山东烟台市招远市第二中学2026届高三下学期高考模拟考试（一）数学试题

2026届高三下学期高考模拟考试（一） 高三数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，且（1﹣bi）2＝﹣3﹣2ai，则b＝（　　） A．﹣2 B． C． D．2 2．已知正实数a，b满足a+b＝1，则2a+2b的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 3．在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，﹣1），B（1，1），，若，则λ的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣3 4．根据如下样本数据得到回归直线方程yx，其中b＝9，则x＝7时y的估计值是（　　） x 2 3 4 5 y 25 38 50 55 A．73.5 B．64.5 C．61.5 D．57.5 5．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 6．已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＝1，an+1＝Sn+1，则a5＝（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 7．已知函数存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣e2] B．（﹣e2，+∞） C．（﹣∞，e﹣2] D．（e﹣2，+∞） 8．已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sinx，若不等式f（xex﹣a）+f（﹣2lnx﹣2x）≥0在上恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，e﹣2] C．（﹣∞，2﹣2ln2] D．（﹣∞，3﹣2ln2] 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数f（x）＝﹣sinx+sin3x，则下列说法正确的是（　　） A．此函数的周期为π B．此函数图象关于直线对称 C．此函数在区间[0，2π]上有6个零点 D．此函数在区间上单调递减 10．对于函数f（x）＝ax+lnx﹣ln（2﹣x），则下列结论中正确的有（　　） A．对任意实数a，f（x）均有零点 B．对任意实数a，曲线y＝f（x）总存在对称中心 C．存在实数a，使得x轴是曲线y＝f（x）的切线 D．若函数f（x）存在极值点为m，n且m＜n，则 11．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，B1C1的中点，G是棱CC1上的动点，则下列说法正确的是（　　） A．当G为棱CC1中点时，直线AG∥平面A1EF B．三棱锥B1﹣A1EF外接球的表面积为24π C．若H是棱AA1上的动点，则D1H+CH的最小值为 D．若M为棱DD1的中点，平面MEF截正方体所得截面图形的周长为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知表面积为8π的球O的内接正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝2，A1B1＝1，动点P在△ACD1内部及其边界上运动，则直线BP与平面ACD1所成角的正弦值的最大值为 　 　 ． 13．点F1是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线l1：tx﹣y+2t﹣4＝0与直线l2：x+ty+4t﹣2＝0的交点为B，则|AB|+|AF1|的最小值为　 　 ． 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，2Sn＝n（an+1），若数列{bn}满足b1＝1，，则b1+b2+b3+…+b102＝　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）在五边形ABCDE中，，，，，DE＝8． （1）求BE的长度； （2）求三角形ABE周长的最大值为多少？ 16．（15分）已知正方体OABC﹣O1A1B1C1的棱长为1，如图以O为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz．D，E分别是OO1，AB的中点． （1）求直线DE的一个方向向量； （2）证明：DE∥平面O1BC． 17．（15分）已知动圆M经过点，且与直线相切，记圆M的圆心M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）设直线l：（n∈N*）与C交于A，B两点． （ⅰ）证明：A，B的纵坐标之积为定值； （ⅱ）设an＝|AB|，求数列{2nan}的前n项和Sn． 18．（17分）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若，，M，N为椭圆E上两点（均在x轴上方），且AN∥BM． ①已知直线AN的斜率为，求直线MN的斜率； ②求四边形ABMN面积的最大值． 19．（17分）设抛物线C：y2＝4x，Q是直线m：x+y+2＝0上的动点，QS，QT是抛物线C的两条切线，且与抛物线C分别相切于S，T两点． （1）设P是抛物线C上任意一点，求|PQ|最小值； （2）记S，T的中点是M，求M的轨迹方程； （3）记抛物线C的焦点是F，记∠QFS＝α，∠QFT＝β，证明：cos（α﹣β）＝1． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A A B C C C 二．多选题 题号 9 10 11 答案 BD ABD ACD 三．填空题 12．． 13．． 14．5149． 四．解答题 15．解：（1）ABCDE中，，，，，DE＝8， 在△BCD中，由正弦定理知， 即，解得BD＝6， 在△BDE中，由余弦定理知cos∠DBE， 即， 化简得5BE2﹣36BE﹣140＝0，解得BE＝10或（舍负）， 故BE的长度为BE＝10； （2）在△ABE中，由余弦定理知BE2＝BA2+AE2﹣2BA•AE•cos∠BAE， 所以100＝BA2+AE2+BA•AE，所以（BA+AE）2﹣BA•AE＝100， 即，当且仅当时等号成立， 此时，BA+AE的最大值为． 所以三角形ABE周长的最大值为． 16．解：（1）根据题意，， 因此， 故直线DE的一个方向向量为， （2）证明：BC⊥平面O1OCC1，OC1⊂平面O1OCC1，则BC⊥OC1， 又因为OC1⊥O1C，O1C∩BC＝C，O1C，BC⊂平面O1BC，故OC1⊥平面O1BC， 因此取平面O1BC的法向量为， 由于，则，而DE⊄平面O1BC，因此DE∥平面O1BC． 17．解：（1）因为动圆M经过点，且与直线相切， 所以动点M到F的距离等于M到直线的距离， 则C是焦点为，准线为的抛物线， 设方程为y2＝2px（p＞0）， 则，得， 所以C的方程为y2＝3x； （2）（ⅰ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由， 消元得， 则， 故A，B的纵坐标之积为定值； （ⅱ）由（ⅰ）得． ， 故， 故①． 则②． 由①﹣②得， ， 故． 18．解：（1）由题意可知，解得， 所以椭圆E的标准方程． （2）①延长NA交椭圆E于点M′，延长MB交椭圆E于点N′， 由对称性可知AM′＝BM，AN＝BN′，所以四边形MNM′N′为平行四边形， 因为A，B关于原点对称，所以N，N′关于原点对称， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则N′（﹣x2，﹣y2）， 所以， 又M，N为椭圆E上两点，可得，， 所以，化简得，故， 又因为MN′∥AN，所以，故； ②由①可知，在平行四边形MNM′N′中，AM′＝BM， 从而， 因为构成四边形ABMN，所以M′N的斜率必不为0，设M′N的方程为， N（x2，y2），M′（x3，y3），由得， Δ＝9m2+7（m2+4）＝16m2+28＞0，，， 因为， 点O到直线M′N的距离为， 所以， 令t＝m2+4（t≥4），则， 所以当，即时，S△OM′N有最大值为， 所以四边形ABMN面积的最大值为2（S△OM′N）max＝2． 19．解：（1）由P是抛物线C上任意一点，设， 点P到直线m：x+y+2＝0的距离为， 当y0＝﹣2时，d取得最小值为， 故|PQ|最小值为； （2）设S（x1，y1），T（x2，y2），M（x，y）， 抛物线C：y2＝4x上任一点（x0，y0）， 当过点（x0，y0）的切线的斜率存在时，设切线方程为：y﹣y0＝k（x﹣x0）， 与抛物线C：y2＝4x联立，消去x，得， 整理得， 则，即k2x0﹣ky0+1＝0， 而，代入得，即， 则切线方程为，即， 而，代入上式，得y0y＝2（x+x0）； 当过点（x0，y0）的切线的斜率不存在时，切线方程为：x＝x0， 此时切点为坐标原点，也满足上式， 故抛物线C：y2＝4x上过点（x0，y0）的切线方程为：y0y＝2（x+x0）； 由点Q是直线m：x+y+2＝0上的动点，设Q（t，﹣t﹣2），则切线QS，QT均过点Q， 即，又， 代入得， 即， 同理，， 所以y1，y2是方程y2+2（t+2）y+4t＝0的两根， 由韦达定理得：y1+y2＝﹣2（t+2），y1y2＝4t， 因为S，T的中点是M，所以， ， 联立，消去t，得y2+2y+4＝2x， 故M的轨迹方程为：y2+2y+4＝2x； （3）证明：过点S，T分别作准线：x＝﹣1的垂线，垂足分别为S1，T1， 由点S（x1，y1），得S1（﹣1，y1），而F（1，0），得， 由（2）知，由y1+y2＝﹣2（t+2），y1y2＝4t，及Q（t，﹣t﹣2）， 可得，即， 而S（x1，y1），则， 则 ，则，即S1F⊥QS， 由抛物线的定义得|SS1|＝|SF|，则QS为线段S1F的垂直平分线， 得|QS1|＝|QF|，同理可得|QT1|＝|QF|， 则|QS1|＝|QT1|，所以∠QS1T1＝∠QT1S1， 则， 同理，则∠QFS＝∠QFT， 由∠QFS＝α，∠QFT＝β，得α﹣β＝0， 故cos（α﹣β）＝1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/6 23:57:07；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $