（如图所示），B物体的运动速度为（绳始终有拉力）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、B两物体通过轻绳相连，沿绳方向速度大小相等，有 解得B物体的运动速度 故选D。 【变式训练6-1-4】如图所示，左侧为一个固定在水平桌面上的半径为的半球形碗，碗口直径AB水平，点为球心，右侧是一个足够长固定斜面，一根不可伸长的轻质细绳跨过碗口及定滑轮，两端分别系有可视为质点的小球和，且。开始时恰在A点，在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直，C点在圆心的正下方，不计一切阻力及摩擦。当由静止释放开始运动，则下列说法中正确的是（　　） A．在从A点运动到C点的过程中，的机械能先增大后减小 B．沿斜面上滑过程中，地面对斜面的支持力始终保持恒定 C．当运动到C点时，的速率是速率的倍 D．若运动到C点时细绳突然断开，在细绳断开后，能沿碗面上升到B点 【答案】B 【详解】A．在从A点运动到C点的过程中，由于绳子拉力一直对做负功，所以的机械能一直减小，故A错误； B．沿斜面上滑过程中，设斜面倾角为，则斜面对的支持力大小 以斜面为对象，竖直方向根据平衡条件可得 可知地面对斜面的支持力始终保持恒定，故B正确； C．当运动到C点时，根据几何关系可知，连接的绳子与竖直方向的夹角，根据速度关联可知，速度沿绳子方向的分速度等于的速度，则有 可得 可知的速率是速率的倍，故C错误； D．从A点到C点过程，由于的机械能减小，则有 若运动到C点时细绳突然断开，在细绳断开后，设能沿碗面上升的高度为，则有 联立可得 可知不能沿碗面上升到B点，故D错误。 故选B。 【变式训练6-1-5】如图所示，竖直面内一定滑轮固定在A点，轻绳绕过定滑轮后右端固定于B点，轻绳左端连接质量为M的物体甲，把一个质量为m的物体乙系在轻绳的结点C上，用手托至BC段轻绳水平静止。现放手使乙运动，运动过程中BC与水平方向的夹角用α表示。已知乙到达最低点时两段轻绳的夹角为90°且（如虚线所示），滑轮视为质点，重力加速度为g，不计一切摩擦，则下列说法正确的是（　　） A．物体乙向下运动的过程中，物体甲先失重后超重 B．物体乙向下运动的过程中，甲和乙的速度关系为 C．物体乙到达最低点时BC段轻绳拉力为 D．物体乙到达最低点时AC段轻绳的拉力为 【答案】D 【详解】A．由于物体乙的运动情况是速度由零加速后再减速为零，故物体甲同样向上运动先加速后减速，即物体甲先超重后失重，故A错误； B．甲、乙两物体沿轻绳方向的速度相同，将物体乙的速度正交分解，根据已知可得物体乙做圆周运动，如图1所示 但是分解后没有已知角度，故无法求出甲和乙两个物体的速度关系，故B错误； CD．当物体乙运动到最低点时，甲、乙两个物体的速度均为零，BC段轻绳的拉力等于物体乙重力沿BC方向的分力，沿AC方向，甲、乙两物体的加速度相同，力的分解情况如图2所示 BC段轻绳的拉力等于，设AC的拉力为则 甲物体只受重力和竖直向上的拉力，则 解得，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练6-1-6】如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【详解】设两边绳与竖直方向的夹角为，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为，将沿绳方向和垂直绳方向分解，将沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得 解得 由于塔块匀速下落时在减小，故可知v一直增大。 故选B。 【变式训练6-1-7】如图所示，光滑的细杆固定放置，与水平方向的夹角为，质量为的小球与质量为的物块通过轻质细线连接，细线跨过天花板上的两个轻质定滑轮。小球套在细杆上从某处由静止开始上滑，细线一直处于伸直状态，当小球运动到A点时，速度沿着杆斜向上大小为，细线与细杆之间的夹角为，当小球运动到B点时，细线与细杆垂直。已知A、B两点之间的距离为，重力加速度为，，，下列说法正确的是（　　） A．当小球在A点时，物块的速度大小为 B．小球从A点运动到B点，系统总重力势能的减小量为 C．当小球运动到B点时，小球速率最大 D．小球从A点运动到B点，细线对小球做的功为 【答案】D 【详解】A．设当小球在A点时，物块的速度大小为，把小球在A点时的速度分解，如图所示，得，A错误； B．小球从A点运动到B点，物块下落的高度 则物块重力势能的减小量 小球上升的高度，则小球重力势能的增加量 综上可知系统总重力势能的减小量，B错误； C．小球上升过程中，当时速度最大，此时受力如图所示，小球不在B点，C错误； D．设小球运动到B点时的速度为，此时小球速度沿细线的分速度为0，即此时物块的速度为0，对小球和物块组成的系统，由机械能守恒定律有 对小球，由动能定理有 解得，D正确。 故选D。 【变式训练6-1-8】如图所示，人拉绳子使小船沿水面向河岸靠近，图中绳上点的速度方向符合实际的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】P点沿绳子方向的分速度和小船沿绳子方向的分速度相等，但垂直于绳子方向的分速度小于小船垂直于绳子方向的分速度，即合速度方向斜向上如②所示。 故选B。 （二）杆端关联速度的分解问题 【典型例题1】如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大 B．球与物块分离前，球与物块的速度相等 C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小 D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度 【答案】D 【详解】AD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力FN，如图1所示， 在水平方向由牛顿第二定律得 分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平方向的分加速度与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而逐渐增大，所以弹力逐渐减小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度等于重力加速度g，故A错误，D正确； B．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，如图2所示， 将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，故B错误； C．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加速，故C错误。 故选D。 【典型例题2】（多选）如图所示为内燃机中轻质活塞和曲柄连杆结构的示意图和简图。汽缸内高压气体推动活塞使其往复运动，某时刻活塞的速度为，连杆AO与活塞轴线BO垂直，汽缸中高压气体及外部大气对活塞作用力的合力大小为F，已知，不计一切摩擦，则此刻（　　） A．活塞对连杆AB的作用力为2F B．汽缸壁对活塞的作用力为 C．连杆AB的A端沿连杆AB方向的线速度为 D．连杆OA的A端绕O点转动的线速度为 【答案】BD 【详解】AB．连杆AO与活塞轴线BO垂直时，由几何关系可知BA与BO之间的夹角 由于是轻质活塞，所以活塞所受合外力为零，活塞受连杆AB对其的推力、汽缸壁对其的弹力和高压气体及外部大气对活塞的作用力作用，如图所示 根据平衡条件可得 解得 故A错误，B正确； CD．沿连杆AB方向和垂直于连杆AB方向分解，如图所示 沿连杆AB方向的速度 连杆OA的A端绕O转动的线速度 故C错误，D正确。 故选BD. 【变式训练6-2-1】（多选）如图所示，长为的轻杆一端连着质量为的小球，另一端用活动铰链固接于水平地面上的点，初始时小球静止于地面上，边长为、质量为的正方体左侧静止于点处。现在杆中点处施加一大小始终为（为重力加速度）、方向始终垂直杆的拉力，经过一段时间后撤去，小球恰好能到达最高点。小球运动到最高点后由于扰动由静止开始向右倾斜，忽略一切摩擦，则以下说法正确的是（　　） A．拉力所做的功为 B．拉力撤去时小球的速率为 C．当轻杆与水平面夹角为时（正方体和小球还未脱离），小球与正方体的速率之比为 D．当轻杆与水平面夹角为时（正方体和小球还未脱离），正方体的速率为 【答案】ABD 【详解】A．小球恰好能到达O点正上方，则小球在最高点时速度为零，对小球从初始位置到最高点，由动能定理有WF－mgL＝0 解得WF＝mgL，故A正确； B．设撤去力F时杆与水平方向的夹角为α，则有WF＝Fs＝F·α 解得α＝ 从撤去力F到小球运动到最高点的过程中，小球的机械能守恒，由机械能守恒定律有mgL（1－sin α）＝mv2 解得撤去力F时小球的速度大小为，故B正确； C．如图所示 设杆与水平地面夹角为θ时，小球的速度大小为v1，接触点沿着弹力的方向速度相等，有正方体的速度大小为 即小球与正方体的速率之比为，故C错误； D．对小球与正方体组成的系统，由机械能守恒定律有 联立解得；故D正确。 故选ABD。 【变式训练6-2-2】如图所示，套在竖直固定的细杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，环A从P由静止释放，此时绳与竖直杆间的夹角为α，沿杆上升经过Q点，经过Q点时A与定滑轮的连线处于水平方向，A的速度为νA（不等于零）。（不计一切摩擦阻力）则下列说法正确的是（　　） A．当A经过Q点时，B的速度等于νA B．当A经过Q点时，B的速度方向向下 C．当A从P至Q的过程中，B的速度先增后减少 D．当A从P至Q的过程中，绳的拉力始终大于B的重力 【答案】C 【详解】AB．对于A，它的速度如图中标出的vA，这个速度看成是A的合速度，其分速度分别是va，vb 其中va就是B的速度vB（同一根绳子，大小相同），刚开始时B的速度为 当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时 AB错误； CD． 当A上升时，B开始静止，然后获得向下运动的速度，最后速度又变为0,因此B先向下做加速运动后做减速运动，先处于失重状态，后处于超重状态，绳的拉力开始小于B的重力后来又大于B的重力， D错误，C正确； 故选C。 【变式训练6-2-3】（多选）建筑工地常用如图所示装置将建材搬运到高处，光滑杆竖直固定在地面上，斜面体固定在水平面上，配重P和建材Q用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，配重P穿过光滑竖直杆，建材Q放在斜面体上，且轻绳与斜面平行，开始时建材静止在斜面上，之后增加配重质量，建材沿斜面上滑，下列分析正确的是（　　） A．当P、Q滑动时，则P、Q速度大小一定相等 B．当P、Q滑动时，P减小的机械能一定等于Q增加的机械能 C．当P、Q静止时，细线上的拉力一定大于竖直杆对P的弹力 D．当P、Q静止时，斜面对Q的摩擦力可能斜向下 【答案】CD 【详解】A．根据题意可知，当P、Q滑动时，沿绳方向的分速度大小与的速度大小相等，故A错误； B．与斜面之间有摩擦力，当P、Q滑动时，P减小的机械能等于Q增加的机械能和因与斜面之间摩擦产生的热之和，则P减小的机械能一定大于Q增加的机械能，故B错误； C．由于竖直杆光滑，则当P静止时，绳子一定不能与杆垂直，则绳子拉力沿水平的分力等于竖直杆对P的弹力，即细线上的拉力一定大于竖直杆对P的弹力，故C正确； D．当P、Q静止时，若绳子的拉力大于重力沿斜面向下的分力，则有向上的运动趋势，斜面对Q的摩擦力沿斜面向下，故D正确。 故选CD。 【变式训练6-2-4】如图所示，一足够长且不可伸长的轻绳的一端系一小环甲，另一端系一重物乙，甲套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为L，现将甲从与定滑轮等高的O处由静止释放，当甲沿直杆下滑到图中P处时，OP的距离也为L，已知甲、乙重分别为G和2G，定滑轮大小及质量可忽略，则（　　） A．甲释放后，甲的机械能守恒 B．甲到达P处时，乙上升的高度也为L C．甲在P处的速度与乙上升的速度大小之比等于 D．甲在P处的速度与乙上升的速度大小之比等于 【答案】C 【详解】A．由题意，甲与乙组成的系统机械能守恒，释放后乙从静止上升，机械能增加，甲机械能减小，故A错误； B．甲到达P处时，乙上升的高度h应为绳子缩短的长度，即，故B错误； CD．根据题意，甲与乙沿绳子方向的速度大小相等，将甲的速度沿绳子方向与垂直于绳子方向正交分解应满足 可得 可知甲在P处的速度与乙上升的速度大小之比等于，故D错误，C正确。 故选C。 【变式训练6-2-5】（多选）如图所示，物块甲（视为质点）套在光滑水平固定放置的硬细杆上，物块乙放置在倾角为30°的光滑斜面上，轻质细线跨过定滑轮（体积忽略不计），两端分别与甲、乙连接，甲、乙的质量均为m，当甲从A点由静止释放时,乙处在C点，绳子伸直，已知两段绳子与水平方向的夹角均为30°，B点是滑轮正下方杆上的点，且滑轮与B点的高度差为h，不计滑轮的摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．当甲从A点运动到B点，系统重力势能的减小量为mgh B．当甲运动到B点时，乙的速度为0，甲的速度大小为 C．当滑轮与甲之间的细绳与水平方向的夹角为60°时，乙的速度大小为v0则甲的速度大小为 D．当甲运动到B点时，杆对甲的弹力竖直向下大小为F，则乙的加速度大小为 【答案】BD 【详解】A．甲从A点运动到B点，由几何关系可得乙沿斜面下滑的距离为h，系统重力势能的减小量即乙重力势能的减小量为，故A错误； B．甲运动到B点时，滑轮与甲之间的细绳与杆垂直，由关联速度间的关系可得乙的速度为0，设甲的速度为v，由机械能守恒可得 解得，故B正确； C．当滑轮与甲之间的细绳与水平方向的夹角为60°，乙的速度为v0，把甲的速度v甲分别沿着绳子和垂直绳子分解，则乙的速度即绳速为 解得，故C错误； D．当甲运动到B点，杆对甲的弹力竖直向下大小为F，对甲受力分析，由三力平衡可得绳的拉力为 对乙受力分析由牛顿第二定律可得 解得，故D正确。 故选BD。 【变式训练6-2-6】如图甲、乙所示，两个相同的物块P、Q均置于光滑水平地面上，细杆分别绕以相同的角速度沿顺时针方向转动。A、B分别为细杆与物块的接触点，某时刻两细杆与水平地面之间的夹角均为，此时的长度分别为。关于该时刻，下列说法正确的是（　　） A．P的速度大小为 B．Q的速度大小为 C．P、Q的速度大小相等 D．P、Q的速度大小之比为 【答案】A 【详解】A．将速度分解如图甲、乙所示，图甲中，由于P对杆的约束，点实际运动方向为水平方向，将点的速度沿杆和垂直杆分解，有 可知，A正确； BCD．图乙中， 可知P、Q的速度大小之比为，BCD错误。 故选A。 【变式训练6-2-7】楔形结构是机械中很常用的设计方式，具有可以改变作用力方向而且结构较紧凑这两个优点。如图是一个楔形结构的例子，质量分别为，的两个楔形块AB恰好能贴合在一起。两个光滑竖直面将楔形块A夹在竖直方向，两个水平面将楔形块B夹在水平方向。若不施加外力时，B恰好能静止在地面上，当在B上施加水平外力F时，A只能竖直上下移动，B只能水平左右移动，不计AB间的摩擦力，B和地面间的动摩擦因数，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．B与地面间的夹角满足 B．B匀速向左运动时， C．若增加A的质量，不需要增大F就能使B保持静止 D．若施加外力，使B以的加速度向左运动，则A以的加速度向上运动 【答案】D 【详解】A．不施加外力时，受力情况如图所示 对楔形块B，水平方向上有 对AB整体，竖直方向上有 对楔形块A，竖直方向上有 联立解得，，故A错误； B．B匀速向左运动时，受力情况如图所示 对楔形块B，水平方向上有，故B错误； C．对楔形块B，最大静摩擦力有 A对B压力在水平方向的分量有 当时，，故必须增大F才能使B保持静止，故C错误； D．B向左运动时，二者的速度关系如图所示 则有 可得 由于A、B的速度始终满足该关系，故A、B的加速度也满足，故D正确。 故选D。 【变式训练6-2-8】“灯光表演”中，同学们用投影仪把校徽图案投到教学楼的墙壁上（如左图）。现将投影过程简化为如右图所示，投影仪放置在水平地面上，与教学楼相距20m，此时校徽图案距离地面15m，正在沿竖直方向以0.02m/s的速度上升。此时投影仪转动的角速度约为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设校徽图案的速度为v，投影仪转动的角速度为，此时投影仪到图案间的长度为，此时光线与墙壁的夹角为，将校徽图案的速度分解为沿光线方向和垂直光线方向，可得垂直光线方向的速度为 同时有 根据几何知识 联立解得 故选D。 【变式训练6-2-9】往复式活塞压缩机是通过活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体的压缩机，简图如图所示，圆盘与活塞通过铰链、连接在轻杆两端，左侧活塞被轨道固定，只能在方向运动，圆盘绕圆心（定点）做角速度为的匀速圆周运动，已知距离为，杆长，则（　　） A．当距离不变时，杆长越大，活塞运动的范围越大 B．活塞运动范围与杆长无关 C．当垂直于时，若与夹角为，则活塞速度为 D．当垂直于时，活塞速度为 【答案】B 【详解】AB．活塞运动到最远点时，此时B点位于圆盘水平直径左端距为的位置上，活塞运动到最近点时，此时B点位于圆盘水平直径右端距为的位置上，由几何知识可知，当距离不变时，活塞运动范围等于，与杆长无关，故A错误；B正确； C．当垂直于时，若与夹角为，此时B点的线速度大小为 由几何知识可知此时B点的线速度方向与活塞的速度方向平行，二者沿杆方向的分速度相等，则有 可得此时活塞速度为 故C错误； D．当垂直于时，设此时与夹角为，则B点的线速度大小与活塞速度大小满足 可得活塞此时速度大小为 故D错误。 故选B。 【变式训练6-2-10】（多选）如图所示为某内燃机的活塞——曲轴结构，该结构由活塞滑块P和连杆PQ、OQ组成。其中滑块P穿在固定杆上，Q点可绕着O点顺时针转动，工作时气缸推动活塞滑块P沿着固定杆上下运动，带动Q点转动。已知连杆OQ长为R，某时刻活塞滑块在竖直杆上向下滑动的速度为v，连杆PQ与固定杆的夹角为θ，PQ杆与OQ杆的夹角为φ（此时φ为钝角）。下列说法正确的是（　　） A．此时Q点的线速度为 B．此时Q点的角速度为 C．若Q点匀速转动，则此时P向下加速 D．P的速度大小始终小于Q点的线速度大小 【答案】BC 【详解】AB.设活塞滑块的速度为v，P点的速度的方向沿竖直方向，将P点的速度分解，根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度为，Q点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，设Q的线速度为，则 ， 又二者沿杆方向的分速度是相等的，即联立可得 ， A错误，B正确； CD.若Q匀速转动，θ增大、φ减小，则此时P向下加速，P、Q线速度大小关系与边长有关，大小无法比较，C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练6-2-11】（多选）如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB，OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB长为R，连杆AB长为L（），当OB杆以角速度ω逆时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β。在滑块向左滑动过程中（　　） A．滑块A从右向左先做加速度减小的加速运动，后做加速度减小的减速运动 B．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为 C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为 D．当时，滑块的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．设滑块的水平速度大小为v，A点的速度的方向沿水平方向，如图将A点的速度分解 根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度 =vcosαB点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如图设B的线速度为v′，则 =v′⋅cosθ=v′cos(90∘−β)=v′sinβ v′=ωR 又二者沿杆方向的分速度是相等的，即 联立可得 在中，由正弦定理 代入得 滑块的速度随角度α变化而不均匀变化，角度α先增大后减小，所以滑块先做加速运动后做减速运动，根据运动的对称性，若滑块先做加速度减小的加速运动，则减速运动时应是加速度增大的减速运动，故A错误； BC．当OB杆与OA垂直时，有 则滑块的速度为 故C错误，B正确； D．当时 由，得滑块的速度大小为 D正确。 故选BD。 题型07:平抛运动规律及应用 【典型例题1】如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A. 两颗鸟食同时抛出 B. 在N点接到的鸟食后抛出 C. 两颗鸟食平抛的初速度相同 D. 在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】D 【解析】鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有 由于 < ，则 < ，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，A、B项错误；在水平方向有x = t，如图 过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，C项错误、D项正确。 【典型例题2】如图（a）所示，一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。打开花洒后，如图（b）所示，水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度大小相同，从花洒中喷出的水落于水平地面（分别为最左、最右端两落点），不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】.C 【解析】设水龙头最低点离地面的高度为h，水龙头的半径为R，水滴距离地面的高度为，初速度为，则有， 解得，其中 由于y均匀增加时，x不是均匀增加，且x增加得越来越慢，所以俯视的形状为C图。 故选C。 【变式训练 7-1】如图所示，某同学在面对竖直墙壁练习打网球。该同学将网球以的初速度正对墙壁水平击出，击球点距离地面高度，到竖直墙壁的水平距离。网球跟竖直墙壁碰撞后，竖直方向的分速度大小不变，反弹后水平速度的大小变为碰前的60%，g取，网球可视为质点，不计空气阻力，则网球第一次的落地点与击球点之间的水平距离为（　　） A．8.0m B．7.5m C．7.0m D．6.0m 【答案】D 【详解】网球运动到与竖直墙壁碰撞的过程中飞行的时间 网球下落的高度 与墙壁碰撞时竖直方向的分速度大小 碰撞后竖直方向的分速度大小不变，到落地有 解得 碰撞后水平方向的分速度变为原来的，水平运动的距离 故网球第一次落地点与击球点间的水平距离 故选D。 【变式训练 7-2】在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设水从出水口射出的初速度为，取时间内的水为研究对象，该部分水的质量为 根据平抛运动规律 解得 根据功能关系得 联立解得水泵的输出功率为 故选B。 【变式训练 7-3】如图所示，磁极和铁芯之间存在辐向磁场，圆弧ABC和位于以O点为圆心的竖直圆周上，圆的半径为，A、C等高，，圆面处的磁感强度为。质量为，长度为1m的导体棒P始终通以垂直纸面向外的大小为1A的恒定电流，导体棒由A点静止释放，经C点时以速度v离开磁场区域，落在倾角为斜面上的E点。不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度大小g取，则（　　） A．导体棒离开C点的速度大小为 B．导体棒从C点到E点时间为 C．CE距离为 D．导体棒在E点的速度方向与斜面的夹角为 【答案】C 【详解】A．导体棒从A运动到C过程，由动能定理可得 解得，故A错误； B．由几何关系可知，v与斜面垂直，以斜面方向建立x轴，v方向建立y轴，如下图所示。则有，故B错误； C．导体棒可看成沿斜面方向做初速度为零的匀加速直线运动，则 故C正确； D．如下图所示，导体棒可看成沿斜面方向做初速度为零的匀加速直线运动，则导体棒在E点时，沿x轴、y轴的速度分别为， 则导体棒在E点的速度方向与斜面的夹角满足 则，故D错误 故选C。 【变式训练 7-4】如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点. 质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线. M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点. 已知平抛的初速度为20m/s，MP=20m，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是 A．QM的长度为10m B．质点从O到P的运动时间为1s C．质点在P点的速度v大小为40m/s D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45° 【答案】D 【详解】AB．根据平拋运动在竖直方向做自由落体运动有： 可得t=2s；质点在水平方向的位移为： 根据平抛运动的推论可知Q是OM的中点，所以QM=20m，故A错误，B错误； C．质点在P点的竖直速度： 所以在P点的速度为： 故C错误； D．因为： 所以质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°，故D正确. 【变式训练 7-5】如图所示，从高度为H的A点以初速度水平向左抛出一颗石子（可视为质点），石子刚好落在砖墙的最下端B处。已知砖墙的高度为，重力加速度为，不计空气阻力，则石子在下落过程中到达与砖墙顶部等高的C点时，到墙面的距离L为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若石子刚好落在砖墙的最下端B处，则根据平抛运动规律可知 则水平位移 石子在下落过程中到达与砖墙顶部等高的C点时，根据平抛运动规律可知 则水平位移 故石子在下落过程中到达与砖墙顶部等高的C点时，到墙面的距离L为 故选B。 【变式训练 7-6】某草坪安装了一个水平喷水的喷灌系统，喷头离地面的高度为h，调整喷水速度使水恰好覆盖到离喷头水平距离为s的草坪边缘。若喷头高度调整为，仍要让水覆盖到原草坪边缘，忽略空气阻力，喷水的初速度应调整为原来的（　　） A．倍 B． C．1倍 D．2倍 【答案】A 【详解】水做平抛运动，在竖直方向有 在水平方向上有 联立解得 水平位移x不变，若喷水高度变为原来的，初速度应调整为原来的倍。 故选A。 【变式训练 7-7】如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，小球从斜面上M点的正上方0.2m处由静止下落，在M点与斜面碰撞，之后落到斜面上的N点。已知小球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的分量不变，沿垂直于斜面方向的分量大小不变，方向相反，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小g=10m/s2，忽略空气阻力，则小球从M点运动至N点所用的时间为（　　） A．0.2s B．0.3s C．0.4s D．0.5s 【答案】C 【详解】由自由落体运动公式 小球到M点的速度大小为 以沿斜面为x轴，以垂直于斜面为y轴，如图所示 将重力加速度分解为 从M点落到斜面上的N点，由运动学公式 代入数据解得 故选C。 【变式训练 7-8】如图所示，在水平地面上方某处有一个足够长的水平固定横梁，底部悬挂一个静止的盛水小桶，小桶底部离地面高为h。某时刻开始，小桶以加速度匀加速水平向右运动，同时桶底小孔向下漏水，单位时间漏水量相同。当小桶前进h时，水恰好流尽。略去漏水相对小桶的初速度，设水达到地面既不反弹也不流动。地面上水线长度为l，定义地上水线单位长度水的质量为k，忽略空气阻力，则（    ） A．，水线从左端到右端k值递减 B．，水线从左端到右端k值递增 C．，水线从左端到右端k值递减 D．，水线从左端到右端k值递增 【答案】C 【详解】第一滴水水平速度为零，则第一滴水将落到水桶初始点的正下方；最后一滴水滴出时水桶的速度 则水平射程 则地面上水线长度为 l=2h 因为水滴的水平速度逐渐增加，则相同长度的水平位移所用时间越来越短，而单位时间漏水量相同，则地上水线单位长度水的质量逐渐减小，即水线从左端到右端k值递减。 故选C。 【变式训练 7-9】如图所示，A、B为小球做平抛运动轨迹上的两点，小球在A点的速度大小为，方向与水平方向的夹角，在B点的速度方向与水平方向的夹角。已知重力加速度的大小为g，，求： (1)小球在B点的速度大小； (2)小球从A点运动到B点的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则有 解得小球在B点的速度大小为 （2）小球从A点运动到B点的时间为 解得 题型08: 平抛运动临界与极值问题 【典型例题1】中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面片刚被削离时距开水锅的高度为L，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，若将削出的小面片的运动视为平抛运动，且小面片都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面片的描述正确的是（　　） A．空中相邻两个面片飞行过程中水平距离可能逐渐变大 B．掉落位置不相同的小面片，从抛出到落水前瞬间速度的变化量不同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 【答案】A 【详解】A．面片飞行过程中水平方向做匀速直线运动，若先飞出的面片初速度较大，则空中相邻两个面片飞行过程中水平距离逐渐变大，故A正确； B．掉落位置不相同的小面片，下落高度相同，由可知，下落的时间相等，由可知，从抛出到落水前瞬间速度的变化量相等，故B错误； CD．由可知，下落时间为 水平位移的范围为 则初速度的取值范围为 可得 落入锅中时的竖直分速度为 则落入锅中时，最大速度 最小速度为 可知，落入锅中时，最大速度不是最小速度的3倍，故CD错误。 故选A。 【典型例题2】（多选）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点设球1与地面的碰撞是弹性碰撞，忽略空气阻力，则（　　） A．小球1、2的初速度之比为1：3 B．小球1、2的初速度之比为1：4 C．竖直挡板AB的高度 D．竖直挡板AB的高度 【答案】AD 【详解】AB．设M点到N点水平距离为L，对球2整个运动过程的时间t有 解得 可得 ① 球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为H，球2在水平方向一直做匀速运动，有 ， 即 ② 联立①②解得 故A正确，B错误； CD．设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为、，有 设球1到达A点时竖直方向速度大小为，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得 可得碰撞点到A点的时间为 球2刚好越过挡板AB的时间为 水平方向位移关系有 即 解得 故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练8-1】如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2（v2>v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A. x的最小值为 B. x的最小值为 C. y的最小值为 D. y的最小值为 【答案】C　 【解析】 弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当v2垂直竖直墙壁射出时，弹珠运动时间最短 y的最小值为，C项正确，D项错误；由于 则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁，合速度大小为 此时x的最小值为L，A、B项错误。 【变式训练8-2】如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m高空悬停着上万只无人机形成无人机群（可视为质点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度抛出炸弹，在距离地面2000m处设置面积为的拦截炸弹区，不计空气阻力，以面积比为拦截炸弹比，取，，则拦截炸弹比约为（　　） A．0.5 B．0.25 C．0.05 D．0.025 【答案】D 【解析】平抛的炸弹水平运动最远，到达拦截区，根据平抛运动规律可知，，以面积比为拦截炸弹比，拦截炸弹比约为，故选项D正确。 【变式训练8-3】如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如图所示 网球从A点发出后落在C点。网球从A点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有 ，解得 若网球恰不触网，则有 解得 网球在水平方向上做匀速直线运动，即 因与为相似三角形，则有 因、，可得 则发球机有效发球时发出网球的最小速率为 故选项A正确。 【变式训练8-4】如图所示，一只蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网，蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°，A到地面的距离为1m，重力加速度g取，空气阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.6m的C点以水平速度跳出，要到达蛛丝，水平速度至少为（　　） A．m/s B．2m/s C．2m/s D．2m/s 【答案】C 【详解】当蜘蛛做平抛运动的轨迹恰好与蛛丝相切时最小，设蜘蛛跳出后经时间t到达蛛丝，根据平抛运动规律可得， 蜘蛛到达蛛丝时速度方向恰好沿蛛丝方向，所以 由几何知识得 联立解得 故选C。 【变式训练8-5】如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 【答案】B 【详解】A．临界高度可以理解为既触网，又出界。若在底线上方沿垂直水平击球，则在CD上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，根据几何关系，可知打到触网点与打到AB线水平位移之比为1:2，故打到触网点与打到AB线时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为，故A错误； B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，则在E点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从E点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从E点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从E点打到触网点与球从E点打到B点水平位移之比为 故球从E点打到触网点与球从E点打到B点时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为，故B正确； C．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，则在D点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从D点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从D点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从D点打到触网点与球从D点打到B点水平位移之比为 故球从D点打到触网点与球从D点打到B点时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为 设球从D点打到B点的水平速度为，在竖直方向上有 解得 根据几何关系，可得对应的水平位移为 在水平方向上，根据 解得，故C错误； D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，则在EF上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从EF线上打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从EF线打到AB线，水平位移为，则球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线水平位移之比为 故球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为 设球从EF线打到AB线的水平速度为，在竖直方向上有 在水平方向上有 解得，故D错误。 故选B。 【变式训练8-6】将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 【答案】 【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有 可得落到水面上时的竖直速度 由题意可知 即 石子抛出速度的最小值为。 【变式训练8-7】如图所示，在水平地面上方有一矩形平台，平台的长度，在平台上放一张与平台等宽、长为的薄板（将平台左半边完全覆盖），一枚硬币放置在薄板上且到平台左边缘的距离为，硬币与薄板间的动摩擦因数，薄板与平台间的动摩擦因数为，硬币与平台间的动摩擦因数。在平台右侧的水平地面上倾斜固定一个空心的薄壁半球，半球的半径，分别是半球开口的最高点与最低点且、连线与水平方向的夹角。现对薄板右边缘施加一个水平向右、大小为的外力使薄板水平向右运动。一段时间后，硬币由平台右边缘飞出，并恰好由点沿圆弧的切线方向进入半球。已知硬币的质量为，薄板的质量为，硬币可视为质点，硬币运动过程中与、点始终处于同一竖直面内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，硬币滑下薄板后立即撤走薄板，不计空气阻力，取重力加速度，，。求： (1)硬币在薄板上滑动时，硬币和薄板各自的加速度大小； (2)硬币离开平台右边缘时的速度大小； (3)平台距离地面的高度。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）硬币在薄板上滑动时，对硬币进行受力分析，有，解得 对薄板进行受力分析，有，解得 （2）设经过时间，薄板与硬币分离，则有位移关系，解得 此时硬币的速度大小 时间内，硬币向右运动的距离，硬币还未离开平台。 之后硬币在平台上做匀减速直线运动，有 设硬币离开平台时的速度大小为，则有 解得 （3）硬币离开平台做平抛运动，由几何关系知，硬币由点进入时的竖直分速度满足，解得 硬币从抛出到点下落的高度，解得 则平台距离地面的高度，解得 题型09： 斜抛运动问题 【典型例题1】如图所示，某同学在进行投篮练习，A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为抛出点，B为运动轨迹的最高点，C为篮球落入篮筐的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角。不计空气阻力，则AB与BC的竖直高度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设篮球在A点的竖直分速度为，在C点的竖直分速度为，篮球的水平分速度为，篮球从A到B过程，根据逆向思维将篮球看成从B到A的平抛运动，篮球在A点时，根据平抛运动推论可得 根据几何关系可知B、C连线与水平方向的夹角为 篮球从B到C做平抛运动，篮球在C点时，根据平抛运动推论可得 又， 联立可得篮球从A到B与从B到C的竖直高度之比为 故选A。 【典型例题2】如图甲为一种名为“喊泉”的游乐设施，游客对着池边的话筒大声呼喊时，水池中的喷口就会有水倾斜喷出（可认为水恰好从水面喷出）。如图乙，某次呼喊时，水柱在空中的射高为11.25 m，已知喷口与水面的夹角为45°，重力加速度取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 在最高点的水的速率不为零 B. 在最高点的水的重力的瞬时功率不为零 C. 水在空中运动时先超重后失重 D. 水柱的水平射程为22.5 m 【答案】A 【详解】水喷出后做的是斜抛运动，竖直方向上做竖直上抛运动，由 可求得从射出到最高点的过程用时1.5 s，射出时水在竖直方向的分速度大小 水在水平方向做匀速直线运动，在水平方向的分速度大小 水在最高点时竖直方向的分速度变为0，只有水平方向的分速度15 m/s，A正确； 在最高点时速度沿水平方向，与重力方向垂直，其重力的瞬时功率为零，B错误； 水在空中的加速度一直向下，所以一直处于失重状态，C错误；根据斜抛运动的对称性可知，水柱在空中的运动时间为3 s，所以水平射程为，D错误。 【变式训练9-1】如图甲所示，波光喷泉的水柱从一个水池喷到另一个水池，人们在水柱下穿行不湿衣服，奇妙无穷。图乙是波光喷泉在空中形成的一根水柱，喷口与水平面的夹角为，水离开喷口的初速度为，为最高点，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．水达到最高点时的速度大小为 B．水在点的加速度小于点的加速度 C．水从点运动到点所用的时间为 D．水平射程为 【答案】D 【详解】A．斜抛运动最高点竖直分速度为0，水平分速度不变，处水的速度方向为水平向右，速度大小为，故A错误； B．不计空气阻力，水在运动过程中只受重力作用，在整个运动过程中的加速度都为重力加速度，故B错误； C．在竖直方向上，水从到做竖直上抛运动，水离开喷口的初速度的竖直分量为 水从到的过程，在竖直方向有 解得 因为斜抛运动具有对称性，所以，故C错误； D．斜抛运动的水平方向做匀速直线运动，水平速度为 水从到的总时间为 根据可知，水平射程为，故D正确。 故选D。 【变式训练9-2】如图所示，一半圆槽固定在水平面上，小球从半圆槽的左侧端点斜抛出去，能够垂直打到弧面上的P点。已知半圆槽的半径。，P点距圆心O的水平距离，重力加速度g取。对于小球从抛出到打到弧面这段过程分析可知（　　） A．小球的运动时间为3s B．小球的水平分速度大小为 C．小球的末速度大小为 D．小球的轨迹最高点距圆心O的水平距离也为9m 【答案】B 【详解】水平竖直分解速度如图所示 设小球的水平分速度为，竖直分速度初始为，最后为，连线与竖直方向的夹角为θ。由题意可知 所以 以水平向右和竖直向下为正方向，则有 竖直方向，有 速度关系为 速度与竖直方向夹角的正切值为 联立解得，，，，故A错误，B正确； C．由矢量合成可知小球的末速度大小为，故C错误； D．小球升到最高点的时间为 这段时间的水平位移为 所以轨迹最高点距圆心O的水平距离为，故D错误。 故选B。 【解法二】沿末速度与垂直末速度方向分解 设连线与竖直方向的夹角为θ，由题意可知 所以 A．将重力加速度在沿方向和垂直方向上分解，则小球在垂直方向上做末速度为零的匀减速运动，设该方向位移为X，则有 其中， 解得，故A错误； B．由水平方向上小球做匀速直线运动可得，故B正确； C．由末速度与水平速度关系可得，故C错误； D．由平抛结论“反向延长过中点”可知，若轨迹最高点与圆心O等高，则轨迹最高点与O距离等于x。但小球斜向上抛，轨迹最高点一定高于圆心O，其与O水平距离大于x，故D错误。 故选B。 【变式训练9-3】如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为。小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球在B点的速度大小为 B．小球从A点运动到B点的时间为 C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 D．小球从B点运动到C点的时间为 【答案】C 【详解】A．小球在B点的速度大小为 故A错误； B．小球在A点时竖直方向上速度大小为 则小球从A点运动到B点的时间为 故B错误； C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 故C正确； D．小球从B点运动到C点的时间为 故D错误。 故选C 【变式训练9-4】某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】两网球水平方向上做匀速直线运动，分解速度 根据匀速直线运动规律， 有 设球网高度为h，根据匀变速直线运动规律 则对A点发出的球，有 对B点发出的球，有 联立以上各式，可得，C项正确。 【变式训练9-5】如图所示，某同学在距离篮筐一定距离的地方起跳投篮，篮球在A点出手时与水平方向成60°角，速度大小为v0，在C点入框时速度与水平方向成角。现将篮球简化成质点，忽略空气阻力，取重力加速度为g，则下列分析正确的是（　　） A．篮球在空中飞行过程中，单位时间内的速度变化量大小改变 B．AC两点的高度差大小为 C．篮球在最高点时重力势能的大小是动能大小的2倍 D．篮球在C点时候的速度大小为v0 【答案】B 【详解】A．篮球在空中飞行过程中，仅受重力作用，做匀变速曲线运动，故单位时间内的速度变化量大小不变，A错误； B．A点竖直方向上和水平方向上的分速度分别为 ， C点竖直方向上分速度为 竖直方向上可视为竖直上爬运动，根据运动学关系可得AC两点的高度差大小为 B正确； C．未确定重力势能的零势能面，故篮球在最高点时重力势能的大小与动能大小的无法比较，C错误； D．篮球在C点时候的速度大小为 D错误。 故选B。 【变式训练9-6】两名同学在篮球场进行投篮练习，投篮过程如图所示，篮球抛出点距离篮筐初始位置的水平距离为、竖直高度为。同学甲在点原地静止不动，将篮球以速度与水平成角的方向斜向上抛出，篮球投入篮筐；同学乙以的速度运球至点，将篮球相对同学乙自身竖直向上抛出，也将篮球投入篮筐。篮球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取，，。下列说法正确的是（　　） A．同学甲将篮球抛出时的速度大小为 B．同学乙将篮球抛出时竖直向上的分速度为 C．同学甲抛出的篮球最大高度较高 D．甲、乙同学抛出的篮球在空中运动的时间相等 【答案】C 【详解】A．同学甲抛出的篮球在空中做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，则 解得 选项A错误； D．同学乙将篮球投入篮筐所用时间为 可知甲、乙两同学投出的篮球在空中运动的时间不相等，选项D错误； B．设同学乙抛出球时竖直方向的分速度为，则 解得 选项B错误； C．同学甲投出的篮球在竖直方向的分速度为 根据 可知同学甲投出的篮球最大高度较高，选项C正确。 故选C。 【变式训练9-7】（多选）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 【答案】BD 【详解】AC．将初速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 将重力加速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 垂直方向根据对称性可得重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为 故AC错误； B．重物落地时竖直分速度大小为 则落地速度与水平方向夹角正切值为 可得 故B正确； D．从抛出到最高点所用时间为 则从最高点到落地所用时间为 轨迹最高点与落点的高度差为 故D正确。故选BD。 【变式训练9-8】（多选）如图甲所示，电磁炮灭火消防车采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量，通过电磁感应转化成灭火弹的动能，转化效率，灭火弹的质量为，电容，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，重力加速度大小取，。则（　　） A．灭火弹击中高楼位置距地面的高度 B．灭火弹击中高楼位置距地面的高度 C．电容器工作电压应设置为 D．电容器工作电压应设置为 【答案】AC 【详解】AB．灭火弹做斜向上抛运动，则水平方向上有 竖直方向上有 代入数据联立解得，故A正确，B错误； CD．根据题意可知 又 联立解得，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练9-9】滑雪跳台场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，段为助滑道和起跳区，段为倾角的着陆坡。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以与水平方向成角起跳角的方向起跳，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员在点以的速率起跳，轨迹如图，不计一切阻力，取。求： (1)运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离； (2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小； 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）从O点起跳后运动员做斜抛运动，水平速度分量为 竖直方向分量为 运动员到达最高点时竖直速度减为零，所用时间为 水平位移 竖直位移 运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离 （2）运动员离着陆坡面的距离最大时速度的方向应与斜面平行，即 此时的速度为 【变式训练9-10】如图所示，在竖直平面建立坐标系，为光滑轨道，段为光滑平直轨道，；段为半径的四分之一圆弧轨道，为其圆心。可视为质点的质量的小球从点以初速度沿与轴正向成角斜向上飞出（重力加速度取，，）。 (1)若小球从点以初速度沿与轴正向成角斜向上飞出，要使小球恰好落在点处，初速度的大小是多少？ (2)若的大小、方向均可以改变，保证小球水平通过点，则击中光滑圆弧轨道时小球的动能是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球由点到点做斜抛运动，速度分解有， 水平方向位移为 根据对称性，竖直方向有 联立解得 （2）小球水平通过点时速度为，则有， 解得， 小球从到圆弧时间为，则有， 根据几何关系可得 联立解得 根据动能定理可得 解得击中光滑圆弧轨道时小球的动能为 【变式训练9-11】某学习小组利用如图所示的模型演示古代投石机的抛石过程。一定质量的石块（可视为质点）装在杆末端的口袋中，开始时口袋位于水平地面并处于静止状态。现对杆的另一端施力，当杆与竖直方向的夹角时，杆立即停止转动，石块从O点抛出后最终落在地面上的N点，石块运动轨迹的最高点为M，M离地面的高度m，石块在M点的速度大小m/s。不计空气阻力，重力加速度m/，，。求： (1)石块抛出点O距离地面的高度； (2)石块抛出点O与落地点N在水平方向上的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，石块抛出时的速度与水平方向的夹角为 石块抛出时沿竖直方向的分速度 则石块抛出点距离最高点的高度 石块抛出点距离地面的高度。 （2）石块从抛出点运动到落地点的过程，竖直方向上有 解得 石块抛出点与落地点在水平方向上的距离 解得 题型10:平抛运动相遇问题 【典型例题1】如图所示，、两个小球分别以大小相等的水平初速度从不同高度处被相向抛出并且恰好能够同时落地，它们的运动轨迹的交点为，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两个小球被同时抛出 B．a球的水平位移大小大于b球的水平位移大小 C．a、b两球在Q点相遇 D．a球在空中运动时惯性发生了改变 【答案】B 【详解】A．平抛竖直方向 由图看出，故，A错误； B．平抛水平方向 又知道，故，B正确； C．由于两球从不同高度水平抛出，下落到点时两球竖直速度不同，且两球又同时落地，所以不能在点相遇，C错误； D．惯性只由质量决定，a球在空中运动时质量不变，惯性不变，D错误。 故选B。 【变式训练10-1】如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　） A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于 C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于 【答案】B 【详解】由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据 可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有 故选B。 【变式训练10-2】如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为（　　） A．t B． C． D． 【答案】C 【详解】把平抛运动分解成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，根据运动的独立性和等时性可知，平抛运动的时间和水平方向上运动的时间相同。由题意可知 当速度变为2倍时 故选C。 【变式训练10-3】如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、乙将会在空中的P点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的抛出点到水平地面的高度比小球乙的抛出点到水平地面的高度大，小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．小球甲在相遇前运动的时间为 D．小球甲、乙抛出点的高度差 【答案】D 【详解】A．设篮球甲、乙从抛出到相遇运动的时间分别为、，两球在P点相遇，则在水平方向上有 代入数据解得，故A错误； BC．由题知，在相遇时两小球的速度方向相互垂直，设篮球甲落在P点时速度与竖直方向的夹角为，作出速度分析图，如图所示 由图可知，小球甲、乙在相遇时速度偏转角不相同，根据几何关系可得 可得 又 且甲球下落的高度更高，则有，联立解得，，故BC错误； D．根据题意，可得小球甲、乙抛出点的高度差，故D正确。 故选D。 【变式训练10-4】（多选）如图所示，小球从O点的正上方离地高处的P点以的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度斜向左上方与地面成抛出一小球，两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。g取，若不计空气阻力，则两小球抛出后到相遇过程（　　） A．两小球相遇时斜抛小球处于下落阶段 B．两小球初速度大小关系为 C．OS的间距为60m D．两小球相遇点一定在距离地面30m高度处 【答案】BC 【详解】B．由于相遇处在OS连线靠近O的三等分点M的正上方，则有 可得两小球初速度大小关系为 故B正确； A．由 可得 竖直方向满足 解得 此时斜抛的小球竖直方向的分速度大小为 解得 则此时斜抛小球恰到最高点，故A错误； D．相遇时离地高度为 故D错误； C．OS的间距为 故C正确。 故选BC。 【变式训练10-5】（多选）如图，物体甲从高H处以速度平抛，同时乙从乙距甲水平方向s处由地面以初速度竖直上抛，不计空气阻力，则两物体在空中相遇的条件是（　　）    A．从抛出到相遇的时间为 B．若要在物体乙上升中遇甲，必须， C．若要在物体乙下降中遇甲，必须， D．若相遇点离地高度为，则 【答案】ABD 【详解】A．由题意可知，若两物体在空中能够相遇，则在竖直方向应满足 代入数据解得 故A正确； BC．由于物体甲、乙的加速度相同，可知甲、乙相对匀速，相遇时间为或，则有 若要在物体乙上升中遇甲，则有 解得 若要在物体乙下降中遇甲，则有 解得 故B正确，C错误； D．若相遇点离地高度为，则有 又 联立解得 故D正确。 故选ABD。 题型11：斜面上的平抛 （一）顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 【典型例题1】如题图所示，三角形斜面ABC水平固定，两个相同且可视为质点的小球a、b同时从C、D两点以相同速度水平抛出，先后落点为E、A。已知B、C、D在同一竖直线上，E为AC中点，小球a、b平抛到斜面上时的动能之比为，不计空气阻力。则该过程中，下列说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为45° B．高度关系满足BC=1.5CD C．小球a、b距斜面的最远距离之比为 D．小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上 【答案】D 【详解】B．平抛运动水平方向有，由于小球a、b做平抛运动的水平位移比为，则小球a、b做平抛运动的时间之比为，根据 可知小球a、b在竖直方向下落的高度之比为，根据几何关系可知BC=CD，故B错误； A．小球a、b在E、A两点的竖直速度之比为，设斜面倾角为θ，由速度偏向角和位移偏向角关系可知 结合已知的动能关系可得 解得，故A错误； C．小球a、b距斜面最远时，两球距斜面投影点的竖直高度之比显然小于，因此两球距斜面的最远距离之比也一定小于，故C错误； D．小球a、b距斜面最远时的速度方向均与AC平行，运动时间相同，水平位移相同，即小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上，故D正确。 故选D。 【典型例题2】北京冬奥会跳台滑雪比赛在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行，跳台滑雪主要分为四个阶段：助滑阶段、起跳阶段、飞行阶段和着陆阶段。某大跳台的着陆坡是倾角θ=37°的斜面。比赛中某质量m=80kg（包括器械装备）的运动员脚踏滑雪板沿着跳台助滑道下滑，在起跳点 O点以v0=20m/s的水平速度腾空飞出，身体在空中沿抛物线飞行落至着陆坡上的 M点后，沿坡面滑下并滑行到停止区，最终完成比赛，如图所示。已知B 点（图中未画出）是该运动员在空中飞行时离着陆坡面最远的点，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，以起跳点 O点所在的平面为0势能面，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员在B点时的速度变化率大小为10m/s2 B．B点距离着陆坡面的距离为9 m C．O、M间的距离为125m D．运动员从O 点到B 点的位移大小等于从B点到M点的位移大小 【答案】AB 【详解】A．由题意可知，运动员在B点的速度变化率为 故A正确； B．将运动员的速度和加速度分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，垂直于斜面方向有 运动员从O点到B点的时间 B点到着陆坡的距离 故B正确； C．运动员从O点到M点的飞行时间 O、M间的水平距离 O、M间的距离 故C错误， D．从O点到B点和从B点到M点的时间相同，水平位移相同，竖直位移不相同，合位移不相同，故D错误。 故选AB。 【变式训练11-1-1】跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的两点，落在两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为，落到斜面上时的速度大小分别为，在空中运动的时间分别为，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．运动员做平抛运动，运动时间满足 解得 由于运动员落到N点时竖直高度大，所以运动时间，故A错误； B．平抛运动只受重力作用，加速度为重力加速度，根据 结合上述分析可知，故B错误； C．如图所示 当竖直位移为时，通过比较此时二者的水平位移，根据可知落在斜面上的N点对应的平抛的初速度较大，运动员落在平台下方的斜面上的M时速度为 落在平台下方的斜面上的N时速度为 因此，故C错误； D．如图，连接P点到落点构造斜面 根据平抛运动推论：速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，则有， 由于 则有 即，故D正确。 故选D。 【变式训练11-1-2】如图所示，在倾角为37°、长为的固定斜面中点固定一竖直直杆，小球从斜面顶端以的初速度水平抛出，取重力加速度为，，，为了使小球能够越过直杆，则杆的高度不能超过（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小球到达竖直直杆处时的水平位移，小球水平方向做匀速直线运动 可得平抛运动的时间为，竖直方向自由落体运动 ，可得 则杆的最大高度 ，ABD错误，C正确。 故选C。 【变式训练11-1-3】（多选）如图所示，甲同学爬上山坡底端C点处的一棵树，从树上Q点正对着山坡水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A点水平抛出一个小石块，石块也能落在P点。已知山坡长度，山坡与水平地面间夹角为，重力加速度为g，空气阻力不计，，，则（　　） A．甲同学抛出的小石块初速度大小为 B．甲同学抛出的小石块初速度大小为 C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 D．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 【答案】AD 【详解】设甲抛出小石子的初速度为v0，Q点相对于P点的竖直高度为H，则 甲抛出的小石块落在P点时竖直方向的速度 甲抛出小石块的水平位移 联立可得 对乙同学 解得 甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 选项BC错误，AD正确。 故选 AD。 【变式训练11-1-4】（多选）北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名跳雪爱好者a，b（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比va:vb=1:4，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（    ） A．他们飞行时间之比为1：4 B．他们飞行的水平位移之比为1：8 C．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1：16 D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 【答案】AC 【详解】A．设运动员的初速度为v0时，飞行时间为t，水平方向的位移大小为x、竖直方向的位移大小为y，如图所示。运动员在水平方向上做匀速直线运动，有x=v0t，在竖直方向上做自由落体运动，有 运动员落在斜面上时，有 联立解得 则知运动员飞行的时间t与v0成正比，则他们飞行时间之比为，故A正确； B．水平位移 运动员飞行的水平位移x与初速度的平方成正比，则他们飞行的水平位移之比为1:16，故B错误； C．将运动员的运动分解为沿坡面和垂直于坡面的两个方向上，建立直角坐标系，在沿坡面方向做匀加速直线运动，垂直于坡面方向做匀减速直线运动，则运动员在空中离雪道坡面的最大高度为 所以他们在空中离雪道坡面的最大高度之比为1:16，故C正确； D．落到雪坡上时，设运动员的速度方向与竖直方向夹角为α，则有 则他们落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同，故 D错误。 故选AC。 【点睛】 两名运动员在空中做平抛运动，落到雪坡上时，利用竖直位移和水平位移的比值等于斜面倾角的正切值，可表示出平抛运动的时间，从而求得时间之比；根据水平方向的匀速直线运动求解水平位移之比；根据运动的合成与分解结合几何关系分析他们落到雪坡上的瞬时速度方向；在垂直于斜面方向上，根据速度位移关系求解离开斜面的最大距离之比。 本题考查平抛运动规律的应用，知道平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，能够根据平抛运动的规律结合运动学公式进行解答。 【变式训练11-1-5】（多选）如图所示，虚线MN是竖直面内的斜线，两个小球分别从MN上的A、B两点水平抛出，过一段时间再次经过虚线MN，则下列说法错误的是（　　） A．两球经过虚线MN时的速度大小可能相同 B．两球经过虚线MN时的速度方向一定相同 C．两球可能同时经过虚线MN上的同一位置 D．A处抛出的球从抛出到经过虚线MN所用时间一定比B处抛出的球从抛出到经过虚线MN所用时间长 【答案】CD 【详解】A．设虚线MN与水平方向的夹角为θ，两球再次经过虚线MN时，根据 解得 此时小球的竖直分速度 根据平行四边形定则可得合速度为 若两次初速度相等，则两次经过MN时的速度大小相等，故A正确，不符合题意； B．设速度方向与水平方向夹角为α，则有 由于θ是虚线MN与水平方向的夹角，是定值，所以tanα也为定值，所以两球经过虚线MN时速度方向也一定相同，故B正确，不符合题意； C．小球在斜面上的位移为 若初速度大小不同，两球可能经过虚线上的同一位置，但不是同时，故C错误，符合题意； D．根据可知，若初速度相等，则两小球到达虚线MN的时间相同，故D错误，符合题意。 故选CD。 【变式训练11-1-6】（多选）如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为时，从抛出至落到斜面的运动时间为，位移大小为，离斜面的最远距离为，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为时，从抛出至落到斜面的运动时间为，位移大小为，离斜面的最远距离为，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为，不计空气阻力，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】D．由平抛运动规律可知 速度方向与水平方向的夹角 则 位移方向相同，则速度方向与斜面的夹角相同 故D正确； B．根据 可得 初速度变为2倍时，则时间变为原来的2倍，即 故B正确； A．垂直斜面方向，初速度为，加速度，则离斜面的最远距离 初速度变为2倍时，则离斜面的最远距离变为原来的4倍，故 故A错误； C．根据 初速度变为2倍时，位移变4倍，即 故C错误。 故选BD。 【变式训练11-1-7】（多选）如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面顶端O点把一小球水平击出让其在与斜面垂直的竖直面内运动，小球刚好落在斜面的底端C点。B点是小球运动过程中距离斜面的最远处，A点是在阳光照射下小球经过B点的投影点，不计空气阻力，则（　　） A．若斜面内D点在B点的正下方，则OD与DC长度相等 B．小球在斜面上的投影做匀速运动 C．OA与AC长度之比为1∶3 D．小球在B点的速度与OC段平均速度大小相等 【答案】AD 【详解】A．小球被水平击出后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，设小球被击出时速度为，从O点运动到C点所用时间为，则有 得 设小球从O点运动到B点所用时间为，则小球经过B点时速度平行于斜面，有 得 则 即小球由O点到B点和由B点到C点水平方向的位移相等，OD与DC长度相等，故A正确； BC．将小球的初速度和重力加速度沿斜面和垂直斜面方向分解，二者均有沿斜面向下的分量，所以小球沿斜面方向的分运动为沿斜面向下的匀加速直线运动，即小球在斜面上的投影做匀加速直线运动，OA与AC长度之比不为1∶3，故BC错误； D．根据题意有 得 OC段的平均速度大小为 所以小球在B点的速度与OC段平均速度大小相等，故D正确。 故选AD。 【变式训练11-1-8】小明坐在倾角为的斜坡上将质量为的小球抛出，抛出点可近似认为贴近斜坡，并最终落在斜坡上，小球抛出瞬间的速度大小为，不计空气阻力，，，求： (1)若小球抛出时速度沿水平方向，求落在斜坡上的时间和小球的位移大小s； (2)若小球抛出时速度可沿任意方向，求小球运动的最长时间。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）小球运动的位移与水平方向夹角为，由平抛运动知识，则有 解得 小球的水平位移大小 解得 小球的位移大小 解得 （2）由于小球的初速度大小一定，且最终落在斜坡上，可知垂直于斜坡方向抛出运动时间最长 垂直于斜坡方向加速度 解得 小球运动的时间 解得 【变式训练11-1-9】下雨天，私家车刹车停止时，车内小梁同学发现车前挡风玻璃上同一位置有两颗水珠和，水珠水平飞出，水珠沿玻璃匀加速下滑，水珠落回玻璃时，恰好与相遇，示意图如图所示。已知水珠和的质量均为，初速度大小均为，车前挡风玻璃与水平夹角，水珠下滑时质量保持不变，不计空气阻力，水珠均可视为质点，重力加速度取，，。求： (1)水珠在空中运动的时间和位移； (2)下滑过程中，水珠受到阻力的大小（结果用分数及科学计数法表示）； (3)若水珠和融合时，水珠垂直玻璃方向的分速度瞬间损失，沿玻璃切向的分速度不变，融合时间忽略不计，则融合后瞬间水珠的速度的大小。 【答案】(1)，； (2)； (3) 【详解】（1）方法一：平抛运动规律 水珠A做平抛运动，有 解得， 方法二：以斜面和垂直斜面方向正交分解 方向：，解得 方向：解得 （2）水珠B沿着斜面做匀加速直线运动 根据运动学公式可知 解得 由受力分析及牛顿第二定律可知 解得 （3）水珠和融合时，水珠垂直玻璃方向的分速度瞬间损失 根据运动的合成与分解，此时水珠沿玻璃的分速度大小满足 其中 而融合时水珠B的速度为 融合过程由动量守恒得 解得 （二）对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 【典型例题1】如图所示，水平地面上固定有倾角为45°，高为h的斜面。O点位于A点正上方且与B点等高。细绳一端固定于O点，另一端与质量为m的小球相连。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并垂直击中斜面的中点（重力加速度为g），下列说法正确的是（　　） A．细绳的长度为 B．绳刚要拉断时张力为 C．小球做平抛运动的时间为 D．若球击中斜面反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后球能落到A点 【答案】D 【详解】AC．小球做平抛运动并垂直击中斜面的中点，有 解得 小球做平抛运动的竖直位移为 所以细绳的长度为 A和C均错误； B．在圆周运动的最低点，有 解得，绳刚要拉断时张力为 B错误； D．球击中斜面时的速度为 反弹的速度大小为 设反弹后能击中A点，则水平方向位移为，有 解得 竖直位移为 所以反弹后球恰好能落到A点，D正确。 故选D。 【典型例题2】如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为。小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球在B点的速度大小为 B．小球从A点运动到B点的时间为 C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 D．小球从B点运动到C点的时间为 【答案】C 【详解】A．小球在B点的速度大小为 故A错误； B．小球在A点时竖直方向上速度大小为 则小球从A点运动到B点的时间为 故B错误； C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 故C正确； D．小球从B点运动到C点的时间为 故D错误。 故选C。 【变式训练11-2-1】如图所示，倾角为的斜面体固定在水平面上，小球在斜面底端正上方以速度向右水平抛出，同时，小球在斜面顶端以速度向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，，。则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小球A垂直打在斜面上，如图所示： 根据几何关系可得 对于小球B 联立得 = 故选D。 【变式训练11-2-2】一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最底端和顶端，洞口处于斜面上的P点，O点在A点的正上方，A、B、O、P四点在同一竖直面内。第一次小球以的水平速度从O点抛出，正好落入洞中的点，的连线正好与斜面垂直；第二次小球以另一水平速度也从O点抛出，小球正好与斜面在Q点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度大小取，下列说法正确的是（　　） A．小球从点运动到P点的时间是 B．点在P点的下方 C．第二次小球水平抛出的速度小于 D．、A两点的高度差为 【答案】D 【详解】A．第一次以水平速度v0从O点抛出小球，正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，此时位移垂直于斜面，由几何关系可知 解得 故A错误； BC．根据速度偏角的正切值等于位移偏角的正切值的二倍，当小球以水平速度v从O点抛出，可知此时落到斜面上的位移偏角小于以水平速度v0=3m/s抛出时落到斜面上的位移偏角，所以Q点在P点的上方，则，水平位移，所以 故BC错误； D．根据几何关系结合运动学规律可得O、A两点的高度差 故D正确。 故选D。 【变式训练11-2-3】如图所示，在同一竖直平面内，水平面的右端固定一倾角为的斜面，在水平面上D点正上方O点处水平向右以的速度抛出一个小球M，同时位于斜面底端C点、质量的滑块，在沿斜面向上的恒定拉力F作用下由静止开始向上加速运动，经过时间恰好在P点被M击中。已知滑块与斜面间动摩擦因数，重力加速度，小球和滑块均可看成质点，不计空气阻力，则拉力F大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，水平方向上，由可知，间的水平距离为 则间水平距离为 由几何关系可得 由运动学公式可得，滑块沿斜面向上运动的加速度大小为 对物块，由牛顿第二定律有 代入数据解得 故选D。 【变式训练11-2-4】如图所示，以水平向右为轴，以竖直向上为轴建立直角坐标系，发射器能把小球以和的速度从坐标原点射出，射出方向均与轴正向成角，过原点放置一块很长的倾斜挡板，以射出的小球沿轴正向击打在挡板上点，点坐标（x，y）。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．射出的小球离斜面最远时经过的位置的纵坐标为 B．射出的小球击打斜面上的点的坐标为（2x，2y） C．挡板所在的直线方程是 D．以和的速度射出的两小球击打到挡板的速度不平行 【答案】C 【详解】D．设挡板与水平方向成角，根据平抛运动推论：平抛运动物体运动轨迹上某点速度与水平方向夹角的正切值等于此时位移与水平方向夹角正切值的2倍，可得打在挡板上时有 可推知以和的速度射出的两小球击打到挡板的速度平行，故D错误。 A．设挡板与水平方向成角，以射出的小球沿轴正向击打在挡板上点，可把小球的运动等效看作初速度为的平抛运动，当小球的速度与挡板平行时，射出的小球离斜面最远。将该速度和小球的重力加速度分别沿垂直挡板和平行挡板方向分解，在垂直挡板方向上有 求得 小球竖直下落的距离为 由于 把代入，联立可得射出的小球离斜面最远时经过的位置的纵坐标为 故A错误； C．根据平抛运动速度偏转角与位移偏转角关系推论，可知射出的小球击打斜面上时，满足 可得挡板所在的直线方程是 故C正确； B．结合前面选项分析，可知射出的小球击打斜面上时，则有 可得 则 根据挡板所在的直线方程，可知，则射出的小球击打斜面上的点的坐标为（4x，4y），故B错误； 故选C。 【变式训练11-2-5】如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　) A．b与c之间某一点 B．c点 C．c与d之间某一点 D．d点 【答案】A 【详解】 过b做一条与水平面平行的一条直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v0水平抛出时，小球落在水直线上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在我们所画水平线上c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间。 故选A。 【变式训练11-2-6】如图甲所示，一质点从固定光滑斜面上O点以初速度斜向上抛出，方向与斜面夹角为α，质点与斜面依次在A、B、C三点发生碰撞后原路返回O点；改变初速度为，方向与斜面夹角为β，质点与斜面依次在D、E两点发生碰撞后，竖直上升至F点后原路返回O点，如图乙所示。设质点与斜面碰撞前后的平行斜面速度不变，垂直速度反向，空气阻力不计，则下列说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设斜面倾角为θ，在垂直于斜面方向上，质点加速度 由于碰撞前后的速率不变，故质点落在斜面和离开斜面的速率相等，均为 所以质点每两次碰撞之间所用的时间不变，均为 质点在沿斜面方向做加速度大小为的匀变速直线运动，从离开抛出点到沿平行于斜面方向速度为零所用的时间为T，则有 可得（k取正整数） 当k为奇数时，质点运动到距斜面最大距离处时的速度为零；当k为偶数时，质点回到斜面时沿斜面方向的速度为零。联立解得（k取正整数） 由此可知碰撞次数仅由角度决定，与速度大小无关，速度之比无法求出。 第一次质点往返总共与斜面碰撞6次，即时， 第二次质点往返总共与斜面碰撞5次，时， 则有 每次返回在沿斜面方向均为初速度为零的匀加速直线运动，根据等时间间隔的比例式易知 故选D。 【变式训练11-2-7】如图所示，B是粗糙水平面AB的右边缘，斜面体CDE固定在B点的右下方，CD光滑，CE边竖直、长为x的ED边水平，A、B两点间的距离为x，B、C两点的高度差为x，沿水平方向的距离为2x，质量为m的玩具小车从A点以恒定的功率P启动，运动过程中所受阻力大小不变，经过一段时间运动到B点正好达到最大速度，此时立即关闭发动机，小车运动到C点时恰好沿着斜面CD方向下滑，重力加速度为g，忽略空气阻力。 (1)求小车在B点的速度大小以及从A点运动到B点的运动时间； (2)求斜面的倾角以及小车运动到D点时的动能。 【答案】(1)， (2)45°， 【详解】（1）小车从B点运动到C点由平抛运动的规律可得， 解得 小车从A点到B点以恒定的功率P启动，由动能定理可得 运动到B点正好达到最大速度，则有 解得 （2）斜面的倾角等于小车从B点运动到C点速度的偏转角，由平抛运动速度的反向延长线经过水平位移的中点可得 则有 由几何关系可得C、D两点的高度差为x，小车从B点运动到D点由动能定理可得 解得 （三） 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 【典型例题1】如图所示，倾角为37°的斜面体固定放置在水平面上，斜面的高度为，点是A点正上方与点等高的点，让一小球（视为质点）从点水平向左抛出，落在斜面的点，已知、两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，、，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度为 B．小球从点到点的运动时间为 C．小球在点的速度大小为 D．小球在点的速度与水平方向夹角的正切值为2 【答案】A 【详解】AB．过点作的垂线与的交点为，设平抛运动的水平位移为，即、两点之间的距离为，如图所示 由几何关系可得 由平抛运动的规律可得 ， 解得 、、 A正确、B错误； CD．小球在点沿竖直方向的分速度为 小球在点的速度大小为 与水平方向夹角的正切值为 解得 ， CD错误。 故选A。 【变式训练11-3-1】（多选）如图所示，倾角为37°的斜面与水平面的交点为 B，斜面上的 C点处有一小孔，若一小球从B点的正上方A 点水平抛出，恰好通过小孔落到水平地面上的 D点（小球视为质点，小孔的直径略大于小球的直径，小球通过小孔时与小孔无碰撞）。已知A、C两点的连线正好与斜面垂直，小球从 A到C的运动时间为t，重力加速度为g， 下列说法正确的是（　　）    A．A、C两点间的高度差为gt2 B．小球在A点的速度为 C．A、C两点间的距离为 D．A、D两点间的高度差为 【答案】BD 【详解】如图    AB．根据平抛运动规律结合几何关系有 解得A、C两点间的高度差为，小球在A点的速度为故A错误，B正确； C．A、C两点间的距离为 故C错误； D．A、D两点间的高度差为 故D正确； 故选BD。 【变式训练11-3-2】如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若小球击中斜面B点，且AB距离恰好取最小值，则AB垂直斜面，此时有 可得 故选C。 【变式训练11-3-3】（多选）如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为v0时，小球落到一倾角为θ＝60°的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则(　　) A.小球从抛出到落到斜面的时间为 B.小球从抛出到落到斜面的时间为 C.小球的抛出点到斜面的距离为 D.小球的抛出点到斜面的距离为 【答案】　BC 【解析】　球平抛的位移最小，则抛出点和落点的连线与斜面垂直，分解位移，如图所示。 设平抛时间为t，结合几何关系知，tan θ＝，x＝v0t，y＝gt2，解得t＝，故选项A错误，B正确；s＝＝＝，选项C正确，D错误。 题型12：对着竖直墙壁的斜抛运动（反向平抛） 【典型例题1】用题图甲所示的足球发球机在球门正前方的、两个相同高度的位置发射同一足球，情景如题图乙所示，两次足球都水平击中球门横梁上的同一点，不计空气阻力。则（　　） A．两次击中横梁的速度相同 B．足球两次运动的速度变化量相同 C．从位置发射的足球初速度较大 D．从位置发射的足球在空中的运动时间长 【答案】B 【详解】A．将足球发射到水平击中球门横梁，看成逆向的平抛运动，根据平抛运动规律有， 解得 由于两次的水平位移不相等，高度相等，所以两次的水平分速度不相等，即两次击中横梁的速度不相同，故A错误； BD．根据，由于两次足球在空中的高度相等，所以两次足球在空中的运动时间相等，再根据，则足球两次运动的速度变化量相同，故B正确，D错误； C．足球发射的初速度大小为，由于两次高度相等，所以两次足球发射的初速度竖直分量相等，由于从B位置发射的足球水平位移较小，则从B位置发射的足球水平分速度较小，从B位置发射的足球初速度较小，故C错误。 故选B。 【变式训练12-1】（多选）某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，海豚与高台边缘的水平距离为H。驯兽师在高台边缘，距水面高度为H处静止释放球的同时，海豚以一初速度v₀跃出水面，速度方向与水面夹角为θ，如图所示。设海豚跃出水面后姿势保持不变，不计空气阻力，若海豚可以顶到球，则下列选项中可能正确的是（　　） A． B． C．θ=30° D． 【答案】ABD 【详解】海豚若能顶到球，则水平方向H=v0cosθt 竖直方向 则 当海豚在落水前所经历的时间为 故当海豚落水时恰好顶到球，则有 解得 故当时，海豚可以顶到球，则选项AB均可。 故选ABD。 【变式训练12-2】小明同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，篮球运动轨迹如下图所示，不计空气阻力，关于篮球从抛出到撞击篮板前，下列说法正确的是（　　） A．两次在空中的时间可能相等 B．两次抛出的初速度可能相等 C．两次抛出的初速度水平分量可能相等 D．两次抛出的初速度竖直分量可能相等 【答案】B 【详解】A．将篮球的运动反向处理，即为平抛运动，由图可知，第二次运动过程中的高度较小，所以运动时间较短，故A错误； BCD．将篮球的运动反向视为平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，由图可知，第二次抛出时速度的竖直分量较小；水平方向做匀速直线运动，水平射程相等，但第二次用的时间较短，故第二次水平分速度较大，即篮球第二次撞墙的速度较大，根据速度的合成可知，水平速度第二次大，竖直速度第一次大，故抛出时的初速度大小不能确定，有可能相等，故B正确，CD错误。 故选B。 【变式训练12-3】如图所示，某同学向一圆柱形杯中水平抛出一小物块（可视为质点），小物块恰好经过杯口中心无阻挡地落到杯底边沿P点。已知杯内高h，杯底直径为D，重力加速度为g，抛出点O与竖直杯壁（厚度不计）在同一竖直线上。忽略空气阻力，则小物块水平抛出时的速度大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设拖出点O到杯壁上端的距离为H，小物块平抛时的速度大小为v，从O点到P点历时t，则在水平方向有 在竖直方向有 且 联立解得 故选A。 【变式训练12-4】在同一竖直平面内距离地面高度为处的A、B两点，A、B所在竖直线与球网之间的水平距离为L。有两个网球以相同大小的速度分别斜向上和斜向下抛出，与水平方向的夹角均为θ，网球恰好均能掠过球网，且轨迹平面与球网垂直，，不计空气阻力。则A、B两点高度差为（　　） A．L B． C． D． 【答案】A 【详解】设球网高为，两球在水平方向上做匀速直线运动，则有 对于斜向下抛的网球则有 对于斜向上抛的网球则有 联立解得 故选A。 【变式训练12-5】（多选）如图甲所示，小明同学在某次投篮练习中，将篮球从P点以初速度v0斜向上抛出，篮球从Q点进入篮框，篮球抛出的同时用摄像机拍摄篮球的运动并利用视频跟踪软件进行分析。篮球的初速度与水平方向的夹角为60°，斜向下进篮框时速度与水平方向的夹角为30°。从抛出时刻开始计时，篮球在竖直方向上的位置坐标随时间的变化图像如图乙所示。取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，篮球可视为质点，则（　　） A．v0=5m/s B．v0=10m/s C．PQ连线与水平方向的夹角的正切值为 D．PQ连线与水平方向的夹角的正切值为 【答案】AC 【详解】AB．通过图乙可知，篮球上升的最大高度 由公式可得 则 故A正确，B错误； CD．在竖直方向上，由速度公式得 解得 根据几何关系可得 解得 故C正确，D错误。 故选AC。 题型13：圆弧面上的平抛运动 【典型例题1】如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R。一个小球从A点沿AB以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（　　）    A．v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长 B．即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同 C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环 D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环 【答案】D 【详解】A．小球落在环上的最低点C时时间最长，故A错误； B．由平抛运动规律可知，小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，故B错误； CD．小球平抛运动的末速度斜向右下方，不可能垂直撞击半圆环左半部分，要使小球垂直撞击半圆环右半部分，设小球落点与圆心O的连线与水平方向夹角为θ（），如图所示    根据平抛运动规律可得 联立解得 由此可知，小球垂直撞击到半圆环是不可能的，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练13-1】如图所示竖直放置的圆环半径为R，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，不计空气阻力，从下列哪个位置沿x轴正方向水平抛出小球（可以看成质点）有可能垂直打到圆环上（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若想平抛后垂直打到圆环上，则速度的反向延长线会经过圆心。根据平抛运动的推论，速度的反向延长线会过水平位移的中点。 若在x轴上的某点抛出，抛出点只能在x轴的负半轴；若抛出点在y轴上，则只能在y的负半轴；满足条件的只有A选项。 故选A。 【变式训练13-2】如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（  ） A．运动时间 B．两次运动速度变化 C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D． 【答案】D 【详解】A．根据 则运动时间 故A错误； B．根据 两次运动速度变化 故B错误； C．若在C点的速度方向与球面垂直，则速度方向所在直线经过圆心，速度方向反向延长线一定经过水平位移的中点，显然不符合，故C错误； D．速度偏转角分别为和，位移偏转角分别为和，水平位移分别为、，有 可得 如图 可知 所以 故D正确。 故选D。 【变式训练13-3】如图所示，一小球以一定初速度水平抛出，忽略空气阻力。当小球以速度抛出时，经历时间后以恰好击中斜面A处（抛出点与A点的连线垂直于斜面）。当小球以速度3抛出时，经历时间后以恰好从B点沿圆弧切线进入圆轨道。则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当击中斜面处时，竖直方向 水平方向 根据几何关系可得 解得 则 当小球恰好从B点沿圆弧切线进入圆轨道时，根据几何关系可得 联立可得 故选A。 【变式训练13-4】如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方的P点将一小球以水平速度v0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．根据几何关系可知：水平速度与末速度的夹角为θ，则有 解得 根据 解得 AB错误； CD．在水平方向 解得 D错误，C正确。 故选C。 【变式训练13-5】（多选）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为圆弧bc，半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．落在球面上的最小速度为 B．落在球面上的最小速度为 C．小球的运动时间与v0大小无关 D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上 【答案】BD 【详解】AB．小球做平抛运动 且 而落点的速度 整理得 显然当 时速度取得最小值，代入可得最小值为 B正确，A错误； C．越大，水平位移越大，竖直下落距离越小，运动时间越短，C错误； D．由于速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若与圆弧垂直，恰好与半径一致，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞击在圆弧上，D正确。 故选BD。 题型14：类平抛运动 【典型例题1】如图，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做类平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球从A点开始做类平抛运动到C点，沿斜面向下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律推得加速度为 有L gt2sin θ 沿水平方向做匀速直线运动，位移Lv0t 联立解得v0＝ 故选A。 【变式训练14-1】（多选）如图所示，A、B两质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为。不计阻力，则在x轴方向上的远近关系是（　　） A．较远 B．较远 C．等远 D．B运动的时间 【答案】BD 【详解】根据题意可知，质点A做平抛运动，根据平抛运动规律 ， 得A运动的时间 质点B视为在光滑斜面上的类平抛运动，其加速度为 沿着斜面的位移和水平方向分别有 ，B运动的时间 A、B沿x轴方向都做水平速度相等的匀速直线运动，由于运动时间不等，所以沿x轴方向的位移大小不同，根据可知 即P2较远。 故选BD。 【变式训练14-2】（多选）如图所示，光滑斜面长为l，宽为b，顶角为θ，一物块从斜面左上方顶点P以平行于底边的初速度水平射入，沿斜面运动，恰好从底端Q离开斜面，物块可看成质点，则（    ） A．物块的初速度 B．物块的初速度 C．物块到达Q点时的速度 D．物块到达Q点时的速度 【答案】BC 【详解】AB．小球在斜面上做类平抛运动 小球在斜面上的加速度为 联立解得物块的初速度 故A错误，B正确； CD．在Q点的平行斜面方向的分速度为 物块到达Q点时的速度 故C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练14-3】（多选）如图所示的坐标系，x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度大小为10m/s2 B．加速度与初速度的夹角为60° C．小球做类斜抛运动 D．当小球运动到x轴上的P点（图中未标出），则小球在P点的横坐标为 【答案】AD 【详解】A．由题意可知，风力与重力的夹角为120°，由于 即风力与重力大小相等，根据矢量合成规律，可知合力与重力等大，则小球的加速度大小为10m/s2，故A正确； B．由几何关系可知，合力与初速度方向垂直，即加速度方向与初速度的夹角为90°，故B错误； C．根据上述可知，加速度a与初速度方向垂直，则小球做类平抛运动，故C错误； D．设P点的横坐标为x，把x分别沿着和垂直分解，则有 ， 由类平抛运动的规律可得 ， 解得 ， 故D正确。 故选AD。 【变式训练14-4】（多选）如图所示是一儿童游戏机的简化示意图，光滑游戏面板倾斜放置，长度为8R的AB直管道固定在面板上，A位于斜面底端，AB与底边垂直，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与AB相切于B点，C点为圆弧轨道最高点（切线水平），轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳。现缓慢下拉轻绳使弹簧压缩，后释放轻绳，弹珠经C点时，与圆弧轨道无作用力，并水平射出，最后落在斜面底边上的位置D（图中未画出）。假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠可视为质点。直管AB粗细不计。下列说法正确的是（　　） A．弹珠脱离弹簧的瞬间，其动能达到最大 B．弹珠脱离弹簧的瞬间，其机械能达到最大 C．A、D之间的距离为 D．A、D之间的距离为 【答案】BD 【详解】A．弹珠与弹簧接触向上运动过程，对弹珠分析可知，弹珠先向上做加速度减小的加速运动，后做加速度方向反向，大小减小的减速运动，可知，弹簧弹力与重力沿斜面的分力恰好抵消时，合力为0弹珠的动能达到最大，此时弹簧处于压缩状态，A错误； B．弹珠脱离弹簧之前，弹簧处于压缩，弹簧对弹珠做正功，因此弹珠脱离弹簧的瞬间，弹珠的机械能达到最大，B正确； CD．弹珠飞出后做类平抛运动，沿斜面方向有 可知弹珠落地D的时间为一定值，水平方向有 可知，弹珠飞出速度越小，距离A点越近，由于弹珠做圆周运动，若恰能越过C，则此时有 C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练14-5】（多选）如图所示的坐标系，x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度大小为10m/s2 B．加速度与初速度的夹角为60° C．小球做类斜抛运动 D．当小球运动到x轴上的P点（图中未标出），则小球在P点的横坐标为 【答案】AD 【详解】A．由题意可知，风力与重力的夹角为120°，由于 即风力与重力大小相等，根据矢量合成规律，可知合力与重力等大，则小球的加速度大小为10m/s2，故A正确； B．由几何关系可知，合力与初速度方向垂直，即加速度方向与初速度的夹角为90°，故B错误； C．根据上述可知，加速度a与初速度方向垂直，则小球做类平抛运动，故C错误； D．设P点的横坐标为x，把x分别沿着和垂直分解，则有 ， 由类平抛运动的规律可得 ， 解得 ， 故D正确。 故选AD。 【变式训练14-6】如下图所示，将扁平的石子快速抛向水面，石子遇水后不断地在水面上连续向前多次跳跃，直至最后落入水中，俗称“打水漂”，假设小明在离水面高度处，将一质量的小石片以水平初速度抛出，玩“打水漂”，小石片在水面上滑行时受到的水平方向的阻力恒为，竖直方向分力未知．在水面上弹跳数次后沿水面滑行（水平方向）的速度减为零后沉入水底。假设小石片每次均接触水面后跳起，跳起时竖直方向的速度与此时沿水面滑行的速度之比为常数，取重力加速度，不计空气阻力，求小石片： （1）第一次与水面接触前水平方向的位移x； （2）第一次与水面接触过程中在竖直方向上的分加速度ay的大小； （3）最后一次弹起在空中飞行的时间t。（该问结果保留2位有效数字） 【答案】（1）4.0m；（2）250m/s2；（3）0.13s 【详解】（1）设从抛出到第一次与水面接触前时间为，由 解得 第一次与水面接触前水平方向的位移 （2）第一次与水面接触前竖直方向的速度 小石片在水面上滑行时，设水平方向加速度大小为，有 第一次与水面接触后跳起时水平滑行速度 规定竖直方向下为正方向，第一次与水面接触后跳起时竖直方向分速度 竖直方向加速度为 即大小为。 （3）小石片在水面上滑行时，加速度 每次滑行速度的变化量 由 可知，小石片共在水平上滑行了10次，空中弹起后飞行了9次，第n次弹起后的速度 再由和可得第次弹起后在空中飞行的时间为 最后一次弹起在水面上飞行的时间为 【变式训练14-7】风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度v0水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度v0的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度v0方向的夹角为θ。试求： (1)该小球运动到P点时的速度大小和“P点速度方向与初速度v0方向夹角的正切值”； (2)OP之间的距离。 【答案】(1) ，；(2) 【详解】（1）设小球运动到P点时的速度大小为v，OP之间的距离L。以O点为坐标原点、初速度v0方向为x轴正方向、风力F方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系，如图所示，有 沿v0方向 沿风力F方向 由题意知 小球运动到P点时的速度大小 解得 设P点的速度方向和x轴（初速度v0）的夹角为α，有 P点速度方向与初速度v0方向夹角的正切值 （2）OP之间的距离 解得 题型15：平抛与圆周的临界问题 【典型例题】某水上娱乐项目可简化为如图所示的模型。摆绳上端固定在离水面高度为H的O点，人抓紧绳子另一端，在绳子伸直情况下从与O点等高处由静止开始下落，到达最低点时松手，做一段平抛运动后落入水中。当绳长为L（）时，平抛运动的水平位移为x，人可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．绳长L不同，平抛运动的水平位移x一定不同 B．当绳长时，平抛运动的水平位移有最大值，为 C．绳长L不同，人落水时的速度大小一定不同 D．绳长L不同，人落水时的速度方向一定不同 【答案】D 【详解】A．设人在O点正下方松手时的速度为v，由机械能守恒定律有 可得 松手后人做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 可得 则当绳长取不同值时，平抛运动的水平位移x可能相同，故A错误； B．当，即时，平抛运动的水平位移有最大值，为H，故B错误； C．设人落水时的速度为，对全过程由机械能守恒定律有 可得 与绳长无关，故C错误； D．人做平抛运动，竖直方向有 设人落水时的速度方向与水平方向的夹角为，有 L与一一对应，绳长L不同，人落水时的速度方向一定不同，故D正确。 故选D。 【变式训练15-1】一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为 B．轻绳从释放到绷直所需时间为 C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为 D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为 【答案】D 【详解】AB．小球水平抛出后，在绳子绷直之前做平抛运动，有 解得 故AB错误； C．绳子绷直时，水平方向的速度突变为零，只剩下竖直方向的速度，故速度 故C错误； D．小球在绳子绷直后运动到的正下方，机械能守恒，有 又在最低点，根据受力关系 解得 故D正确。 故选D。 【变式训练15-2】（多选）一不可伸长的轻绳上端悬挂于点，另一端系有质量为的小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为的点由静止释放，运动到点的正下方时绳断开，小球做平抛运动，已知点离地高度为，绳长为，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态 C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为 D．若夹角不变，当时，落点距起点的水平距离最远 【答案】CD 【详解】A．在绳断开前，小球在竖直平面内做圆周运动，小球只受重力和绳的拉力作用，故A错误； B．在绳断开前瞬间，小球加速度方向竖直向上，处于超重状态，故B错误； C．在绳断开前瞬间，设小球受绳子拉力为，根据牛顿第二定律可得 质量为的小球由静止开始，运动到点正下方过程中机械能守恒，则有 联立解得 故C正确； D．绳断开后，小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则有 在竖直方向上做自由落体运动，则有 联立解得 根据基本不等式可知，当 即时，落点距起点的水平距离最远，故D正确。 故选CD。 题型16：平抛的多解问题 【典型例题】如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高，内径，现有一刚性小球（视为质点）从容器上端内边缘沿直径以的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据平抛运动的分析可知，竖直方向有 解得 而根据题意，水平方向有 （） 解得 因此的可能值为、、、、、 故选B。 【变式训练16-1】如图所示，竖直墙MN、PQ间距为l，竖直线OA到两边墙面等距。从离地高度一定的O点垂直墙面以初速度水平抛出一个小球，小球与墙上B点、C点各发生一次弹性碰撞后恰好落在地面上的A点。设B点距地面高度为，C点距地面高度为，所有摩擦和阻力均不计。下列说法正确的是（　　） A． B． C．仅将间距l加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球不会落在A点 D．仅将初速度增为（n为正整数），小球可能落在N或Q点 【答案】B 【详解】AB．由于竖直线OA到两边墙面距离均为，小球与墙面发生弹性碰撞，无能量损失，小球在运动过程中，竖直方向为自由落体，水平方向匀速运动，运动到B、C及A水平方向的路程之比为1：3：4，所用时间之比为1：3：4，O到B、C、A的竖直距离分别为、、，由匀变速运动规律得 故 故A错误，B正确； C．由于OA间高度不变，小球落到地面时间不变，仅将间距加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球将与前面碰撞一次后落在A点，故C错误； D．仅将初速度增为（为正整数），小球从抛出到落地在水平方向通过路程为 根据对称性，小球一定落在A点，故D错误。 故选B。 【变式训练16-2】如图所示是某闯关游戏中的一个关卡。一绕过其圆心O的竖直轴顺时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，M为转盘边缘上一点。某时刻，一参赛者从水平跑道边缘P点以速度向右跳出，初速度方向平行于方向，且运动轨迹与此时刻在同一竖直平面内，随后参赛者正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者必定落水 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定会落在之间 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅减小转盘的角速度，参赛者不可能落在M点 【答案】C 【详解】AB．参赛者正好落在M点，则M点可能出现在图示的两个位置。 参赛者在空中所做运动为平抛运动，竖直高度不变，参赛者在空中运动时间不变；仅增大，参赛者的水平位移增大，可能落水，可能在台面上；仅减小，参赛者的水平位移减小，可能落水，可能在台面上，故AB错误； CD．仅增大转盘的角速度，或仅减小转盘的角速度，参赛者的水平位移不变，只要满足M仍在原位置，参赛者就仍可能落在M点，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练16-3】如图所示，两平行竖直光滑挡板MN、PQ直立在水平地面上，它们之间的距离为L，它们的高度均为2L。将一小球（可视为质点）从M点以垂直于MN的初速度水平抛出，恰好落到Q点（小球未与挡板碰撞），重力加速度为g。 （1）求小球的初速度大小； （2）若改变小球水平抛出的初速度大小，小球与两挡板碰撞时，竖直速度保持不变，水平速度瞬间等大反向，要使小球落地时与两挡板的距离相等，求初速度大小应满足的条件（碰撞时间可忽略不计）。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小球做平抛运动 ， 解得 （2）若小球与挡板碰撞n次后落到地面 解得 题型17：抛体运动中的功能与动量 【典型例题1】质量为m的物块从某一高度以动能E水平抛出，落地时动能为3E.不计空气阻力，重力加速度为g.则物块(　　) A．抛出点的高度为 B．落地点到抛出点的水平距离为 C．落地时重力的功率为g D．整个下落过程中动量变化量的大小为2 【答案】　D 【解析】　由动能定理得 mgh＝3E－E＝2E，故抛出点的高度为h＝，故A错误；由E＝mv02，水平方向x＝v0t，竖直方向h＝gt2，解得落地点到抛出点的水平距离为x＝，故B错误；落地时速度的竖直分量vy＝＝2，故落地时重力的功率为P＝mgvy＝2g，故C错误；整个下落过程中动量变化量的大小为Δp＝mΔvy＝m·2＝2，故D正确． 【典型例题2】如图所示，竖直面内有一以O为圆心的圆形区域，直径AB与水平方向的夹角=30°。一小球自A点由静止释放，从圆周上的C点以速率v0穿出圆形区域。现将几个质量为m的小球自A点，先后以不为零的不同水平速度平行该竖直面射入圆形区域。忽略空气阻力，重力加速度大小为g。求： (1)该圆形区域的半径； (2)为使小球穿过圆形区域动能增量最大，该小球进入圆形区域时的速度大小； (3)为使小球穿过圆形区域前后的动量变化量大小为mv0，该小球进入圆形区域时的速度大小。 【答案】(1) ；(2)；(3) 【详解】(1)小球从圆周上的C点以速率穿出圆形区域，故AC沿竖直方向 由几何关系可知 由运动学公式可知 解得 (2)只有重力做功，故由圆形区域最低点（图中D点）穿出的小球重力做功最多，动能增量最大，由运动学公式可得 解得 (3)只受重力作用，且平抛运动的运动时间只与高度有关，故穿过圆形区域前后的动量变化量大小为的小球，必然从与C点等高的B点穿出，由运动学公式可得 解得 【变式训练17-1】如图所示，网球运动员发球时，将质量为m的网球（可将其视为质点）从空中某点以初速度水平抛出，网球经过M点时，速度方向与竖直方向夹角为；网球经过N点时，速度方向与竖直方向夹角为。不计空气阻力，网球在从M点运动到N点的过程，动量变化大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据平抛运动规律可知，网球在M点时竖直分速度为 在N点的竖直分速度为 则网球从M点到N点的时间为 在从M点运动到N点的过程，由动量定理求得网球动量变化大小为 故选D。 【变式训练17-2】小明在进行定点投篮，以篮球运动所在的竖直平面内建立坐标系xOy，将一质量为m的篮球由A点投出，其运动轨迹经过A、B、C、D，C为篮球运动的最高点，如图所示。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，篮球可视为质点。下列说法正确的是（    ） A．C点坐标为（0，L） B．篮球由B到C和由C到D的过程中，动能的变化量相同 C．篮球在C点时，重力的瞬时功率为 D．篮球由A到B和由C到D的过程中，动量的变化量大小相等，方向相反 【答案】A 【详解】A. 依题意，篮球抛出后做斜抛运动，利用逆向思维，可知篮球从C点做平抛运动到A点，设C点的坐标为，从C点到B点用时为t，由乙图可知 ，， 联立可得 故A正确； B. 篮球由B到C过程中，重力做负功，动能减小；由C到D的过程中，重力做正功动能增大，变化量绝对值相等，但一正一负，故B错误； C. 篮球在C点是轨迹的最高点，其竖直方向的速度分量为0，因此篮球在C点时，重力的瞬时功率为零，故C错误； D. 由乙图可知篮球从A到B和由C到D过程水平方向发生的位移相等，则所用时间相等，根据动量定理可得 所以动量变化量相同，故D错误。 故选A。 【变式训练17-3】（多选）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 【答案】BC 【详解】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向 可得 要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 最大角速度等于 联立可得 故A错误，B正确； CD．无人机从A到B的时间 由于t′>t 可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练17-4】（多选）我国正在攻关的超高速风洞，是研制新一代飞行器的摇篮，它可以复现40到100公里高空、时速最高达10公里/秒，相当于约30倍声速的飞行条件。现有一小球从风洞中的点M竖直向上抛出，小球受到大小恒定的水平风力，其运动轨迹大致如图所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点动能为，在O点动能为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球所受重力和风力大小之比为 B．小球落到N点时的动能为 C．小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为 D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为 【答案】BD 【详解】A．根据题意，设风力大小为，小球的质量为，小球的初速度为，的水平距离为，竖直距离为，竖直方向上有 则有 从到过程中，由动能定理有 可得 又有 水平方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 由于运动时间相等，则 则有 解得 故A错误； B．根据题意可知，小球在水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，由对称性可知，小球从和从的运动时间相等，设的水平距离为，则有 小球由过程中，由动能定理有 解得 故B正确； C．由功能关系可知，小球机械能的变化量等于风力做功，则小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为 故C错误； D．根据题意可知，小球在重力和风力的合力场中做类斜抛运动，当小球速度方向与合力方向垂直时动能最小，根据前面分析可知合力与竖直方向的夹角的正切值为 根据速度的合成与分解可得小球从点运动到点过程中的最小速度为 则最小动能为 故D正确。 故选BD。 【变式训练17-5】如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架长为，且，从顶点沿不同方向平抛完全相同的小球（可视为质点），重力加速度为。求： （1）从线段上射出的小球中的最小初速度； （2）分别击中点和点的小球的初动能之比； （3）所有运动轨迹与线段相交的小球在交点处的速度偏转角（可用三角函数表示）。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）从线段上射出的小球中，从射出的小球初速度最小，此时 解得 （2）对击中的小球，有 其动能 击中的小球的初动能与击中的小球的初动能相同，即 联立解得二者动能比为 （3）由题意得，当运动轨迹与线段相交时，所有小球的位移偏转角相同，其正切值 故速度偏转角的正切 即速度偏转角为 【变式训练17-6】如图所示，竖直面内有一正方形区域，其边和边水平。一小球自点由静止释放，从点以速率穿出区域。现将等若干个小球自点，先后以不同的水平速度平行该竖直面抛入区域，小球从边上除两点以外的各处穿出边。忽略空气阻力，重力加速度的大小为。 （1）求该正方形区域的边长； （2）小球是所有穿过正方形区域过程中动量变化量为的小球中，穿出时速度最大的小球，求其进入正方形区域时速度的大小； （3）小球穿过正方形区域的过程中，它们的动能变化量之比为，求小球穿出正方形区域时速度的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）静止释放的小球从点以速率穿出正方形区域，因沿竖直方向，由几何关系可知 解得 （2）由题意水平抛出的穿出时速度最大的小球，应由点穿出，由运动学公式及几何关系 解得 （3）由题意水平抛出的小球应由边的中点穿出，由运动学公式及几何关系得 解得 题型18：圆周运动中的运动学分析 【典型例题1】中国已经是汽车大国，2022年中国汽车总销量为2750万辆。如图甲是汽车发动机的结构图，其中正时系统对发动机的正常运行起到至关重要的作用。图乙是其简化图，、是皮带轮边缘上的点，和同轴，且，当系统匀速转动时，以下说法正确的是（　　） A. 点的线速度是点的两倍 B. 点的角速度是点的两倍 C. 点的转速是点的两倍 D. 点的向心加速度是点的四倍 【答案】D 【解析】 【详解】AB．、是皮带轮边缘上的点，则有，根据，可得 和同轴，则有，根据，可得 联立可得， 故AB错误； C．根据，可得 故C错误； D．根据 可得 故D正确。 【典型例题2】“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的（　　） A．半径相等 B．线速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等 【答案】D 【详解】D．由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，故D正确； A．由图可知，球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为 故A错误； B．根据可知，球面上P、Q两点做圆周运动的线速度的关系为 故B错误； C．根据可知，球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度的关系为 故C错误。 故选D。 【典型例题3】（多选）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。ad杆的a点通过较链固定在滑槽导轨中，d点通过饺链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，bc杆的c点通过饺链固定在滑块上，b点通过饺链固定在ad杆上。某次关闭窗户的过程中，ad杆绕a点匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．b点的线速度等于d点的线速度 B．d点的加速度大小不变 C．c点速度大小始终不变 D．b点和c点的速度大小可能相等 【答案】BD 【详解】A．ad杆绕a点匀速转动，因bd两点绕a点同轴转动，可知角速度相等，根据 vωr 可知，b点的线速度小于d点的线速度，故A错误； B．ad杆绕a点匀速转动，d点的加速度大小不变，但方向不断变化，故B正确； D．由速度的分解知识可知 当 时，b点和c点的速度大小相等，故D正确； C．因b点的速度不变，角度不断变化，则根据 可知，c点的速度大小不断变化，故C错误。 故选BD。 【变式训练18-1】如图所示为脚踏自行车的传动装置简化图，各轮的转轴均固定且相互平行，甲、乙两轮同轴且无相对转动，已知甲、乙、丙三轮的半径之比为1:9:3，传动链条在各轮转动中不打滑，则乙、丙转速之比为（　　） A．1:2 B．2:1 C．3:1 D．1:3 【答案】C 【详解】甲、丙两轮边缘处的各点线速度相等，根据 可得甲、丙的转速之比为3:1，甲、乙同轴转动，角速度相等，转速相等，所以乙、丙转速之比为3:1。 故选C。 【变式训练18-2】一质点做匀速圆周运动，从圆周上的一点运动到另一点的过程中，下列说法一定正确的是（    ） A．质点速度不变 B．质点加速度不变 C．质点动能不变 D．质点机械能不变 【答案】C 【详解】A．质点做匀速圆周运动，速度大小不变，方向时刻变化，速度是变化的，故A错误； B．质点做匀速圆周运动，加速度大小不变，方向时刻变化，指向圆心，加速度是变化的，故B错误； C．质点动能为 质点做匀速圆周运动，速度大小不变，故质点动能不变，故C正确； D．质点做匀速圆周运动，动能不变，质点的重力势能不一定不变，故质点机械能不一定不变，故D错误。 故选C。 【变式训练18-3】进入冬季后，北方的冰雪运动吸引了许多南方游客。如图为雪地转转游戏，人乘坐雪圈（人和雪圈总质量为50kg，大小忽略不计）绕轴以2rad/s的角速度在水平雪地上匀速转动，已知水平杆长为2m，离地高为2m，绳长为4m，且绳与水平杆垂直。则雪圈（含人）（　　） A．所受的合外力不变 B．所受绳子的拉力指向圆周运动的圆心 C．线速度大小为8m/s D．所需向心力大小为400N 【答案】C 【详解】A．雪圈（含人）做匀速圆周运动合外力一直指向圆心，方向在时刻发生变化，因而合外力在不断变化，故A错误； B．根据图示可知绳子的拉力沿绳并指向绳收缩的方向，并不是指向圆周运动的圆心的，故B错误； C．根据几何关系可知，雪圈（含人）做匀速圆周运动的半径为 则线速度大小为 故C正确； D．雪圈（含人）所受的合外力提供所需的向心力，则有 故D错误。 故选C。 【变式训练18-4】某款滚筒洗衣机的内筒直径为50cm，在进行衣服脱水甩干时转速可达到1200转/分，则甩干时紧贴滚筒内壁衣服的线速度大小约为（    ） A．31m/s B．63m/s C．126m/s D．600m/s 【答案】A 【详解】根据题意可知角速度为 则线速度大小为 故选A。 【变式训练18-5】如图为古代常见的一种板车，车前轮与后轮转动半径之比为，车上放有质量为m的重物（可视为质点），推动板车使重物恰好能够随车匀速前进，此时车板与水平面间的倾角为，重物与车板间动摩擦因数固定，若将车板与水平面间倾角变大，之后控制板车使其仍能水平匀速前行，则下列说法正确的是（　　） A．板车前轮与后轮的角速度之比为 B．重物与板车间动摩擦因数 C．板车倾角变大后重物所受摩擦力也会随之变大 D．板车倾角变大后重物的对地运动方向沿板车斜面向下 【答案】A 【详解】A．根据 得 故A正确； B．根据 得 故B错误； C．板车倾角变大后，重物会沿斜面下滑，此时的摩擦力为 重物所受摩擦力变小，故C错误； D．板车倾角变大后重物相对板车沿斜面向下，板车相对地面向前运动，因此重物相对地面的运动方向为斜向下和向前的合运动方向，故D错误。 故选A。 【变式训练18-6】齿轮传动是现代工业中常见的一种动力传动方式，荷兰设计师丹尼尔·布朗设计了世上最强齿轮——古戈尔齿轮。如图，最左侧小齿轮转动就会带动后面的大齿轮转动，古戈尔齿轮中有100个大齿轮，小齿轮与大齿轮的半径之比为1∶10，若第一个小齿轮的转动周期为1s，由图可知要使古戈尔齿轮中最后一个大齿轮转动一圈，需要的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】相邻两大、小齿轮的线速度相等，根据 可得相邻两大、小齿轮的周期比为 可得第一个大齿轮转动周期为，第二个小齿轮转动周期为，第二个大齿轮转动周期为，依此类推，第100个大齿轮转动周期为。 【变式训练18-7】如甲图所示为某商场的旋转玻璃门，乙图为它的俯视示意图，旋转门逆时针旋转，左右两侧弧形玻璃完全对称，三扇旋转门连在一起且两两之间夹角相等。旋转门宽度为，左侧两扇旋转门和弧形玻璃恰好围成一个封闭空间。已知商场旋转玻璃门外边缘的最大安全旋转速度为，玻璃门处于如图位置时一位顾客（可视为质点）在下边缘虚线某处进入旋转玻璃门，则顾客穿过旋转玻璃门的最大平均速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若想顾客穿过旋转玻璃门平均速度最大，则需要顾客穿过旋转玻璃门的过程中位移最大且用时最短。则顾客的最大位移为圆的直径，顾客进入旋转门若要用时最短，需要在旋转门逆时针旋转时出去。商场旋转玻璃门外边缘的最大安全旋转速度为。玻璃门安全旋转的最大角速度为 此时旋转门转过所用时间最短，其大小为 则顾客穿过旋转玻璃门的最大平均速度为 故选A。 【变式训练18-8】某同学用不可伸长的细线系一个质量为的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知在曝光时间内小球运动的长度为 近似认为在曝光时间内小球做匀速直线运动，故有 在最低点根据牛顿第二定律有 代入数据解得T=7N 故选C。 【变式训练18-9】水车是中国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产。水车的简易模型如图所示，水流自水平放置的水管流出，水流轨迹与水车车轮的边缘相切，可使车轮持续转动，切点与所在车轮横截面的圆心的连线与水平方向的夹角。已知水管出水口距轮轴O的竖直距离，车轮半径，重力加速度g取，，，水流到达车轮边缘时的速度与车轮边缘切点的线速度相同，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．水管出水口距轮轴O的水平距离为3.2m B．水管出水口处水流的速度大小为8m/s C．水流速度的变化量大小为10m/s D．车轮的周期为5s 【答案】A 【详解】AB．水平出水口到切点的高度 根据速度-位移公式 可得水流到达车轮边缘时的竖直分速度大小 则运动时间 在切点，由几何关系，有 可知 则水管出水口距轮轴的水平距离 故A正确，B错误； C．水流速度的变化量大小 故C错误； D．因为车轮边缘切点的线速度大小 则车轮的周期 故D错误。 故选A。 【变式训练18-10】绞车的原理如图所示，将一根圆轴削成同心而半径不同的大小辘轳，在其上绕以绳索，绳下加动滑轮，滑轮下挂上重物，人转动把手带动辘轳旋转便可轻松将重物吊起。已知大、小辘轳的半径分别为、，把手的旋转半径为，在重物沿竖直方向被匀速吊起的过程中，把手的线速度大小为，则重物上升的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】辘轳的角速度 动滑轮左侧细绳的速度大小为，右侧细绳的速度大小为，重物上升的速度大小为 故选A。 【变式训练18-11】（多选）春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，，手绢做匀速圆周运动，则（　　） A．P、Q线速度之比为 B．P、Q角速度之比为 C．P、Q向心加速度之比为 D．P点所受合外力总是指向O 【答案】AD 【详解】B．手绢做匀速圆周运动，由图可知、属于同轴传动模型，故角速度相等，即角速度之比为，B错误； A．由 可知，、线速度之比 得A正确； C．由 可知，、向心加速度之比 得C错误； D．做匀速圆周运动的物体，其合外力等于向心力，故合力总是指向圆心，D正确。 故选AD。 【变式训练18-12】（多选）如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则下列说法正确的是（　　） A．子弹在圆筒中的水平速度为 B．子弹在圆筒中的水平速度为 C．圆筒转动的角速度可能为 D．圆筒转动的角速度可能为 【答案】AC 【详解】AB．子弹做平抛运动，在竖直方向上 可得子弹在圆筒中运动的时间 水平方向子弹做匀速运动，因此水平速度 A正确，B错误； CD．因子弹从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，则圆筒转过的角度为 （n取1、2、3……） 则角速度为 故角速度可能为，不可能为，C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练18-13】（多选）如图，一半径的老鼠夹固定于水平地面上，夹的夹角为，一旦触动升关，上夹立刻以角速度匀速向下转动。现有一只老鼠在与转轴距离为处偷吃食物，时刻触动开关，老鼠的运动行为如图的图像所示，老鼠可视为质点、下列说法正确的是（　　） A．老鼠先匀速后匀加速运动逃跑 B．老鼠1.5s内不动，1.5s后以速度约0.33m/s匀速逃跑 C．老鼠能逃出老鼠夹的夹击 D．老鼠不能逃出老鼠夹的夹击 【答案】BD 【详解】AB．由图像可知，老鼠静止不动，内老鼠做匀速直线运动，根据速度得定义式可得，老鼠做匀速直线运的速度为 A错误，B正确； CD．根据图像可知，老鼠在3s末逃离老鼠夹，而老鼠夹合上所需要的时间为 因为，故老鼠不能逃出老鼠夹的夹击， C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练18-14】一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 【答案】（1）0.05m；（2）；（3） 【详解】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得 根据胡克定律得 弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离 （2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得 由几何关系得圆环此时转动的半径为 联立解得 （3）圆环处于细杆末端P时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得 对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有 ， 由几何关系得 联立解得 题型19：水平面上的圆周运动——圆锥摆模型 （一） 圆锥摆（类圆锥摆）模型 【典型例题1】如图所示，分别用长度相等的细线将质量相同的1、2两个小球悬挂起来，给两个小球提供不同的水平初速度后，两个小球均在水平面内做匀速圆周运动，形成具有相同摆长和不同摆角的圆锥摆，两小球均可视为质点且不计空气阻力。则（　　） A. 球1的角速度小于球2的角速度 B. 细线对球1的拉力大于细线对球2的拉力 C. 两个小球的向心力大小相等 D. 球1的线速度大于球2的线速度 【答案】A 【解析】设圆锥摆的摆长为，与竖直方向的夹角为，小球的质量均为，根据牛顿第二定律可得，其中，解得，由图可知，，所以，故A正确； 小球在竖直方向合力为零，根据平衡条件 解得细线对球的拉力大小为 因为，所以，故B错误；小球所受细线拉力与小球重力的合力提供向心力，则向心力大小为 因为，所以，故C错误；小球的线速度为，因为，且，所以，故D错误 【典型例题2】如图所示，两根等长的轻质细绳连接两个小球、。已知上方小球的质量为下方小球的质量的2倍，两个小球均可视为质点。当系统绕竖直杆匀速转动时，两小球稳定后上端细绳与竖直方向的夹角为，下端细绳与竖直方向的夹角为，则和满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设上端细绳的拉力为，下端细绳的拉力为，对A球受力分析，有， 对B球受力分析，有， 联立以上各式，可得 故选A。 【典型例题3】（多选）摩托车特技表演中的飞檐走壁让人震撼，其运动可简化为如图所示的小球在光滑的半球形容器内做圆周运动。小球的质量为m，容器的球心为O、半径为R，小球在水平面内做圆周运动，运动到a点时，Oa与竖直方向夹角为θ，运动过程中容器静止在水平地面上。半球形容器及底座的质量为M，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）    A．小球运动的角速度大小为 B．小球运动的线速度大小为 C．底座受到地面的摩擦力大小为 D．底座对地面的压力大于 【答案】AC 【详解】A．对小球受力分析，如图    由牛顿第二定律，可得 ， 根据几何关系，有 联立，解得 故A正确； B．根据线速度与角速度关系，可得 故B错误； C．对容器受力分析，如图    由平衡条件，可得 又 联立，解得 故C正确； D．同理 根据牛顿第三定律，可得 故D错误。 故选AC。 【变式训练-1-1】游乐场内旋转飞椅的运动可以简化为如图所示的匀速圆周运动（不计空气阻力），下列说法正确的是（　　） A．飞椅受到重力、悬绳拉力和向心力 B．飞椅受到重力、悬绳拉力 C．飞椅在运动中的加速度不变 D．飞椅运动的速度不变 【答案】B 【详解】AB．飞椅受到重力、悬绳拉力作用，两个力的合力充当飞椅做圆周运动的向心力，选项A错误，B正确； C．飞椅在运动中的加速度大小不变，但方向不断变化，选项C错误； D．飞椅运动的速度不变大小不变，但方向不断变化，选项D错误。 故选B。 【变式训练19-1-2】如图所示，质量为m的小球用长为l的细线悬于P点，使小球在水平面内以角速度做匀速圆周运动。已知小球做圆周运动时圆心O到悬点P的距离为h，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．绳对小球的拉力大小为 B．小球转动一周，绳对小球拉力的冲量为0 C．保持h不变，增大绳长l，增大 D．保持h不变，增大绳长l，绳对小球拉力的大小不变 【答案】A 【详解】A．设细线与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得 解得绳对小球的拉力大小为 故A正确； B．小球转动一周，小球的动量变化为0，根据动量定理可知，合外力的冲量为0，由于重力的冲量不为0，则绳对小球拉力的冲量不为0，故B错误； CD．保持h不变，设细线与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得 解得 可知增大绳长l，不变；根据 可知增大绳长l，绳对小球拉力的大小增大，故CD错误。 故选A。 【变式训练19-1-3】一个单摆在竖直平面内摆动（摆角较小），摆球运动到最高点时对细线的拉力大小为、摆动的周期为；保持摆长不变，让该小球在水平面内做圆锥摆运动，摆线偏离竖直方向的夹角也为，运动过程中摆球对细线的拉力大小为，摆动的周期为。则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设摆球质量为m，摆长为L，对单摆有 ， 对圆锥摆有 ， 联立以上四式可得 ， 故选B。 【变式训练19-1-4】A、B两个粗细均匀的同心光滑圆环固定在竖直转轴上，圆心O在转轴上，两环和转轴在同一竖直面内，a，b两个小球分别套在A、B两个圆环上，当两环绕竖直轴匀速转动后，a、b两球在环上的位置可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两球做圆周运动的角速度相同，设圆环半径为r，球与O连线与竖直方向夹角为θ，则mgtan θ＝mω2rsin θ，则ω＝＝，由此可见，两球和O点的高度差相同，故ACD错误，B正确。 故选B。 【变式训练19-1-5】游乐场内有一种叫“空中飞椅”的游乐项目，静止时的状态可简化为如图所示。左边绳长大于右边绳长，左边人与飞椅的总质量大于右边人与飞椅的总质量。当匀速转动时，下列四幅图可能的状态为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对飞椅和人整体受力分析可知 解得 由于左边绳长大于右边绳长，则有左边角度大，即有 故选A。 【变式训练19-1-6】如图所示，、两个可视为质点的小球由两段不可伸长的细线连接，一同学用手握住细线上端，初始时刻两个球均静止，该同学通过晃动细线让两个小球动起来，系统稳定时两个小球均在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向成角。已知两段细线长度均为，、两小球的质量分别为、，两个小球做匀速圆周运动的角速度，重力加速度为，晃动细线过程中点高度没有发生变化，不计空气阻力，。他在晃动细线的过程中做功为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设AB与竖直方向夹角为，如图 对A有牛顿第二定律定理有 代入题中数据，联立解得 故B增加的重力势能 B增加的动能 故A增加的重力势能 A增加的动能 代入题中数据，联立解得系统增加的机械能 由能量守恒可知，他在晃动细线的过程中做功为。 故选A。 【变式训练19-1-7】市面上有一种自动计数的智能呼啦圈深受女士喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿过轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳，其模型简化如图乙所示。已知配重质量0.5kg，绳长为0.4m，悬挂点到腰带中心的距离为0.2m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重做水平匀速圆周运动，计数器显示在1min内显示圈数为120，此时绳子与竖直方向夹角为θ。配重运动过程中腰带可看做不动，g=10m/s2，sin37°=0.6，下列说法正确的是（　　） A．若增大转速，腰受到腰带的弹力增大 B．若减小转速，腰受到腰带的摩擦力减小 C．配重的角速度是120rad/s D．绳子与竖直方向夹角θ等于37° 【答案】A 【详解】AB．若增大转速，配重做匀速圆周运动的半径变大，绳与竖直方向的夹角θ将增大，根据受力分析，可得， 可知配重在竖直方向平衡，又cosθ减小，所以拉力T变大，向心力Fn变大； 对腰带分析如图 根据受力分析可得， 故腰受到腰带的摩擦力不变，腰受到腰带的弹力增大，故A正确，B错误； C．计数器显示在1min内显示圈数为120，可得周期为 故角速度为，故C错误； D．配重构成圆锥摆，受力分析，如图 根据受力分析可得 又圆周的半径为 联立解得θ不等于37°，故D错误。 故选A。 【变式训练19-1-8】（多选）如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处作水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处作水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则（   ） A．线速度vA > vB B．角速度ωA < ωB C．向心加速度aA < aB D．向心力FA > FB 【答案】BC 【详解】设绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长度为l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球分析有 整理有 ，，a = gtanθ A．由于 小球从A处到达B处，l减小，θ增大，则无法判断vA、vB的关系，故A错误； B．由于 其中 联立有 由题意可知，小球从A处到达B处，h减小，则ωA < ωB，故B正确； CD．由于 F向 = mgtanθ = ma 整理有 a = gtanθ 由题意可知，其角度θ变大，所以小球所受向心力变大，即FA < FB，向心加速度大小也变大，即aA < aB，故C正确、D错误。 故选BC。 【变式训练19-1-9】（多选）如图所示，两根轻细线上端固定在S点，下端分别连一小铁球A、B，使两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，SO的高度为H，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动时，受到重力、细线拉力和向心力作用 B．如果两个小球的质量相等，则两条细线受到的拉力不相等 C．A、B做圆周运动的角速度均为 D．球A运动的周期小于球B运动的周期 【答案】BC 【详解】A．对小球受力分析，其受到的重力与细线的拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力，故A项错误； B．小球竖直方向有 整理有 若小球的质量相等，由于细绳与竖直方向夹角不同，所以两条细绳受到的拉力不相等，故B项正确； C．对小球水平方向有 又因为 整理有 由于两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，故C项正确； D．由之前的分析可知，两球的角速度大小相同，由角速度与周期的公式有 球A运动的周期等于球B运动的周期，故D项错误。 故选BC。 【变式训练19-1-10】（多选）如图所示，系在悬点O的小球A在水平面内做圆锥摆运动，当小球角速度为ω1时，细绳与竖直方向夹角为θ1，细绳对小球的拉力为F1；当小球角速度为ω2时，细绳与竖直方向夹角为θ2，细绳对小球的拉力为F2。则以下关系式正确的是（ ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】BD 【解析】细绳与竖直方向夹角为θ1时，在竖直方向，有F1cos θ1－mg＝0， 在水平方向，有F1sin θ1＝， 细绳与竖直方向夹角为θ2时，在竖直方向，有F2cos θ2－mg＝0， 在水平方向，有F2sin θ2＝， 联立可得＝，＝，故选BD。 【变式训练19-1-11】（多选）如图所示，质量均为m的a、b两小球，在光滑半球形碗内做匀速圆周运动，碗的球心为O点、半径为0.1 m，Oa、Ob与竖直方向的夹角分别为53°和37°，两球运动过程中，碗始终静止在水平地面上，已知sin 37°＝0.6。则下列说法正确的是（ ） A．a、b两球做圆周运动的线速度之比为∶9 B．a、b两球做圆周运动的角速度之比为∶2 C．a、b两球做圆周运动的角速度之比为4∶3 D．a、b两球运动过程中，碗对地面始终有摩擦力作用 【答案】AD 【解析】A、重力与支持力的合力提供两球做圆周运动的向心力，设小球与球心O的连线与竖直方向间的夹角为θ，则由m′gtan θ＝，可得v＝ 则a、b的线速度之比为＝＝，故A正确； BC、由m′gtan θ＝m′ω2Rsin θ可得ω＝， 则a、b的角速度之比为＝＝，故BC错误； D、两球对碗的压力的水平分量分别为Nax＝mgtan 53°＝，Nbx＝mgtan 37°＝ 两球对碗的压力的水平分量不相等，因此地面对碗始终有摩擦力的作用，即碗对地面始终有摩擦力作用，故D正确。 故选：AD。 【变式训练19-1-12】（多选）图甲是游乐场中的“旋转飞椅”项目。“旋转飞椅”简化结构装置如图乙，转动轴带动顶部圆盘转动，长为L的轻质悬绳一端系在圆盘上，另一端系着椅子。悬点分别为A、B的两绳与竖直方向夹角分别为θ1＝37°、θ2＝53°，椅子与游客总质量分别为mA、mB，绳子拉力分别为FA、FB，向心加速度分别为aA、aB。忽略空气阻力，则椅子和游客随圆盘匀速转动的过程中（ ） A．由重力与绳子拉力的合力提供向心力 B．FA∶FB＝4mA∶3mB C．aA∶aB＝16∶9 D．悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关 【答案】AD 【解析】A．对游客与椅子的整体受力分析可知，受重力，绳子拉力，这两个力的合力提供向心力，故A正确； BC．重力和拉力的合力提供向心力，由矢量三角形有：F＝，mgtan θ＝ma，所以拉力之比：＝＝，向心加速度之比为：＝＝，故BC错误； D．设游客做匀速圆周运动的半径为r，根据：mgtan θ＝mω2r，可得：tan θ＝，由此可知，悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关，故D正确。 故选：AD。 【变式训练19-1-13】如图所示的玩具转盘半径为l，角速度ω可以调节，转盘中心O点固定了一竖直杆。质量为m的小球用轻绳AC和轻杆BC一起连接在竖直杆上，轻绳AC长为l，与竖直杆上A点相连，轻杆BC用铰链连接在竖直杆上的B点且可绕B点自由转动，OB＝。圆盘静止时轻绳AC与竖直方向夹角θ1＝30°，轻杆BC与竖直方向夹角θ2＝45°。不计摩擦阻力，重力加速度为g。 （1）要保持轻绳拉直，求ω的取值范围 （2）当ω＝时，求轻绳AC、轻杆BC所受的弹力大小 （3）在转动过程中小球忽然脱离，要求小球不能碰到圆盘，求ω的取值范围 【答案】解：（1）当AC拉力F1＝0时，对应的ω1为最大 由mg＝，得ω1＝ ω的范围为：0≤ω≤； （2）如图对小球受力分析有 水平方向：F1sin θ1－F2sin θ2＝ 竖直方向：F1cos θ1＝F2cos θ2＋mg 解得F1＝，F2＝ （3）由平抛运动的规律x0＝v0t 竖直方向：l＝ 而x0＝得v0＝，ω0＝＝ 当ω增大时，不管轻绳是否拉直，水平位移一定增大，则： ω的范围为：ω＞。 【变式训练19-1-14】如图甲所示，一根不可伸长的轻绳穿过一竖直固定的光滑细管，两端系有小球A、B。A球的质量mA＝4m，对A施加一水平向右的拉力F（F未知），当θ＝37°时，系统正好处于静止状态，球A到管顶之间的距离为L。空气阻力不计，sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，重力加速度为g。 （1）求球B质量的mB； （2）撤去拉力F，为保证球B的位置和角θ都不变，可使球A绕中心轴以角速度ω匀速转动，如图乙所示，求ω； （3）撤去拉力F，使球A绕中心轴以角速度ω′（ω′＞ω）匀速转动，测出球B相对于原来的位置，高度变化了0.5L，求ω′。 【答案】解：（1）B球处于平衡状态，轻绳上的张力T＝mBg， A球处于平衡状态，由平衡条件有T＝，解得mB＝5m。 （2）A球匀速转动，对A分析得水平方向Tsin θ＝mAω2Lsin θ， 其中T＝mBg，解得ω＝＝。 （3）设稳定后A球到上管口的绳长为L′，A球相连的绳与竖直方向上夹角为θ′， 对A有在水平方向上Tsin θ′＝mAω′2L′sin θ′， 在竖直方向上Tcos θ′＝mAg，其中T＝mBg，解得cos θ′＝，ω′＝。 由此可知，当A球和B球的质量不变时，A球相连的绳与竖直方向上夹角θ′保持不变，仅增大A球的角速度时，A球到上管口的绳长会缩短， 所以B球相对于原来的位置应该下降了0.5L，那么此时L′＝L－0.5L＝0.5L， 代入解得ω′＝＝＝。 （2) 转盘问题 【典型例题1】如图所示，两个完全相同的物块A、B（可视为质点）放在水平圆盘上，它们在同一直径上分居圆心两侧，用不可伸长的轻绳相连。两物块的质量均为1 kg，与圆心的距离分别为RA和RB，其中RA＜RB且RA＝1 m。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，轻绳水平伸直，当圆盘以不同角速度ω绕轴OO′匀速转动时，轻绳中的弹力FT与ω2的变化关系如图所示，重力加速度g＝10 m/s2。下列说不正确的是（ ） A．物块与圆盘间的动摩擦因数μ＝0.1 B．物块B与圆心的距离RB＝2 m C．当角速度为1 rad/s时，圆盘对物块A的静摩擦力指向圆心 D．当角速度为 rad/s时，物块A恰好相对圆盘发生滑动 【答案】C 【解析】AB、角速度较小时，物块各自受到的静摩擦力提供向心力，绳中无拉力，根据牛顿第二定律可得：f＝mω2R，因为RA＜RB，所以物块B与圆盘间的静摩擦力先达到最大值，随着角速度增大，轻绳出现拉力，拉力FT和最大静摩擦力的合力提供向心力，对物块B分析：FT＋μmg＝mω2RB，解得FT＝mω2RB－μmg 结合图像可知：RB＝2 m，μ＝0.1，故AB正确； C、当ω＝1 rad/s时，绳中的拉力FT＝mω2RB－μmg＝1×12×2 N－0.1×1×10 N＝1 N，再对A分析，根据牛顿第二定律可得：FT＋f＝mω2RA，解得f＝0，故C错误； D、当A恰好要相对圆盘发生滑动时，其摩擦力为最大值且方向沿半径向外， 对A分析，根据牛顿第二定律可得：FT－μmg＝mω2RA 此时对B分析：FT＋μmg＝mω2RB，联立解得：ω＝ rad/s，故D正确； 故选：C。 【典型例题2】（多选）如图所示（俯视图），用一根原长为L0、劲度系数为k的轻弹簧将质量均为m的两个可视为质点的小物块P、Q连接在一起，放置在能绕O点在水平面内转动的圆盘上。物块P、Q和O点构成直角三角形，已知QO的距离为L0、弹簧长度为2L0，∠POQ＝90°。现使圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动，小物块P、Q与圆盘始终相对静止，弹簧长度始终不变。下列说法正确的是（ ） A．物块P所受合力始终指向圆心 B．圆盘对Q的静摩擦力方向不随ω的变化而变化 C．当ω＝时，弹簧弹力与圆盘对P的摩擦力大小相等 D．当圆盘对物块P的静摩擦力大小为时，ω＝ 【答案】ACD 【解析】A．物块P做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，方向始终指向圆心，A正确； B．小物块Q所受弹簧弹力恒定，大小k(2L0－L0)＝kL0，方向指向P，随ω的变化，向心力变化，弹簧弹力和静摩擦力合力提供向心力，根据平行四边形定则，圆盘对Q的静摩擦力大小和方向会随ω的变化而变化，B错误； C．当ω＝时，对物体P，匀速圆周运动半径为，向心力Fn＝mω2()＝，根据平行四边形定则，圆盘对P的摩擦力大小为kL0，弹簧弹力与圆盘对P的摩擦力大小相等，C正确； 【变式训练19-2-1】如图所示，小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，a的质量为3m，b的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r和2r，a、b与盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，a、b所受摩擦力大小随ω2变化的图像正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】拉力为0时，静摩擦力提供各自的向心力，即fa＝3mω2r，fb＝mω22r， 第一段图像斜率大的为a，斜率小的为b， b先达到最大静摩擦力fbm，此时fa－fbm＝mω2r，之后ω增大，fbm不变，fa增大， 直到a的摩擦力增加到最大静摩擦力fam时，fam－fbm＝mω2r，之后ω增大，fam不变，fb减小； 故选C。 D．圆盘对物块P的静摩擦力大小为时，因为＝kL0sin 30°，根据平行四边形定则，向心力Fn′＝＝mω2()，解得：ω＝，D正确。 【变式训练19-2-2】如图所示，一个半径为R的实心圆盘，其中心轴与竖直方向的夹角为30°，开始时，圆盘静止，其上表面覆盖着一层灰尘，没有掉落。现将圆盘绕其中心轴旋转，其角速度从零缓慢增大至ω，此时圆盘表面上的灰尘75%被甩掉。设灰尘与圆盘间的动摩擦因数为μ＝，重力加速度为g，则ω的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】越靠近边缘的灰尘越容易被甩掉，剩余的灰尘半径为r，则(1－75%)πR2＝πr2 解得r＝ 在圆盘的最低点，根据牛顿的第二定律μmgcos θ－mgsin θ＝mω2r， 解得ω＝，A正确，BCD错误。 故选A。 【变式训练19-2-3】如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动。三个物体与圆盘的滑动摩擦因数均为μ。最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力。三个物体与轴O共线且OA＝OB＝BC＝r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力，使圆盘从静止开始转动且缓慢增大角速度，直到物体相对圆盘发生滑动，已知重力加速度g。则在这个过程中： （1）当角速度多大时，物体B和物体C之间的细绳上恰好开始有张力？ （2）当角速度多大时，物体A和物体B之间的细线上恰好开始有张力？ （3）写出物体A所受静摩擦力大小随角速度ω变化的函数关系式。 【答案】解：（1）当圆盘从静止开始转动，三个物体随圆盘转动，由静摩擦力提供向心力，三者角速度大小相等，根据向心力公式F＝mω2r， 由于物体C的运动半径最大，因此C所需的向心力增加最快，其所受静摩擦力最先达到最大静摩擦力，当C所受静摩擦力达到最大静摩擦力后，由于静摩擦力开始刚好不足以提供向心力，此时BC之间的绳上恰好有张力，根据牛顿第二定律有μ·2mg＝·2r， 解得ω1＝； （2）当B所受静摩擦力达到最大静摩擦力时，AB之间的绳上恰好有张力。 此时C所受静摩擦力已经达到最大静摩擦力， 对B、C整体根据牛顿第二定律有μmg＋μ·2mg＝＋·2r，解得ω2＝； （3）设A受到的摩擦力恰好为0时，则对A：T1＝， 对B、C整体：T1＋μmg＋μ·2mg＝＋·2r，解得ω3＝， 当ABC整体刚要滑动时，对A：T2－μmg＝， 对B、C整体：T2＋μmg＋μ·2mg＝＋·2r，解得ω4＝， 根据前面分析可知，当0＜ω≤，A、B之间绳无张力，此时fA＝mω2r， 当＜ω≤时，对A：T3＋fA＝mω2r， 对B、C整体：T3＋μmg＋μ·2mg＝mω2r＋2mω2·2r，解得fA＝3μmg－4mω2r， 当＜ω≤时，对A：T4－fA＝mω2r， 对B、C整体：T4＋μmg＋μ·2mg＝mω2r＋2mω2·2r，解得fA＝4mω2r－3μmg， 当ω＞时，发生滑动fA＝μmg。 【变式训练19-2-4】质量分别为m、2m的物块A、B通过不可伸长的细线连接，细线的长度为3L，现将物块A、B和细线组成的系统沿圆盘直径方向放置在水平圆盘的不同位置处，如图甲、乙、丙所示，细线处于伸直状态。图甲中，物块A位于圆盘的中心O点；图乙中，物块A、B位于圆盘中O点的同一侧且物块A离圆盘的中心O点的距离为3L；图丙中，物块A、B分别位于圆盘的中心O点的两侧且到O点的距离分别为L、2L。现让圆盘绕通过中心O点的竖直轴匀速转动，物块A、B与圆盘间的动摩擦因数均为μ且始终相对于圆盘静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块A、B均可视为质点，重力加速度大小为g。 （1）图甲中，求圆盘匀速转动的最大角速度ω1； （2）图乙中，当圆盘匀速转动的角速度为ω2时，细线上恰好出现拉力；当圆盘匀速转动的角速度为ω3时，物块A、B相对于圆盘刚要发生相对滑动，求； （3）图丙中，若圆盘匀速转动的角速度由0缓慢增大，请定性判断该过程中物块A受到摩擦力的变化情况（不需要说明理由），然后求出圆盘匀速转动的最大角速度ω4。 【答案】解：（1）图甲中，当物块B相对于圆盘刚要发生相对滑动时，圆盘具有最大的角速度，设细线上拉力为F1，对物块A，F1＝μmg 对物块B，F1＋2μmg＝×3L，解得ω1＝； （2）图乙中，当圆盘匀速转动的角速度为ω2时，细线上恰好出现拉力，此时，对物块B刚好最大静摩擦力提供向心力，则2μmg＝×6L，解得ω2＝ 当圆盘匀速转动的角速度为ω3时，物块A、B相对于圆盘刚要发生相对滑动，设细线上拉力为F2， 对物块A，μmg－F2＝×3L，对物块B，F2＋2μmg＝×6L 解得ω3＝，所以＝ （3）图丙中，若圆盘匀速转动的角速度由0缓慢增大，物块A受到的摩擦力的变化情况为沿向圆盘中心方向先增大再减小，然后反向增大 当物块A相对于圆盘刚要发生相对滑动时，圆盘具有最大的角速度ω4，设细线上拉力为F3， 对物块A，F3－μmg＝，对物块B，F3＋2μmg＝×2L，解得ω4＝ 题型20：竖直面内圆周运动 【典型例题1】长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点。当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球的运动下列说法正确的是（ ） A．小球过最高点时的最小速度为零 B．小球开始运动时绳对小球的拉力为 C．小球过最高点时速度大小一定为 D．小球运动到与圆心等高处时向心力由细绳的拉力提供 【答案】D 【解析】A．根据mg＝得，小球通过最高点的最小速度v＝，故A错误； B．在最低点，根据牛顿第二定律得，F－mg＝，解得绳子对小球的拉力F＝mg＋，故B错误； C．小球通过最高点的最小速度为，但是通过最高点的速度不一定为，也可能大于，故C错误； D．在与圆心等高处，小球做圆周运动的向心力由绳子拉力提供，故D正确。 故选D。 【典型例题2】（多选）如图所示，质量为M、半径为R、内壁光滑的圆管轨道（带框架）竖直放置在水平地面上，轨道圆心为O点，P、Q与圆心等高。一质量为m的小球沿着圆管轨道顺时针运动且恰能完成完整的圆周运动，整个运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A．小球P→Q运动过程中，地面对轨道的摩擦力方向依次：向右、向左 B．小球P→Q运动过程中，地面对轨道的摩擦力方向依次：向右、向左、向右、向左 C．小球运动的过程中有2处位置，使得轨道对地面的压力为Mg D．小球运动的过程中有4处位置，使得轨道对地面的压力为Mg 【答案】BD 【解析】AB．如图所示， 设圆管轨道最高点为B，设小球在PB段运动时在A点处对轨道没有压力，OA与竖直方向的夹角为θ。小球恰能完成完整的圆周运动，则在最高点B速度为零， 设A点速度大小为v，从A到B由动能定理得－mgR(1－cos θ)＝0－ 又根据mgcos θ＝ 综合解得cos θ＝ 由对称性可知，设小球在BQ段运动时在C点处对轨道没有压力，OC与竖直方向的夹角也为θ。小球在PA段运动时，小球受到外轨道指向圆心方向的弹力，小球斜向左上挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向右。小球在AB段运动时，小球受到内轨道背离圆心方向的弹力，小球斜向右下挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向左。小球在BC段运动时，小球受到内轨道背离圆心方向的弹力，小球斜向左下挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向右。小球在CQ段运动时，小球受到外轨道指向圆心方向的弹力，小球斜向右上挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向左。故小球P→Q运动过程中，地面对轨道的摩擦力方向依次：向右、向左、向右、向左，故A错误，B正确； CD．小球在AC两点对轨道没有作用力，轨道对地面的压力等于轨道自身重力大小Mg；小球在PQ两点对轨道竖直方向没有作用力，轨道对地面的压力等于轨道自身重力大小Mg，故轨道小球运动的过程中有4处位置，使得轨道对地面的压力为Mg，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练20-1】甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（OA为细绳）。乙图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（OB为轻质杆）。丙图是质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动。丁图是质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动。则下列说法正确的是（ ） A．四个图中，小球通过最高点的最小速度都是v＝ B．四个图中，小球通过最高点的最小速度都是0 C．在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 D．在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 【答案】C 【解析】甲、丙图中当小球的重力恰好提供向心力时，小球的速度最小，有mg＝，所以小球通过最高点的最小速度为v＝，乙、丁图中由于杆或者内侧管壁可以对小球提供支持力，所以小球通过最高点的速度可以为零，故A、B错误；在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，小球的向心力由管壁的支持力和小球重力沿半径方向的分力的合力来提供，所以外侧管壁对小球一定有作用力，故C正确；小球在水平线ab以上管道中运动时，沿半径方向的合力提供向心力，由于小球速度大小未知，可能外侧管壁对小球有作用力，也可能内侧管壁对小球有作用力，故D错误。 【变式训练20-2】应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入。例如你用手掌平托一苹果，保持这样的姿势在竖直平面内按顺时针方向做匀速圆周运动。在苹果从最低点a到最左侧点b运动的过程，下列说法中正确的是（　　）    A．手掌对苹果的摩擦力越来越大 B．苹果先处于超重状态后处于失重状态 C．手掌对苹果的支持力越来越大 D．苹果所受的合外力越来越大 【答案】A 【详解】A．苹果从最低点a到最左侧点b运动的过程中，加速度大小不变，加速度在水平方向上的分加速度逐渐增大，由牛顿第二定律可知，手掌对苹果的摩擦力越来越大，A正确； B．苹果做匀速圆周运动，从a到b的运动中，加速度在竖直方向上有向上的分加速度，可知苹果处于超重状态，B错误； C．苹果做匀速圆周运动，从a到b的运动中，加速度大小不变，加速度在竖直方向上的分加速度逐渐减小，可知手掌对苹果的支持力越来越小，C错误； D．苹果做匀速圆周运动，加速度大小不变，则有苹果所受的合外力大小不变，方向始终指向圆心，D错误。 故选A。 【变式训练20-3】图为某资料上一幅反映课外活动的场景，描绘了小明荡秋千荡到最高点时的情形，关于该图与实际情况是否相符的判断及其原因，下列正确的是（　　） A．符合实际情况，图片没有科学性错误 B．不符合实际情况，因为没有人推他不可能荡到这么高处 C．不符合实际情况，最高点时手以上部分绳子可以弯曲但以下部分应拉直 D．不符合实际情况，最高点时手以上部分和以下部分的绳子均应该是拉直的 【答案】D 【详解】小明在最高点时绳子拉力不为零，不会松弛；速度为零时，即将加速向下摆动，加速度不为零。 故选D。 【变式训练20-4】如图（a）所示，一根长度为l的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球。轻杆随转轴在竖直平面内以角速度匀速转动。已知轻杆对小球的作用力大小随时间的变化关系如图（b）所示，图中和分别为最小值和最大值，且，其中g为重力加速度。则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】图中和分别为最小值和最大值，由于，故最高点轻杆对小球提供拉力。小球运动到最高点时轻杆对小球作用力最小，运动到最低点时轻杆对小球作用力最大，由图像可知小球运动周期为 所以角速度为 最高点时 最低点时 联立可得 故选C。 【变式训练20-5】如图所示，半径为的半圆弧轨道竖直固定在水平面上，竖直半径与倾斜半径、的夹角为，且，现让可视为质点的小球从点由静止释放，当小球运动到点时正好脱离轨道，小球此时速度的大小为（为未知量）；再把小球拿到点，并使小球在点获得大小为（为未知量）、方向与垂直斜向上的初速度，小球从点运动到点，运动轨迹的最高点为点，重力加速度为，不计一切摩擦，不计空气作用。下列说法正确的是（　　） A．小球在点的向心加速度为 B．小球在点的速度为 C．小球从到的运动时间为 D．、两点的距离为 【答案】D 【详解】AB．把小球在D点的重力分别沿着OD方向与垂直OD方向正交分解，D点对小球的支持力恰好为0，则重力沿着OD方向的分力充当向心力，则有 由向心加速度公式可得结合 综合可得， 故AB错误； C．由数学知识可得 小球从E点到D点做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，速度大小为 竖直方向做初速度为的竖直上抛运动，则有， 综合解得， 故C错误； D．斜抛运动的最大高度为 由几何关系可得G、B两点的高度差为 综合可得 故D正确。 故选D。 【变式训练20-6】（多选）某物理实验兴趣小组探究竖直面内小球做圆周运动对轨道压力的变化规律。如图所示，在竖直面内固定一个圆周轨道，轨道半径R＝0.3 m，分别在距离最低点A高度为0、0.1 m、0.2 m、0.3 m、0.4 m、0.5 m、0.6 m处安置压力传感器，一质量为m的小球从A点以速度v0开始沿内轨道向右运动，已知小球在最低点A点和最高点B点压力传感器示数差为6 N，在C点（与O点等高的位置）压力传感器示数为10 N。小球可视为质点，小球与圆轨道的摩擦力可忽略不计，g取10 m/s2。由此可判定（ ） A．m＝0.2 kg B．v0＝6 m/s C．小球在0.2 m处时压力传感器示数为12 N D．小球在各位置压力传感器示数F与高度h的关系F＝13－10h 【答案】BD 【解析】AB．小球从A点到B点，根据动能定理有－mg·2R＝ 在B点，根据牛顿第二定律有FB＋mg＝ 在A点，根据牛顿第二定律有FA－mg＝ 根据题意可知FA－FB＝6 N 小球从A点到C点，根据动能定理有－mg·R＝ 在C点时FC＝10 N＝ 联立解得m＝0.1 kg，v0＝6 m/s，故A错误，B正确； C．设小球在0.2 m处时与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ， 根据几何关系有cos θ＝＝ 小球从A点到0.2 m处，根据动能定理有－mg·h′＝ 在0.2 m处，根据牛顿第二定律有N－mgcos θ＝ 解得N＝11 N 所以压力传感器示数为11 N，故C错误； D．设在任意高度h处小球的速度为v，由动能定理有F＝ 在右侧轨道上，设小球在h处和圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，当h≤R时， 由牛顿运动定律有F－mgcos θ＝，其中cos θ＝ 在最低点有FA－mg＝ 可得F＝FA－＝13－10h 当R＜h≤2R时该式仍成立，故D正确。 故选BD。 【变式训练20-7】（多选）如图为自行车车轮的气嘴灯原理图，气嘴灯由接触式开关控制。其结构为弹簧一端固定在顶部A，另一端与重物连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，重物拉伸弹簧后使点M、N接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点N与车轮圆心距离为R，车轮静止且B端在车轮最低点时触点M、N距离为0.05R。已知A靠近车轮圆心、B固定在车轮内臂，重物与触点M的总质量为m。弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g。不计接触式开关中的一切摩擦，重物和触点M、N均视为质点，则有（　　） A. 相同转速下，重物质量大小对能否接通LED灯没影响 B. 转速越大，重物质量越大，LED灯越容易发光 C. 使得LED灯发光的最小角速度为 D. 若气嘴灯在最低点能发光，同一转速下在最高点也一定能发光 【答案】BC 【解析】当气嘴灯在最低点时，根据牛顿第二定律可得 可知，角速度相同时，m越大，弹簧伸长x越大，灯越容易接通，同时角速度越大，x越大，灯越容易接通，故A错误，B正确；在最低点静止时有 当M、N刚接触时有 解得 故C正确；在最高点，有 由此可知，弹簧伸长量应小于最低点的伸长量，则气嘴灯不一定能发光，故D错误。 【变式训练20-8】小李同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。再次加速甩动手腕，当球某次运动到最低点A时，绳恰好断掉，如题图所示。已知握绳的手离地面高度为2L，手与球之间的绳长为L，绳能承受的最大拉力为9mg，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。求： （1）为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B时的最小速度； （2）绳断时球的速度大小； （3）绳断后，小球落地点与抛出点A的水平距离。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B时，当 得 小球过最高点B时的最小速度。 （2）绳断时 绳断时球的速度大小 （3）绳断后，小球做平抛运动，竖直方向 得 小球落地点与抛出点A的水平距离 题型21：生活中的圆周运动 【典型例题1】如图所示，有一辆汽车在前挡风玻璃内悬挂了一个挂件。当汽车在水平公路上转弯时，司机发现挂件向右倾斜并且倾斜程度在缓慢减小，已知汽车的转弯半径一定，则下列说法正确的是（　　） A．汽车正在向右加速转弯 B．汽车正在向右减速转弯 C．汽车正在向左加速转弯 D．汽车正在向左减速转弯 【答案】D 【详解】挂件向右倾斜，对挂件受力分析可知，重力、拉力的合力水平向左，即向心力向左，汽车向左转弯。设挂件与竖直方向的夹角为，则摆动过程中的向心力为 由于挂件倾斜程度在缓慢减小，摆角变小，而汽车的转弯半径一定，所以汽车的速率在减小，即汽车正在向左减速转弯。 故选D。 【典型例题2】如图所示为我国某平原地区从P市到Q市之间的高铁线路，线路上，，位置处的曲率半径分别为r，r、2r。若列车在P市到Q市之间匀速率运行，列车在经过，，位置处与铁轨都没有发生侧向挤压，三处铁轨平面与水平面间的夹角分别为、，。下列说法正确的是（　　） A．列车依次通过3个位置的角速度之比为1：1：2 B．列车依次通过3个位置的向心加速度之比为1：1：2 C．3个位置的 D．3个位置的内外轨道的高度差之比为1：1：2 【答案】C 【详解】A.根据 可知，列车依次通过3个位置的角速度之比为2：2：1，故A错误； B.根据 可知，列车依次通过3个位置的向心加速度之比为2：2：1，故B错误； C.根据火车在转弯处的受力分析，由牛顿第二定律 可知 故 故C正确； D.设内外轨道间距离为，则有 h和成正比，所以 故D错误。 故选C。 【典型例题3】国家“十四五”规划确定的重大科研项目“CR450科技创新工程”取得重大突破。当质量为的普通动车以速度经过一个半径为、倾角为的水平弯道时，列车既不挤压外轨也不挤压内轨；当质量为的CR450动车以速度经过一个半径为、倾角为的水平弯道时，列车同样既不挤压外轨也不挤压内轨。按上述情景通过弯道时，CR450动车对比普通动车，下列说法正确的是（　　） A．向心加速度大小之比为 B．轨道的倾角之比为 C．轨道倾角的正切值之比为 D．车厢对轨道的正压力大小之比为 【答案】AC 【详解】A．两辆动车做圆周运动向心加速度 得，故A正确； BC．根据题意，对两辆动车受力分析，如图所示 有 得，故B错误，C正确； D．由受力分析图，有 得，无法得到具体比值，故D错误。 故选AC。 【变式训练21-1】如图所示，一质量的小球C用轻绳AC和BC系在竖直杆AB上，现在小球绕AB杆匀速转动，轻绳伸直，OC垂直于AB，此时，。已知轻绳AC长为1.0m，足够结实，轻绳BC能承受的最大拉力为1.44N，小球C可视为质点，g取，，。那么小球做圆周运动的角速度（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当轻绳AC和BC的拉力达到最大时，小球C的角速度最大，在竖直方向，有 在水平方向，根据牛顿第二定律，有 解得 当轻绳BC的拉力为零时，小球C的角速度最小，在竖直方向，有 在水平方向，根据牛顿第二定律，有 解得 所以小球做圆周运动的角速度满足 故选A。 【变式训练21-2】如图所示，MN为半径为r的圆弧路线，NP为长度19r的直线路线，为半径为4r的圆弧路线，为长度16r的直线路线。赛车从M点以最大安全速度通过圆弧路段后立即以最大加速度沿直线加速至最大速度vm并保持vm匀速行驶。已知赛车匀速转弯时径向最大静摩擦力和加速时的最大合外力均为车重的k倍，最大速度，g为重力加速度，赛车从M点按照MNP路线运动到P点与按照路线运动到点的时间差为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】赛车从M点按照MNP路线运动到P点过程，在圆周运动过程有 ， 在NP直线路线匀加速过程有 ， 解得 ， 在NP直线路线匀加速至最大速度过程的位移为 则匀速过程的时间 赛车从M点按照路线运动到点过程，在圆周运动过程有 ， 在直线路线匀加速过程有 ， 解得 ， 在直线路线匀加速至最大速度过程的位移为 即匀加速至最大速度时，恰好到达，则赛车从M点按照MNP路线运动到P点与按照路线运动到点的时间差为 解得 故选C。 【变式训练21-3】运球转身是运球中的一种基本方法，是篮球运动中重要进攻技术之一。拉球转身的动作是难点，例如图a所示为运动员为拉球转身的一瞬间，由于篮球规则规定手掌不能上翻，我们将此过程理想化为如图b所示的模型，薄长方体代表手掌，转身时球紧贴竖立的手掌，绕着转轴（中枢脚所在直线）做圆周运动，假设手掌和球之间的最大静摩擦因数为0.5，篮球质量为600克，直径24厘米，手到转轴的距离为0.5米，则要顺利完成此转身动作，篮球和手至少要有多大的速度（  ） A．2.28m/s B．2.76m/s C．3.16m/s D．3.52m/s 【答案】B 【详解】竖直方向上 水平方向上 解得 故选B。 【变式训练21-4】如图甲所示，汽车后备箱水平放置一内装圆柱形工件的木箱，工件截面和车的行驶方向垂直，图甲是车尾的截面图，当汽车以恒定速率从直道通过图乙所示的三个半径依次变小的水平圆弧形弯道A、B、C时，木箱及箱内工件均保持相对静止。已知每个圆柱形工件的质量为m。下列说法正确的是（　　） A．汽车在由直道进入弯道A前，M对P的支持力大小为mg B．汽车过A、B、C三点时，汽车重心的角速度依次减小 C．汽车过A、B两点时，M、Q对P的合力依次增大 D．汽车过A、C两点的向心加速度相同 【答案】C 【详解】A．汽车在由直道进入弯道A前，以P为对象，根据受力平衡可得 解得M对P的支持力大小为 故A错误； B．由角速度与线速度关系 当汽车以恒定速率通过半径依次变小的A、B、C三点时，汽车重心的角速度依次增大，故B错误； C．汽车过A、B两点时，M、Q对P的合力的竖直分力与P的重力平衡，合力的水平分力提供所需的向心力，则有， P受到的合力为 当汽车以恒定速率通过半径依次变小的A、B两点时，M、Q对P的合力依次增大，故C正确； D．汽车的向心加速度为 可知汽车过C点时，弯道对应的半径最小，向心加速度大于A点的向心加速度，故D错误。 故选C。 【变式训练21-5】（多选）机器人扭秧歌成了2025年年初的头条热点， 机器人的3分钟表演让国内外都为之震撼。如图机器人转动的手绢好像 “死死地” 黏在机器人的手上一样。此情景可以简化为长为 的轻杆一端固定在水平转轴上的 点，另一端固定一质量为 的小球， 在竖直平面内做角速度为 的匀速圆周运动，重力加速度为 。下列说法正确的是（　　） A．小球转到最低点D时， 轻杆对小球的弹力的大小一定大于重力 B．小球转到最高点C时，轻杆对小球的弹力的大小一定大于重力 C．小球在最左端 时，轻杆对小球的作用力的大小为 D．小球在最右端 时，轻杆对小球的作用力的大小为 【答案】AD 【详解】A．小球转到最低点D时，其合力指向圆心方向，故轻杆对小球的弹力的大小一定大于重力，故A正确； B．小球转到最高点C时速度为，可知此时轻杆对小球的弹力的大小为0，小于其重力，故B错误； CD．小球在最左端或最右端B时，小球受重力和轻杆对小球的作用力而做匀速圆周运动，合力指向圆心方向，根据平行四边形定则，可知轻杆对小球的作用力的大小为 故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练21-6】“货郎伞”是一种具有中国传统文化特色的伞具，即古代货郎担子上的遮阳伞。在这种伞下通常陈列各种商品，伞上也常常装饰彩幡、挂件等，具有浓郁的民俗风格。卖货郎边走边转动伞具，甚是好看。若将伞体绕伞把的转动看作匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．远离伞把的挂件向心加速度更大 B．在失重条件下也可以重复以上运动 C．靠近伞把的挂件偏离竖直方向的角度较大 D．只要伞体转动的角速度足够大，一定会有挂件达到水平状态 【答案】A 【详解】A．题意可知伞的挂件属于同轴转动，角速度相同，根据向心加速度 由于远离伞把的挂件r大，故远离伞把的挂件向心加速度更大，故A正确； B．在失重条件下，物体加速度具有向下的加速度，挂件不可能重复以上运动，故B错误； C．设挂件偏离竖直方向的角度为，则有 解得 可知靠近伞把的挂件r小，因为不变，故小，所以小，故C错误； D．因为挂件竖直方向一直受到重力作用，所以无论伞体转动的角速度多大，挂件不可能达到水平状态，故D错误 故选A。 题型22： 圆周运动中的临界问题 （一）水平面的圆周运动临界问题 【典型例题1】如图所示，在水平圆盘上放置一个质量为的小滑块，滑块离圆盘中心。滑块与圆盘之间的动摩擦因数为0.1，现使圆盘绕垂直于盘面的中心轴缓慢加速转动，至小滑块与盘面发生相对滑动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，则（    ） A．圆盘缓慢加速转动过程中，滑块所受的摩擦力做功为0 B．小滑块与盘面发生相对滑动时圆盘的角速度为 C．在小滑块上面再放置一个相同的小滑块，发生相对滑动时的角速度为 D．在小滑块上面再放置一个质量为的小滑块，两者之间的动摩擦因数为0.05，发生相对滑动时的角速度为 【答案】D 【详解】A．小滑块动能增大，故摩擦力做正功，A错误； B．小滑块与盘面发生相对滑动时有 解得 B错误； C．在小滑块上面再放置一个相同的小滑块，发生相对滑动时有 解得 C错误； D．在小滑块上面再放置一个的小滑块，两者之间的动摩擦因数为0.05，则两个小滑块首先发生相对滑动，有 解得 D正确。 故选D。 【典型例题2】如图，足够大水平圆盘中央固定一光滑竖直细杆，质量分别为2m和m的小球A、B用轻绳相连，小球A穿过竖直杆置于原长为l的轻质弹簧上，弹簧劲度系数为，B紧靠一个固定在圆盘上且与OAB共面的挡板上，在缓慢增加圆盘转速过程中，弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度为g，则（    ） A．球离开圆盘后，弹簧弹力不变 B．绳子越长小球飞离圆盘时的角速度就越大 C．当角速度为时，弹簧长度等于 D．当角速度为时，弹簧弹力等于 【答案】AD 【详解】A．球离开圆盘后，对B竖直方向 对A竖直方向 即弹簧弹力不变，选项A正确； B．设小球恰飞离圆盘时绳子与竖直方向夹角为θ0，此时弹簧长度为l1，对A, 解得 则 对B, 则小球飞离圆盘时的角速度为定值，与绳长无关，选项B错误； C．当角速度为，此时物块还没有离开圆盘，此时弹簧长度大于，选项C错误； D．当角速度为此时物块已经离开圆盘，此时弹簧弹力等于，选项D正确。 故选AD。 【典型例题3】如图所示，粗糙轻杆水平固定在竖直轻质转轴上A点。质量为m的小球和轻弹簧套在轻杆上，小球与轻杆间的动摩擦因数为μ，弹簧原长为0.6L，左端固定在A点，右端与小球相连。长为L不可伸长质量不计的细线一端系住小球，另一端系在转轴上B点，AB间距离为0.6L。装置静止时将小球向左缓慢推到距A点0.4L处时松手，小球恰能保持静止。接着使装置由静止缓慢加速转动。已知小球与杆间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，不计转轴所受摩擦。 （1）求弹簧的劲度系数k； （2）求小球与轻杆间恰无相互作用力时装置转动的角速度ω。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）依题意，有 k（0.6L－0.4L）＝μmg 解得 k＝ （2）小球与轻杆间恰无弹力时受力情况如图所示，此时弹簧长度为0.8L有 Tsin37°＝mg Tcos37°＋k（0.8L－0.6L）＝0.8mω2L 解得 ω＝ 【变式训练22-1-1】陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶磁的简化工作台，当陶磁匀速转动时，台面面上掉有陶屑，陶屑与桌面间的动摩因数处处相同（台面够大），则（   ） A．离轴OO´越远的陶屑质量越大 B．  离轴OO´越近的陶屑质量越小 C． 只有平台边缘有陶屑 D．离轴最远的陶屑距离不会超过某一值 【答案】D 【详解】ABC．与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得 解得 因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO′的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。故ABC错误； D．离轴最远的陶屑其受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由前述分析可知最大的运动半径为 μ与ω均一定，故R为定值，即离轴最远的陶屑距离不超过某一值R。故D正确。 故选D。 【变式训练22-1-2】如图所示，一表面粗糙的圆锥形漏斗，其内表面与水平方向之间的倾角，有一质量为的小物块（可视为质点）被放在漏斗内表面上，物块与漏斗竖直轴线的距离为，与漏斗倾斜内表面间的动摩擦因数为0.5，现使该漏斗绕竖直方向的转轴匀速转动，要使物块相对漏斗保持静止，已知重力加速度为，最大静摩擦等于滑动摩擦力，，则漏斗转动的角速度取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】对物体受力分析，当转速较小时，物体有下滑趋势，物体受力情况如图所示，并建立如图所示的坐标系，则有 联立解得 同理，当转速较大时，物体有上滑趋势，摩擦力沿斜面向下，则有 解得 所以漏斗转动的角速度取值范围是 【变式训练22-1-3】如图所示，一距地面高为0.80m、半径为1.2m的水平圆盘上放置质量分别为0.85kg、0.15kg的A和B两个物体，用长为1.2m的轻绳连接，A物体在转轴位置上，当圆盘绕其竖直轴以角速度ω0转动时，A、B两物体刚好相对圆盘静止。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为0.2，g取10m/s2。某时刻轻绳突然断裂，下列说法正确的是（　　） A．轻绳断裂前，圆盘转动的角速度为 B．轻绳断裂前，轻绳拉力的大小为0.3N C．B物体落到水平面的位置到竖直轴的距离为1.6m D．B物体落地时的速度大小为4m/s 【答案】A 【详解】AB．当圆盘绕其竖直轴以角速度ω0转动时，有, 联立解得， 故A正确，B错误； C．轻绳突然断裂，B物体做平抛运动，有, 所以B物体落到水平面的位置到竖直轴的距离为 故C错误； D．B物体落地时的速度大小为 故D错误。 故选A。 【变式训练22-1-4】如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的轻杆一端固定于球上，另一端通过光滑的铰链固定于圆环最低点，当圆环以角速度绕竖直直径转动时，轻杆对小球的作用力大小和方向为（　　） A．沿杆向上 B．沿杆向下 C．沿杆向上 D．沿杆向下 【答案】B 【详解】设轻杆与竖直直径夹角为，由几何关系可得 解得 则小球作圆周运动的半径为 作圆周运动所需向心力为 小球有向上运动的趋势，设杆对小球有沿杆向下的拉力F1，环对小球有指向圆心的支持力F2，有平衡条件可知 解得 故选B。 【变式训练22-1-5】如图所示，两个质量均为m的小木块A、B（可视为质点）放在水平圆盘上，A、B到转轴的距离分别为l、．小木块与圆盘之间的动摩擦因数均为，可以认为小木块最大静摩擦力等于滑动摩擦力．若圆盘从静止开始绕轴转动，并缓慢地加速，用表示圆盘转动的角速度，用g表示重力加速度的大小，下列说法正确的是（    ） A．圆盘对A的作用力大小大于A对圆盘的作用力大小 B．当时，A所受摩擦力的大小为 C．A、B所受摩擦力的大小始终相等 D．B一定比A先开始滑动 【答案】D 【详解】A．圆盘对A的作用力与A对圆盘的作用力是相互作用力，总是等大反向，选项A错误； B．当 时，A所受摩擦力的大小为 选项B错误； C．根据 可知，在两物块未发生相对滑动时，A、B所受摩擦力的大小不相等，当两物块都产生相对滑动后受滑动摩擦力大小相等，选项C错误； D．根据 可知 可知产生滑动时B的临界角速度较小，则B一定比A先开始滑动，选项D正确。 故选D。 【变式训练22-1-6】如图所示，小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，a的质量为3m，b的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r和2r，a、b与盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，a、b所受摩擦力大小分别为随变化的图像正确的是（　　）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】当圆盘减速度较小时，两木块均由静摩擦力提供向心力，对a物块有 对b物块有 则b物块受到的摩擦力较小，当角速度时，b物块所受摩擦力达最大值，则 此时a物块所受摩擦力为，即仍未达最大值； 此后随着圆盘角速度逐渐增大，b物块所受摩擦力保持不变，a物块所受摩擦力继续增大；当角速度时，a物块所受摩擦力达最大值，设绳子拉力为，对a、b分别有 继续增大圆盘角速度，绳子拉力继续变大，b物块所需向心力较小，所以b物块所受摩擦力将逐渐减小至零后反向再增大，此过程a物块所受摩擦力为最大值保持不变。 故选C。 【变式训练22-1-7】如图甲所示，绕着竖直转轴转动的水平转盘上放有质量为的斜面体，斜面体上放有一物块，物块质量也为。某时刻转盘开始转动，角速度从零缓慢增大到，斜面体和物块始终与转盘保持相对静止，斜面体到转轴的水平距离为，物块到转轴的水平距离为，均远大于物块和斜面体的尺寸，如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．转盘对斜面体的摩擦力始终背向转轴 B．斜面体对转盘的压力小于 C．当转盘角速度为时，斜面体所受圆盘的摩擦力小于 D．物块所受斜面体的摩擦力沿斜面向上，并一直增大 【答案】D 【详解】B．物块和斜面体与圆盘保持相对静止时，由整体法，在竖直方向上，转盘对斜面体的支持力与斜面体、物块的总重力是一对平衡力，由牛顿第三定律得斜面体对转盘的压力大小为，选项B错误； AC．在水平向上，转盘对斜面体有指向圆心的静摩擦力，指向转轴，提供斜面体和物块的向心力，由 选项AC错误； D．分析物块受重力，弹力，沿斜面向上的摩擦力，设斜面斜角为，在竖直方向 在水平方向 即随增大，增大，减小，即方向沿斜向上，一直增大，D正确。 故选D。 【变式训练22-1-8】（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（　　） A．当时，A、B相对于转盘会滑动 B．当时，绳子一定有弹力 C．在范围内增大时，B所受摩擦力变大 D．在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 【答案】ABD 【详解】A．当A、B所受静摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘将会滑动 解得 故A正确； B．当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即 解得 故B正确； C．当时，随角速度的增大，绳子拉力不断增大，B所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变，故C错误； D．时，A所受摩擦力提供向心力，即 静摩擦力随角速度增大而增大； 当时，以A、B整体为研究对象 可知A受静摩擦力随角速度的增大而增大，故D正确。 故选ABD。 【变式训练22-1-9】（多选）如图所示，天花板下通过两个支架固定一根细钢管，轻绳从钢管穿过后，在其两端分别挂质量为m1、m2的小球a、b（均可视为质点），两小球的质量之比为 ，钢管左端轻绳AB段长度为l=1m，当钢管一侧悬挂小球的轻绳上张力不小于另一侧张力的时，绳不会发生滑移，为使小球b保持静止状态，已知重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（　　） A．若小球a也保持静止状态，则 B．若k=1，可将小球a拉至轻绳AB段与竖直方向成夹角53°无初速度释放 C．若可使小球a在水平面内做匀速圆周运动，其角速度范围为 D．若轻绳AB段与竖直方向的夹角为37°，可使小球a在水平面内做匀速圆周运动，则 【答案】AC 【详解】A．对小球b，根据平衡条件 若小球a也保持静止状态，则 且 联立，解得 即 故A正确； B．若k=1，设，小球a拉至轻绳AB段与竖直方向成夹角53°无初速度释放，设小球在最低点时的速度大小为v，根据动能定理 轻绳的拉力和小球的重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律 解得 小球b 因为 所以，小球b不能保持静止，故B错误； C．若，则设，，对b 则小球a受到的轻绳的拉力 设小球a在水平面内做匀速圆周运动轻绳与竖直方向的夹角为，则在水平方向 联立，解得 故C正确； D．若轻绳AB段与竖直方向的夹角为37°，可使小球a在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向 解得 又因为 且 解得 即 故D错误。 故选AC。 【变式训练22-1-10】（多选）如图所示，配有转盘的中式圆餐桌是我国的传统家具。质量为m的小碗（可视为质点）放在水平转盘边缘上随转盘一起由静止缓慢加速转动，若小碗与转盘以及桌面间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘的半径为r，餐桌的半径为R，重力加速度为g，转盘与桌面的高度差不计，下列说法正确的是（　　） A．当转盘的角速度增至时，小碗相对转盘开始滑动 B．小碗由静止到即将滑动的过程中，转盘对小碗做的功为 C．若，小碗最终会从桌面滑落 D．若小碗未滑离桌面，则R不会小于 【答案】BD 【详解】A．小碗即将滑动时有 解得， 故A错误； B．根据动能定理可得 故B正确； C．小碗滑动后沿转盘边缘滑出，若未能滑到桌面边缘，根据牛顿第二定律可得 由 可知小碗不会从桌面边缘滑落。故C错误； D．小碗未滑离桌面需满足 故D正确。 故选BD。 【变式训练22-1-11】如图所示，足够大的光滑板固定在水平面内，板上开有光滑的小孔，细线穿过小孔，将小球A、B、C拴接。小球A在光滑板上做匀速圆周运动，小球B、C自然下垂处于静止状态。已知小球A、B、C的质量均为，小球A到小孔的距离为，重力加速度为。 （1）求小球A做圆周运动的速度大小； （2）剪断B、C间细线瞬间，小球A的加速度大小为，求此时小球B的加速度大小； （3）剪断B、C间细线后，小球B运动到最高点的过程中（小球B未与板接触），细线对小球B做的功为，求小球B运动到最高点时小球A的角速度大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）依题意，小球A所受细线拉力提供其做匀速圆周运动的向心力，有 解得 （2）剪断B、C间细线瞬间，对小球B受力分析，根据牛顿第二定律可得 对小球A，有 联立，解得 （3）设小球B上升的高度为h，由动能定理，可得 解得 系统机械能守恒，有 又 联立，解得 【变式训练22-1-12】如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量的小球P，另一端和细绳BC（悬点为B）在结点C处共同连着质量为的小球Q，长细绳能承受的最大拉力为60N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N。转动圆筒使BC绳被水平拉直，小球Q在水平面内做匀速圆周运动，小球P处于静止状态，此时圆筒顶端A点到C点的距离，细绳BC的长度，重力加速度g取，两绳均不可伸长，小球P、Q均可视为质点。求： （1）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉直（结果可用根号表示）； （2）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉断。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）BC绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC绳与竖直方向的夹角的正弦值 对小球m2受力分析，由牛顿第二定律可知 解得 （2）对小球m2，竖直方向有 得m2=4kg 当BC被拉断时有 解得 【变式训练22-1-13】一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 【答案】（1）0.05m；（2）；（3） 【详解】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得 根据胡克定律得 弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离 （2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得 由几何关系得圆环此时转动的半径为 联立解得 （3）圆环处于细杆末端P时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得 对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有 ， 由几何关系得 联立解得 【变式训练22-1-14】“疯狂大转盘”在游乐场中是很常见的娱乐设施。现在简化模型平面图如图所示，大转盘的最大半径为R，大转盘转动的角速度ω从0开始缓慢的增加。大转盘上有两位游客A和B，分别位于距转盘中心和R处。为保证安全，两游客之间系上了一根轻质不可伸长的安全绳。游客和转盘之间的最大静摩擦力为游客自身重力的k倍，两游客的质量均为m，且可视为质点，重力加速度为g。求： （1）当绳子开始出现张力时，转盘的角速度ω0； （2）当转盘的角速度增加到时，游客A受到转盘的静摩擦力大小； （3）游客A、B相对转盘保持静止，安全绳上的最大张力。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由题可知，A、B具有相同的角速度，根据向心力公式 可知角速度相同时，圆周运动半径越大，向心力越大；B的圆周半径较大，当B达到最大静摩擦力时，绳子即将产生拉力，此时对B有 解得 （2）由于，所以此时绳子有张力，设绳子张力为，则对B 对A，根据牛顿第二定律 解得 （3）设安全绳上的最大张力为，此时加速度为，则与（2）同理分析AB，可得 解得 （二） 竖直平面内的圆周运动临界问题 【典型例题1】（多选）现有一根长0.4m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着一个可视为质点且质量为1kg的小球，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。不计空气阻力，g=10m/s2，则（　　） A．小球以1m/s的速度水平抛出到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之上 B．小球以1m/s的速度水平抛出到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之下 C．小球以2m/s的速度水平抛出的瞬间，绳子的张力大小为10 N D．小球以4m/s的速度水平抛出的瞬间，绳中的张力大小为30N 【答案】BD 【详解】AB．若要想使得细绳恰在与O点水平线时细绳伸直，则需满足 解得 则若小球以1m/s的速度水平抛出，则到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之下，选项A错误，B正确； CD．要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时重力恰好提供的向心力，根据牛顿第二定律可得 mg＝m 解得 v＝＝2m/s 小球以2m/s的速度水平抛出的瞬间，轻绳刚好有拉力，张力为0；小球以4m/s的速度水平抛出的瞬间，对小球受力分析，由牛顿第二定律得 T+mg＝m 解得 T＝30N 故D正确，C错误； 故选BD。 【典型例题2】如图，轻杆的一端固定在水平转轴O上，另一端固定一小球，轻杆随转轴在竖直平面内做匀速圆周运动，位置A与O等高，不计空气阻力，关于杆对球的作用力F，下列说法正确的是（　　） A．小球运动到最高点时，F方向竖直向上 B．小球运动到最低点时，F大于小球重力 C．小球运动到位置A时，F方向指向圆心 D．小球运动到位置A时，F小于小球重力 【答案】B 【详解】A．设小球转动的半径为R，则小球运动到最高点时，根据牛顿第二定律 若速度大于，则F方向竖直向下，若速度小于，则F方向竖直向上，若速度等于，则F为零，故A错误； B．小球运动到最低点时，根据牛顿第二定律有 所以 故B正确； C．小球运动到位置A时，则有 向心力方向指向圆心，F指向斜上方，故C错误； D．小球运动到位置A时，F大于小球的重力，故D错误。 故选B。 【典型例题3】如图所示，有一质量为m的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大于小球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C为管道的最高点和最低点，B为管道上与圆心等高的点，D为管道上的一点，且D与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．若小球在A点的速度大小为，则外侧管壁对小球有作用力 B．若小球在B点的速度大小为，则内侧管壁对小球有作用力 C．若小球在C点的速度大小为，则小球对管道的内外壁均无作用力 D．若小球在D点的速度大小为$ 第08讲 高考曲线运动题型全归纳 目 录 题型 01: 曲线运动基本概念的理解 2 题型02：曲线运动的动力学解释 6 题型03：合运动与分运动的关系 10 题型04：两互成角度运动合运动性质的判断 13 题型05：小船过河模型 16 题型06：绳(杆)端的关联速度问题 22 （一）绳端关联速度的分解问题 22 （二）杆端关联速度的分解问题 26 题型07: 平抛运动规律及应用 33 题型08: 平抛运动临界与极值问题 37 题型09：斜抛运动问题 43 题型10: 平抛运动相遇问题 49 题型11：斜面上的平抛 51 （一）顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 51 （二）对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 56 （三）对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 61 题型12：对着竖直墙壁的斜抛运动（反向平抛） 64 题型13：圆弧面上的平抛运动 66 题型14：类平抛运动 69 题型15：平抛与圆周的临界问题 72 题型16：平抛的多解问题 75 题型17：抛体运动中的功能与动量 77 题型18：圆周运动中的运动学分析 81 题型19：水平面上的圆周运动——圆锥摆模型 88 （一）圆锥摆（类圆锥摆）模型 88 （二) 转盘问题 96 题型20：竖直面内圆周运动 99 题型21：生活中的圆周运动 104 题型22：圆周运动中的临界问题 110 （一）水平面的圆周运动临界问题 110 （二）竖直平面内的圆周运动临界问题 118 （三）斜面上圆周运动的临界问题 131 题型23：圆周运动与图像结合问题 136 （一）水平面内圆周运动与图像结合问题 136 （二）竖直面内圆周运动与图像结合 139 题型24：曲线运动解答题 144 题型 01: 曲线运动基本概念的理解 【典型例题1】图示为国产新型战斗机大仰角加速向上爬升过程的飞行轨迹，轨迹为曲线。下列说法正确的是（　　） A．研究战斗机姿态调整时可以把战斗机看成质点 B．战斗机的路程等于位移大小 C．战斗机所受合力沿轨迹的切线方向 D．飞行员处于超重状态 【答案】D 【详解】A．研究战斗机姿态调整时，战斗机自身的大小不能忽略，所以不能把战斗机看成质点，故A错误； B．战斗机的轨迹为曲线，其位移小于路程，故B错误； C．战斗机所受合力指向轨迹的凹面，故C错误； D．战斗机以大仰角加速向上爬升的过程中，有竖直向上的加速度，所以飞行员处于超重状态，故D正确。 故选D。 【典型例题2】近年来，我国在高超音速滑翔飞行器（HypersonisGlide Vehicle，HGV）技术领域取得突破性进展。某型HGV采用“助推-滑翔”弹道技术，由运载火箭发射至大气层边缘后，用类似打水漂的方式以超过5马赫的速度进行无动力滑翔飞行，具有射程远、突防能力强、轨迹多变等特点，可应用于航天返回、快速全球打击等任务，展现了我国在先进飞行器领域的科技实力，其弹道轨迹如图所示。下列说法错误的是（    ） A．导弹在a点速度方向指向轨迹切线方向 B．导弹在a点所受合力的方向指向地球 C．导弹在b点所受合力的方向沿轨迹切线方向 D．导弹在b点附近一小段轨迹可视为匀变速曲线运动 【答案】C 【详解】A．导弹做曲线运动，导弹速度方向一定沿着轨迹切线方向，A正确，不符合题意； B．导弹在a点附近处于大气层外，没有空气阻力，a点附近导弹只受重力，所以导弹在a点所受合力的方向指向地球，B正确，不符合题意； C．导弹在b点受到的合力方向不可能沿轨迹切线方向，而应指向曲线凹侧，导弹在b点所受合力的方向背向地球，C错误，符合题意； D．导弹在b点附近一小段可以看做匀速圆周运动的一小部分，向心加速度大小不变，方向与速度垂直，当时间趋于零，可认为加速度不变，轨迹可视为匀变速曲线运动，D正确，不符合题意。 故选C。 【变式训练1-1】书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 【变式训练1-2】如图所示为神舟18号返回舱顺利返回地球的示意图，返回舱先与轨道舱分离再进行减速，调整姿态后从A点进入大气层，最后降落在地球上B点处，关于返回舱在A点受到的合外力F的示意图，下列可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-3】如图所示，甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车赛道的实景图，乙图是其示意图。比赛时，运动员从起点沿赛道快速向终点滑去，先后经过A、P、B、C、D五点。运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式训练1-4】（多选）如图所示，下雨时，某人竖直撑着雨伞向左行走，假定水滴从伞的珠尾处下落瞬间相对雨伞的速度沿竖直方向，当人向左走时，他看到的从身侧珠尾滴落的水滴的轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-5】我国选手徐一璠首进美网决赛，成为美网历史上第一位打进女双决赛的中国大陆选手。由网球运动员在边界处正上方水平向右击出的网球在空中的运动轨迹如图所示，、、为轨迹上的三点，、为两点连线，为曲线在点的切线，网球在运动过程中可视为质点，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．网球做变加速运动，在点的速度方向沿方向 B．网球做变加速运动，在点的速度方向沿方向 C．网球做匀变速运动，在点的速度方向沿方向 D．网球做匀变速运动，在点的速度方向沿方向 【变式训练1-6】在航空表演中，一架特技飞机进行展示“落叶飘”飞行技术动作，轨迹呈螺旋形。关于该飞机的运动，下列说法正确的是（　　） A．速度方向不断变化 B．竖直方向做匀加速直线运动 C．加速度保持不变 D．所受合力方向与速度方向相同 【变式训练1-7】在珠海航展上，我国自主研制的“威龙”J-20高性能五代歼击机在空中表演时做了连续的开普勒抛物线飞行，飞机从左向右运动的飞行轨迹如图所示，图中各点瞬时速度与飞机所受合力的方向可能正确的（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【变式训练1-8】“玉兔二号”是我国自主设计制造并成功登陆月球的第二辆无人探测车，图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，巡视器质量为130kg，则巡视器（　　） A．受到月球的引力为1300N B．在AB段运动时加速度可能为0 C．OA段与AB段的位移相同 D．从O到B的路程等于OAB轨迹长度 【变式训练1-9】将一条长为L的纸带扭转180°后连接两端就构成了一个莫比乌斯环，不考虑连接纸带时的长度损失。一只蚂蚁以恒定的速率v从纸带上标记点P沿纸带中线向前爬行，当其再一次来到P点的过程中，蚂蚁的（　　） A．平均速度为零 B．运动时间为 C．加速度始终为零 D．重力的瞬时功率不变 题型02：曲线运动的动力学解释 【典型例题1】如图所示，某运动员主罚任意球时，踢出快速旋转的“落叶球”，则“落叶球”（  ）    A．在空中的运动轨迹是对称的 B．运动到最高点时速度为零 C．相比正常轨迹的球，下落更快 D．在最高点时加速度方向一定竖直向下 【答案】C 【详解】A．落叶球被踢出后还在快速旋转，在空气作用力的影响下，轨迹不对称，故A错误； B．落叶球运动到最高点时，速度方向沿轨迹切线方向，速度不为零，故B错误； C．落叶球下落更快是因为在运动过程中还受到了指向曲线轨迹内侧的空气作用力，故C正确； D．落叶球在最高点时还受到空气作用力，因此加速度方向一定不是竖直向下，故D错误。 故选C。 【典型例题2】（多选）足球比赛中，运动员发任意球时，踢出的足球有时会在行进中绕过“人墙”转弯进入球门（如图甲），这就是所谓的“香蕉球”。踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时，足球向前运动的同时还在绕轴自转（如图乙所示）；自上向下观察（如图丙所示）由于足球的自转使贴着足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动，导致足球、两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，使得足球发生偏转。则（　　） A．甲图中足球受到空气压力向左 B．甲图中足球受到空气压力向右 C．空气流速大的一侧压力大 D．空气流速小的一侧压力大 【答案】BD 【详解】AB.甲图中足球受到空气的压力，而绕过“人墙”转弯进入球门，根据曲线运动的特点，可知足球受到的空气压力指向运动轨迹的凹侧，根据甲图中足球的运动轨迹可判断，足球受到的空气压力向右。A错误，B正确； CD.踢出“香蕉球”是因为足球两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，压力较大的一侧会推动足球向压力较小的一侧偏转。从丙图可知，压力差指向空气流速快的一侧，即空气流速大的一侧压力小，空气流速小的一侧压力大。C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练2-1】一列车沿直线向右匀加速运动的过程中，列车车厢顶部落下一个小物块，不计空气阻力，则物块相对车厢的轨迹a和相对地面的轨迹b均可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2】某自动流水线装置可以使货物在水平传送带上运动方向转过，其示意图如图所示。货物与传送带间不发生相对滑动，则（　　） A．以地面为参考系，货物是静止的 B．转弯过程中，货物始终处于平衡状态 C．转弯过程中，货物的惯性发生变化 D．研究货物的运动轨迹时，可以将其视为质点 【变式训练2-3】如图所示，乒乓球从斜面滚下后，以某一速度在水平的桌面上做直线运动。在与乒乓球路径垂直的方向上放一个直径略大于乒乓球的纸筒。当乒乓球经过纸筒正前方时，用吸管对着球横向吹气。下列说法正确的是（　　） A．乒乓球仍沿着直线运动 B．乒乓球将偏离原来的运动路径，但不进入纸筒 C．乒乓球一定能进入纸筒 D．只有用力吹气，乒乓球才能进入纸筒 【变式训练2-4】我国首台国产深海微生物原位采样自主水下航行器（MSAUV），实现了深海微生物的原位采样、保存和分析。如图所示是航行器某次水下采样的运动轨迹，已知A到B的轨迹长度为3km，直线距离为1.2km，BC段轨迹为曲线，完成整个过程所用时间为0.3h，则（　　） A．航行器在D点处的加速度为零 B．航行器经过C点的速度与经过D点的速度可能相同 C．整个过程，航行器的平均速率约为1.1m/s D．整个过程，航行器的平均速度大小约为1.1m/s 【变式训练2-5】为使汽车快速平稳转弯，驾驶员经常采用“入弯减速，出弯加速”的技巧。汽车采用该技巧在单向路面水平弯道入、出弯道时，其所受水平合力为、速率为。则下列方向关系图中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-6】一个带正电的试探电荷在一负点电荷产生的电场中运动的轨迹如图中实线所示，已知试探电荷只受电场力作用，且在M点加速度比在N点加速度大，则负点电荷可能位于（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【变式训练2-7】如图所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右点。不计重力，下列表述正确的是（ C ） A．粒子在M点的速率最大 B．粒子所受电场力沿电场方向 C．粒子在电场中的加速度不变 D．粒子在电场中的电势能始终在增加 题型03：合运动与分运动的关系 【典型例题1】（多选）图甲为一种常见的3D打印机的实物图，打印喷头做x轴、y轴和z轴方向的运动，时，打印喷头从打印平台的中心开始运动，在x轴方向的位移-时间图像和y轴方向的速度-时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　） A. 末喷头的速度大小为 B. 喷头运动轨迹可能是图丁中的轨迹P C. 末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为 D. 末喷头离打印平台中心的距离为 【答案】BCD 【解析】由图乙可知，在x轴方向做匀速直线运动，速度大小为 由图丙可知，在y轴方向做匀加速直线运动，加速度大小为 末喷头在y轴的分速度大小为 末喷头的速度大小为 故A错误；由以上分析可知，喷头在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀加速直线运动，所以合力沿y轴方向，所以轨迹可能为P，故B正确；末喷头沿y轴方向的分速度大小为 设末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为，则 解得 故C正确；末喷头沿x轴的位移大小为 在y轴方向的位移大小为 所以，末喷头离打印平台中心的距离为，故D正确。 【典型例题2】深圳大疆公司是全球知名的无人机生产商，生产的无人机在各行各业中得到了广泛应用。一测试员应用无人机搭载的加速度传感器进行飞行测试。图甲是在测试软件中设定的x、y、z轴的正方向，其中z轴沿竖直方向，无人机开始时沿y轴正方向匀速飞行，从t=0时刻开始测试员进行变速操作，软件生成了x、y、z轴方向的（加速度－时间）图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．0~1s无人机处于失重状态 B．0~1s沿x轴方向无人机做减速动 C．1s~2s沿y轴方向无人机做加速动 D．1s~2s沿z轴方向无人机做加速动 【答案】D 【详解】A．由图可知，0~1s无人机沿z轴方向的加速度为零，即无人机在沿z轴方向受力平衡，故A错误； B．由图可知，0~1s无人机有沿x轴负方向的加速度，沿x轴方向的初速度为零，所以无人机沿x轴负方向做加速运动，故B错误； C．无人机开始时沿y轴正方向匀速飞行，由图可知，0~2s无人机有沿y轴负方向加速度，所以无人机沿y轴正方向先做减速运动，由于不确定0~1s无人机沿y轴正方向是否减小到零，所以1s~2s沿y轴正方向无人机可能做减速运动、先沿y轴正方向减速后反向加速或者y轴负方向加速运动，故C错误； D．由图可知，0~1s无人机沿z轴方向的加速度为零，初速度为零，所以0~1s无人机沿z轴方向的速度一直为零；由图可知，1s~2s无人机有沿z轴负方向的加速度，所以无人机沿z轴负方向做加速运动，故D正确。 故选D。 【变式训练3-1】（多选）某实验小组做了一个有趣的实验，在沿水平直线行驶的汽车内部顶上固定一个水罐，水罐底部有小孔源源不断向车内漏水。忽略空气阻力，如果汽车在做匀变速直线运动，则关于车上的人观测到空中水的排列，下图中哪些可能正确（　　）（曲线为抛物线） A． B． C． D． 【变式训练3-2】2025年元宵节晚上，闽江延平段进行无人机表演，给节日氛围增添了几许惊艳。某参演的无人机在x、y方向的，图像如图（a）（b）所示。则在时间内，该无人机运动的轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-3】达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式训练3-4】跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中，一位极限运动员从飞机上由静止跳下后，下列说法中正确的是（    ） A．风力越大，运动员下落时间越长 B．运动员下落时间与风力无关 C．风力越大，运动员落地时的竖直速度越大 D．运动员落地速度与风力无关 题型04：两互成角度运动合运动性质的判断 【典型例题1】如图甲为我国研制的爆轰驱动超高速高焓激波风洞，其各项性能指标均处于领先地位。假设某风洞能够产生水平方向的恒定风力，在竖直平面内建立如图乙所示直角坐标系。从轴上点以某一速度抛出一小球，一段时间后小球到达轴上点，已知小球在点时速度方向与水平方向的夹角为，在点速度方向与水平方向的夹角为间的距离为，则运动过程中小球的最小速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于小球在水平和竖直方向上受力均恒定，则小球在水平和竖直方向上均做匀变速直线运动，小球在点和点竖直方向上的速度大小相等，设小球在点竖直方向的速度大小为，由直线运动规律可知从到小球运动的时间为 设小球在水平方向上的加速度为，则在水平方向上有， 联立解得 小球合加速度如图1所示，则小球所受合力方向与轴方向夹角为，斜向右下方，小球的初速度大小为。当小球沿合力方向的速度为零时，小球的速度最小，如图2所示，此时小球的速度大小为垂直合力方向的速度大小，即 故选A。 【典型例题2】如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与抛出点间的水平距离为2 h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，竖直方向有 有风时竖直方向运动情况不变，落到与抛出点等高的位置所用时间 水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，有 联立解得，故选C。 【变式训练4-1】如图，物块以某一初速度滑上足够长固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A. B. C. D. 【变式训练4-2】如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度在光滑水平桌面上沿直线匀速运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上有一个洞，当球经过洞口正前方时，对球沿三个不同的方向吹气，下列说法正确的是（　　） A．沿方向1吹气，乒乓球可能进入洞内 B．沿方向2吹气，乒乓球可能进入洞内 C．沿方向3吹气，乒乓球可能进入洞内 D．沿三个方向吹气，乒乓球均不可能进入洞内 【变式训练4-3】空中一热气球在风力作用下运动，沿水平方向（x轴）、竖直方向（y轴）运动的分运动vx−x、vy−y图像如图所示，则关于热气球的运动和受力说法正确的是（　　） A．合运动为匀变速直线运动 B．合运动为变加速曲线运动 C．所受的合力为恒力 D．所受合力一直减小 【变式训练4-4】一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度及竖直向上的速度，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是（    ） A．演员在时刻处于超重状态 B．演员在这段时间内沿直线飞行 C．演员在时刻上升至最高点 D．演员在时间内做匀变速曲线运动 【变式训练4-5】如图所示，在一次直升机营救演练中，某段时间内直升机用吊绳拉着被营救人员在水平方向做匀速直线运动，同时吊绳穿引被营救人员沿竖直方向做匀加速运动，不计空气阻力，此过程中，下列说法正确的是（　　） A．被营救人员所受的合外力竖直向上 B．被营救人员所受的合外力斜向上 C．相对地面，被营救人员的速度大小随时间均匀增大 D．相对地面，被营救人员的运动轨迹为斜向上的直线 题型05：小船过河模型 【典型例题1】如图所示，两平行河岸的间距为d，水稳定沿着河岸流动，一条小船从河岸渡到河对岸，船在静水中的速度（为已知量）指向河的上游与河岸的夹角为37°，船速（即合速度）（为未知量）指向河的下游与河岸的夹角也为37°，水流的速度（为未知量），，，下列说法正确的是（   ） A．船速 B．水速 C．小船被冲向下游的距离为 D．小船渡河的时间为 【答案】B 【详解】B．、、构成的矢量三角形如图所示 由几何关系可得， 解得，A错误，B正确； C．由几何关系可得小船被冲向下游的距离，C错误； D．小船渡河的位移s与同向，与河岸的夹角为37°，河宽为d，由几何关系可得 小船渡河的时间，D错误。 故选B。 【典型例题2】解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为d的小河。现有甲、乙两个战斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ角，两船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A点，则（    ） A．甲船渡河时间为 B．乙船比甲船更早到达对岸 C．靠岸时两船间距增大了 D．如果河水流速增大，甲船不改变船头方向也能到达A点 【答案】C 【详解】AB．将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，可知甲、乙两船到达对岸的时间均为 故两船同时到达对岸，故AB错误； C．靠岸时两船间距增大了 故C正确； D．水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A点，则 故如果河水流速增大，要使甲船到达A点，小船船头与河岸夹角应减小，故D错误。 故选C。 【变式训练5-1】一条两岸平直的宽为d的小河如图所示，河水流速恒定。一人驾驶小船从上游渡口A前往下游渡口B。已知全程船在静水中的速度大小恒定，船在静水中的速度大小与河水流速大小之比为，行驶中船头始终垂直河岸，则A、B两渡口沿河岸方向的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】游泳是人们很喜爱的运动之一。如图，某游泳运动员在河中的点发现正下游处有一半径为的旋涡，当时水流速度为点与点的距离，该运动员为了能避开旋涡沿直线到达安全地带，其在静水中的速度至少为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-3】如图，一艘小船船头始终垂直于河岸，从岸边向对岸航行。已知船在静水中的速度大小，水流速度大小，河的宽度，下列说法正确的是（　　） A．小船过河的时间为15s B．小船过河的时间为20s C．小船能垂直到达河的正对岸 D．小船不能垂直到达河的正对岸 【变式训练5-4】现代宇航服自带推力系统，航天员进行太空出舱活动离开飞船，即使没有安全绳，也能通过宇航服的自带推力系统喷射气体获得的反冲速度，使宇航员回到飞船。如图所示，某宇航员通过宇航服的推力系统以的初速度平行于舱壁匀速运动。舱门在舱壁上A点，初速度方向上B点与离A点最近，A、B两点间距离。宇航员在平行舱壁匀速运动到某位置再通过宇航服的推力系统获得大小为u的反冲速度后，运动位移x回到舱门A点。将宇航员视为质点。下列说法正确的是（　　） A．宇航员在B点向下喷气，能到达A点 B．宇航员最快能1s回到舱门 C．当反冲速度大小时，x的最小值为5m D．当反冲速度大小时，x的最小值为10m 【变式训练5-5】一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短 B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大 C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大 D．图甲和图乙中小船均做曲线运动 【变式训练5-6】法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出光线传播的路径是所需时间最少的路径，即费马原理，光的折射即遵从这一原理实际生活中的下述现象也可类比折射定律来理解。如图所示，地面上陶陶在距笔直的河岸10m处的A点，发现落水的琪琪位于水面上距河岸50m处的B点。陶陶在地面上奔跑的速度大小为，在水中游泳的速度大小为，奔跑、游泳均视为匀速直线运动。可知此次营救中，陶陶在陆地的速度与河岸夹角30°，在水中的速度与河岸夹角60°将最省时。由题中信息和所学物理知识可知（　　） A．陶陶在水中游泳的速度大小为 B．陶陶在水中游泳的速度大小为 C．陶陶到达琪琪处的最短时间为12s D．陶陶到达琪琪处的最短时间约为16s 【变式训练5-7】如图所示，消防员正在宽度为d=100m，河水流速为 的河流中进行水上救援演练，可视为质点的冲锋舟距离下游危险区的距离为x=75m，其在静水中的速度为v2，则（　　） A．若冲锋舟以在静水中的初速度为零，船头垂直于岸的加速度为a=0.9m/s²匀加速冲向对岸，则能安全到达对岸 B．为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中的速度v2不得小于3m/s C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度 匀速航行，则恰能到达正对岸 D．冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t=25s 【变式训练5-8】小王和小张学习运动的合成与分解后，在一条小河中进行实验验证。两人从一侧河岸的同一地点各自以大小恒定的速度向河对岸游去，小王以最短时间渡河，小张以最短距离渡河，结果两人抵达对岸的地点恰好相同，若小王和小张渡河所用时间的比值为1：2，则小王和小张在静水中游泳的速度的比值为（　　） A．1：2 B． C． D．2：1 【变式训练5-9】如图甲，某同学需要通过小木筏渡过一条河，已知小木筏在静水中的速度大小为。受地形等因素影响，不同位置河水流速会有变化。出发点A下游某位置的水流速度与该位置到A点的沿河距离关系如图乙所示，已知小木筏前端始终垂直河岸，最终到达对岸偏离正对面的B处，则以下说法正确的是（　　） A．小木筏在河水中的轨迹是直线 B．河的宽度为 C．若水流速度恒为，小木筏过河时间将变短 D．若水流速度恒为，小木筏可调节前端指向使轨迹垂直河岸渡河 【变式训练5-10】在体育场的水平地板上建立平面直角坐标系，一辆电动玩具小车在地板上运动，坐标原点为时刻小车的位置坐标，如图（a）所示，其沿轴正方向的速度随时间变化规律如图（b）所示，沿轴正方向的位移随时间的变化规律如图（c）所示（图线为抛物线的一部分，坐标原点为抛物线的顶点），则（　　） A．小车的加速度大小为 B．时刻小车的速度大小为 C．时刻小车的位移大小为 D．时刻小车的位置坐标为（32m，24m） 【变式训练5-11】下落的雨滴由于受水平风力的影响往往会倾斜匀速下落，假设有一段和风向平行的公路，小明坐在顺风行驶的汽车里，他通过侧面车窗观察到雨滴形成的雨线大约偏向后方30°，如图1所示。小红坐在逆风行驶的汽车里（两车的速率相同），她通过侧面车窗观察到雨滴形成的雨线大约偏向后方60°，如图2所示。则车速与雨滴的水平速度之比约为（　　） A．1:2 B．2:1 C．3:1 D．3:1 【变式训练5-12】（多选）如图所示，河宽为d，河水的流速恒定、船在静水中的速度的大小不变，船从河岸的A点沿虚线轨迹运动，匀速到达河对岸的B点，、与虚线的夹角分别为、，下列说法正确的是（　　） A．船的实际运行速度为 B．船的实际运行速度 C．渡河时间与河水的流速有关 D．当时，渡河的时间为 题型06： 绳(杆)端的关联速度问题 （1） 绳端关联速度的分解问题 【典型例题1】如图所示，通过光滑的定滑轮拉着小船靠岸，拉绳的速度恒为，开始时拴接小船的绳与水平方向的夹角，经时间绳与水平方向的夹角为，已知滑轮与小船上沿的高度差为，不计定滑轮大小，，。则下列说法正确的是（　　） A．小船做匀速运动 B． C．时小船的速度大小为 D．时小船的速度大小为 【答案】C 【详解】A．将船速分解为沿绳方向和垂直绳方向，则 为绳和水平方向夹角，随着角度变大，船速变大，故A错误； B．根据几何关系，故B错误； C．时小船的速度大小为，故C正确； D．时小船的速度大小为，故D错误。 故选C。 【典型例题2】（多选）如图所示，足够长的直角支架固定在竖直平面内，其中细杆粗糙，沿水平方向，细杆光滑，沿竖直方向。质量分别为m和的小圆环P和Q分别套在两个细杆上，两个小圆环用轻绳拴接。初始时，圆环P被锁定，绷紧的轻绳与水平方向的夹角为，圆环P与细杆间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，，，则下列说法正确的是（　　） A．初始时，轻绳上的拉力大小为5mg B．解除P锁定后瞬间，轻绳上的拉力大小为 C．解除P锁定后瞬间，圆环P的加速度大小为 D．解除P锁定后瞬间，圆环Q的加速度大小为 【答案】ABD 【详解】A．初始时以Q为研究对象，根据受力平衡可得 故A正确； BCD．设解除锁定瞬间绳子拉力为T′，以Q为研究对象，根据牛顿第二定律可得 以P为研究对象，根据牛顿第二定律可得，， 两球沿绳子方向的加速度相等，则 联立解得，， 故BD正确，C错误。 故选ABD。 【变式训练6-1-1】如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为。则（　　） A．若A做匀速运动，则B也做匀速运动 B．若B做匀速运动，则A做加速运动 C．若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为时，拉力F有最小值 D．若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为时，拉力F一直在增大 【变式训练6-1-2】质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。已知重力加速度为g。当小车和滑轮间的细绳与水平方向成θ2夹角时（如图所示），下列判断正确的是（ ） A．P的速率为vcosθ1 B．P的速率为vsinθ2 C．运动过程中P处于超重状态 D．绳的拉力始终等于mgsinθ1 【变式训练6-1-3】在水平面上有A、B两物体，通过一根跨过定滑轮的轻绳相连，现A物体以的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面的夹角分别为α、β时（如图所示），B物体的运动速度为（绳始终有拉力）（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-1-4】如图所示，左侧为一个固定在水平桌面上的半径为的半球形碗，碗口直径AB水平，点为球心，右侧是一个足够长固定斜面，一根不可伸长的轻质细绳跨过碗口及定滑轮，两端分别系有可视为质点的小球和，且。开始时恰在A点，在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直，C点在圆心的正下方，不计一切阻力及摩擦。当由静止释放开始运动，则下列说法中正确的是（　　） A．在从A点运动到C点的过程中，的机械能先增大后减小 B．沿斜面上滑过程中，地面对斜面的支持力始终保持恒定 C．当运动到C点时，的速率是速率的倍 D．若运动到C点时细绳突然断开，在细绳断开后，能沿碗面上升到B点 【变式训练6-1-5】如图所示，竖直面内一定滑轮固定在A点，轻绳绕过定滑轮后右端固定于B点，轻绳左端连接质量为M的物体甲，把一个质量为m的物体乙系在轻绳的结点C上，用手托至BC段轻绳水平静止。现放手使乙运动，运动过程中BC与水平方向的夹角用α表示。已知乙到达最低点时两段轻绳的夹角为90°且（如虚线所示），滑轮视为质点，重力加速度为g，不计一切摩擦，则下列说法正确的是（　　） A．物体乙向下运动的过程中，物体甲先失重后超重 B．物体乙向下运动的过程中，甲和乙的速度关系为 C．物体乙到达最低点时BC段轻绳拉力为 D．物体乙到达最低点时AC段轻绳的拉力为 【变式训练6-1-6】如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【变式训练6-1-7】如图所示，光滑的细杆固定放置，与水平方向的夹角为，质量为的小球与质量为的物块通过轻质细线连接，细线跨过天花板上的两个轻质定滑轮。小球套在细杆上从某处由静止开始上滑，细线一直处于伸直状态，当小球运动到A点时，速度沿着杆斜向上大小为，细线与细杆之间的夹角为，当小球运动到B点时，细线与细杆垂直。已知A、B两点之间的距离为，重力加速度为，，，下列说法正确的是（　　） A．当小球在A点时，物块的速度大小为 B．小球从A点运动到B点，系统总重力势能的减小量为 C．当小球运动到B点时，小球速率最大 D．小球从A点运动到B点，细线对小球做的功为 【变式训练6-1-8】如图所示，人拉绳子使小船沿水面向河岸靠近，图中绳上点的速度方向符合实际的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ （二）杆端关联速度的分解问题 【典型例题1】如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大 B．球与物块分离前，球与物块的速度相等 C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小 D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度 【答案】D 【详解】AD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力FN，如图1所示， 在水平方向由牛顿第二定律得 分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平方向的分加速度与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而逐渐增大，所以弹力逐渐减小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度等于重力加速度g，故A错误，D正确； B．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，如图2所示， 将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，故B错误； C．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加速，故C错误。 故选D。 【典型例题2】（多选）如图所示为内燃机中轻质活塞和曲柄连杆结构的示意图和简图。汽缸内高压气体推动活塞使其往复运动，某时刻活塞的速度为，连杆AO与活塞轴线BO垂直，汽缸中高压气体及外部大气对活塞作用力的合力大小为F，已知，不计一切摩擦，则此刻（　　） A．活塞对连杆AB的作用力为2F B．汽缸壁对活塞的作用力为 C．连杆AB的A端沿连杆AB方向的线速度为 D．连杆OA的A端绕O点转动的线速度为 【答案】BD 【详解】AB．连杆AO与活塞轴线BO垂直时，由几何关系可知BA与BO之间的夹角 由于是轻质活塞，所以活塞所受合外力为零，活塞受连杆AB对其的推力、汽缸壁对其的弹力和高压气体及外部大气对活塞的作用力作用，如图所示 根据平衡条件可得 解得 故A错误，B正确； CD．沿连杆AB方向和垂直于连杆AB方向分解，如图所示 沿连杆AB方向的速度 连杆OA的A端绕O转动的线速度 故C错误，D正确。 故选BD. 【变式训练6-2-1】（多选）如图所示，长为的轻杆一端连着质量为的小球，另一端用活动铰链固接于水平地面上的点，初始时小球静止于地面上，边长为、质量为的正方体左侧静止于点处。现在杆中点处施加一大小始终为（为重力加速度）、方向始终垂直杆的拉力，经过一段时间后撤去，小球恰好能到达最高点。小球运动到最高点后由于扰动由静止开始向右倾斜，忽略一切摩擦，则以下说法正确的是（　　） A．拉力所做的功为 B．拉力撤去时小球的速率为 C．当轻杆与水平面夹角为时（正方体和小球还未脱离），小球与正方体的速率之比为 D．当轻杆与水平面夹角为时（正方体和小球还未脱离），正方体的速率为 【变式训练6-2-2】如图所示，套在竖直固定的细杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，环A从P由静止释放，此时绳与竖直杆间的夹角为α，沿杆上升经过Q点，经过Q点时A与定滑轮的连线处于水平方向，A的速度为νA（不等于零）。（不计一切摩擦阻力）则下列说法正确的是（　　） A．当A经过Q点时，B的速度等于νA B．当A经过Q点时，B的速度方向向下 C．当A从P至Q的过程中，B的速度先增后减少 D．当A从P至Q的过程中，绳的拉力始终大于B的重力 【变式训练6-2-3】（多选）建筑工地常用如图所示装置将建材搬运到高处，光滑杆竖直固定在地面上，斜面体固定在水平面上，配重P和建材Q用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，配重P穿过光滑竖直杆，建材Q放在斜面体上，且轻绳与斜面平行，开始时建材静止在斜面上，之后增加配重质量，建材沿斜面上滑，下列分析正确的是（　　） A．当P、Q滑动时，则P、Q速度大小一定相等 B．当P、Q滑动时，P减小的机械能一定等于Q增加的机械能 C．当P、Q静止时，细线上的拉力一定大于竖直杆对P的弹力 D．当P、Q静止时，斜面对Q的摩擦力可能斜向下 【变式训练6-2-4】如图所示，一足够长且不可伸长的轻绳的一端系一小环甲，另一端系一重物乙，甲套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为L，现将甲从与定滑轮等高的O处由静止释放，当甲沿直杆下滑到图中P处时，OP的距离也为L，已知甲、乙重分别为G和2G，定滑轮大小及质量可忽略，则（　　） A．甲释放后，甲的机械能守恒 B．甲到达P处时，乙上升的高度也为L C．甲在P处的速度与乙上升的速度大小之比等于 D．甲在P处的速度与乙上升的速度大小之比等于 【变式训练6-2-5】（多选）如图所示，物块甲（视为质点）套在光滑水平固定放置的硬细杆上，物块乙放置在倾角为30°的光滑斜面上，轻质细线跨过定滑轮（体积忽略不计），两端分别与甲、乙连接，甲、乙的质量均为m，当甲从A点由静止释放时,乙处在C点，绳子伸直，已知两段绳子与水平方向的夹角均为30°，B点是滑轮正下方杆上的点，且滑轮与B点的高度差为h，不计滑轮的摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．当甲从A点运动到B点，系统重力势能的减小量为mgh B．当甲运动到B点时，乙的速度为0，甲的速度大小为 C．当滑轮与甲之间的细绳与水平方向的夹角为60°时，乙的速度大小为v0则甲的速度大小为 D．当甲运动到B点时，杆对甲的弹力竖直向下大小为F，则乙的加速度大小为 【变式训练6-2-6】如图甲、乙所示，两个相同的物块P、Q均置于光滑水平地面上，细杆分别绕以相同的角速度沿顺时针方向转动。A、B分别为细杆与物块的接触点，某时刻两细杆与水平地面之间的夹角均为，此时的长度分别为。关于该时刻，下列说法正确的是（　　） A．P的速度大小为 B．Q的速度大小为 C．P、Q的速度大小相等 D．P、Q的速度大小之比为 【变式训练6-2-7】楔形结构是机械中很常用的设计方式，具有可以改变作用力方向而且结构较紧凑这两个优点。如图是一个楔形结构的例子，质量分别为，的两个楔形块AB恰好能贴合在一起。两个光滑竖直面将楔形块A夹在竖直方向，两个水平面将楔形块B夹在水平方向。若不施加外力时，B恰好能静止在地面上，当在B上施加水平外力F时，A只能竖直上下移动，B只能水平左右移动，不计AB间的摩擦力，B和地面间的动摩擦因数，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．B与地面间的夹角满足 B．B匀速向左运动时， C．若增加A的质量，不需要增大F就能使B保持静止 D．若施加外力，使B以的加速度向左运动，则A以的加速度向上运动 【变式训练6-2-8】“灯光表演”中，同学们用投影仪把校徽图案投到教学楼的墙壁上（如左图）。现将投影过程简化为如右图所示，投影仪放置在水平地面上，与教学楼相距20m，此时校徽图案距离地面15m，正在沿竖直方向以0.02m/s的速度上升。此时投影仪转动的角速度约为（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-2-9】往复式活塞压缩机是通过活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体的压缩机，简图如图所示，圆盘与活塞通过铰链、连接在轻杆两端，左侧活塞被轨道固定，只能在方向运动，圆盘绕圆心（定点）做角速度为的匀速圆周运动，已知距离为，杆长，则（　　） A．当距离不变时，杆长越大，活塞运动的范围越大 B．活塞运动范围与杆长无关 C．当垂直于时，若与夹角为，则活塞速度为 D．当垂直于时，活塞速度为 【变式训练6-2-10】（多选）如图所示为某内燃机的活塞——曲轴结构，该结构由活塞滑块P和连杆PQ、OQ组成。其中滑块P穿在固定杆上，Q点可绕着O点顺时针转动，工作时气缸推动活塞滑块P沿着固定杆上下运动，带动Q点转动。已知连杆OQ长为R，某时刻活塞滑块在竖直杆上向下滑动的速度为v，连杆PQ与固定杆的夹角为θ，PQ杆与OQ杆的夹角为φ（此时φ为钝角）。下列说法正确的是（　　） A．此时Q点的线速度为 B．此时Q点的角速度为 C．若Q点匀速转动，则此时P向下加速 D．P的速度大小始终小于Q点的线速度大小 【变式训练6-2-11】（多选）如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB，OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB长为R，连杆AB长为L（），当OB杆以角速度ω逆时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β。在滑块向左滑动过程中（　　） A．滑块A从右向左先做加速度减小的加速运动，后做加速度减小的减速运动 B．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为 C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为 D．当时，滑块的速度大小为 题型07:平抛运动规律及应用 【典型例题1】如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A. 两颗鸟食同时抛出 B. 在N点接到的鸟食后抛出 C. 两颗鸟食平抛的初速度相同 D. 在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】D 【解析】鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有 由于 < ，则 < ，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，A、B项错误；在水平方向有x = t，如图 过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，C项错误、D项正确。 【典型例题2】如图（a）所示，一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。打开花洒后，如图（b）所示，水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度大小相同，从花洒中喷出的水落于水平地面（分别为最左、最右端两落点），不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】.C 【解析】设水龙头最低点离地面的高度为h，水龙头的半径为R，水滴距离地面的高度为，初速度为，则有， 解得，其中 由于y均匀增加时，x不是均匀增加，且x增加得越来越慢，所以俯视的形状为C图。 故选C。 【变式训练 7-1】如图所示，某同学在面对竖直墙壁练习打网球。该同学将网球以的初速度正对墙壁水平击出，击球点距离地面高度，到竖直墙壁的水平距离。网球跟竖直墙壁碰撞后，竖直方向的分速度大小不变，反弹后水平速度的大小变为碰前的60%，g取，网球可视为质点，不计空气阻力，则网球第一次的落地点与击球点之间的水平距离为（　　） A．8.0m B．7.5m C．7.0m D．6.0m 【变式训练 7-2】在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为（    ） A． B． C． D． 【变式训练 7-3】如图所示，磁极和铁芯之间存在辐向磁场，圆弧ABC和位于以O点为圆心的竖直圆周上，圆的半径为，A、C等高，，圆面处的磁感强度为。质量为，长度为1m的导体棒P始终通以垂直纸面向外的大小为1A的恒定电流，导体棒由A点静止释放，经C点时以速度v离开磁场区域，落在倾角为斜面上的E点。不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度大小g取，则（　　） A．导体棒离开C点的速度大小为 B．导体棒从C点到E点时间为 C．CE距离为 D．导体棒在E点的速度方向与斜面的夹角为 【变式训练 7-4】如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点. 质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线. M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点. 已知平抛的初速度为20m/s，MP=20m，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是 A．QM的长度为10m B．质点从O到P的运动时间为1s C．质点在P点的速度v大小为40m/s D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45° 【变式训练 7-5】如图所示，从高度为H的A点以初速度水平向左抛出一颗石子（可视为质点），石子刚好落在砖墙的最下端B处。已知砖墙的高度为，重力加速度为，不计空气阻力，则石子在下落过程中到达与砖墙顶部等高的C点时，到墙面的距离L为（　　） A． B． C． D． 【变式训练 7-6】某草坪安装了一个水平喷水的喷灌系统，喷头离地面的高度为h，调整喷水速度使水恰好覆盖到离喷头水平距离为s的草坪边缘。若喷头高度调整为，仍要让水覆盖到原草坪边缘，忽略空气阻力，喷水的初速度应调整为原来的（　　） A．倍 B． C．1倍 D．2倍 【变式训练 7-7】如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，小球从斜面上M点的正上方0.2m处由静止下落，在M点与斜面碰撞，之后落到斜面上的N点。已知小球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的分量不变，沿垂直于斜面方向的分量大小不变，方向相反，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小g=10m/s2，忽略空气阻力，则小球从M点运动至N点所用的时间为（　　） A．0.2s B．0.3s C．0.4s D．0.5s 【变式训练 7-8】如图所示，在水平地面上方某处有一个足够长的水平固定横梁，底部悬挂一个静止的盛水小桶，小桶底部离地面高为h。某时刻开始，小桶以加速度匀加速水平向右运动，同时桶底小孔向下漏水，单位时间漏水量相同。当小桶前进h时，水恰好流尽。略去漏水相对小桶的初速度，设水达到地面既不反弹也不流动。地面上水线长度为l，定义地上水线单位长度水的质量为k，忽略空气阻力，则（    ） A．，水线从左端到右端k值递减 B．，水线从左端到右端k值递增 C．，水线从左端到右端k值递减 D．，水线从左端到右端k值递增 【变式训练 7-9】如图所示，A、B为小球做平抛运动轨迹上的两点，小球在A点的速度大小为，方向与水平方向的夹角，在B点的速度方向与水平方向的夹角。已知重力加速度的大小为g，，求： (1)小球在B点的速度大小； (2)小球从A点运动到B点的时间。 题型08: 平抛运动临界与极值问题 【典型例题1】中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面片刚被削离时距开水锅的高度为L，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，若将削出的小面片的运动视为平抛运动，且小面片都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面片的描述正确的是（　　） A．空中相邻两个面片飞行过程中水平距离可能逐渐变大 B．掉落位置不相同的小面片，从抛出到落水前瞬间速度的变化量不同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 【答案】A 【详解】A．面片飞行过程中水平方向做匀速直线运动，若先飞出的面片初速度较大，则空中相邻两个面片飞行过程中水平距离逐渐变大，故A正确； B．掉落位置不相同的小面片，下落高度相同，由可知，下落的时间相等，由可知，从抛出到落水前瞬间速度的变化量相等，故B错误； CD．由可知，下落时间为 水平位移的范围为 则初速度的取值范围为 可得 落入锅中时的竖直分速度为 则落入锅中时，最大速度 最小速度为 可知，落入锅中时，最大速度不是最小速度的3倍，故CD错误。 故选A。 【典型例题2】（多选）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点设球1与地面的碰撞是弹性碰撞，忽略空气阻力，则（　　） A．小球1、2的初速度之比为1：3 B．小球1、2的初速度之比为1：4 C．竖直挡板AB的高度 D．竖直挡板AB的高度 【答案】AD 【详解】AB．设M点到N点水平距离为L，对球2整个运动过程的时间t有 解得 可得 ① 球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为H，球2在水平方向一直做匀速运动，有 ， 即 ② 联立①②解得 故A正确，B错误； CD．设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为、，有 设球1到达A点时竖直方向速度大小为，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得 可得碰撞点到A点的时间为 球2刚好越过挡板AB的时间为 水平方向位移关系有 即 解得 故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练8-1】如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2（v2>v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A. x的最小值为 B. x的最小值为 C. y的最小值为 D. y的最小值为 【变式训练8-2】如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m高空悬停着上万只无人机形成无人机群（可视为质点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度抛出炸弹，在距离地面2000m处设置面积为的拦截炸弹区，不计空气阻力，以面积比为拦截炸弹比，取，，则拦截炸弹比约为（　　） A．0.5 B．0.25 C．0.05 D．0.025 【变式训练8-3】如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（ ） A. B. C. D. 【变式训练8-4】如图所示，一只蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网，蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°，A到地面的距离为1m，重力加速度g取，空气阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.6m的C点以水平速度跳出，要到达蛛丝，水平速度至少为（　　） A．m/s B．2m/s C．2m/s D．2m/s 【变式训练8-5】如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 【变式训练8-6】将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 【变式训练8-7】如图所示，在水平地面上方有一矩形平台，平台的长度，在平台上放一张与平台等宽、长为的薄板（将平台左半边完全覆盖），一枚硬币放置在薄板上且到平台左边缘的距离为，硬币与薄板间的动摩擦因数，薄板与平台间的动摩擦因数为，硬币与平台间的动摩擦因数。在平台右侧的水平地面上倾斜固定一个空心的薄壁半球，半球的半径，分别是半球开口的最高点与最低点且、连线与水平方向的夹角。现对薄板右边缘施加一个水平向右、大小为的外力使薄板水平向右运动。一段时间后，硬币由平台右边缘飞出，并恰好由点沿圆弧的切线方向进入半球。已知硬币的质量为，薄板的质量为，硬币可视为质点，硬币运动过程中与、点始终处于同一竖直面内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，硬币滑下薄板后立即撤走薄板，不计空气阻力，取重力加速度，，。求： (1)硬币在薄板上滑动时，硬币和薄板各自的加速度大小； (2)硬币离开平台右边缘时的速度大小； (3)平台距离地面的高度。 题型09： 斜抛运动问题 【典型例题1】如图所示，某同学在进行投篮练习，A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为抛出点，B为运动轨迹的最高点，C为篮球落入篮筐的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角。不计空气阻力，则AB与BC的竖直高度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设篮球在A点的竖直分速度为，在C点的竖直分速度为，篮球的水平分速度为，篮球从A到B过程，根据逆向思维将篮球看成从B到A的平抛运动，篮球在A点时，根据平抛运动推论可得 根据几何关系可知B、C连线与水平方向的夹角为 篮球从B到C做平抛运动，篮球在C点时，根据平抛运动推论可得 又， 联立可得篮球从A到B与从B到C的竖直高度之比为 故选A。 【典型例题2】如图甲为一种名为“喊泉”的游乐设施，游客对着池边的话筒大声呼喊时，水池中的喷口就会有水倾斜喷出（可认为水恰好从水面喷出）。如图乙，某次呼喊时，水柱在空中的射高为11.25 m，已知喷口与水面的夹角为45°，重力加速度取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 在最高点的水的速率不为零 B. 在最高点的水的重力的瞬时功率不为零 C. 水在空中运动时先超重后失重 D. 水柱的水平射程为22.5 m 【答案】A 【详解】水喷出后做的是斜抛运动，竖直方向上做竖直上抛运动，由 可求得从射出到最高点的过程用时1.5 s，射出时水在竖直方向的分速度大小 水在水平方向做匀速直线运动，在水平方向的分速度大小 水在最高点时竖直方向的分速度变为0，只有水平方向的分速度15 m/s，A正确； 在最高点时速度沿水平方向，与重力方向垂直，其重力的瞬时功率为零，B错误； 水在空中的加速度一直向下，所以一直处于失重状态，C错误；根据斜抛运动的对称性可知，水柱在空中的运动时间为3 s，所以水平射程为，D错误。 【变式训练9-1】如图甲所示，波光喷泉的水柱从一个水池喷到另一个水池，人们在水柱下穿行不湿衣服，奇妙无穷。图乙是波光喷泉在空中形成的一根水柱，喷口与水平面的夹角为，水离开喷口的初速度为，为最高点，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．水达到最高点时的速度大小为 B．水在点的加速度小于点的加速度 C．水从点运动到点所用的时间为 D．水平射程为 【变式训练9-2】如图所示，一半圆槽固定在水平面上，小球从半圆槽的左侧端点斜抛出去，能够垂直打到弧面上的P点。已知半圆槽的半径。，P点距圆心O的水平距离，重力加速度g取。对于小球从抛出到打到弧面这段过程分析可知（　　） A．小球的运动时间为3s B．小球的水平分速度大小为 C．小球的末速度大小为 D．小球的轨迹最高点距圆心O的水平距离也为9m 【变式训练9-3】如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为。小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球在B点的速度大小为 B．小球从A点运动到B点的时间为 C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 D．小球从B点运动到C点的时间为 【变式训练9-4】某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A. B. C. D. 【变式训练9-5】如图所示，某同学在距离篮筐一定距离的地方起跳投篮，篮球在A点出手时与水平方向成60°角，速度大小为v0，在C点入框时速度与水平方向成角。现将篮球简化成质点，忽略空气阻力，取重力加速度为g，则下列分析正确的是（　　） A．篮球在空中飞行过程中，单位时间内的速度变化量大小改变 B．AC两点的高度差大小为 C．篮球在最高点时重力势能的大小是动能大小的2倍 D．篮球在C点时候的速度大小为v0 【变式训练9-6】两名同学在篮球场进行投篮练习，投篮过程如图所示，篮球抛出点距离篮筐初始位置的水平距离为、竖直高度为。同学甲在点原地静止不动，将篮球以速度与水平成角的方向斜向上抛出，篮球投入篮筐；同学乙以的速度运球至点，将篮球相对同学乙自身竖直向上抛出，也将篮球投入篮筐。篮球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取，，。下列说法正确的是（　　） A．同学甲将篮球抛出时的速度大小为 B．同学乙将篮球抛出时竖直向上的分速度为 C．同学甲抛出的篮球最大高度较高 D．甲、乙同学抛出的篮球在空中运动的时间相等 【变式训练9-7】（多选）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 【变式训练9-8】（多选）如图甲所示，电磁炮灭火消防车采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量，通过电磁感应转化成灭火弹的动能，转化效率，灭火弹的质量为，电容，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，重力加速度大小取，。则（　　） A．灭火弹击中高楼位置距地面的高度 B．灭火弹击中高楼位置距地面的高度 C．电容器工作电压应设置为 D．电容器工作电压应设置为 【变式训练9-9】滑雪跳台场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，段为助滑道和起跳区，段为倾角的着陆坡。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以与水平方向成角起跳角的方向起跳，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员在点以的速率起跳，轨迹如图，不计一切阻力，取。求： (1)运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离； (2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小； 【变式训练9-10】如图所示，在竖直平面建立坐标系，为光滑轨道，段为光滑平直轨道，；段为半径的四分之一圆弧轨道，为其圆心。可视为质点的质量的小球从点以初速度沿与轴正向成角斜向上飞出（重力加速度取，，）。 (1)若小球从点以初速度沿与轴正向成角斜向上飞出，要使小球恰好落在点处，初速度的大小是多少？ (2)若的大小、方向均可以改变，保证小球水平通过点，则击中光滑圆弧轨道时小球的动能是多少？ 【变式训练9-11】某学习小组利用如图所示的模型演示古代投石机的抛石过程。一定质量的石块（可视为质点）装在杆末端的口袋中，开始时口袋位于水平地面并处于静止状态。现对杆的另一端施力，当杆与竖直方向的夹角时，杆立即停止转动，石块从O点抛出后最终落在地面上的N点，石块运动轨迹的最高点为M，M离地面的高度m，石块在M点的速度大小m/s。不计空气阻力，重力加速度m/，，。求： (1)石块抛出点O距离地面的高度； (2)石块抛出点O与落地点N在水平方向上的距离。 题型10:平抛运动相遇问题 【典型例题1】如图所示，、两个小球分别以大小相等的水平初速度从不同高度处被相向抛出并且恰好能够同时落地，它们的运动轨迹的交点为，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两个小球被同时抛出 B．a球的水平位移大小大于b球的水平位移大小 C．a、b两球在Q点相遇 D．a球在空中运动时惯性发生了改变 【答案】B 【详解】A．平抛竖直方向 由图看出，故，A错误； B．平抛水平方向 又知道，故，B正确； C．由于两球从不同高度水平抛出，下落到点时两球竖直速度不同，且两球又同时落地，所以不能在点相遇，C错误； D．惯性只由质量决定，a球在空中运动时质量不变，惯性不变，D错误。 故选B。 【变式训练10-1】如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　） A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于 C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于 【变式训练10-2】如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为（　　） A．t B． C． D． 【变式训练10-3】如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、乙将会在空中的P点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的抛出点到水平地面的高度比小球乙的抛出点到水平地面的高度大，小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．小球甲在相遇前运动的时间为 D．小球甲、乙抛出点的高度差 【变式训练10-4】（多选）如图所示，小球从O点的正上方离地高处的P点以的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度斜向左上方与地面成抛出一小球，两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。g取，若不计空气阻力，则两小球抛出后到相遇过程（　　） A．两小球相遇时斜抛小球处于下落阶段 B．两小球初速度大小关系为 C．OS的间距为60m D．两小球相遇点一定在距离地面30m高度处 【变式训练10-5】（多选）如图，物体甲从高H处以速度平抛，同时乙从乙距甲水平方向s处由地面以初速度竖直上抛，不计空气阻力，则两物体在空中相遇的条件是（　　）    A．从抛出到相遇的时间为 B．若要在物体乙上升中遇甲，必须， C．若要在物体乙下降中遇甲，必须， D．若相遇点离地高度为，则 题型11：斜面上的平抛 （一）顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 【典型例题1】如题图所示，三角形斜面ABC水平固定，两个相同且可视为质点的小球a、b同时从C、D两点以相同速度水平抛出，先后落点为E、A。已知B、C、D在同一竖直线上，E为AC中点，小球a、b平抛到斜面上时的动能之比为，不计空气阻力。则该过程中，下列说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为45° B．高度关系满足BC=1.5CD C．小球a、b距斜面的最远距离之比为 D．小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上 【答案】D 【详解】B．平抛运动水平方向有，由于小球a、b做平抛运动的水平位移比为，则小球a、b做平抛运动的时间之比为，根据 可知小球a、b在竖直方向下落的高度之比为，根据几何关系可知BC=CD，故B错误； A．小球a、b在E、A两点的竖直速度之比为，设斜面倾角为θ，由速度偏向角和位移偏向角关系可知 结合已知的动能关系可得 解得，故A错误； C．小球a、b距斜面最远时，两球距斜面投影点的竖直高度之比显然小于，因此两球距斜面的最远距离之比也一定小于，故C错误； D．小球a、b距斜面最远时的速度方向均与AC平行，运动时间相同，水平位移相同，即小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上，故D正确。 故选D。 【典型例题2】北京冬奥会跳台滑雪比赛在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行，跳台滑雪主要分为四个阶段：助滑阶段、起跳阶段、飞行阶段和着陆阶段。某大跳台的着陆坡是倾角θ=37°的斜面。比赛中某质量m=80kg（包括器械装备）的运动员脚踏滑雪板沿着跳台助滑道下滑，在起跳点 O点以v0=20m/s的水平速度腾空飞出，身体在空中沿抛物线飞行落至着陆坡上的 M点后，沿坡面滑下并滑行到停止区，最终完成比赛，如图所示。已知B 点（图中未画出）是该运动员在空中飞行时离着陆坡面最远的点，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，以起跳点 O点所在的平面为0势能面，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员在B点时的速度变化率大小为10m/s2 B．B点距离着陆坡面的距离为9 m C．O、M间的距离为125m D．运动员从O 点到B 点的位移大小等于从B点到M点的位移大小 【答案】AB 【详解】A．由题意可知，运动员在B点的速度变化率为 故A正确； B．将运动员的速度和加速度分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，垂直于斜面方向有 运动员从O点到B点的时间 B点到着陆坡的距离 故B正确； C．运动员从O点到M点的飞行时间 O、M间的水平距离 O、M间的距离 故C错误， D．从O点到B点和从B点到M点的时间相同，水平位移相同，竖直位移不相同，合位移不相同，故D错误。 故选AB。 【变式训练11-1-1】跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的两点，落在两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为，落到斜面上时的速度大小分别为，在空中运动的时间分别为，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-1-2】如图所示，在倾角为37°、长为的固定斜面中点固定一竖直直杆，小球从斜面顶端以的初速度水平抛出，取重力加速度为，，，为了使小球能够越过直杆，则杆的高度不能超过（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-1-3】（多选）如图所示，甲同学爬上山坡底端C点处的一棵树，从树上Q点正对着山坡水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A点水平抛出一个小石块，石块也能落在P点。已知山坡长度，山坡与水平地面间夹角为，重力加速度为g，空气阻力不计，，，则（　　） A．甲同学抛出的小石块初速度大小为 B．甲同学抛出的小石块初速度大小为 C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 D．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 【变式训练11-1-4】（多选）北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一。如图甲所示，两名跳雪爱好者a，b（可视为质点）从雪道末端先后以初速度之比va:vb=1:4，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙。不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，下列说法正确的是（    ） A．他们飞行时间之比为1：4 B．他们飞行的水平位移之比为1：8 C．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1：16 D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同 【变式训练11-1-5】（多选）如图所示，虚线MN是竖直面内的斜线，两个小球分别从MN上的A、B两点水平抛出，过一段时间再次经过虚线MN，则下列说法错误的是（　　） A．两球经过虚线MN时的速度大小可能相同 B．两球经过虚线MN时的速度方向一定相同 C．两球可能同时经过虚线MN上的同一位置 D．A处抛出的球从抛出到经过虚线MN所用时间一定比B处抛出的球从抛出到经过虚线MN所用时间长 【变式训练11-1-6】（多选）如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为时，从抛出至落到斜面的运动时间为，位移大小为，离斜面的最远距离为，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为时，从抛出至落到斜面的运动时间为，位移大小为，离斜面的最远距离为，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为，不计空气阻力，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-1-7】（多选）如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面顶端O点把一小球水平击出让其在与斜面垂直的竖直面内运动，小球刚好落在斜面的底端C点。B点是小球运动过程中距离斜面的最远处，A点是在阳光照射下小球经过B点的投影点，不计空气阻力，则（　　） A．若斜面内D点在B点的正下方，则OD与DC长度相等 B．小球在斜面上的投影做匀速运动 C．OA与AC长度之比为1∶3 D．小球在B点的速度与OC段平均速度大小相等 【变式训练11-1-8】小明坐在倾角为的斜坡上将质量为的小球抛出，抛出点可近似认为贴近斜坡，并最终落在斜坡上，小球抛出瞬间的速度大小为，不计空气阻力，，，求： (1)若小球抛出时速度沿水平方向，求落在斜坡上的时间和小球的位移大小s； (2)若小球抛出时速度可沿任意方向，求小球运动的最长时间。 【变式训练11-1-9】下雨天，私家车刹车停止时，车内小梁同学发现车前挡风玻璃上同一位置有两颗水珠和，水珠水平飞出，水珠沿玻璃匀加速下滑，水珠落回玻璃时，恰好与相遇，示意图如图所示。已知水珠和的质量均为，初速度大小均为，车前挡风玻璃与水平夹角，水珠下滑时质量保持不变，不计空气阻力，水珠均可视为质点，重力加速度取，，。求： (1)水珠在空中运动的时间和位移； (2)下滑过程中，水珠受到阻力的大小（结果用分数及科学计数法表示）； (3)若水珠和融合时，水珠垂直玻璃方向的分速度瞬间损失，沿玻璃切向的分速度不变，融合时间忽略不计，则融合后瞬间水珠的速度的大小。 （二）对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 【典型例题1】如图所示，水平地面上固定有倾角为45°，高为h的斜面。O点位于A点正上方且与B点等高。细绳一端固定于O点，另一端与质量为m的小球相连。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并垂直击中斜面的中点（重力加速度为g），下列说法正确的是（　　） A．细绳的长度为 B．绳刚要拉断时张力为 C．小球做平抛运动的时间为 D．若球击中斜面反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后球能落到A点 【答案】D 【详解】AC．小球做平抛运动并垂直击中斜面的中点，有 解得 小球做平抛运动的竖直位移为 所以细绳的长度为 A和C均错误； B．在圆周运动的最低点，有 解得，绳刚要拉断时张力为 B错误； D．球击中斜面时的速度为 反弹的速度大小为 设反弹后能击中A点，则水平方向位移为，有 解得 竖直位移为 所以反弹后球恰好能落到A点，D正确。 故选D。 【典型例题2】如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为。小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球在B点的速度大小为 B．小球从A点运动到B点的时间为 C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 D．小球从B点运动到C点的时间为 【答案】C 【详解】A．小球在B点的速度大小为 故A错误； B．小球在A点时竖直方向上速度大小为 则小球从A点运动到B点的时间为 故B错误； C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 故C正确； D．小球从B点运动到C点的时间为 故D错误。 故选C。 【变式训练11-2-1】如图所示，倾角为的斜面体固定在水平面上，小球在斜面底端正上方以速度向右水平抛出，同时，小球在斜面顶端以速度向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，，。则等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-2-2】一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最底端和顶端，洞口处于斜面上的P点，O点在A点的正上方，A、B、O、P四点在同一竖直面内。第一次小球以的水平速度从O点抛出，正好落入洞中的点，的连线正好与斜面垂直；第二次小球以另一水平速度也从O点抛出，小球正好与斜面在Q点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度大小取，下列说法正确的是（　　） A．小球从点运动到P点的时间是 B．点在P点的下方 C．第二次小球水平抛出的速度小于 D．、A两点的高度差为 【变式训练11-2-3】如图所示，在同一竖直平面内，水平面的右端固定一倾角为的斜面，在水平面上D点正上方O点处水平向右以的速度抛出一个小球M，同时位于斜面底端C点、质量的滑块，在沿斜面向上的恒定拉力F作用下由静止开始向上加速运动，经过时间恰好在P点被M击中。已知滑块与斜面间动摩擦因数，重力加速度，小球和滑块均可看成质点，不计空气阻力，则拉力F大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-2-4】如图所示，以水平向右为轴，以竖直向上为轴建立直角坐标系，发射器能把小球以和的速度从坐标原点射出，射出方向均与轴正向成角，过原点放置一块很长的倾斜挡板，以射出的小球沿轴正向击打在挡板上点，点坐标（x，y）。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．射出的小球离斜面最远时经过的位置的纵坐标为 B．射出的小球击打斜面上的点的坐标为（2x，2y） C．挡板所在的直线方程是 D．以和的速度射出的两小球击打到挡板的速度不平行 【变式训练11-2-5】如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　) A．b与c之间某一点 B．c点 C．c与d之间某一点 D．d点 【变式训练11-2-6】如图甲所示，一质点从固定光滑斜面上O点以初速度斜向上抛出，方向与斜面夹角为α，质点与斜面依次在A、B、C三点发生碰撞后原路返回O点；改变初速度为，方向与斜面夹角为β，质点与斜面依次在D、E两点发生碰撞后，竖直上升至F点后原路返回O点，如图乙所示。设质点与斜面碰撞前后的平行斜面速度不变，垂直速度反向，空气阻力不计，则下列说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-2-7】如图所示，B是粗糙水平面AB的右边缘，斜面体CDE固定在B点的右下方，CD光滑，CE边竖直、长为x的ED边水平，A、B两点间的距离为x，B、C两点的高度差为x，沿水平方向的距离为2x，质量为m的玩具小车从A点以恒定的功率P启动，运动过程中所受阻力大小不变，经过一段时间运动到B点正好达到最大速度，此时立即关闭发动机，小车运动到C点时恰好沿着斜面CD方向下滑，重力加速度为g，忽略空气阻力。 (1)求小车在B点的速度大小以及从A点运动到B点的运动时间； (2)求斜面的倾角以及小车运动到D点时的动能。 （三） 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 【典型例题1】如图所示，倾角为37°的斜面体固定放置在水平面上，斜面的高度为，点是A点正上方与点等高的点，让一小球（视为质点）从点水平向左抛出，落在斜面的点，已知、两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，、，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度为 B．小球从点到点的运动时间为 C．小球在点的速度大小为 D．小球在点的速度与水平方向夹角的正切值为2 【答案】A 【详解】AB．过点作的垂线与的交点为，设平抛运动的水平位移为，即、两点之间的距离为，如图所示 由几何关系可得 由平抛运动的规律可得 ， 解得 、、 A正确、B错误； CD．小球在点沿竖直方向的分速度为 小球在点的速度大小为 与水平方向夹角的正切值为 解得 ， CD错误。 故选A。 【变式训练11-3-1】（多选）如图所示，倾角为37°的斜面与水平面的交点为 B，斜面上的 C点处有一小孔，若一小球从B点的正上方A 点水平抛出，恰好通过小孔落到水平地面上的 D点（小球视为质点，小孔的直径略大于小球的直径，小球通过小孔时与小孔无碰撞）。已知A、C两点的连线正好与斜面垂直，小球从 A到C的运动时间为t，重力加速度为g， 下列说法正确的是（　　）    A．A、C两点间的高度差为gt2 B．小球在A点的速度为 C．A、C两点间的距离为 D．A、D两点间的高度差为 【变式训练11-3-2】如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-3-3】（多选）如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为v0时，小球落到一倾角为θ＝60°的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则(　　) A.小球从抛出到落到斜面的时间为 B.小球从抛出到落到斜面的时间为 C.小球的抛出点到斜面的距离为 D.小球的抛出点到斜面的距离为 题型12：对着竖直墙壁的斜抛运动（反向平抛） 【典型例题1】用题图甲所示的足球发球机在球门正前方的、两个相同高度的位置发射同一足球，情景如题图乙所示，两次足球都水平击中球门横梁上的同一点，不计空气阻力。则（　　） A．两次击中横梁的速度相同 B．足球两次运动的速度变化量相同 C．从位置发射的足球初速度较大 D．从位置发射的足球在空中的运动时间长 【答案】B 【详解】A．将足球发射到水平击中球门横梁，看成逆向的平抛运动，根据平抛运动规律有， 解得 由于两次的水平位移不相等，高度相等，所以两次的水平分速度不相等，即两次击中横梁的速度不相同，故A错误； BD．根据，由于两次足球在空中的高度相等，所以两次足球在空中的运动时间相等，再根据，则足球两次运动的速度变化量相同，故B正确，D错误； C．足球发射的初速度大小为，由于两次高度相等，所以两次足球发射的初速度竖直分量相等，由于从B位置发射的足球水平位移较小，则从B位置发射的足球水平分速度较小，从B位置发射的足球初速度较小，故C错误。 故选B。 【变式训练12-1】（多选）某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，海豚与高台边缘的水平距离为H。驯兽师在高台边缘，距水面高度为H处静止释放球的同时，海豚以一初速度v₀跃出水面，速度方向与水面夹角为θ，如图所示。设海豚跃出水面后姿势保持不变，不计空气阻力，若海豚可以顶到球，则下列选项中可能正确的是（　　） A． B． C．θ=30° D． 【变式训练12-2】小明同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，篮球运动轨迹如下图所示，不计空气阻力，关于篮球从抛出到撞击篮板前，下列说法正确的是（　　） A．两次在空中的时间可能相等 B．两次抛出的初速度可能相等 C．两次抛出的初速度水平分量可能相等 D．两次抛出的初速度竖直分量可能相等 【变式训练12-3】如图所示，某同学向一圆柱形杯中水平抛出一小物块（可视为质点），小物块恰好经过杯口中心无阻挡地落到杯底边沿P点。已知杯内高h，杯底直径为D，重力加速度为g，抛出点O与竖直杯壁（厚度不计）在同一竖直线上。忽略空气阻力，则小物块水平抛出时的速度大小为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练12-4】在同一竖直平面内距离地面高度为处的A、B两点，A、B所在竖直线与球网之间的水平距离为L。有两个网球以相同大小的速度分别斜向上和斜向下抛出，与水平方向的夹角均为θ，网球恰好均能掠过球网，且轨迹平面与球网垂直，，不计空气阻力。则A、B两点高度差为（　　） A．L B． C． D． 【变式训练12-5】（多选）如图甲所示，小明同学在某次投篮练习中，将篮球从P点以初速度v0斜向上抛出，篮球从Q点进入篮框，篮球抛出的同时用摄像机拍摄篮球的运动并利用视频跟踪软件进行分析。篮球的初速度与水平方向的夹角为60°，斜向下进篮框时速度与水平方向的夹角为30°。从抛出时刻开始计时，篮球在竖直方向上的位置坐标随时间的变化图像如图乙所示。取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，篮球可视为质点，则（　　） A．v0=5m/s B．v0=10m/s C．PQ连线与水平方向的夹角的正切值为 D．PQ连线与水平方向的夹角的正切值为 题型13：圆弧面上的平抛运动 【典型例题1】如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R。一个小球从A点沿AB以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（　　）    A．v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长 B．即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同 C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环 D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环 【答案】D 【详解】A．小球落在环上的最低点C时时间最长，故A错误； B．由平抛运动规律可知，小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，v0取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，故B错误； CD．小球平抛运动的末速度斜向右下方，不可能垂直撞击半圆环左半部分，要使小球垂直撞击半圆环右半部分，设小球落点与圆心O的连线与水平方向夹角为θ（），如图所示    根据平抛运动规律可得 联立解得 由此可知，小球垂直撞击到半圆环是不可能的，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练13-1】如图所示竖直放置的圆环半径为R，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，不计空气阻力，从下列哪个位置沿x轴正方向水平抛出小球（可以看成质点）有可能垂直打到圆环上（　　） A． B． C． D． 【变式训练13-2】如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（  ） A．运动时间 B．两次运动速度变化 C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D． 【变式训练13-3】如图所示，一小球以一定初速度水平抛出，忽略空气阻力。当小球以速度抛出时，经历时间后以恰好击中斜面A处（抛出点与A点的连线垂直于斜面）。当小球以速度3抛出时，经历时间后以恰好从B点沿圆弧切线进入圆轨道。则（　　） A． B． C． D． 【变式训练13-4】如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方的P点将一小球以水平速度v0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是（　 　） A． B． C． D． 【变式训练13-5】（多选）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为圆弧bc，半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．落在球面上的最小速度为 B．落在球面上的最小速度为 C．小球的运动时间与v0大小无关 D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上 题型14：类平抛运动 【典型例题1】如图，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做类平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球从A点开始做类平抛运动到C点，沿斜面向下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律推得加速度为 有L gt2sin θ 沿水平方向做匀速直线运动，位移Lv0t 联立解得v0＝ 故选A。 【变式训练14-1】（多选）如图所示，A、B两质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为。不计阻力，则在x轴方向上的远近关系是（　　） A．较远 B．较远 C．等远 D．B运动的时间 【变式训练14-2】（多选）如图所示，光滑斜面长为l，宽为b，顶角为θ，一物块从斜面左上方顶点P以平行于底边的初速度水平射入，沿斜面运动，恰好从底端Q离开斜面，物块可看成质点，则（    ） A．物块的初速度 B．物块的初速度 C．物块到达Q点时的速度 D．物块到达Q点时的速度 【变式训练14-3】（多选）如图所示的坐标系，x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度大小为10m/s2 B．加速度与初速度的夹角为60° C．小球做类斜抛运动 D．当小球运动到x轴上的P点（图中未标出），则小球在P点的横坐标为 【变式训练14-4】（多选）如图所示是一儿童游戏机的简化示意图，光滑游戏面板倾斜放置，长度为8R的AB直管道固定在面板上，A位于斜面底端，AB与底边垂直，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与AB相切于B点，C点为圆弧轨道最高点（切线水平），轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳。现缓慢下拉轻绳使弹簧压缩，后释放轻绳，弹珠经C点时，与圆弧轨道无作用力，并水平射出，最后落在斜面底边上的位置D（图中未画出）。假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠可视为质点。直管AB粗细不计。下列说法正确的是（　　） A．弹珠脱离弹簧的瞬间，其动能达到最大 B．弹珠脱离弹簧的瞬间，其机械能达到最大 C．A、D之间的距离为 D．A、D之间的距离为 【变式训练14-5】（多选）如图所示的坐标系，x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度大小为10m/s2 B．加速度与初速度的夹角为60° C．小球做类斜抛运动 D．当小球运动到x轴上的P点（图中未标出），则小球在P点的横坐标为 【变式训练14-6】如下图所示，将扁平的石子快速抛向水面，石子遇水后不断地在水面上连续向前多次跳跃，直至最后落入水中，俗称“打水漂”，假设小明在离水面高度处，将一质量的小石片以水平初速度抛出，玩“打水漂”，小石片在水面上滑行时受到的水平方向的阻力恒为，竖直方向分力未知．在水面上弹跳数次后沿水面滑行（水平方向）的速度减为零后沉入水底。假设小石片每次均接触水面后跳起，跳起时竖直方向的速度与此时沿水面滑行的速度之比为常数，取重力加速度，不计空气阻力，求小石片： （1）第一次与水面接触前水平方向的位移x； （2）第一次与水面接触过程中在竖直方向上的分加速度ay的大小； （3）最后一次弹起在空中飞行的时间t。（该问结果保留2位有效数字） 【变式训练14-7】风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度v0水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度v0的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度v0方向的夹角为θ。试求： (1)该小球运动到P点时的速度大小和“P点速度方向与初速度v0方向夹角的正切值”； (2)OP之间的距离。 题型15：平抛与圆周的临界问题 【典型例题】某水上娱乐项目可简化为如图所示的模型。摆绳上端固定在离水面高度为H的O点，人抓紧绳子另一端，在绳子伸直情况下从与O点等高处由静止开始下落，到达最低点时松手，做一段平抛运动后落入水中。当绳长为L（）时，平抛运动的水平位移为x，人可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．绳长L不同，平抛运动的水平位移x一定不同 B．当绳长时，平抛运动的水平位移有最大值，为 C．绳长L不同，人落水时的速度大小一定不同 D．绳长L不同，人落水时的速度方向一定不同 【答案】D 【详解】A．设人在O点正下方松手时的速度为v，由机械能守恒定律有 可得 松手后人做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 可得 则当绳长取不同值时，平抛运动的水平位移x可能相同，故A错误； B．当，即时，平抛运动的水平位移有最大值，为H，故B错误； C．设人落水时的速度为，对全过程由机械能守恒定律有 可得 与绳长无关，故C错误； D．人做平抛运动，竖直方向有 设人落水时的速度方向与水平方向的夹角为，有 L与一一对应，绳长L不同，人落水时的速度方向一定不同，故D正确。 故选D。 【变式训练15-1】一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为 B．轻绳从释放到绷直所需时间为 C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为 D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为 【变式训练15-2】（多选）一不可伸长的轻绳上端悬挂于点，另一端系有质量为的小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为的点由静止释放，运动到点的正下方时绳断开，小球做平抛运动，已知点离地高度为，绳长为，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态 C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为 D．若夹角不变，当时，落点距起点的水平距离最远 题型16：平抛的多解问题 【典型例题】如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高，内径，现有一刚性小球（视为质点）从容器上端内边缘沿直径以的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据平抛运动的分析可知，竖直方向有 解得 而根据题意，水平方向有 （） 解得 因此的可能值为、、、、、 故选B。 【变式训练16-1】如图所示，竖直墙MN、PQ间距为l，竖直线OA到两边墙面等距。从离地高度一定的O点垂直墙面以初速度水平抛出一个小球，小球与墙上B点、C点各发生一次弹性碰撞后恰好落在地面上的A点。设B点距地面高度为，C点距地面高度为，所有摩擦和阻力均不计。下列说法正确的是（　　） A． B． C．仅将间距l加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球不会落在A点 D．仅将初速度增为（n为正整数），小球可能落在N或Q点 【变式训练16-2】如图所示是某闯关游戏中的一个关卡。一绕过其圆心O的竖直轴顺时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，M为转盘边缘上一点。某时刻，一参赛者从水平跑道边缘P点以速度向右跳出，初速度方向平行于方向，且运动轨迹与此时刻在同一竖直平面内，随后参赛者正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者必定落水 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定会落在之间 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅减小转盘的角速度，参赛者不可能落在M点 【变式训练16-3】如图所示，两平行竖直光滑挡板MN、PQ直立在水平地面上，它们之间的距离为L，它们的高度均为2L。将一小球（可视为质点）从M点以垂直于MN的初速度水平抛出，恰好落到Q点（小球未与挡板碰撞），重力加速度为g。 （1）求小球的初速度大小； （2）若改变小球水平抛出的初速度大小，小球与两挡板碰撞时，竖直速度保持不变，水平速度瞬间等大反向，要使小球落地时与两挡板的距离相等，求初速度大小应满足的条件（碰撞时间可忽略不计）。 题型17：抛体运动中的功能与动量 【典型例题1】质量为m的物块从某一高度以动能E水平抛出，落地时动能为3E.不计空气阻力，重力加速度为g.则物块(　　) A．抛出点的高度为 B．落地点到抛出点的水平距离为 C．落地时重力的功率为g D．整个下落过程中动量变化量的大小为2 【答案】　D 【解析】　由动能定理得 mgh＝3E－E＝2E，故抛出点的高度为h＝，故A错误；由E＝mv02，水平方向x＝v0t，竖直方向h＝gt2，解得落地点到抛出点的水平距离为x＝，故B错误；落地时速度的竖直分量vy＝＝2，故落地时重力的功率为P＝mgvy＝2g，故C错误；整个下落过程中动量变化量的大小为Δp＝mΔvy＝m·2＝2，故D正确． 【典型例题2】如图所示，竖直面内有一以O为圆心的圆形区域，直径AB与水平方向的夹角=30°。一小球自A点由静止释放，从圆周上的C点以速率v0穿出圆形区域。现将几个质量为m的小球自A点，先后以不为零的不同水平速度平行该竖直面射入圆形区域。忽略空气阻力，重力加速度大小为g。求： (1)该圆形区域的半径； (2)为使小球穿过圆形区域动能增量最大，该小球进入圆形区域时的速度大小； (3)为使小球穿过圆形区域前后的动量变化量大小为mv0，该小球进入圆形区域时的速度大小。 【答案】(1) ；(2)；(3) 【详解】(1)小球从圆周上的C点以速率穿出圆形区域，故AC沿竖直方向 由几何关系可知 由运动学公式可知 解得 (2)只有重力做功，故由圆形区域最低点（图中D点）穿出的小球重力做功最多，动能增量最大，由运动学公式可得 解得 (3)只受重力作用，且平抛运动的运动时间只与高度有关，故穿过圆形区域前后的动量变化量大小为的小球，必然从与C点等高的B点穿出，由运动学公式可得 解得 【变式训练17-1】如图所示，网球运动员发球时，将质量为m的网球（可将其视为质点）从空中某点以初速度水平抛出，网球经过M点时，速度方向与竖直方向夹角为；网球经过N点时，速度方向与竖直方向夹角为。不计空气阻力，网球在从M点运动到N点的过程，动量变化大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练17-2】小明在进行定点投篮，以篮球运动所在的竖直平面内建立坐标系xOy，将一质量为m的篮球由A点投出，其运动轨迹经过A、B、C、D，C为篮球运动的最高点，如图所示。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，篮球可视为质点。下列说法正确的是（    ） A．C点坐标为（0，L） B．篮球由B到C和由C到D的过程中，动能的变化量相同 C．篮球在C点时，重力的瞬时功率为 D．篮球由A到B和由C到D的过程中，动量的变化量大小相等，方向相反 【变式训练17-3】（多选）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 【变式训练17-4】（多选）我国正在攻关的超高速风洞，是研制新一代飞行器的摇篮，它可以复现40到100公里高空、时速最高达10公里/秒，相当于约30倍声速的飞行条件。现有一小球从风洞中的点M竖直向上抛出，小球受到大小恒定的水平风力，其运动轨迹大致如图所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点动能为，在O点动能为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球所受重力和风力大小之比为 B．小球落到N点时的动能为 C．小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为 D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为 【变式训练17-5】如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架长为，且，从顶点沿不同方向平抛完全相同的小球（可视为质点），重力加速度为。求： （1）从线段上射出的小球中的最小初速度； （2）分别击中点和点的小球的初动能之比； （3）所有运动轨迹与线段相交的小球在交点处的速度偏转角（可用三角函数表示）。    【变式训练17-6】如图所示，竖直面内有一正方形区域，其边和边水平。一小球自点由静止释放，从点以速率穿出区域。现将等若干个小球自点，先后以不同的水平速度平行该竖直面抛入区域，小球从边上除两点以外的各处穿出边。忽略空气阻力，重力加速度的大小为。 （1）求该正方形区域的边长； （2）小球是所有穿过正方形区域过程中动量变化量为的小球中，穿出时速度最大的小球，求其进入正方形区域时速度的大小； （3）小球穿过正方形区域的过程中，它们的动能变化量之比为，求小球穿出正方形区域时速度的大小。 题型18：圆周运动中的运动学分析 【典型例题1】中国已经是汽车大国，2022年中国汽车总销量为2750万辆。如图甲是汽车发动机的结构图，其中正时系统对发动机的正常运行起到至关重要的作用。图乙是其简化图，、是皮带轮边缘上的点，和同轴，且，当系统匀速转动时，以下说法正确的是（　　） A. 点的线速度是点的两倍 B. 点的角速度是点的两倍 C. 点的转速是点的两倍 D. 点的向心加速度是点的四倍 【答案】D 【解析】 【详解】AB．、是皮带轮边缘上的点，则有，根据，可得 和同轴，则有，根据，可得 联立可得， 故AB错误； C．根据，可得 故C错误； D．根据 可得 故D正确。 【典型例题2】“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的（　　） A．半径相等 B．线速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等 【答案】D 【详解】D．由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，故D正确； A．由图可知，球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为 故A错误； B．根据可知，球面上P、Q两点做圆周运动的线速度的关系为 故B错误； C．根据可知，球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度的关系为 故C错误。 故选D。 【典型例题3】（多选）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。ad杆的a点通过较链固定在滑槽导轨中，d点通过饺链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，bc杆的c点通过饺链固定在滑块上，b点通过饺链固定在ad杆上。某次关闭窗户的过程中，ad杆绕a点匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．b点的线速度等于d点的线速度 B．d点的加速度大小不变 C．c点速度大小始终不变 D．b点和c点的速度大小可能相等 【答案】BD 【详解】A．ad杆绕a点匀速转动，因bd两点绕a点同轴转动，可知角速度相等，根据 vωr 可知，b点的线速度小于d点的线速度，故A错误； B．ad杆绕a点匀速转动，d点的加速度大小不变，但方向不断变化，故B正确； D．由速度的分解知识可知 当 时，b点和c点的速度大小相等，故D正确； C．因b点的速度不变，角度不断变化，则根据 可知，c点的速度大小不断变化，故C错误。 故选BD。 【变式训练18-1】如图所示为脚踏自行车的传动装置简化图，各轮的转轴均固定且相互平行，甲、乙两轮同轴且无相对转动，已知甲、乙、丙三轮的半径之比为1:9:3，传动链条在各轮转动中不打滑，则乙、丙转速之比为（　　） A．1:2 B．2:1 C．3:1 D．1:3 【变式训练18-2】一质点做匀速圆周运动，从圆周上的一点运动到另一点的过程中，下列说法一定正确的是（    ） A．质点速度不变 B．质点加速度不变 C．质点动能不变 D．质点机械能不变 【变式训练18-3】进入冬季后，北方的冰雪运动吸引了许多南方游客。如图为雪地转转游戏，人乘坐雪圈（人和雪圈总质量为50kg，大小忽略不计）绕轴以2rad/s的角速度在水平雪地上匀速转动，已知水平杆长为2m，离地高为2m，绳长为4m，且绳与水平杆垂直。则雪圈（含人）（　　） A．所受的合外力不变 B．所受绳子的拉力指向圆周运动的圆心 C．线速度大小为8m/s D．所需向心力大小为400N 【变式训练18-4】某款滚筒洗衣机的内筒直径为50cm，在进行衣服脱水甩干时转速可达到1200转/分，则甩干时紧贴滚筒内壁衣服的线速度大小约为（    ） A．31m/s B．63m/s C．126m/s D．600m/s 【变式训练18-5】如图为古代常见的一种板车，车前轮与后轮转动半径之比为，车上放有质量为m的重物（可视为质点），推动板车使重物恰好能够随车匀速前进，此时车板与水平面间的倾角为，重物与车板间动摩擦因数固定，若将车板与水平面间倾角变大，之后控制板车使其仍能水平匀速前行，则下列说法正确的是（　　） A．板车前轮与后轮的角速度之比为 B．重物与板车间动摩擦因数 C．板车倾角变大后重物所受摩擦力也会随之变大 D．板车倾角变大后重物的对地运动方向沿板车斜面向下 【变式训练18-6】齿轮传动是现代工业中常见的一种动力传动方式，荷兰设计师丹尼尔·布朗设计了世上最强齿轮——古戈尔齿轮。如图，最左侧小齿轮转动就会带动后面的大齿轮转动，古戈尔齿轮中有100个大齿轮，小齿轮与大齿轮的半径之比为1∶10，若第一个小齿轮的转动周期为1s，由图可知要使古戈尔齿轮中最后一个大齿轮转动一圈，需要的时间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练18-7】如甲图所示为某商场的旋转玻璃门，乙图为它的俯视示意图，旋转门逆时针旋转，左右两侧弧形玻璃完全对称，三扇旋转门连在一起且两两之间夹角相等。旋转门宽度为，左侧两扇旋转门和弧形玻璃恰好围成一个封闭空间。已知商场旋转玻璃门外边缘的最大安全旋转速度为，玻璃门处于如图位置时一位顾客（可视为质点）在下边缘虚线某处进入旋转玻璃门，则顾客穿过旋转玻璃门的最大平均速度为（　　） A． B． C． D． 【变式训练18-8】某同学用不可伸长的细线系一个质量为的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练18-9】水车是中国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产。水车的简易模型如图所示，水流自水平放置的水管流出，水流轨迹与水车车轮的边缘相切，可使车轮持续转动，切点与所在车轮横截面的圆心的连线与水平方向的夹角。已知水管出水口距轮轴O的竖直距离，车轮半径，重力加速度g取，，，水流到达车轮边缘时的速度与车轮边缘切点的线速度相同，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．水管出水口距轮轴O的水平距离为3.2m B．水管出水口处水流的速度大小为8m/s C．水流速度的变化量大小为10m/s D．车轮的周期为5s 【变式训练18-10】绞车的原理如图所示，将一根圆轴削成同心而半径不同的大小辘轳，在其上绕以绳索，绳下加动滑轮，滑轮下挂上重物，人转动把手带动辘轳旋转便可轻松将重物吊起。已知大、小辘轳的半径分别为、，把手的旋转半径为，在重物沿竖直方向被匀速吊起的过程中，把手的线速度大小为，则重物上升的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练18-11】（多选）春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，，手绢做匀速圆周运动，则（　　） A．P、Q线速度之比为 B．P、Q角速度之比为 C．P、Q向心加速度之比为 D．P点所受合外力总是指向O 【变式训练18-12】（多选）如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则下列说法正确的是（　　） A．子弹在圆筒中的水平速度为 B．子弹在圆筒中的水平速度为 C．圆筒转动的角速度可能为 D．圆筒转动的角速度可能为 【变式训练18-13】（多选）如图，一半径的老鼠夹固定于水平地面上，夹的夹角为，一旦触动升关，上夹立刻以角速度匀速向下转动。现有一只老鼠在与转轴距离为处偷吃食物，时刻触动开关，老鼠的运动行为如图的图像所示，老鼠可视为质点、下列说法正确的是（　　） A．老鼠先匀速后匀加速运动逃跑 B．老鼠1.5s内不动，1.5s后以速度约0.33m/s匀速逃跑 C．老鼠能逃出老鼠夹的夹击 D．老鼠不能逃出老鼠夹的夹击 【变式训练18-14】一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 题型19：水平面上的圆周运动——圆锥摆模型 （一） 圆锥摆（类圆锥摆）模型 【典型例题1】如图所示，分别用长度相等的细线将质量相同的1、2两个小球悬挂起来，给两个小球提供不同的水平初速度后，两个小球均在水平面内做匀速圆周运动，形成具有相同摆长和不同摆角的圆锥摆，两小球均可视为质点且不计空气阻力。则（　　） A. 球1的角速度小于球2的角速度 B. 细线对球1的拉力大于细线对球2的拉力 C. 两个小球的向心力大小相等 D. 球1的线速度大于球2的线速度 【答案】A 【解析】设圆锥摆的摆长为，与竖直方向的夹角为，小球的质量均为，根据牛顿第二定律可得，其中，解得，由图可知，，所以，故A正确； 小球在竖直方向合力为零，根据平衡条件 解得细线对球的拉力大小为 因为，所以，故B错误；小球所受细线拉力与小球重力的合力提供向心力，则向心力大小为 因为，所以，故C错误；小球的线速度为，因为，且，所以，故D错误 【典型例题2】如图所示，两根等长的轻质细绳连接两个小球、。已知上方小球的质量为下方小球的质量的2倍，两个小球均可视为质点。当系统绕竖直杆匀速转动时，两小球稳定后上端细绳与竖直方向的夹角为，下端细绳与竖直方向的夹角为，则和满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设上端细绳的拉力为，下端细绳的拉力为，对A球受力分析，有， 对B球受力分析，有， 联立以上各式，可得 故选A。 【典型例题3】（多选）摩托车特技表演中的飞檐走壁让人震撼，其运动可简化为如图所示的小球在光滑的半球形容器内做圆周运动。小球的质量为m，容器的球心为O、半径为R，小球在水平面内做圆周运动，运动到a点时，Oa与竖直方向夹角为θ，运动过程中容器静止在水平地面上。半球形容器及底座的质量为M，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）    A．小球运动的角速度大小为 B．小球运动的线速度大小为 C．底座受到地面的摩擦力大小为 D．底座对地面的压力大于 【答案】AC 【详解】A．对小球受力分析，如图    由牛顿第二定律，可得 ， 根据几何关系，有 联立，解得 故A正确； B．根据线速度与角速度关系，可得 故B错误； C．对容器受力分析，如图    由平衡条件，可得 又 联立，解得 故C正确； D．同理 根据牛顿第三定律，可得 故D错误。 故选AC。 【变式训练-1-1】游乐场内旋转飞椅的运动可以简化为如图所示的匀速圆周运动（不计空气阻力），下列说法正确的是（　　） A．飞椅受到重力、悬绳拉力和向心力 B．飞椅受到重力、悬绳拉力 C．飞椅在运动中的加速度不变 D．飞椅运动的速度不变 【变式训练19-1-2】如图所示，质量为m的小球用长为l的细线悬于P点，使小球在水平面内以角速度做匀速圆周运动。已知小球做圆周运动时圆心O到悬点P的距离为h，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．绳对小球的拉力大小为 B．小球转动一周，绳对小球拉力的冲量为0 C．保持h不变，增大绳长l，增大 D．保持h不变，增大绳长l，绳对小球拉力的大小不变 【变式训练19-1-3】一个单摆在竖直平面内摆动（摆角较小），摆球运动到最高点时对细线的拉力大小为、摆动的周期为；保持摆长不变，让该小球在水平面内做圆锥摆运动，摆线偏离竖直方向的夹角也为，运动过程中摆球对细线的拉力大小为，摆动的周期为。则（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-1-4】A、B两个粗细均匀的同心光滑圆环固定在竖直转轴上，圆心O在转轴上，两环和转轴在同一竖直面内，a，b两个小球分别套在A、B两个圆环上，当两环绕竖直轴匀速转动后，a、b两球在环上的位置可能是（ ） A． B． C． D． 【变式训练19-1-5】游乐场内有一种叫“空中飞椅”的游乐项目，静止时的状态可简化为如图所示。左边绳长大于右边绳长，左边人与飞椅的总质量大于右边人与飞椅的总质量。当匀速转动时，下列四幅图可能的状态为（　　） A． B． C． D． 【变式训练19-1-6】如图所示，、两个可视为质点的小球由两段不可伸长的细线连接，一同学用手握住细线上端，初始时刻两个球均静止，该同学通过晃动细线让两个小球动起来，系统稳定时两个小球均在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向成角。已知两段细线长度均为，、两小球的质量分别为、，两个小球做匀速圆周运动的角速度，重力加速度为，晃动细线过程中点高度没有发生变化，不计空气阻力，。他在晃动细线的过程中做功为（　　） A． B． C． D． 【变式训练19-1-7】市面上有一种自动计数的智能呼啦圈深受女士喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿过轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳，其模型简化如图乙所示。已知配重质量0.5kg，绳长为0.4m，悬挂点到腰带中心的距离为0.2m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重做水平匀速圆周运动，计数器显示在1min内显示圈数为120，此时绳子与竖直方向夹角为θ。配重运动过程中腰带可看做不动，g=10m/s2，sin37°=0.6，下列说法正确的是（　　） A．若增大转速，腰受到腰带的弹力增大 B．若减小转速，腰受到腰带的摩擦力减小 C．配重的角速度是120rad/s D．绳子与竖直方向夹角θ等于37° 【变式训练19-1-8】（多选）如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处作水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处作水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则（   ） A．线速度vA > vB B．角速度ωA < ωB C．向心加速度aA < aB D．向心力FA > FB 【变式训练19-1-9】（多选）如图所示，两根轻细线上端固定在S点，下端分别连一小铁球A、B，使两者恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，SO的高度为H，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动时，受到重力、细线拉力和向心力作用 B．如果两个小球的质量相等，则两条细线受到的拉力不相等 C．A、B做圆周运动的角速度均为 D．球A运动的周期小于球B运动的周期 【变式训练19-1-10】（多选）如图所示，系在悬点O的小球A在水平面内做圆锥摆运动，当小球角速度为ω1时，细绳与竖直方向夹角为θ1，细绳对小球的拉力为F1；当小球角速度为ω2时，细绳与竖直方向夹角为θ2，细绳对小球的拉力为F2。则以下关系式正确的是（ ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【变式训练19-1-11】（多选）如图所示，质量均为m的a、b两小球，在光滑半球形碗内做匀速圆周运动，碗的球心为O点、半径为0.1 m，Oa、Ob与竖直方向的夹角分别为53°和37°，两球运动过程中，碗始终静止在水平地面上，已知sin 37°＝0.6。则下列说法正确的是（ ） A．a、b两球做圆周运动的线速度之比为∶9 B．a、b两球做圆周运动的角速度之比为∶2 C．a、b两球做圆周运动的角速度之比为4∶3 D．a、b两球运动过程中，碗对地面始终有摩擦力作用 【变式训练19-1-12】（多选）图甲是游乐场中的“旋转飞椅”项目。“旋转飞椅”简化结构装置如图乙，转动轴带动顶部圆盘转动，长为L的轻质悬绳一端系在圆盘上，另一端系着椅子。悬点分别为A、B的两绳与竖直方向夹角分别为θ1＝37°、θ2＝53°，椅子与游客总质量分别为mA、mB，绳子拉力分别为FA、FB，向心加速度分别为aA、aB。忽略空气阻力，则椅子和游客随圆盘匀速转动的过程中（ ） A．由重力与绳子拉力的合力提供向心力 B．FA∶FB＝4mA∶3mB C．aA∶aB＝16∶9 D．悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关 【变式训练19-1-13】如图所示的玩具转盘半径为l，角速度ω可以调节，转盘中心O点固定了一竖直杆。质量为m的小球用轻绳AC和轻杆BC一起连接在竖直杆上，轻绳AC长为l，与竖直杆上A点相连，轻杆BC用铰链连接在竖直杆上的B点且可绕B点自由转动，OB＝。圆盘静止时轻绳AC与竖直方向夹角θ1＝30°，轻杆BC与竖直方向夹角θ2＝45°。不计摩擦阻力，重力加速度为g。 （1）要保持轻绳拉直，求ω的取值范围 （2）当ω＝时，求轻绳AC、轻杆BC所受的弹力大小 （3）在转动过程中小球忽然脱离，要求小球不能碰到圆盘，求ω的取值范围 【变式训练19-1-14】如图甲所示，一根不可伸长的轻绳穿过一竖直固定的光滑细管，两端系有小球A、B。A球的质量mA＝4m，对A施加一水平向右的拉力F（F未知），当θ＝37°时，系统正好处于静止状态，球A到管顶之间的距离为L。空气阻力不计，sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，重力加速度为g。 （1）求球B质量的mB； （2）撤去拉力F，为保证球B的位置和角θ都不变，可使球A绕中心轴以角速度ω匀速转动，如图乙所示，求ω； （3）撤去拉力F，使球A绕中心轴以角速度ω′（ω′＞ω）匀速转动，测出球B相对于原来的位置，高度变化了0.5L，求ω′。 （2) 转盘问题 【典型例题1】如图所示，两个完全相同的物块A、B（可视为质点）放在水平圆盘上，它们在同一直径上分居圆心两侧，用不可伸长的轻绳相连。两物块的质量均为1 kg，与圆心的距离分别为RA和RB，其中RA＜RB且RA＝1 m。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，轻绳水平伸直，当圆盘以不同角速度ω绕轴OO′匀速转动时，轻绳中的弹力FT与ω2的变化关系如图所示，重力加速度g＝10 m/s2。下列说不正确的是（ ） A．物块与圆盘间的动摩擦因数μ＝0.1 B．物块B与圆心的距离RB＝2 m C．当角速度为1 rad/s时，圆盘对物块A的静摩擦力指向圆心 D．当角速度为 rad/s时，物块A恰好相对圆盘发生滑动 【答案】C 【解析】AB、角速度较小时，物块各自受到的静摩擦力提供向心力，绳中无拉力，根据牛顿第二定律可得：f＝mω2R，因为RA＜RB，所以物块B与圆盘间的静摩擦力先达到最大值，随着角速度增大，轻绳出现拉力，拉力FT和最大静摩擦力的合力提供向心力，对物块B分析：FT＋μmg＝mω2RB，解得FT＝mω2RB－μmg 结合图像可知：RB＝2 m，μ＝0.1，故AB正确； C、当ω＝1 rad/s时，绳中的拉力FT＝mω2RB－μmg＝1×12×2 N－0.1×1×10 N＝1 N，再对A分析，根据牛顿第二定律可得：FT＋f＝mω2RA，解得f＝0，故C错误； D、当A恰好要相对圆盘发生滑动时，其摩擦力为最大值且方向沿半径向外， 对A分析，根据牛顿第二定律可得：FT－μmg＝mω2RA 此时对B分析：FT＋μmg＝mω2RB，联立解得：ω＝ rad/s，故D正确； 故选：C。 【典型例题2】（多选）如图所示（俯视图），用一根原长为L0、劲度系数为k的轻弹簧将质量均为m的两个可视为质点的小物块P、Q连接在一起，放置在能绕O点在水平面内转动的圆盘上。物块P、Q和O点构成直角三角形，已知QO的距离为L0、弹簧长度为2L0，∠POQ＝90°。现使圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动，小物块P、Q与圆盘始终相对静止，弹簧长度始终不变。下列说法正确的是（ ） A．物块P所受合力始终指向圆心 B．圆盘对Q的静摩擦力方向不随ω的变化而变化 C．当ω＝时，弹簧弹力与圆盘对P的摩擦力大小相等 D．当圆盘对物块P的静摩擦力大小为时，ω＝ 【答案】ACD 【解析】A．物块P做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，方向始终指向圆心，A正确； B．小物块Q所受弹簧弹力恒定，大小k(2L0－L0)＝kL0，方向指向P，随ω的变化，向心力变化，弹簧弹力和静摩擦力合力提供向心力，根据平行四边形定则，圆盘对Q的静摩擦力大小和方向会随ω的变化而变化，B错误； C．当ω＝时，对物体P，匀速圆周运动半径为，向心力Fn＝mω2()＝，根据平行四边形定则，圆盘对P的摩擦力大小为kL0，弹簧弹力与圆盘对P的摩擦力大小相等，C正确； 【变式训练19-2-1】如图所示，小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，a的质量为3m，b的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r和2r，a、b与盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，a、b所受摩擦力大小随ω2变化的图像正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练19-2-2】如图所示，一个半径为R的实心圆盘，其中心轴与竖直方向的夹角为30°，开始时，圆盘静止，其上表面覆盖着一层灰尘，没有掉落。现将圆盘绕其中心轴旋转，其角速度从零缓慢增大至ω，此时圆盘表面上的灰尘75%被甩掉。设灰尘与圆盘间的动摩擦因数为μ＝，重力加速度为g，则ω的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练19-2-3】如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动。三个物体与圆盘的滑动摩擦因数均为μ。最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力。三个物体与轴O共线且OA＝OB＝BC＝r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力，使圆盘从静止开始转动且缓慢增大角速度，直到物体相对圆盘发生滑动，已知重力加速度g。则在这个过程中： （1）当角速度多大时，物体B和物体C之间的细绳上恰好开始有张力？ （2）当角速度多大时，物体A和物体B之间的细线上恰好开始有张力？ （3）写出物体A所受静摩擦力大小随角速度ω变化的函数关系式。 【变式训练19-2-4】质量分别为m、2m的物块A、B通过不可伸长的细线连接，细线的长度为3L，现将物块A、B和细线组成的系统沿圆盘直径方向放置在水平圆盘的不同位置处，如图甲、乙、丙所示，细线处于伸直状态。图甲中，物块A位于圆盘的中心O点；图乙中，物块A、B位于圆盘中O点的同一侧且物块A离圆盘的中心O点的距离为3L；图丙中，物块A、B分别位于圆盘的中心O点的两侧且到O点的距离分别为L、2L。现让圆盘绕通过中心O点的竖直轴匀速转动，物块A、B与圆盘间的动摩擦因数均为μ且始终相对于圆盘静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块A、B均可视为质点，重力加速度大小为g。 （1）图甲中，求圆盘匀速转动的最大角速度ω1； （2）图乙中，当圆盘匀速转动的角速度为ω2时，细线上恰好出现拉力；当圆盘匀速转动的角速度为ω3时，物块A、B相对于圆盘刚要发生相对滑动，求； （3）图丙中，若圆盘匀速转动的角速度由0缓慢增大，请定性判断该过程中物块A受到摩擦力的变化情况（不需要说明理由），然后求出圆盘匀速转动的最大角速度ω4。 题型20：竖直面内圆周运动 【典型例题1】长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点。当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球的运动下列说法正确的是（ ） A．小球过最高点时的最小速度为零 B．小球开始运动时绳对小球的拉力为 C．小球过最高点时速度大小一定为 D．小球运动到与圆心等高处时向心力由细绳的拉力提供 【答案】D 【解析】A．根据mg＝得，小球通过最高点的最小速度v＝，故A错误； B．在最低点，根据牛顿第二定律得，F－mg＝，解得绳子对小球的拉力F＝mg＋，故B错误； C．小球通过最高点的最小速度为，但是通过最高点的速度不一定为，也可能大于，故C错误； D．在与圆心等高处，小球做圆周运动的向心力由绳子拉力提供，故D正确。 故选D。 【典型例题2】（多选）如图所示，质量为M、半径为R、内壁光滑的圆管轨道（带框架）竖直放置在水平地面上，轨道圆心为O点，P、Q与圆心等高。一质量为m的小球沿着圆管轨道顺时针运动且恰能完成完整的圆周运动，整个运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A．小球P→Q运动过程中，地面对轨道的摩擦力方向依次：向右、向左 B．小球P→Q运动过程中，地面对轨道的摩擦力方向依次：向右、向左、向右、向左 C．小球运动的过程中有2处位置，使得轨道对地面的压力为Mg D．小球运动的过程中有4处位置，使得轨道对地面的压力为Mg 【答案】BD 【解析】AB．如图所示， 设圆管轨道最高点为B，设小球在PB段运动时在A点处对轨道没有压力，OA与竖直方向的夹角为θ。小球恰能完成完整的圆周运动，则在最高点B速度为零， 设A点速度大小为v，从A到B由动能定理得－mgR(1－cos θ)＝0－ 又根据mgcos θ＝ 综合解得cos θ＝ 由对称性可知，设小球在BQ段运动时在C点处对轨道没有压力，OC与竖直方向的夹角也为θ。小球在PA段运动时，小球受到外轨道指向圆心方向的弹力，小球斜向左上挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向右。小球在AB段运动时，小球受到内轨道背离圆心方向的弹力，小球斜向右下挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向左。小球在BC段运动时，小球受到内轨道背离圆心方向的弹力，小球斜向左下挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向右。小球在CQ段运动时，小球受到外轨道指向圆心方向的弹力，小球斜向右上挤压外轨道，地面对轨道的摩擦力方向向左。故小球P→Q运动过程中，地面对轨道的摩擦力方向依次：向右、向左、向右、向左，故A错误，B正确； CD．小球在AC两点对轨道没有作用力，轨道对地面的压力等于轨道自身重力大小Mg；小球在PQ两点对轨道竖直方向没有作用力，轨道对地面的压力等于轨道自身重力大小Mg，故轨道小球运动的过程中有4处位置，使得轨道对地面的压力为Mg，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练20-1】甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（OA为细绳）。乙图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（OB为轻质杆）。丙图是质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动。丁图是质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动。则下列说法正确的是（ ） A．四个图中，小球通过最高点的最小速度都是v＝ B．四个图中，小球通过最高点的最小速度都是0 C．在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 D．在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 【变式训练20-2】应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入。例如你用手掌平托一苹果，保持这样的姿势在竖直平面内按顺时针方向做匀速圆周运动。在苹果从最低点a到最左侧点b运动的过程，下列说法中正确的是（　　）    A．手掌对苹果的摩擦力越来越大 B．苹果先处于超重状态后处于失重状态 C．手掌对苹果的支持力越来越大 D．苹果所受的合外力越来越大 【变式训练20-3】图为某资料上一幅反映课外活动的场景，描绘了小明荡秋千荡到最高点时的情形，关于该图与实际情况是否相符的判断及其原因，下列正确的是（　　） A．符合实际情况，图片没有科学性错误 B．不符合实际情况，因为没有人推他不可能荡到这么高处 C．不符合实际情况，最高点时手以上部分绳子可以弯曲但以下部分应拉直 D．不符合实际情况，最高点时手以上部分和以下部分的绳子均应该是拉直的 【变式训练20-4】如图（a）所示，一根长度为l的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球。轻杆随转轴在竖直平面内以角速度匀速转动。已知轻杆对小球的作用力大小随时间的变化关系如图（b）所示，图中和分别为最小值和最大值，且，其中g为重力加速度。则（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练20-5】如图所示，半径为的半圆弧轨道竖直固定在水平面上，竖直半径与倾斜半径、的夹角为，且，现让可视为质点的小球从点由静止释放，当小球运动到点时正好脱离轨道，小球此时速度的大小为（为未知量）；再把小球拿到点，并使小球在点获得大小为（为未知量）、方向与垂直斜向上的初速度，小球从点运动到点，运动轨迹的最高点为点，重力加速度为，不计一切摩擦，不计空气作用。下列说法正确的是（　　） A．小球在点的向心加速度为 B．小球在点的速度为 C．小球从到的运动时间为 D．、两点的距离为 【变式训练20-6】（多选）某物理实验兴趣小组探究竖直面内小球做圆周运动对轨道压力的变化规律。如图所示，在竖直面内固定一个圆周轨道，轨道半径R＝0.3 m，分别在距离最低点A高度为0、0.1 m、0.2 m、0.3 m、0.4 m、0.5 m、0.6 m处安置压力传感器，一质量为m的小球从A点以速度v0开始沿内轨道向右运动，已知小球在最低点A点和最高点B点压力传感器示数差为6 N，在C点（与O点等高的位置）压力传感器示数为10 N。小球可视为质点，小球与圆轨道的摩擦力可忽略不计，g取10 m/s2。由此可判定（ ） A．m＝0.2 kg B．v0＝6 m/s C．小球在0.2 m处时压力传感器示数为12 N D．小球在各位置压力传感器示数F与高度h的关系F＝13－10h 【变式训练20-7】（多选）如图为自行车车轮的气嘴灯原理图，气嘴灯由接触式开关控制。其结构为弹簧一端固定在顶部A，另一端与重物连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，重物拉伸弹簧后使点M、N接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点N与车轮圆心距离为R，车轮静止且B端在车轮最低点时触点M、N距离为0.05R。已知A靠近车轮圆心、B固定在车轮内臂，重物与触点M的总质量为m。弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g。不计接触式开关中的一切摩擦，重物和触点M、N均视为质点，则有（　　） A. 相同转速下，重物质量大小对能否接通LED灯没影响 B. 转速越大，重物质量越大，LED灯越容易发光 C. 使得LED灯发光的最小角速度为 D. 若气嘴灯在最低点能发光，同一转速下在最高点也一定能发光 【变式训练20-8】小李同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。再次加速甩动手腕，当球某次运动到最低点A时，绳恰好断掉，如题图所示。已知握绳的手离地面高度为2L，手与球之间的绳长为L，绳能承受的最大拉力为9mg，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。求： （1）为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B时的最小速度； （2）绳断时球的速度大小； （3）绳断后，小球落地点与抛出点A的水平距离。 题型21：生活中的圆周运动 【典型例题1】如图所示，有一辆汽车在前挡风玻璃内悬挂了一个挂件。当汽车在水平公路上转弯时，司机发现挂件向右倾斜并且倾斜程度在缓慢减小，已知汽车的转弯半径一定，则下列说法正确的是（　　） A．汽车正在向右加速转弯 B．汽车正在向右减速转弯 C．汽车正在向左加速转弯 D．汽车正在向左减速转弯 【答案】D 【详解】挂件向右倾斜，对挂件受力分析可知，重力、拉力的合力水平向左，即向心力向左，汽车向左转弯。设挂件与竖直方向的夹角为，则摆动过程中的向心力为 由于挂件倾斜程度在缓慢减小，摆角变小，而汽车的转弯半径一定，所以汽车的速率在减小，即汽车正在向左减速转弯。 故选D。 【典型例题2】如图所示为我国某平原地区从P市到Q市之间的高铁线路，线路上，，位置处的曲率半径分别为r，r、2r。若列车在P市到Q市之间匀速率运行，列车在经过，，位置处与铁轨都没有发生侧向挤压，三处铁轨平面与水平面间的夹角分别为、，。下列说法正确的是（　　） A．列车依次通过3个位置的角速度之比为1：1：2 B．列车依次通过3个位置的向心加速度之比为1：1：2 C．3个位置的 D．3个位置的内外轨道的高度差之比为1：1：2 【答案】C 【详解】A.根据 可知，列车依次通过3个位置的角速度之比为2：2：1，故A错误； B.根据 可知，列车依次通过3个位置的向心加速度之比为2：2：1，故B错误； C.根据火车在转弯处的受力分析，由牛顿第二定律 可知 故 故C正确； D.设内外轨道间距离为，则有 h和成正比，所以 故D错误。 故选C。 【典型例题3】国家“十四五”规划确定的重大科研项目“CR450科技创新工程”取得重大突破。当质量为的普通动车以速度经过一个半径为、倾角为的水平弯道时，列车既不挤压外轨也不挤压内轨；当质量为的CR450动车以速度经过一个半径为、倾角为的水平弯道时，列车同样既不挤压外轨也不挤压内轨。按上述情景通过弯道时，CR450动车对比普通动车，下列说法正确的是（　　） A．向心加速度大小之比为 B．轨道的倾角之比为 C．轨道倾角的正切值之比为 D．车厢对轨道的正压力大小之比为 【答案】AC 【详解】A．两辆动车做圆周运动向心加速度 得，故A正确； BC．根据题意，对两辆动车受力分析，如图所示 有 得，故B错误，C正确； D．由受力分析图，有 得，无法得到具体比值，故D错误。 故选AC。 【变式训练21-1】如图所示，一质量的小球C用轻绳AC和BC系在竖直杆AB上，现在小球绕AB杆匀速转动，轻绳伸直，OC垂直于AB，此时，。已知轻绳AC长为1.0m，足够结实，轻绳BC能承受的最大拉力为1.44N，小球C可视为质点，g取，，。那么小球做圆周运动的角速度（　　） A． B． C． D． 【变式训练21-2】如图所示，MN为半径为r的圆弧路线，NP为长度19r的直线路线，为半径为4r的圆弧路线，为长度16r的直线路线。赛车从M点以最大安全速度通过圆弧路段后立即以最大加速度沿直线加速至最大速度vm并保持vm匀速行驶。已知赛车匀速转弯时径向最大静摩擦力和加速时的最大合外力均为车重的k倍，最大速度，g为重力加速度，赛车从M点按照MNP路线运动到P点与按照路线运动到点的时间差为（　　） A． B． C． D． 【变式训练21-3】运球转身是运球中的一种基本方法，是篮球运动中重要进攻技术之一。拉球转身的动作是难点，例如图a所示为运动员为拉球转身的一瞬间，由于篮球规则规定手掌不能上翻，我们将此过程理想化为如图b所示的模型，薄长方体代表手掌，转身时球紧贴竖立的手掌，绕着转轴（中枢脚所在直线）做圆周运动，假设手掌和球之间的最大静摩擦因数为0.5，篮球质量为600克，直径24厘米，手到转轴的距离为0.5米，则要顺利完成此转身动作，篮球和手至少要有多大的速度（  ） A．2.28m/s B．2.76m/s C．3.16m/s D．3.52m/s 【变式训练21-4】如图甲所示，汽车后备箱水平放置一内装圆柱形工件的木箱，工件截面和车的行驶方向垂直，图甲是车尾的截面图，当汽车以恒定速率从直道通过图乙所示的三个半径依次变小的水平圆弧形弯道A、B、C时，木箱及箱内工件均保持相对静止。已知每个圆柱形工件的质量为m。下列说法正确的是（　　） A．汽车在由直道进入弯道A前，M对P的支持力大小为mg B．汽车过A、B、C三点时，汽车重心的角速度依次减小 C．汽车过A、B两点时，M、Q对P的合力依次增大 D．汽车过A、C两点的向心加速度相同 【变式训练21-5】（多选）机器人扭秧歌成了2025年年初的头条热点， 机器人的3分钟表演让国内外都为之震撼。如图机器人转动的手绢好像 “死死地” 黏在机器人的手上一样。此情景可以简化为长为 的轻杆一端固定在水平转轴上的 点，另一端固定一质量为 的小球， 在竖直平面内做角速度为 的匀速圆周运动，重力加速度为 。下列说法正确的是（　　） A．小球转到最低点D时， 轻杆对小球的弹力的大小一定大于重力 B．小球转到最高点C时，轻杆对小球的弹力的大小一定大于重力 C．小球在最左端 时，轻杆对小球的作用力的大小为 D．小球在最右端 时，轻杆对小球的作用力的大小为 【变式训练21-6】“货郎伞”是一种具有中国传统文化特色的伞具，即古代货郎担子上的遮阳伞。在这种伞下通常陈列各种商品，伞上也常常装饰彩幡、挂件等，具有浓郁的民俗风格。卖货郎边走边转动伞具，甚是好看。若将伞体绕伞把的转动看作匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．远离伞把的挂件向心加速度更大 B．在失重条件下也可以重复以上运动 C．靠近伞把的挂件偏离竖直方向的角度较大 D．只要伞体转动的角速度足够大，一定会有挂件达到水平状态 题型22： 圆周运动中的临界问题 （一）水平面的圆周运动临界问题 【典型例题1】如图所示，在水平圆盘上放置一个质量为的小滑块，滑块离圆盘中心。滑块与圆盘之间的动摩擦因数为0.1，现使圆盘绕垂直于盘面的中心轴缓慢加速转动，至小滑块与盘面发生相对滑动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，则（    ） A．圆盘缓慢加速转动过程中，滑块所受的摩擦力做功为0 B．小滑块与盘面发生相对滑动时圆盘的角速度为 C．在小滑块上面再放置一个相同的小滑块，发生相对滑动时的角速度为 D．在小滑块上面再放置一个质量为的小滑块，两者之间的动摩擦因数为0.05，发生相对滑动时的角速度为 【答案】D 【详解】A．小滑块动能增大，故摩擦力做正功，A错误； B．小滑块与盘面发生相对滑动时有 解得 B错误； C．在小滑块上面再放置一个相同的小滑块，发生相对滑动时有 解得 C错误； D．在小滑块上面再放置一个的小滑块，两者之间的动摩擦因数为0.05，则两个小滑块首先发生相对滑动，有 解得 D正确。 故选D。 【典型例题2】如图，足够大水平圆盘中央固定一光滑竖直细杆，质量分别为2m和m的小球A、B用轻绳相连，小球A穿过竖直杆置于原长为l的轻质弹簧上，弹簧劲度系数为，B紧靠一个固定在圆盘上且与OAB共面的挡板上，在缓慢增加圆盘转速过程中，弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度为g，则（    ） A．球离开圆盘后，弹簧弹力不变 B．绳子越长小球飞离圆盘时的角速度就越大 C．当角速度为时，弹簧长度等于 D．当角速度为时，弹簧弹力等于 【答案】AD 【详解】A．球离开圆盘后，对B竖直方向 对A竖直方向 即弹簧弹力不变，选项A正确； B．设小球恰飞离圆盘时绳子与竖直方向夹角为θ0，此时弹簧长度为l1，对A, 解得 则 对B, 则小球飞离圆盘时的角速度为定值，与绳长无关，选项B错误； C．当角速度为，此时物块还没有离开圆盘，此时弹簧长度大于，选项C错误； D．当角速度为此时物块已经离开圆盘，此时弹簧弹力等于，选项D正确。 故选AD。 【典型例题3】如图所示，粗糙轻杆水平固定在竖直轻质转轴上A点。质量为m的小球和轻弹簧套在轻杆上，小球与轻杆间的动摩擦因数为μ，弹簧原长为0.6L，左端固定在A点，右端与小球相连。长为L不可伸长质量不计的细线一端系住小球，另一端系在转轴上B点，AB间距离为0.6L。装置静止时将小球向左缓慢推到距A点0.4L处时松手，小球恰能保持静止。接着使装置由静止缓慢加速转动。已知小球与杆间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，不计转轴所受摩擦。 （1）求弹簧的劲度系数k； （2）求小球与轻杆间恰无相互作用力时装置转动的角速度ω。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）依题意，有 k（0.6L－0.4L）＝μmg 解得 k＝ （2）小球与轻杆间恰无弹力时受力情况如图所示，此时弹簧长度为0.8L有 Tsin37°＝mg Tcos37°＋k（0.8L－0.6L）＝0.8mω2L 解得 ω＝ 【变式训练22-1-1】陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶磁的简化工作台，当陶磁匀速转动时，台面面上掉有陶屑，陶屑与桌面间的动摩因数处处相同（台面够大），则（   ） A．离轴OO´越远的陶屑质量越大 B．  离轴OO´越近的陶屑质量越小 C． 只有平台边缘有陶屑 D．离轴最远的陶屑距离不会超过某一值 【变式训练22-1-2】如图所示，一表面粗糙的圆锥形漏斗，其内表面与水平方向之间的倾角，有一质量为的小物块（可视为质点）被放在漏斗内表面上，物块与漏斗竖直轴线的距离为，与漏斗倾斜内表面间的动摩擦因数为0.5，现使该漏斗绕竖直方向的转轴匀速转动，要使物块相对漏斗保持静止，已知重力加速度为，最大静摩擦等于滑动摩擦力，，则漏斗转动的角速度取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式训练22-1-3】如图所示，一距地面高为0.80m、半径为1.2m的水平圆盘上放置质量分别为0.85kg、0.15kg的A和B两个物体，用长为1.2m的轻绳连接，A物体在转轴位置上，当圆盘绕其竖直轴以角速度ω0转动时，A、B两物体刚好相对圆盘静止。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数均为0.2，g取10m/s2。某时刻轻绳突然断裂，下列说法正确的是（　　） A．轻绳断裂前，圆盘转动的角速度为 B．轻绳断裂前，轻绳拉力的大小为0.3N C．B物体落到水平面的位置到竖直轴的距离为1.6m D．B物体落地时的速度大小为4m/s 【变式训练22-1-4】如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的轻杆一端固定于球上，另一端通过光滑的铰链固定于圆环最低点，当圆环以角速度绕竖直直径转动时，轻杆对小球的作用力大小和方向为（　　） A．沿杆向上 B．沿杆向下 C．沿杆向上 D．沿杆向下 【变式训练22-1-5】如图所示，两个质量均为m的小木块A、B（可视为质点）放在水平圆盘上，A、B到转轴的距离分别为l、．小木块与圆盘之间的动摩擦因数均为，可以认为小木块最大静摩擦力等于滑动摩擦力．若圆盘从静止开始绕轴转动，并缓慢地加速，用表示圆盘转动的角速度，用g表示重力加速度的大小，下列说法正确的是（    ） A．圆盘对A的作用力大小大于A对圆盘的作用力大小 B．当时，A所受摩擦力的大小为 C．A、B所受摩擦力的大小始终相等 D．B一定比A先开始滑动 【变式训练22-1-6】如图所示，小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，a的质量为3m，b的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r和2r，a、b与盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，a、b所受摩擦力大小分别为随变化的图像正确的是（　　）      A．   B．   C．   D．   【变式训练22-1-7】如图甲所示，绕着竖直转轴转动的水平转盘上放有质量为的斜面体，斜面体上放有一物块，物块质量也为。某时刻转盘开始转动，角速度从零缓慢增大到，斜面体和物块始终与转盘保持相对静止，斜面体到转轴的水平距离为，物块到转轴的水平距离为，均远大于物块和斜面体的尺寸，如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．转盘对斜面体的摩擦力始终背向转轴 B．斜面体对转盘的压力小于 C．当转盘角速度为时，斜面体所受圆盘的摩擦力小于 D．物块所受斜面体的摩擦力沿斜面向上，并一直增大 【变式训练22-1-8】（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（　　） A．当时，A、B相对于转盘会滑动 B．当时，绳子一定有弹力 C．在范围内增大时，B所受摩擦力变大 D．在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 【变式训练22-1-9】（多选）如图所示，天花板下通过两个支架固定一根细钢管，轻绳从钢管穿过后，在其两端分别挂质量为m1、m2的小球a、b（均可视为质点），两小球的质量之比为 ，钢管左端轻绳AB段长度为l=1m，当钢管一侧悬挂小球的轻绳上张力不小于另一侧张力的时，绳不会发生滑移，为使小球b保持静止状态，已知重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（　　） A．若小球a也保持静止状态，则 B．若k=1，可将小球a拉至轻绳AB段与竖直方向成夹角53°无初速度释放 C．若可使小球a在水平面内做匀速圆周运动，其角速度范围为 D．若轻绳AB段与竖直方向的夹角为37°，可使小球a在水平面内做匀速圆周运动，则 【变式训练22-1-10】（多选）如图所示，配有转盘的中式圆餐桌是我国的传统家具。质量为m的小碗（可视为质点）放在水平转盘边缘上随转盘一起由静止缓慢加速转动，若小碗与转盘以及桌面间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘的半径为r，餐桌的半径为R，重力加速度为g，转盘与桌面的高度差不计，下列说法正确的是（　　） A．当转盘的角速度增至时，小碗相对转盘开始滑动 B．小碗由静止到即将滑动的过程中，转盘对小碗做的功为 C．若，小碗最终会从桌面滑落 D．若小碗未滑离桌面，则R不会小于 【变式训练22-1-11】如图所示，足够大的光滑板固定在水平面内，板上开有光滑的小孔，细线穿过小孔，将小球A、B、C拴接。小球A在光滑板上做匀速圆周运动，小球B、C自然下垂处于静止状态。已知小球A、B、C的质量均为，小球A到小孔的距离为，重力加速度为。 （1）求小球A做圆周运动的速度大小； （2）剪断B、C间细线瞬间，小球A的加速度大小为，求此时小球B的加速度大小； （3）剪断B、C间细线后，小球B运动到最高点的过程中（小球B未与板接触），细线对小球B做的功为，求小球B运动到最高点时小球A的角速度大小。 【变式训练22-1-12】如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量的小球P，另一端和细绳BC（悬点为B）在结点C处共同连着质量为的小球Q，长细绳能承受的最大拉力为60N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6 N。转动圆筒使BC绳被水平拉直，小球Q在水平面内做匀速圆周运动，小球P处于静止状态，此时圆筒顶端A点到C点的距离，细绳BC的长度，重力加速度g取，两绳均不可伸长，小球P、Q均可视为质点。求： （1）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉直（结果可用根号表示）； （2）当角速度ω多大时，BC绳刚好被拉断。 【变式训练22-1-13】一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 【变式训练22-1-14】“疯狂大转盘”在游乐场中是很常见的娱乐设施。现在简化模型平面图如图所示，大转盘的最大半径为R，大转盘转动的角速度ω从0开始缓慢的增加。大转盘上有两位游客A和B，分别位于距转盘中心和R处。为保证安全，两游客之间系上了一根轻质不可伸长的安全绳。游客和转盘之间的最大静摩擦力为游客自身重力的k倍，两游客的质量均为m，且可视为质点，重力加速度为g。求： （1）当绳子开始出现张力时，转盘的角速度ω0； （2）当转盘的角速度增加到时，游客A受到转盘的静摩擦力大小； （3）游客A、B相对转盘保持静止，安全绳上的最大张力。 （二） 竖直平面内的圆周运动临界问题 【典型例题1】（多选）现有一根长0.4m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着一个可视为质点且质量为1kg的小球，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。不计空气阻力，g=10m/s2，则（　　） A．小球以1m/s的速度水平抛出到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之上 B．小球以1m/s的速度水平抛出到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之下 C．小球以2m/s的速度水平抛出的瞬间，绳子的张力大小为10 N D．小球以4m/s的速度水平抛出的瞬间，绳中的张力大小为30N 【答案】BD 【详解】AB．若要想使得细绳恰在与O点水平线时细绳伸直，则需满足 解得 则若小球以1m/s的速度水平抛出，则到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之下，选项A错误，B正确； CD．要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时重力恰好提供的向心力，根据牛顿第二定律可得 mg＝m 解得 v＝＝2m/s 小球以2m/s的速度水平抛出的瞬间，轻绳刚好有拉力，张力为0；小球以4m/s的速度水平抛出的瞬间，对小球受力分析，由牛顿第二定律得 T+mg＝m 解得 T＝30N 故D正确，C错误； 故选BD。 【典型例题2】如图，轻杆的一端固定在水平转轴O上，另一端固定一小球，轻杆随转轴在竖直平面内做匀速圆周运动，位置A与O等高，不计空气阻力，关于杆对球的作用力F，下列说法正确的是（　　） A．小球运动到最高点时，F方向竖直向上 B．小球运动到最低点时，F大于小球重力 C．小球运动到位置A时，F方向指向圆心 D．小球运动到位置A时，F小于小球重力 【答案】B 【详解】A．设小球转动的半径为R，则小球运动到最高点时，根据牛顿第二定律 若速度大于，则F方向竖直向下，若速度小于，则F方向竖直向上，若速度等于，则F为零，故A错误； B．小球运动到最低点时，根据牛顿第二定律有 所以 故B正确； C．小球运动到位置A时，则有 向心力方向指向圆心，F指向斜上方，故C错误； D．小球运动到位置A时，F大于小球的重力，故D错误。 故选B。 【典型例题3】如图所示，有一质量为m的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大于小球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C为管道的最高点和最低点，B为管道上与圆心等高的点，D为管道上的一点，且D与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．若小球在A点的速度大小为，则外侧管壁对小球有作用力 B．若小球在B点的速度大小为，则内侧管壁对小球有作用力 C．若小球在C点的速度大小为，则小球对管道的内外壁均无作用力 D．若小球在D点的速度大小为，则外侧管壁对小球有作用力 【典型例题4】（多选）如图所示为蛤蟆夯，工作时铁砣转动，带动夯跳起向前移动砸实地基。因工作方式像蛙跳而得名。其结构可等效为如图乙所示的示意图，质量为的夯架，夯架上O点有一水平转轴，一质量为m的铁砣通过一半径为R的轻杆连接在转轴上，铁砣可以绕转轴在竖直面内做圆周运动。在一次检测夯性能时杆在竖直方向上，铁砣静止于最低点A，现给铁砣一个水平方向的初速度，之后铁砣在竖直平面内做逆时针方向的圆周运动，支架相对地面始终保持静止。已知铁砣可视为质点，重力加速度大小为g，不计转轴处的摩擦和转轴重力，不计空气阻力，则在铁砣运动过程中以下说法正确的是（    ） A．铁砣运动到最高点时对杆的弹力最小 B．支架对地面的最小压力为 C．支架对地面的最大摩擦力为 D．支架对地面的最大压力为 【答案】AB 【详解】A．通过定性分析可得杆受到铁砣最小弹力的位置应该在小球运动到圆心О点以上，如图所示 设此位置与О点的连线与水平方向的夹角为θ，此点的速度为，从A点到此点过程，根据机械能守恒定律可得 设杆对铁砣的弹力为，在此点做圆周运动有 两式联立解得 根据牛顿第三定律，杆对铁砣的弹力为 所以当时，即铁砣运动到轨道最高点时，此时有最大值，杆对铁砣的弹力有最小值为 故A正确； B．通过定性分析可得支架对地面压力最小的位置应该在小球运动到圆心О点以上，以支架为研究对象，设地面对支架的支持力为，根据平衡条件，竖直方向上有 联立解得 即是关于的二次函数，函数图像为开口向上的抛物线，根据二次函数性质可知当 时，有最小值，将代入得地面对支架的最小支持力为 根据牛顿第三定律可知，支架对地面的最小压力也为，故B正确； D．铁砣运动到轨道最低点时，支架对地面的压力最大。铁砣在轨道最低点时，由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律得，铁砣对支架的向下的拉力 地面对支架的支持力 由牛顿第三定律得，支架对地面的压力 支架对地面的最大压力为。故D错误； C．通过定性分析可知支架对地面的最大摩擦力的位置应该在铁砣运动到圆心点以下，如图所示 设此位置与点的连线与水平方向的夹角为，此点的速度为，从A点到此点过程根据机械能守恒定律可得 设轻杆对铁砣的弹力为，在此点做圆周运动的向心力为 两式联立解得 根据牛顿第三定律铁砣对支架的弹力为 以支架为研究对象，设地面对支架的摩擦力为，转轴对支架的力为 根据平衡条件，水平方向上有 当， 而摩擦力的最大值不在的位置。摩擦力对求导得 当时，即 时摩擦力有最大值。故C错误。 故选AB。 【变式训练22-2-1】如图所示，在O点用长为L不可伸长的轻绳悬挂一质量为m的小球，O点正下方的P点固定一细钉子，OP距离为d，C点和P点等高。小球处于O点右侧同一水平高度的A点时，绳刚好拉直，将小球从A点由静止释放。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球从A点运动B点的过程中，重力的功率逐渐变大 B．绳撞钉子前后，小球的角速度不变 C．d取某个值（不等于0）时，小球运动到C点的速度恰好为零 D．若时，小球不能绕钉子做圆周运动 【变式训练22-2-2】如图所示，粗糙的水平轨道和光滑的竖直圆轨道 ABCD 相切于A点，小滑块P静置在水平轨道上，现对P施加水平向右的恒力F使之由静止向右运动，到A点时撤去F。研究发现：当起点在M点左侧或N点右侧时，P进入圆轨道后不会脱离轨道。设MA与NA的比值为k，小滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，则 （　　） A．μ越大，k越大 B．μ越大，k越小 C．k=2 D．k= 【变式训练22-2-3】如图1所示，长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小v、绳子拉力的大小F，作出F与的关系图线如图2所示。下列说法中正确的是（    ） A．根据图线可以得出小球的质量 B．根据图线可以得出重力加速度 C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大 D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 【变式训练22-2-4】如图为一小朋友在一个空心水泥管里玩“踢球”游戏，将该过程简化为竖直面内半径为r的固定圆环，在圆环的最低点有一质量为m的小球，现给小球一水平向右的瞬时速度v．小球沿圆环内侧运动，重力加速度为g，不计小球与圆环间的摩擦。下列说法正确的是（    ） A．若，小球可以通过圆环最高点 B．若，小球在最低点对圆环压力大小为4mg C．若，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为 D．若，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为 【变式训练22-2-5】如图所示，长为L的杆一端固定在过O点的水平转轴上，另一端固定质量为m的小球。杆在电动机的驱动下在竖直平面内旋转，带动小球以角速度做匀速圆周运动，其中A点为最高点，C点为最低点，B、D点与O点等高。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．小球在B、D两点受到杆的作用力大于mg B．小球在A、C两点受到杆的作用力大小的差值为6mg C．小球在B、D两点受到杆的作用力大小等于 D．小球从A点到B点的过程，杆对小球做的功等于 【变式训练-2-6】某同学在转动如图所示的铅笔的过程中，发现在水平面内绕笔中心转动的角速度超过20rad/s时，位于铅笔一端的橡皮将滑出，已知他使用的铅笔长，假设橡皮受到的最大静摩擦力为定值，且橡皮的大小可忽略，取，则要保证橡皮擦不滑出，这支铅笔在竖直面内绕其中心转动的角速度的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练22-2-7】无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径R，则下列说法正确的是（　　） A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上 B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同 C．管状模型转动的角速度最大为 D．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力 【变式训练22-2-8】如图半径为L的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m的小球做完整的圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，下列说法不正确的是（　　） A．经过最低点时小球可能处于失重状态 B．经过最高点Z时小球可能处于完全失重状态 C．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点Z的速度v最小值为0 D．若经过最高点Z的速度v增大，小球在Z点对管壁压力可能减小 【变式训练22-2-9】某趣味运动会中，有一项比赛，规则如下：如图所示，运动员站在一个固定的大圆筒内，用合适的力度踢一下静止在圆筒最底端的小足球，使小足球在竖直面内先由最低点沿圆筒向上滚动，然后从某一位置脱离圆筒，如果小足球在下落过程中，恰好落入运动员背后的小背篓中，即为得分。若圆筒半径为R，小足球质量为m，小足球飞离圆筒位置与圆筒圆心连线和竖直方向之间的夹角为θ，圆筒内壁不计摩擦，小足球可视为质点，忽略空气阻力，不考虑人对小足球的阻挡，重力加速度为g，则（　　） A. 若足球能飞离圆筒，则足球在最低点的初速度的范围应为 B. 若足球在最低点的初速度，则足球不会飞离圆筒 C. 若希望足球飞离点θ=37°，则足球在最低点的初速度为 D.若θ=45°，则运动员将背篓置于圆心正上方处，可以接到球 【变式训练22-2-10】如图半径为L的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m的小球做完整的圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，下列说法不正确的是（　　） A．经过最低点时小球可能处于失重状态 B．经过最高点Z时小球可能处于完全失重状态 C．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点Z的速度v最小值为0 D．若经过最高点Z的速度v增大，小球在Z点对管壁压力可能减小 【变式训练22-2-11】如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球（直径略小于管内径）一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是（　　） A．v的最小值为 B．当时，小球处于完全失重状态，不受力的作用 C．当时，轨道对小球的弹力方向竖直向下 D．当v由逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小 【变式训练22-2-12】（多选）如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长度为R的水平轨道，BCDE是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点。一可视为质点的小球从A点以某速度（大小未知）水平向左运动，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．当时，小球刚好过最高点D点 B．当时，小球不会脱离圆弧轨道 C．若小球能通过E点，则越大，小球在B点与E点所受的弹力之差越大 D．小球从E点运动到A点的最长时间为 【变式训练22-2-13】（多选）如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，d≤R，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点，则（　　） A．气嘴灯在最低点能发光，其他位置一定能发光 B．气嘴灯在最高点能发光，其他位置一定能发光 C．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 【变式训练22-2-14】（多选）如图所示，质量为、半径为、内壁光滑的圆形轨道竖直放置在水平地面上，轨道圆心为，、是轨道上与圆心等高的两点。一质量为的小球沿轨道做圆周运动且刚好能通过轨道最高点，运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球经过轨道最低点时，速度为 B．小球经过点时，轨道对地面的压力为 C．小球经过轨道最高点时，轨道对地面的压力最小 D．小球经过点时，轨道对地面的摩擦力沿水平面向右 【变式训练22-2-15】（多选）如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长度为R的水平轨道，BCDE是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点。一可视为质点的小球从A点以某速度（大小未知）水平向左运动，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．当时，小球刚好过最高点D点 B．当时，小球不会脱离圆弧轨道 C．若小球能通过E点，则越大，小球在B点与E点所受的弹力之差越大 D．小球从E点运动到A点的最长时间为 【变式训练22-2-16】（多选）如图所示，一轻绳系一质量为m小球，竖直悬挂在O点，现将小球沿圆弧拉至与O等高的A点，由静止自由释放。小球运动过程中经过C点时，绳与竖直方向的夹角为，以下判断正确的是（　　） A．小球下摆到最低点的过程中，重力平均功率为0，细绳拉力一直增大 B．小球运动至C点时，其加速度大小为 C．小球运动至C点时，轻绳对小球的拉力大小为 D．若小球经过C点时重力功率最大，则 【变式训练22-2-17】（多选）如图甲所示，可视为质点的小球用长为、不可伸长的轻绳悬挂于点。现对小球施加水平恒力使其从静止开始运动，轻绳拉力大小随绳转过的角度变化的曲线如图乙所示，图中为已知量，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球到达最高点时的机械能最大 B．小球到达最高点时的加速度大小为 C．小球运动过程中轻绳拉力的最大值为 D．小球从开始运动到最高点，增加的机械能为 【变式训练22-2-18】（多选）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（　　） A．可以到达半圆轨道最高点D B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s 【变式训练22-2-19】如图所示，为固定在竖直平面内的两段粗糙的圆弧轨道，两段圆弧轨道相切于，圆弧的半径，圆弧的半径，、分别为两段圆弧的竖直半径，与竖直方向的夹角，一质量的小球（视为质点）从点水平抛出，恰好从点沿切线方向进入圆弧轨道，到圆弧最高点后水平射出，又恰好落到圆弧轨道的点。已知、两点的高度，不计空气阻力，取重力加速度大小，，，结果可用根号表示。求： (1)小球从点抛出时的速度大小； (2)小球在点时对轨道的压力大小； (3)小球经点后落到点时的速度大小。 【变式训练22-2-20】如图所示，长为的轻绳悬挂于O点，另一端连接质量为的小球，小球可视为质点。在点正下方的处固定一光滑小钉，将小球拉起使悬线呈水平绷紧状态后，无初速地释放，小球运动到最低点后绕点运动，不计空气阻力，重力加速度为． （1）要使小球能以为圆心做完整的圆周运动，OC长度至少为多大？ （2）小球从A运动到B的过程中，当重力功率最大时，绳对小球的拉力为多大。 【变式训练22-2-21】如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在距离水平地面高为h的O点，另一端系有质量为m，可视为质点的小球，将小球拉至O点正上方的A点，给其一水平方向的初速度，使其恰好通过A点后，在竖直平面内以O点为圆心做半径为r的圆周运动。当小球运动到最低点B时，绳恰好被拉断，小球水平飞出。不计空气阻力及绳断时的能量损失，重力加速度为g。求： （1）小球初速度的大小。 （2）绳能承受拉力的最大值。 （3）小球落地时的速度大小v。 【变式训练22-2-22】如图所示为一电动打夯机的原理图，电动机的转轴上固定一轻杆，轻杆的另一端固定一铁球。工作时电动机带动杆上的铁球在竖直平面内转动。若调整转速使打夯机恰好不离开地面，且匀速转动一段时间后，切断电力，铁球继续做圆周运动。整个过程中打夯机的底座始终与地面相对静止。已知打夯机（包括铁球）的总质量为，重力加速度为g，铁球可视为质点，不计一切阻力。 （1）求切断电力前，打夯机匀速转动时对地面产生的最大压力； （2）若切断电力后，打夯机对地面产生的最大压力为，求铁球的最小质量m。 （三）斜面上圆周运动的临界问题 【典型例题1】如图所示，长为L的不可伸长的轻绳一端固定在倾角为的固定斜面体上的O点，另一端拴一质量为m、可视为质点的滑块。在最低点A点给滑块沿斜面且垂直绳的初速度，滑块转动并恰能通过最高点B点。已知滑块与斜面体间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．滑块恰好通过B点时的速度大小为 B．滑块从A点滑到B点克服摩擦力做的功为 C．滑块在A点的初动能为 D．滑块在A点时轻绳的拉力大小为 【答案】C 【详解】A．滑块转动并恰能通过最高点B点，表明在最高点由重力沿斜面的分力提供向心力，则有 解得 故A错误； B．滑块所受滑动摩擦力大小始终为 摩擦力方向始终与线速度方向相反，则滑块从A点滑到B点克服摩擦力做的功为 解得 故B错误； C．块从A点滑到B点过程，根据动能定理有 结合上述解得 故C正确； D．滑块在A点时，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有 其中 解得轻绳的拉力大小为 故D错误。 故选C。 【典型例题2】（多选）如图所示，倾角为的斜面体固定在水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B的切线水平，AB是半圆管轨道的直径，现让质量为m的小球（视为质点）从A点以一定的水平速度滑进圆管，圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g，、，下列说法正确的是（　　） A．当小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B点的速度为 B．小球离开B点做平抛运动的时间为 C．若小球在B点的加速度大小为2g，则A点对小球沿斜面方向的弹力大小为 D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P点间的距离为 【答案】BCD 【详解】A．小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则由重力沿斜面的分力提供向心力，则有 解得 A错误； B．小球离开B点做平抛运动，竖直方向上有 解得 B正确； D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，根据上述有 ， 小球的落地点与P点间的距离为 解得 D正确； C．小球在B点的加速度大小为2g，则在B点有 小球由A运动到B过程有 小球在A点有 解得 C正确。 故选BCD。 【变式训练22-3-1】（多选）如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关 D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L 【变式训练22-3-2】（多选）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°，g取。则的可能取值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练22-3-3】（多选）转盘游戏深受人们喜爱，现将其简化为如图所示模型。倾角为的圆盘绕垂直于盘面且过圆心的轴做匀速圆周运动，盘面上距离轴r处有一可视为质点的小物块与圆盘始终保持相对静止，物块与盘面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，圆盘的角速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（    ） A．的最小值为 B．物块从最低点第一次转到最高点的过程中，转盘对物块的冲量大小为 C．物块运动到任意关于转轴对称的两点时受到的摩擦力的大小分别为、，一定有 D．增大，物块在最高点受到的摩擦力一定增大 【变式训练22-3-4】（多选）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则（    ） A．小球通过最高点A时的速度 B．小球通过最高点A时的速度 C．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=0 D．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=mgsin θ 题型23：圆周运动与图像结合问题 （一）水平面内圆周运动与图像结合问题 【典型例题1】当做圆周运动的物体角速度ω变化时，我们可以引用角加速度β来描述角速度ω的变化快慢，即。图甲中某转盘自时由静止开始转动，其前4s内角加速度β随时间t变化如图乙所示。则（    ） A．第4s末，转盘停止转动 B．角加速度的变化率的单位为：rad/s C．0~2s内转盘做匀角加速圆周运动 D．第2s末，转盘的角速度大小为10rad/s 【答案】D 【详解】A．根据 可知 可知图线下的面积表示角速度的变化量，第4s末，角速度的变化量最大，转盘未停止转动，故A错误； B．角加速度的变化率的单位为，故B错误； C．由图乙可知，0~2s内转盘的角加速度均匀增加，则转盘做非匀角加速圆周运动，故C错误； D．图线下的面积表示角速度的变化量，可知第2s末，转盘的角速度大小为 故D正确。 故选D。 【典型例题2】如图甲所示，将质量为M的物块A和质量为m的物块B放在水平转盘上，两者用长为L的水平轻绳连接，物块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，物块A与转轴的距离等于轻绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动。开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，绳中张力与转动角速度的平方的关系如图乙所示，当角速度的平方超过时，物块A、B开始滑动。若图乙中的、及重力加速度均为已知，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题图乙可知，当转盘角速度的二次方为时，A、B间的细绳开始出现拉力，可知此时B达到最大静摩擦力，故有 当转盘角速度的二次方为时，A达到最大静摩擦力，对A有 对B有 联立以上三式解得 故选BD。 【变式训练23-1-1】如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上．当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止．下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方（ω2）的变化关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练23-1-2】如图所示，长为L的细绳上端固定在天花板上，下端拴一个可视为质点的小球，小球在水平面内做匀速圆周运动。细绳跟竖直方向的夹角为θ，小球做匀速圆周运动的角速度为ω。当小球以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，细绳与竖直方向的夹角θ随之变化，已知当地的重力加速度大小为g，下列关于θ与ω的关系图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-1-3】（多选）如图甲所示，两个完全一样的小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度，a、b与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2= 3f1，下列判断正确的是（   ） A．图线（1）对应物体b B．绳长为2l C． D．ω = ω2时绳上张力大小为 （二）竖直面内圆周运动与图像结合 【典型例题1】如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则（　　） A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当时，轻质绳的拉力大小为 D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为 【答案】D 【详解】A．小球运动到最高点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律有 可得 可知图线斜率为 可得轻质绳长为 故A错误； B．由图像可知纵轴上截距的绝对值为 则有 故B错误； C．由图像可知 故当时，有 故C错误； D．从最高点到最低点，由机械能守恒有 在最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律有 联立可得小球在最低点和最高点时绳的拉力差为 故D正确。 故选D。 【典型例题2】（多选）如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F（竖直向上为正），用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）    A．小球的质量为 B．小球做圆周运动的半径为 C．当小球经过N点时满足，则经过M点时对内管道壁有压力 D．若小球经过N点时满足，则经过M点时对轨道无压力 【答案】ABD 【详解】AB.设小球的质量为，做圆周运动的半径为，从最高点到最低点，由动能定理得 解得 小球经过M点时，根据牛顿第二定律可得 联立可得 根据图像的斜率和纵轴截距可得 联立解得 故AB正确； C．由乙图可知，当时，经过M点时对管道作用力，的方向为竖直向上，对外管道壁有压力，但对内管道壁无压力，故C错误； D．由乙图可知，当时，球经过M点时对管道作用力，故D正确。 故选ABD。 【变式训练23-2-1】（多选）如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列说法不正确的是（　　） A．x＝2.5 B．y＝40 C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm 【变式训练23-2-2】（多选）如图甲所示，质量为0.2kg的小球套在竖直固定的光滑圆环上，并在圆环最高点保持静止。受到轻微扰动后，小球由静止开始沿着圆环运动，一段时间后，小球与圆心的连线转过θ角度时，小球的速度大小为v，v2与cosθ的关系如乙图所示，g取 。则（　　） A．圆环半径为0.6m B．时，小球所受合力为4N C．0≤θ≤π过程中， 圆环对小球的作用力一直增大 D．0≤θ≤π过程中，圆环对小球的作用力先减小后增大 【变式训练23-2-3】（多选）一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为，小球的速度大小为v，其图像如图乙所示。已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（　　）    A．小球的质量为 B．圆形管道内侧壁半径为 C．当时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为 D．小球在最低点的最小速度为 【变式训练23-2-4】（多选）如图1所示，将长为的轻绳一端固定在点的拉力传感器上，另一端与一质量为且可视为质点的小球相连，拉直轻绳使其与竖直方向夹角为。现让小球在同角下由静止开始在竖直面内做圆周运动，记录每个角下小球运动过程中传感器上的最大拉力与最小拉力，并作出它们之间的部分关系图像如题图2所示。忽略一切阻力及轻绳长度变化，重力加速度为，则图2中（　　） A．图线的斜率与小球质量无关 B．的大小与绳长有关 C．的大小可能为 D．当时对应的 【变式训练23-2-5】（多选）宇航员在空气稀薄的某星球上用一根不可伸长轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接质量为200g的小钢球，如图甲所示。多次拉起小钢球使绳伸直至不同位置并由静止释放，每次释放后小球均在竖直平面内摆动，拉力传感器分别记录下每次释放小钢球后，小钢球在竖直平面内摆动过程中绳子拉力的最大值和最小值。作出图像，如图乙所示，根据图像判断下列说法正确的是（　　） A．增大小球质量，图像斜率会变大 B．随着释放高度增加，与的差值变大 C．该星球表面的重力加速度为 D．若该星球半径是地球半径的一半，则其第一宇宙速度约为4km/s 题型24：曲线运动解答题 【典型例题1】如图所示，A点距水平面的高度，与半径的光滑圆弧轨道相接于点，为圆弧轨道的最低点，处于同一水平面，圆弧轨道对应的圆心角，圆弧和倾斜传送带相切于点，的长度为，一质量为的小物块从A点以速度水平抛出，经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过点，随后物块滑上传送带，已知物块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度，。求： (1)物块到达点时的速度； (2)物块刚过点时，物块对点的压力； (3)若物块恰好能被送到端，则传送带顺时针运转速度及物块从端到端所用时间； 【答案】(1)，方向与水平向右成 (2)，方向与水平向左成角斜向下 (3)； 【详解】（1）物块从A到做平抛运动，根据竖直方向 解得下落时间 物块到点时，竖直方向的速度 根据几何关系可知物块到达点时速度为 方向与水平方向成角斜向右下方。 （2）物块在点受力如图所示 根据牛顿第二定律可得 解得 由牛顿第三定律可得，物块对点的压力大小为，方向与水平方向成角斜向左下方。 （3）若物块速度小于传送带速度，物块加速度大小为 解得 因为光滑，所以 则物块恰好减速上升到点的时间为 运动的距离为 假设不成立，则物块上滑过程中，先速度大于传送带速度，后小于传送带速度，当物块速度大于传送带速度，据牛顿第二定律 解得物块加速度大小为 则物块先以加速度大小为减速到，由于 故物块继续向上做减速运动，然后以加速度大小继续减速到零恰好达到点，则达到传送带速度的过程，所需时间为 通过的位移为 达到相同速度后，当到达点时，速度恰好为零，则此过程中通过的位移为所需时间 又有， 联立以上各式解得，， 上滑所需时间为 故传动带顺时针运转的速度应满足的条件为 【典型例题2】某一冰雪项目的训练场地，分为覆盖着冰层的平台和雪地两部分，如图所示。运动员从距平台边缘处收起滑雪杖，保持姿态不变，以的初速度向平台边缘滑去，离开平台后落至雪地。已知平台和雪地的高度差，运动员与冰面间的动摩擦因数，不计空气阻力，重力加速度。求运动员： (1)在平台上收起滑雪杖后加速度的大小a； (2)滑离平台时速度的大小v； (3)落至雪地时与平台边缘的水平距离x。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在平台上收起滑雪杖后，由牛顿第二定律得 解得加速度大小为 （2）设滑雪者离开平台的速度为v，由运动学公式可得 代入数据解得滑离平台时的速度大小为 （3）滑雪者离开平台做平抛运动，竖直方向有 解得 则落至雪地时与平台边缘的水平距离为 【典型例题3】如图所示为一遥控电动赛车（可视为质点）和它的运动轨道示意图。假设在某次演示中，赛车从位置由静止开始运动，工作一段时间后关闭电动机，赛车继续前进至点后水平飞出，赛车能从点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，点和点分别为圆形轨道的最高点和最低点。已知赛车在水平轨道段运动时受到的恒定阻力为，赛车质量为，通电时赛车电动机的输出功率恒为，、两点间高度差为，赛道的长度为，与圆心的连线与竖直方向的夹角，空气阻力忽略不计，，，取，求： (1)赛车经过点时的速度大小； (2)电动机工作的时间； (3)要使赛车能通过圆轨道最高点后沿轨道回到水平赛道，则轨道半径的最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）赛车在BC间做平抛运动，竖直方向有 解得 赛车能从C点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，则有 解得赛车经过C点时的速度大小为 （2）赛车通过B点时的速度大小为 赛车从A点到B点过程，根据动能定理得 解得电动机工作的时间为 （3）要使赛车能通过圆轨道最高点D后沿轨道回到水平赛道EG，当赛车恰好通过最高点D时，轨道半径具有最大值，则有 从C到D，由动能定理可得 联立解得 【典型例题4】如图所示，半径为（厚度不计）的铁质圆形轨道固定在竖直面内，、分别为轨道的最高点和最低点（和垂直），为轨道上一点且和圆心连线与水平方向夹角为。质量为的磁性小球通过磁力吸附在轨道上，磁力大小恒为、方向始终通过圆心。现给磁性小球施加水平向左、大小为的恒力。忽略轨道厚度及小球大小，不计一切摩擦，重力加速度大小为。 (1)若让小球从轨道外侧点由静止释放，通过计算判断小球会不会脱离轨道； (2)若让小球从轨道内侧点以初速度大小水平向左射入轨道，求： ①小球运动过程中对轨道的最大压力的大小； ②小球运动到点时对轨道压力的大小。 【答案】(1)见解析 (2)① ② 【详解】（1）把恒力和重力的合力视为等效重力 设等效重力方向与竖直方向夹角为，则有 解得 过圆心作的平行线和圆轨道有两个交点，下方交点为等效最低点，如图 假设小球能到达等效最低点，由动能定理 解得 在等效最低点恰好不脱离轨道时 解得 可知 可知小球不会脱离轨道。 （2）①从点到等效最低点，由动能定理 解得 在等效最低点压力最大 解得 根据牛顿第三定律，小球对轨道的最大压力。 ②从点运动到点过程，可知合外力做功为0，所以 在点，受力分析如图 解得 根据牛顿第三定律，小球在点对轨道的压力。 【变式训练24-1】如图所示，高为，横截面直径为，内壁光滑的圆钢管竖直固定在水平地面上。一只小球从钢管顶端的A点以某一初速度沿钢管轴心方向水平抛出，运动过程中先后跟钢管内壁的B、C两点相碰（碰撞中没有动能损失，碰撞时间极短可以忽略不计），最后恰好落在底面的圆心D点。取，求小球落在D点时的速度大小。 【变式训练24-2】如图所示，运动员将网球从点以速度水平击出，网球经过点时速度方向与竖直方向的夹角为, 落到水平地面上的点时速度方向与竖直方向的夹角为, 不计空气阻力，重力加速度大小为，求： (1)网球从点运动到点的时间； (2) 、两点间的水平距离； (3)点距水平地面的高度。 【变式训练24-3】如图所示，将一小球从点水平抛出，、为其运动轨迹上的两点，两点间的竖直距离为。已知小球在点时速度方向与水平方向的夹角为，小球运动到点时速度方向与水平方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为。求： (1)小球的初速度大小； (2)、两点间的水平距离。 【变式训练24-4】某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点该物体炸裂成两部分，质量分别为和m，其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)该物体抛出时的初速度大小； (2)炸裂后瞬间B的速度大小； (3)落地点之间的距离d。 【变式训练24-5】如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 (2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 【变式训练24-6】如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求 （1）小球离开桌面时的速度大小； （2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。    【变式训练24-7】将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。 【变式训练24-8】如图所示，将一质量为0.2kg可视为质点的小球从离水平地面3.2m高的P点水平向右击出，测得第一次落点A与P点的水平距离为2.4m。小球落地后反弹，反弹后离地的最大高度为1.8m，第一次落点A与第二次落点B之间的距离为2.4m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求： （1）小球被击出时的速度大小； （2）小球第一次与地面接触过程中所受合外力的冲量大小。 【变式训练24-9】如图所示，风洞实验室中可以产生竖直向上、大小恒定的风力，一个质量为m的小球在O点以水平初速度v0抛出，恰好能沿水平方向运动到P点，O、P间的距离为L，将风力调大，小球仍由O点以水平初速度v0抛出，结果恰好经过P点正上方的Q点，P，Q间的距离为，重力加速度为g，求： （1）调节后的风力大小； （2）小球运动到Q点时的速度大小和方向。 【变式训练24-10】在光滑水平桌面内建一个直角坐标系如图所示，一个质量为m的小球放在第二象限的A点，给小球沿x轴正方向的初速度v0，同时对小球施加沿y轴负方向的恒力F作用，当小球运动到原点O时，速度方向与x轴正方向的夹角为45°，此时突然将力F方向变为沿x轴负方向，大小不变，一段时间后小球经过y轴上的B点。 （1）A点的坐标； （2）B点的坐标。 【变式训练24-11】．质量分别为m、2m的物块A、B通过不可伸长的细线连接，细线的长度为3L，现将物块A、B和细线组成的系统沿圆盘直径方向放置在水平圆盘的不同位置处，如图甲、乙、丙所示，细线处于伸直状态。图甲中，物块A位于圆盘的中心O点；图乙中，物块A、B位于圆盘中O点的同一侧且物块A离圆盘的中心O点的距离为3L；图丙中，物块A、B分别位于圆盘的中心O点的两侧且到O点的距离分别为L、2L。现让圆盘绕通过中心O点的竖直轴匀速转动，物块A、B与圆盘间的动摩擦因数均为μ且始终相对于圆盘静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块A、B均可视为质点，重力加速度大小为g。 （1）图甲中，求圆盘匀速转动的最大角速度ω1； （2）图乙中，当圆盘匀速转动的角速度为ω2时，细线上恰好出现拉力；当圆盘匀速转动的角速度为ω3时，物块A、B相对于圆盘刚要发生相对滑动，求； （3）图丙中，若圆盘匀速转动的角速度由0缓慢增大，请定性判断该过程中物块A受到摩擦力的变化情况（不需要说明理由），然后求出圆盘匀速转动的最大角速度ω4。 【变式训练24-12】如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动。三个物体与圆盘的滑动摩擦因数均为μ。最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力。三个物体与轴O共线且OA＝OB＝BC＝r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力，使圆盘从静止开始转动且缓慢增大角速度，直到物体相对圆盘发生滑动，已知重力加速度g。则在这个过程中： （1）当角速度多大时，物体B和物体C之间的细绳上恰好开始有张力？ （2）当角速度多大时，物体A和物体B之间的细线上恰好开始有张力？ （3）写出物体A所受静摩擦力大小随角速度ω变化的函数关系式。 【变式训练24-13】“旋转飞椅”是游乐场中颇受欢迎的游乐项目，其简化模型如图所示。半径分别为、的水平转盘A与水平转盘B通过皮带连接，皮带与两转盘之间不发生滑动，竖直中心轴固定在转盘B上，半径为的转盘C固定在竖直中心轴的顶端，长度为的缆绳一端系着座椅，另一端固定在转盘C的边缘。转盘静止时，缆绳沿竖直方向自由下垂并系上人；装置启动后，转盘C先向上抬升，然后绕竖直轴转动，转动的角速度缓缓增大，达到设定值后保持不变，稳定后缆绳与竖直方向的夹角为。游客和座椅（整体可视为质点）的总质量为，不考虑一切阻力和缆绳的重力，重力加速度取，，。求： (1)稳定后缆绳拉力的大小； (2)转盘A转动的角速度大小； (3)从静止到整个装置稳定转动过程中缆绳对游客和座椅所做的总功。 【变式训练24-14】如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接，整个空间分布有大小为、水平向右的匀强电场（未画出），现将一质量为m、电荷量为+q的小球（可视为质点）从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开半圆轨道后落在水平轨道上。已知整个运动过程小球的电荷量保持不变，A、B间的距离为3R，重力加速度为g。求 (1)小球运动到B点时受到的支持力大小； (2)小球在竖直半圆轨道速度的最大值vm； (3)小球落入水平轨道瞬间的速度大小。 【变式训练24-15】如图所示，质量为的小物块从平台的右端A点以速度水平飞出后，恰由P点沿切线方向进入竖直圆轨道，并刚好通过轨道最高点M飞出。已知圆轨道半径，圆心为O，N点为轨道最低点，∠PON=53°，重力加速度，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求： (1)小物块在P点的瞬时速度大小； (2)小物块通过M点的瞬时速度大小； (3)小物块在圆轨道上运动的过程中摩擦力对它做的功W。 【变式训练24-16】如图所示，在倾角为的固定光滑斜面体ABCD上（CD为斜面体与地面的交线），有一根长R=0.2m的细线，细线的一端固定在斜面上的O点，另一端连接着一个可视为质点的小球，过O点平行于AD的直线交CD于E点，DE的长度。现使小球沿顺时针方向刚好能在斜面上做完整的圆周运动，F、Q为轨迹圆的最高点和最低点，从某次过Q点细线被割断瞬间开始计时（不影响小球速度），小球沿斜面运动，后经斜面边缘上的M点飞出，落到地面上的N点，总共用时t=1.5s。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，，重力加速度。求： (1)小球经过Q点时的速度大小 (2)小球经过M点时的速度大小； (3)M、N两点间的距离L。（结果均可保留根号） 【变式训练24-17】如图所示，M、N为固定在同一竖直方向上相距L的两个钉子，一根长为10L的轻绳一端系在M点，另一端竖直悬挂质量为m的小球，小球与水平地面接触但是无压力。忽略空气阻力、钉子直径和小球直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时机械能的损失，重力加速度为g。 (1)给小球一个初速度使其在竖直面内可以做圆周运动，且能通过M点正上方，求初速度的最小值； (2)若给小球大小为的初速度，使其在竖直面内运动旋转两周时经过M点正下方时绳子断开，求绳子断裂瞬间小球的速度大小和小球落在地面时水平位移的大小。 【变式训练24-18】如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合。转台以一定角速度匀速旋转，一质量为的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和点的连线与之间的夹角为。重力加速度大小为。 (1)若，小物块受到的摩擦力恰好为零，求； (2)若，求小物块受到的摩擦力大小和方向。 【变式训练24-19】如图所示，光滑半球半径为，球心为，固定在水平地面上，其上方有一个光滑的四分之一圆弧轨道，高度为，轨道底端水平并与半球顶端相切。半径可不计、质量为的小球由点静止滑下，经过圆弧轨道最低点，从半球上点（图中未标出）离开，落在水平地面上。重力加速度为。求： (1)小球在点对轨道的压力； (2)C点距离水平地面的高度。 【变式训练24-20】一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动,在圆盘上沿半径开有一条宽度为2 mm的均匀狭缝.将激光器与传感器上下对准,使二者间连线与转轴平行,分别置于圆盘的上下两侧,且可以同步地沿圆盘半径方向 匀速移动,激光器连续向下发射激光束.在圆盘转动过程中,当狭缝经过激光器与传感器之间时,传感器接收到 一个激光信号,并将其输入计算机,经处理后画出相应图线.图 (a)为该装置示意图,图(b)为所接收的光信号 随时间变化的图线,横坐标表示时间,纵坐标表示接收到的激光信号强度,图中Δt1=1.0×10-3 s, Δt2=0.8× 10-3 s. (1)利用图(b)中的数据求1 s时圆盘转动的角速度； (2)说明激光器和传感器沿半径移动的方向； (3)求图(b)中第三个激光信号的宽度Δt3； 【变式训练24-21】如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO’转动，OO’沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=45°．两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为Ｌ=1.2m、能承受最大拉力Fmax=4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍．当杆以角速度ω转动时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s2． （1）求杆转动角速度ω的最小值； （2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式； （3）求第（2）问过程中杆对每个环所做的功。 【变式训练24-22】如图所示，在E=103V/m的竖直匀强电场中，有一光滑的半圆形绝缘轨道QPN与一水平绝缘轨道MN连接，半圆形轨道平面与电场线平行，P为QN圆弧的中点，其半径R=40cm，一带正电q=10-4C的小滑块质量m=10g，与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.15，位于N 点右侧1.5m处，取g=10m/s2，求： (1)要使小滑块恰能运动到圆轨道的最高点Q，则滑块应以多大的初速度v0向左运动？ (2)这样运动的滑块通过P点时对轨道的压力是多大？ ( Q N P 。 M m v 0 E ) 【变式训练24-23】如图11所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球拉直水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，不计线与钉子碰撞时的能量损失．求钉子位置在水平线上的取值范围． ( 图 11 A B E D l M F ) 【变式训练24-24】如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R，斜面倾角θ=450，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？ 【变式训练24-25】如图所示为火车站装载货物的原理示意图，设AB段是距水平传送带装置高为H=5m的光滑斜面，水平段BC使用水平传送带装置，BC长L=8m，与货物包的摩擦系数为μ=0.6，皮带轮的半径为R=0.2m，上部距车厢底水平面的高度h=0.45m．设货物由静止开始从A点下滑，经过B点的拐角处无机械能损失．通过调整皮带轮（不打滑）的转动角速度ω可使货物经C点抛出后落在车厢上的不同位置，取g=10m/s2，求： （1）当皮带轮静止时，货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离； （2）当皮带轮以角速度ω=20 rad/s顺时方针方向匀速转动时，包在车厢内的落地点到C点的水平距离； （3）试写出货物包在车厢内的落地点到C点的水平距离S随皮带轮角速度ω变化关系，并画出S—ω图象．（设皮带轮顺时方针方向转动时，角速度ω取正值，水平距离向右取正值） . A B C H h L ω/rad·s－1 S/m 【变式训练24-26】质量为m的小球由长为L的细线系住，细线的另一端固定在 A点，AB是过A的竖直线，且AB=L，E为AB的中点，过E作水平线 EF，在EF上某一位置钉一小钉D，如图9所示．现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，不计线与钉碰撞时的机械能损失． (1)若钉子在E点位置，则小球经过B点前后瞬间，绳子拉力分别为多少？ (2)若小球恰能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，求钉子D的位置离E点的距离x． (3)保持小钉D的位置不变，让小球从图示的P点静止释放，当小球运动到最低点时，若细线刚好达到最大张力而断开，最后小球 图9 运动的轨迹经过B点．试求细线能承受的最大张力T． 【变式训练24-27】如图10所示，斜面AB与竖直半圆轨道在B点圆滑相连，斜面倾角为=45°，半圆轨道的半径为R，一小球从斜面的顶点A由静止开始下滑，进入半圆轨道，最后落到斜面上，不计一切摩擦。试求：（结果可保留根号）。 （1）欲使小球能通过半圆轨道最高点C，落到斜面上，斜面AB的长度L至少为多大？ （2）在上述最小L的条件下，小球从A点由静止开始运动，最后落到斜面上的落点与半圆轨道直径BC的距离x为多大？ 图10 【变式训练24-28】如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P,其质量m=2×10-2 kg,电荷量q=0.2 C.将弹簧拉至水平后，以初速度V0=20 m/s竖直向下射出小球P,小球P到达O点的正下方O1点时速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O1相距R=1.5 m,小球P在O1点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10-1 kg的静止绝缘小球N相碰。碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁场。此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5 m的圆周运动。小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10 m/s2。那么， （1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？ （2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。 (3)若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角)。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $