精品解析：吉林长春市第二中学2026-2027学年度高二年级上学期第一学程考试数学试卷

2026—2027学年度高二年级上学期第一学程考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 若直线经过点，倾斜角为，则（ ） A. 的一般式方程为 B. 的斜截式方程为 C. 的点斜式方程为 D. 的截距式方程为 4. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线经过点、，则直线的斜率为 B. 点、，则 C. 点到直线的距离是 D. 直线与直线之间的距离是 10. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最大值为8 C. 以线段为直径的圆与圆相切 D. 若，则的面积 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线所围成图形的周长是 B. 直线与曲线一定有两个交点 C. 点在曲线上，的最小值是 D. 曲线：，则存在条直线与曲线,同时相切 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过点，且与直线：垂直．则直线的方程__________． 13. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是______． 14. 已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，点是上第一象限内的一点，与到直线的距离比是，且，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线 与直线 . （1）当 时，求实数 的值； （2）当 时，求实数 的值. 16. 已知圆：与圆：． （1）若两圆相交，求半径的范围； （2）若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 17. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 18. 已知圆过、，且圆心在轴上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于、，为坐标原点，直线、分别与直线相交于、，记的面积为，的面积为，求的最大值． 19. 已知动圆与圆：内切，同时与圆：外切，圆心的轨迹为曲线，，． （1）求曲线的方程； （2）直线经过与曲线交于，两点，的面积为，求直线方程； （3）设，为曲线上一点，在处切线为． （i）证明：切线的方程； （ii）若切线交直线：于点，与交于点，为坐标原点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度高二年级上学期第一学程考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方向向量计算斜率，结合倾斜角与斜率的关系及倾斜角的取值范围求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，根据倾斜角的定义可知. 已知直线的一个方向向量为，则. 又，可得. 因为，解得. 2. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】椭圆：的长半轴长， 分别是椭圆左、右焦点，点在上， 由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长， 所以. 3. 若直线经过点，倾斜角为，则（ ） A. 的一般式方程为 B. 的斜截式方程为 C. 的点斜式方程为 D. 的截距式方程为 【答案】B 【解析】 【分析】先根据倾斜角求出直线斜率，从而利用点斜式方程求出直线方程，再利用直线方程互化判断其斜截式方程、一般式方程、截距式方程即可. 【详解】因为倾斜角为，所以斜率. 因为经过点，所以的点斜式方程为，一般式方程为， 斜截式方程为，截距式方程为. 故选：B 4. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 5. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的轨迹图形，然后利用圆心到的距离求解即可. 【详解】设动点的坐标为 因为，故, 即，化简得：， 故点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 故， 且故. 故选：D 8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线经过点、，则直线的斜率为 B. 点、，则 C. 点到直线的距离是 D. 直线与直线之间的距离是 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：、，得，A正确； 选项B：、，得，B正确； 选项C：和直线，得，C错误； 选项D：先将直线化为，与平行， 根据平行线间距离公式，得，D正确. 10. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最大值为8 C. 以线段为直径的圆与圆相切 D. 若，则的面积 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据椭圆方程求出基本参数，再结合椭圆性质、圆与圆的位置关系、余弦定理逐项判断各选项正误. 【详解】由椭圆，得长半轴，短半轴，半焦距， 左右焦点为. 选项A：椭圆离心率，A错误； 选项B：椭圆上的点到左焦点的最大距离为，即的最大值为8，B正确； 选项C：以线段为直径的圆方程为，圆心，半径； 圆的圆心为，半径， 两圆心距，故两圆外切，C正确； 选项D：设，由椭圆定义得， 在中由余弦定理：， 代入，解得， 则三角形面积，D正确. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线所围成图形的周长是 B. 直线与曲线一定有两个交点 C. 点在曲线上，的最小值是 D. 曲线：，则存在条直线与曲线,同时相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】分象限去绝对值、再配方，把还原成四段相接的半圆弧.选项 A 用弧长公式求解，选项B 抓直线系所过定点并检验相切，选项C 把分式看成定点与动点连线的斜率，选项D 作出曲线的图像，按照象限分析. 【详解】当时，，圆心为，与轴分别交于，直线刚好过圆心，则在第一象限的图像为半圆. 同理可知曲线：的图像由四个半圆组成. 选项A，曲线所围成图形的周长为. 选项B，直线方程化简为，恒过定点. 当直线过点，且与第一象限的半圆相切时，与整个图像仅有一个交点，B错误. 选项C，点在曲线上，理解为过点 的直线斜率. 由图像可知，当直线与相切时，取得最小值. 设直线方程为，则，化简解得（1舍去）. 选项D，由图像可知，曲线：也分为四部分. 考虑第一象限，，当时，曲线的切线与曲线有两个交点，不存在公切线. 由曲线关于直线对称可知，当时，曲线的切线与曲线有两个交点，不存在公切线. 当时，曲线与曲线有公切线. 同理可知，曲线与曲线在每个象限仅有一个公切点，共有4条公切线. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过点，且与直线：垂直．则直线的方程__________． 【答案】 【解析】 【详解】设与直线：垂直的直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 所以， 所以直线的方程为. 13. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得； 因为点在圆的外部， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 14. 已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，点是上第一象限内的一点，与到直线的距离比是，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】与到准线的距离之比就是离心率，由第二定义直接读出，从而定出与的关系；剩下的核心是把翻译成斜率方程，其中利用椭圆的第三定义简化计算，解出直线的斜率即可算比值. 【详解】设点，则. 则与到直线的距离比为. 不妨设椭圆：，则. 又， 由得，代入，化简得. . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线 与直线 . （1）当 时，求实数 的值； （2）当 时，求实数 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 直线 与直线 . 当 时，， 所以. 【小问2详解】 当 时，， 即，即， 解得或. 若，，即； ，所以. 若，；. 所以与重合. 综上所述，. 16. 已知圆：与圆：． （1）若两圆相交，求半径的范围； （2）若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 【答案】（1） 的取值范围为 （2） 公共弦所在直线方程为，公共弦长度为 【解析】 【分析】（1）根据两圆相交，求出； （2）先求公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，从而求出公共弦长. 【小问1详解】 圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 故，又因为两圆相交， 所以有，解得：. 所以半径的范围为. 【小问2详解】 圆：的一般式方程为 ①， 当时，圆的方程为：，一般式方程为 ②， ②-①得公共弦所在直线方程为： ，即. 圆心到直线的距离， 公共弦的长度为. 故公共弦所在直线方程为：，公共弦的长度为4. 17. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上，结合离心率，以及，解出，，从而求出椭圆方程； （2）利用椭圆上的两点，关于直线对称，可得到线的斜率， 根据弦的中点在直线上，和线的斜率结合，求出点坐标. 【小问1详解】 由离心率定义可知，，因此可得，即， 又，即，即，又因为点在椭圆上， 所以，即，解得，从而得到. 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 如图： 因为椭圆上的两点，关于直线对称， 所以直线与直线垂直，又直线的斜率为2， ； 设，，两点都在椭圆上，即在椭圆上， 因此，两式作差，整理得， 即. 设弦的中点为，故有，， 所以，即， 又因为，故有 ①， 又因为弦的中点为也在直线上， 所以 ②， 由①②可得：，. 因此弦的中点为. 18. 已知圆过、，且圆心在轴上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于、，为坐标原点，直线、分别与直线相交于、，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆心在轴设圆的标准方程，代入两点，列方程组求出圆心、半径； （2）利用弦长公式求出圆心到直线距离，分斜率存在、不存在两类讨论求直线方程； （3）由直径性质得，设斜率求出坐标，写出面积比值表达式，利用基本不等式求最大值． 【小问1详解】 由圆心在轴上，设圆的标准方程为， 因为圆过、， 所以，解得， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为， ①当直线的斜率不存在时，直线：与圆的交点为， 此时，直线被圆截得的弦长为，所以直线，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或； 【小问3详解】 因为原点在圆：上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， 所以，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得或，所以点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得或，所以点的坐标为， 由题意可知，、， 所以，， 所以， 又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 19. 已知动圆与圆：内切，同时与圆：外切，圆心的轨迹为曲线，，． （1）求曲线的方程； （2）直线经过与曲线交于，两点，的面积为，求直线方程； （3）设，为曲线上一点，在处切线为． （i）证明：切线的方程； （ii）若切线交直线：于点，与交于点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】（1） （2）或. （3）（i）点在椭圆上，故满足，即， 设切线的方程为，即，记，则， 代入椭圆方程，得，整理得， 因为直线与椭圆相切，所以判别式， 展开并化简得，即， 因为，所以，即， 移项整理为关于的方程得， 由于，有， 故该方程判别式， 所以，又由得，代入得， 将切线斜率代入切线方程得，所以， 即， 所以切线的方程为，得证. （ii） 【解析】 【分析】（1）利用两圆内切、外切的距离关系，得到动圆圆心到两定点距离之和为定值，依据椭圆定义确定轨迹，求出并剔除取不到的左顶点，写出曲线方程；（2）分直线斜率存在、不存在两类讨论，联立直线与椭圆方程，用韦达定理和弦长公式求弦长、点到直线距离求高，由三角形面积建立方程解出斜率，得到直线方程；（3）（i）设出椭圆上点处的点斜式切线方程，与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切时判别式为 0 的条件求出切线斜率，再代回点斜式，结合点在椭圆上的条件化简，最终得到切线方程；（ii）先求切线与定直线的交点Q，写出直线PA、BQ的方程并联立，得到交点R的坐标，将表示为关于的函数，通过换元转化为二次函数，利用二次函数性质求出最小值. 【小问1详解】 设动圆的半径为，圆心，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径， 由动圆与内切，得，由动圆与外切，得， 两式相加得， 因为，且，根据椭圆的定义，圆心的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中，焦距，则， 又动圆半径，故轨迹去掉左顶点， 故曲线的方程为. 【小问2详解】 直线过点，曲线的方程为. ①当直线的斜率不存在时， 直线，代入的方程得，则， 点到直线的距离为，面积，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，， 联立，消去整理得， 判别式，由韦达定理， 由弦长公式得， 点到直线的距离为， 故三角形面积， 令，平方化简得，解得（负根舍去），即， 所以直线的方程为 ，或，即或. 【小问3详解】 （i）略 （ii）切线的方程为，将代入切线的方程，得， 和，所以的方程为； 和，斜率，所以的方程为； 联立两直线方程，利用化简，可得， ，代入，整理得， 令（），则， 代入得，令，则是开口向上的二次函数，对称轴为，代入得最小值为，所以即. 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $