3 长方体和正方体-【拔尖特训】2025-2026学年五年级下册数学（冀教版）

长方体和正方体 第1课时长方 习基础进阶 1.填一填 (1)亮亮要用一些小棒和橡皮泥小球拼搭成 一个长方体框架，下面是他已经拼搭出来的 部分。 9cm 5 cm ①这个长方体框架的长是( )cm,宽是 ( )cm,高是( )cm。 ②亮亮还需要( )个橡皮泥小球、( 根9cm小棒、( )根5cm小棒、( )根 3.4cm小棒。 (2)一个长方体的棱长总和是100cm,长是 12cm,宽是5cm,则高是()cm: 2.下图中的长方体都是由棱长是2厘米的小正 方体摆成的，它们的长、宽、高各是多少？ 3.(生话应用)为了迎接“六一”儿童节，少年宫 大楼的每条棱上要装彩灯（地面四周不装）， 已知大楼长30m,宽28m,高38m,则至少 应该准备多少米彩灯？ 体和正方体的特征 团能力攀升 4.选一选。 (1)下面的说法中，错误的是( )。 A.一个长方体相邻的两个面是正方形，那么 它一定是正方体 B.正方体是特殊的长方体 C.至少需要4个同样的小正方体才能拼成 一个大正方体 D.长方体最多有8条棱长度相等 (2)( )的长方体的棱长总和是68cm。 A.长6cm,宽5cm,高6cm B.长6cm,宽5cm,高4cm C.长5cm,宽4cm,高6cm D.长6cm,宽4cm,高5cm 5.(几何直观)一个长6分米、宽和高都是2分 米的长方体硬纸箱，如果用绳子将硬纸箱捆 起来（如图），打结处共用去2分米长的绳子， 那么一共要用去多少分米长的绳子？ 6.(思维过程)如图，将一个长方体截成两个完 全相同的正方体，两个正方体的棱长总和比 原来长方体的棱长总和增加了40厘米。原 来长方体的棱长总和是多少？ 25 拔尖特训 数学（冀教版）五年级下 第2课时 长方体和正方体的展开图 习基础进阶 团能力攀升 1.下面哪些图形沿虚线折叠后能围成长方体或 4.(1)(空间观念)方格纸上有5个如图所示的 正方体？在括号里画“√”。 涂色正方形，请你再涂一个正方形，使涂色部 分成为正方体的平面展开图。（请给出两种 不同的涂法)》 (2)(创新应用)如图，正方体的上半部分被 涂了颜色，请把它的展开图中的涂色部分补 充完整。 2.选一选。 (1)下面的图形中，()不是正方体的展 开图。 5.将下面的展开图沿棱折成一个正方体。 1 2 54 3 (2)下面是正方体的展开图，被盖住的是 相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小 )。 是多少？最大呢？ 8☒ 。● 。。 A.1,点B.4点 C.6,点 D.5点 3.下面是一个长方体的平面展开图，你能计算 出这个长方体的棱长总和吗？ 6.(操作探究)如图所示为一张长方形纸板，其 25cm 5cm 上画的线段将其分成若干个同样大小的正方 形，请你把它分成3份，每份折起来都可以成 为一个无盖的正方体纸盒。在图中画一画。 5cm 26 三 长方体和正方体 第3课时 长方体和正方体的表面积 习基础进阶 团能力攀升 1.填一填。 4.★（思维过程）一个长方体按以下三种方法分 (1)看图计算 别切割成两个小长方体，表面积分别增加了 5cm 24cm、36cm、16cm。原来长方体的表面 8cm 12cm 积是多少平方厘米？ 上面的面的面积是( )。 前面的面的面积是( )。 右面的面的面积是( 这个长方体的表面积是( )。 (2)一个正方体的表面积是54cm,它的 个面的面积是( )cm,棱长是( 5.(算法探究)下面两个立体图形都是由棱长为 )cm。 (3)一个长方体的棱长总和是72dm,长是 1厘米的小正方体搭成的。 9dm,宽是5dm,这个长方体的表面积是 ()dm。 2.(几何直观)下面是一个长方体纸盒的平面展 开图，求这个纸盒的表面积。（单位：cm) ① ② (1)小禾这样计算立体图形①的表面积： (4+7十6)×2。你知道她是怎么列式的吗？ 28 (2)根据小禾求表面积的方法，求立体图形 ②的表面积。 3.有一个底面是正方形的长方体盒子，把它的 侧面展开，可以得到一个边长为20cm的正 方形。这个长方体盒子的表面积是多少平方 厘米？ (3)如果用同样的小正方体把立体图形②补 充成一个最小的长方体，那么这个长方体的 表面积是多少平方厘米？ 27 拔尖特训数学（冀教版）五年级下 第4课时 简 习基础进阶 1.一个棱长是1.5分米的正方体饼干盒，如果 在它的侧面贴包装纸（接头处忽略不计），那 么贴一个饼干盒至少需要多少平方分米包 装纸？ 2.(几何直观)如图所示为一个木制的两层置物 架（无背板），制作这个置物架至少需要多少 平方厘米木板？ 50 cm 30cm 60cm 3.如图，一节长3米的排水管的横截面是一个 边长为10厘米的正方形。做15节这样的排 水管至少需要多少平方米铁皮？ 4.如图，一张长为30cm、宽为20cm的长方形 铁皮，先从它的四个角上各剪去一个边长为 5cm的正方形，再焊接成一个无盖的铁盒。 这个铁盒的表面积是多少平方厘米？（损耗 忽略不计) 28 单实际问题 团能力攀升 5.(生话应用)左下图是体育课所用的可以折叠 的垫子，表面覆盖帆布，折叠前后的形状都是 长方体。制作这样一个垫子至少需要帆布 ()m。 20 cm 5dm A.140 B.90C.1.4 D.0.9 6.明明家的客厅长6.5米，宽4米，高2.8米， 客厅内门、窗的面积一共是19.3平方米。如 果在客厅的顶面和四周的墙面上刷乳胶漆， 每平方米需0.8千克乳胶漆，那么至少需要 买多少桶乳胶漆？ 乳胶漆 净含量： 7千克 7.(说理表达)如图，②号正方体的棱长是①号 正方体的2倍，王师傅给①号正方体的表面 刷油漆，正好用了1罐。李师傅准备给②号 正方体的表面刷油漆，李师傅说：“准备2罐这 样的油漆就够了。”李师傅说得对吗？为什么？ ② 8.一个领奖台的尺寸如图所示，把这个领奖台 的表面涂上油漆（下底面不涂），涂油漆部分 的面积是多少平方分米？（单位：dm) 第5课时 史能力攀升 1.赵师傅用一根长3.5m的钢管焊接一个置物 架（如图，单位：cm),钢管够用吗？（接头处 及损耗忽略不计) 40入50 2.(几何直观)刘师傅要做一个长方体木箱，现 有以下四块木板 亚3分米 8分米 8分米 「3分米 5分米5分米 他还需要的两块木板的长、宽分别是多少分 米？做这个木箱至少需要多少平方分米木 板？（不考虑损耗） 3.在一个厚度为2cm的无盖正方体容器内外 的侧面和底面都涂油漆，涂油漆部分的面积 共有多少平方厘米？ 40 cm 40 cm 三长方体和正方体 综合练习 ☒思维拓展 4.(1)(空间观念)下面是一个正方体的不同展 开图，用相同图形标出了相对的面，其中不正 确的是( )。 △☆△☆ ☆回☆回 △ A. B. ▣△ 回 △☆ ☆△☆△ 回☆ C. D. (2)一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来 的3倍，那么它的表面积扩大到原来的 ()倍。 A.3 B.6 C.9 D.12 5.*一个长方体的高减少3dm后变成了一个正 方体，此时表面积比原来减少了60dm。原 来长方体的表面积是多少？ 6.(思维过程)一个长60厘米、宽30厘米、高40 厘米的长方体木块，沿着图中虚线锯了3次， 共得到6个小长方体木块，这些小长方体木 块的表面积之和是多少平方分米？ 29 拔尖特训数学（冀教版）五年级下 凰包装扑克 习基础进阶 2.一种工具书的长是14cm,宽是10cm,高是 3.5cm。沈老师要把8本这样的工具书用包 1.(探索规律)把4盒扑克摆在一起，有以下6 装纸包装起来，他最少要用多少平方厘米包 种摆放方法。（单位：cm) 装纸？（接头处及损耗忽略不计） 12 5 ① ② 20 团能力攀升 ③ 3.(几何直观)如图①所示为一个长方体物品， 把12个同样的长方体物品打包，形成一个大 10 的包装物，如图②③。 10 ⑤ ⑥ 根据6种不同的摆法，填写下表。 ② ③ 摆法长(cm)宽(cm) 高(cm)表面积(cm2) (1)图②、图③的表面积分别是多少？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (2)以下三种情况时，比一比图②和图③两 我发现： 种打包方法的表面积的大小。 (1)拼成的长方体，长、宽、高越接近，它的 当b=2c时，S@○S⑧。 ()越小反之，它的( )越大。 (2)摆几个相同的长方体时，重叠的面积越 当b<2c时，So○Sg 大，表面积就越( )。(填“大”或“小”) 当b>2c时，Sg○So。 30 三长方体和正方体 提分真题集训 1.填一填。 3.(石家庄新华区)下面是一个正方体盒子展开 (1)(石家庄新华区)观察下面的正方体展开 的部分示意图，请回答下面的问题。 图，“构”字对面是“( )”字，“建”字对面是 “( )”字。 构 建 E 和 谐 (1)请你补上展开图中的第6个面F。 社 会 (2)与A面相对的面是()面。 (2)(保定竞秀区)用60cm长的铁丝焊接一 4.(石家庄长安区)某广告公司制作了一个长方 个正方体框架（没有剩余），这个正方体框架 体灯箱。灯箱高1.5m,底面是边长为0.6m 的棱长是( )cm,在这个框架的各个面糊 的正方形，现要在灯箱的侧面张贴宣传海报， 上彩纸，至少需要( )cm的彩纸。 可以张贴多大面积的宣传海报？ (3)(石家庄长安区)把3个棱长是3厘米的 正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面 积是( )平方厘米。长方体的表面积比原 来3个正方体的表面积总和少( )平方 5.(沧州新华区)聪聪家客厅的天花板和四面墙 厘米。 壁需要重新粉刷，客厅长6m,宽4m,高 2.选一选 2.8m,门窗面积是8.6m。 (1)（唐山迁安)下面的选项中，( (1)粉刷的面积是多少平方米？ 是右面正方体的展开图。 ☆ ☆○ ☆ (2)平均每平方米用涂料0.2kg,一共要用 A B. C D 涂料多少千克？ (2)(沧州新华区)下面两个物体都是由同样 大小的小正方体组成的，它们的表面积相比 ( )。 6.(沧州运河区)要做一个长方体通风管，管道 长25m,通风口处是边长为5dm的正方形， 做这个通风管至少需要多少平方米铁皮？ A.甲的表面积比乙大 B.乙的表面积比甲大 C.甲、乙的表面积相等 D.无法比较 312189、5、发现这9个分数的分子是 121212121212 1一9的自然数，只要将这9个数填到圆圈里，使每 条横、竖、斜线上的3个数相加的和相等，再恢复成 原数即可。 2 12 3 5 5 12 12 3 2 解析：因为每行、每列以及两个斜行中三 个数的和都相等，所以0,5十g十左下角的数=左 下角的数+0.12+A,故A=0.5十8 8 0.125=3 三 长方体和正方体 第1课时 长方体和正方体的 特征 1.(1)①953.4②412 2.长：2×5=10（厘米）宽：2×2=4（厘米） 高：2×3=6（厘米）长：2×2=4（厘米）宽：2× 3=6(厘米)高：2×3=6（厘米） 3.(30+28+38)×4-(30+28)×2=268(m) 4.(1)C解析：至少需要8个同样的小正方体才 能拼成一个大正方体。 (2)A解析：棱长总和是68cm,只要长、宽、高的 和是68÷4=17(cm)即可。 5.6×4十2×4十2×8+2=50（分米）解析：由题 图可知，所用绳子的长度等于长方体硬纸箱的4条 长、4条宽、8条高以及打结处绳子的长度和。 6.40÷8=5(厘米)5×2=10（厘米）(10+5十 5)×4=80(厘米)解析：由题意知，将长方体截成 两个完全相同的正方体后，每个截面增加4条棱， 两个截面增加了8条棱，且这8条棱的长度相等， 即40厘米相当于原来长方体的8条宽或8条高的 长度，因此原来长方体的宽或高为40÷8=5（厘 米)，长为5×2=10（厘米），进而求出原来长方体 的棱长总和。 第2课时 长方体和正方体的 展开图 1.(/)( )( )(√) 2.(1)A(2)A 3.(25-15)÷2=5(cm)(15+5+5)×4= 100(cm) 4.(1)答案不唯一，如 (2) 解析：由题图左边的正方体可以看出涂满色的那一 面在上面，周围几个面都只涂了上半部分。 5.最小：1+2+5=8最大：3+6十4=13 解析：折叠后得到的正方体中，1的对面是3,2的 对面是4,5的对面是6。据此解答即可。 6.画法不唯一，如 第3课时长方体和正方体的 表面积 1.(1)12×8=96(cm2)12×5=60(cm2) 8×5=40(cm)(96+60+40)×2=392(cm2) (2)93(3)202 2.(28-2×8)÷2=6(cm)(6×8+6×16+8× 16)×2=544(cm2) 3.20÷4=5(cm)5×20×4+5×5×2=450(cm) 4.24十36十16=76(cm2)解析：根据题意可知， 第一种切割方法增加的面积相当于长方体的前、后 两个面的面积之和，第二种切割方法增加的面积相 当于长方体的上、下两个面的面积之和，第三种切 割方法增加的面积相当于长方体的左、右两个面的 面积之和。 方法归纳》 厘清关系巧求长方体的表面积 要求长方体的表面积，并不一定要求出长 方体的长、宽、高，有时候只需要厘清所给出的 信息与长方体的表面积之间的关系，即可求出 长方体的表面积。 5.(1)从上面、前面和侧面三个方向的视图看到 的面积分别是4平方厘米、7平方厘米、6平方厘 米，相对的面的面积相同，再乘2(2)(7+9+ 7)×2=46(平方厘米)(3)3×4×4+3×3×2= 66(平方厘米) 第4课时简单实际问题 1.1.5×1.5×4=9(平方分米) 2.60×30×3+30×50×2=8400(cm2) 3.10厘米=0.1米3×0.1×4=1.2（平方米） 1.2×15=18(平方米)解析：由题意可知，排水管 的横截面是一个正方形，因此制作这样的一节排水 管所需要的铁皮面积相当于4个长为3米、宽为 10厘米（即0.1米）的长方形的面积之和。 4.30×20-5×5×4=500(cm) 5.C 6.(6.5×2.8+4×2.8)×2+6.5×4-19.3= 65.5(平方米)65.5×0.8=52.4（千克）52.4÷ 7≈8（桶）解析：客厅有5个面刷乳胶漆，即前面、 后面、左面、右面和顶面，同时要去掉不需要刷乳胶 漆的门、窗面积，由此可求出需要刷乳胶漆的总面 积，进而求出需要乳胶漆的质量，最后求至少需要 买多少桶乳胶漆时，需用“进一法”。 7.李师傅说得不对因为②号正方体的棱长是① 号正方体的2倍，所以②号正方体的表面积是①号 正方体的4倍，因此李师傅需要准备4罐这样的 油漆 8.前、后面：[4×(7-1)+4×7+4×4]×2= 136(dm)上面：4×4×3=48(dm)左、右面： 4×7×2=56(dm)总面积：136+48+56= 240(dm)解析：前、后面各由3个小长方形组 成；左、右面是2个长7dm、宽4dm的长方形；上 面是3个边长为4dm的正方形。 第5课时 综合练习 1.50×2+40×2+25×4=280(cm)280cm= 2.8m2.8<3.5够用 2.长：8分米宽：5分米(8×5+8×3+5× 3)×2=158(平方分米) 3.40×40×5=8000(cm)(40-2)×(40-2× 2)×4=5472(cm)(40-2×2)×(40-2×2)= 1296(cm)8000+5472+1296=14768(cm2) 4.(1)C解析：由题图可看出选项C中两个标 “△”的面明显是相邻的面。 (2)C解析：假设长方体的长、宽、高分别为a、b、 c,则原表面积为2(ab十bc十ac);当长、宽、高分别 扩大到原来的3倍后，新长方体的长、宽、高分别是 3a、3b、3c,新表面积为2(3a×3b+3bX3c+3a× 3c)=2X9(ab+bc+ac)=9X2(ab+bc+ac) 5.60÷4=15(dm2)15÷3=5(dm)5+3= 8(dm)8×5×4+5×5×2=210(dm2) 解析：根据题意可知，这是一个长和宽相等的长方 体（如图）。由图可知，表面积比原来减少的60dm 正好是图中上半部分的侧面积，即四个形状完全相 同的长方形的面积之和，则一个长方形的面积为 60÷4=15(dm),且长方形的宽是3dm,所以长方 形的长是15÷3=5(dm),即原来长方体的长、宽 是5dm,原来长方体的高是5十3=8(dm),据此计 算出原来长方体的表面积即可。 43dm 方法归纳》 图示法 通过画图理解题意，可以化繁为简、化难 为易，进而解决问题。本题通过画图，能清晰 地看出减少的表面积相当于4个长是原长方 体的长或宽、宽是3dm的长方形的面积之和。 6.(60×30+60×40+30×40)×2=10800(平方 厘米)60×30×2+30×40×4=8400（平方厘米） 10800+8400=19200(平方厘米)19200平方厘 米=192平方分米解析：根据题意，将锯的3次 进行编号（如图）。由图知，第①次锯时，表面积增 加了2个上底面或下底面的面积；第②次与第③次 锯时，表面积分别增加了2个左面或右面的面积。 据此解答即可。 ②③ 属包装扑克 1.摆法长(cm)宽(cm) 高(cm) 表面积(cm2) ① 5 3 4 94 ② 5 12 1 154 ③ 20 3 166 ④ 10 6 152 ⑤ 10 3 2 112 ⑥ 5 6 2 104 (1)表面积表面积(2)小 2.3.5×4=14(cm)10×2=20(cm)(14× 20+14×20+14×14)×2=1512(cm2)解析：先 将8本工具书平均分成2份，每份4本，将每份 4本工具书的最大的面重合，此时每份摆成的长方 体的长是14cm,宽是10cm,高是(3.5×4)cm,再 将每份摆成的长方体的最大的面重合时，最省包装 纸，此时摆成的长方体的长是14cm,宽是(10× 2)cm,高是(3.5×4)cm。据此解答即可。 3.(1)题图②的表面积：(a×3b十3b×4c十a× 4c)×2=6ab+24bc+8ac题图③的表面积： (a×2b+2b×6c+aX6c)X2=4ab+24bc+12ac (2)=<>解析：将两个长方体的表面积都 去掉相同的部分后，两个式子的大小要看2ab与 4ac的大小，当b=2c时，2ab=4ac,两种打包方法 表面积相同；当b<2c时，图②打包方法的表面积 较小；当b>2c时，图②打包方法的表面积较大。 提分真题集训 1.(1)谐社(2)5150(3)12636 2.(1)D(2)C 3.(1)答案不唯一，如 A F E 解析：补法不唯一，根据正方体11种展开图的特 征，即可补上图中的第6个面。 (2)C 4.0.6×4×1.5=3.6(m)解析：本题求的是长 方体的侧面积，因为底面是正方形，所以4个侧面 大小相同。 5.(1)天花板的面积：6×4=24(m2)四面墙壁 的面积：(6×2.8+4×2.8)×2=56(m)24+ 56=80(m2)80-8.6=71.4(m2)(2)71.4× 0.2=14.28(kg) 6.5dm=0.5m25×0.5×4=50(m) 第三单元整合提升 1.(8×12-11×4-6×4)÷4=7(cm) 2.(5+4+3)×4÷12=4(厘米) 3.A的对面是F,B的对面是D,C的对面是E 4.这个正方体的前面是“有”，左面是“力” 5.22×2+15×2+10×4+25=139(厘米) 139×2=278(厘米) 6.4×6+3×6+2.5×4+3=55(分米) 7.5×5×6+4×4×4=214(cm2)解析：这个组 合图形的表面积可以看成一个大正方体的表面积 加上面小正方体的侧面积。 8.15×15×6+60=1410(cm2)解析：这个部件 的表面积也可以看成一个正方体的表面积加上面 长方体的侧面积。 9.X解析：正方体的棱长扩大到原来的2倍，表 面积扩大到原来的4倍。 10.80÷4÷5=4(cm)15×4×4+4×4×2= 272(cm2)解析：由题意可知，减少的80cm是截 下的长方体的侧面积，且这4个面大小相等，长为 5cm。可先求出原长方体的宽和高都是80÷4÷ 5=4(c),再利用长方体的表面积计算公式即可 解决问题。