精品解析：海南海口实验中学2025-2026学年下学期 九年级数学学情自测

2025-2026年第二学期九年级月考 数学试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 小明妈妈早上给了小明元零花钱，记作元，晚上放学时他买了一支笔花费元，记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量，根据相反意义的量即可求解，正确理解正、负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵小明妈妈早上给了小明元零花钱，记作元， ∴晚上放学时他买了一支笔花费元，记作元， 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法以及积的乘方，同底数幂的除法法则解答． 【详解】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法以及积的乘方，同底数幂的除法法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键． 3. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中． 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 【详解】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线． 故选：C． 5. 已知代数式的值为3，则的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是代数式求值．先把所求代数式化为的形式，再把代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 6. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. y的值随x值的增大而减小 C. 图象在第一、三象限内 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答． 【详解】解：A、把点代入反比例函数，得，故正确，该选项不符合题意； B、∵，∴在每一象限内y的值随x的增大而减小，故不正确，该选项符合题意； C、∵，∴图象在第一、三象限内，故正确，该选项不符合题意； D、若，则，故正确，该选项不符合题意． 7. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，、分别是、边的中点，已知的周长为18，则的周长为( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：的周长是， ， ，分别是边，的中点， 是的中位线，，， ， 的周长， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 9. 如图，一博物馆由圆形主馆A和三个圆形副馆，，组成．一游客从入口进入准备参观主馆和一个副馆后离开，已知他参观副馆后随机从每个副馆的两个出口中的一个离开，则他从中间出口（即出口，）离开的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，其中从中间出口（即出口，）离开的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中从中间出口（即出口，）离开的次数有4种， ∴他从中间出口（即出口，）离开的概率是， 故选：B． 10. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 11. 如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形、三角形内心、三角形内角和定理等知识，理解并掌握圆内接四边形的性质以及三角形内心的定义和性质是解题关键．首先根据邻补角的定义以及圆内接四边形的性质确定的值，结合三角形内心的定义可知平分，平分，进而可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 12. 如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 156 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的理解和应用以及等腰三角形的性质，数形结合是解决本题的关键． 将点P的运动轨迹和图象结合起来，进行分析可知：，所以为等腰三角形，当时，，对应图象中的点M的y值，根据三线合一可知，当时，点P为的中点，根据勾股定理可求，进而可求，根据三角形面积公式可得最后结果． 【详解】解：由图象可知： 为等腰三角形 当点P在C-A上运动时，对于图象中的曲线部分 由于M是曲线部分的最低点 此时最小， 即 由勾股定理可知： （根据等腰三角形三线合一可知） 故选：B 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 14. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】解： ， 去分母得到，， 解得， 经检验分式方程的解， 故答案为：． 15. 如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质与旋转的性质，灵活运用菱形的对边平行、同旁内角互补及旋转角相等的性质是解题的关键．根据菱形性质得到，进而求出旋转角，再由旋转性质得，从而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质得，． 故答案为：． 16. 如图，点B在C的左侧运动，且，，，，点E在上，且，则的长度为______；若点F在上运动，当F运动到的中点时，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 10 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点作于点，连接，，由勾股定理求得，再由题意可得，则，即当点，，三点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长．根据题意可得四边形为矩形，进而可得，，，再根据可得答案． 【详解】解：过点作于点，连接，， ，，， ， 点是的中点， ． ， 当点，，三点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长． ，， ， ， 四边形为矩形， ，， ． ，， ． 由勾股定理得，， 的最小值为10． 故答案为：，10． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算、解不等式组（并写出它的所有整数解） （1）； （2） 【答案】（1）5 （2），整数解为0，1，2，3 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、绝对值、算术平方根和零指数幂，再计算除法，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出整数解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由①得，， 由②得，， 原不等式组的解集为：， 整数解为：0、1、2、3． 18. 为积极响应国家“双碳”战略，推进绿色发展，某县全力打造生态优先、绿色低碳的工业园区，经反复研讨与周密规划，决定在园区内大规模安装光伏板和风力发电机组，以此构建稳定可靠的绿色能源供应体系． 这两类设备的安装需求各有不同，具体如下表所示： 设备类型 每台所需技术人员 每台投入成本（万元） 光伏板 风力机组 园区共有技术人员人，全部参与安装且每人只负责一种设备，总投入资金为万元．问光伏板和风力发电机组的安装数量各是多少台？ 【答案】安装光伏板台，安装风力发电机组台． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设安装光伏板台，安装风力发电机组台，由题意可得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设安装光伏板台，安装风力发电机组台， 由题意可得，， 解得， 答：安装光伏板台，安装风力发电机组台． 19. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． ①七年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94； ②将七年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92.6 m 100 49.2 八年级 92.6 92 100 57.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取七年级学生的样本容量是______；频数分布直方图中，C组的频数是______；表格中，______． （2）分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）． （3）若该校七年级2000名学生都参加了此次测试，估计该校七年级学生此次测试成绩不低于90分的学生有多少人？ 【答案】（1），， （2）七 （3）该年级成绩不低于分的学生约有人 【解析】 【分析】（1）根据样本容量是抽取的个数求解即可得到答案；利用总数减去其它频数即可得到答案；找到最中间两个数求平均即可得到答案； （2）根据方差越大波动越大，方差越小波动越小即可得到答案； （3）利用七年级总人数乘以符合的频率即可得到答案 【小问1详解】 解：∵随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析， ∴本次抽取七年级学生的样本容量是， ∵， ∴C组的频数是； ∵，， ∴中位数落在D组上， ∴ ，两个数是：，， ∴中位数是：； 【小问2详解】 解：∵， ∴七年级的学生测试成绩较整齐； 【小问3详解】 解：由题意可得，（人）， 答：该年级成绩不低于分的学生约有人 【点睛】本题考查中位数，方差，样本容量，利用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握几个定义． 20. 小明在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏与底板的夹角为，，于点，． （1）求的度数； （2）若保持显示屏与底板的夹角不变，将电脑平放在桌面上如图2中的所示，则显示屏顶部比原来顶部大约下降了多少？（参考数据：结果精确到．参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，正确的画出图形是解题的关键．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）在直角三角形中，求出的正弦值即可求出的度数； （2）过点作，过点作于点，过点作，交的延长线于点，求出的值即可得到显示屏顶部比原来顶部下降了多少． 【小问1详解】 于点，，， 在中，． ； 【小问2详解】 如图，过点作，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ，，， ， 在中，， ， ， ， 在中， ， 答：显示屏顶部比原来顶部大约下降了． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，的取值范围是______； （3）如图2，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接、、、，线段与交于点，设的面积为的面积为，当取最大值时，求点的坐标； （4）当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数中的面积问题，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． （1）将 ，代入解析式，利用待定系数法求解； （2）根据 ，，结合函数图象，即可求解； （3）由可得当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值，由此可解； （4）分，，三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值，作差判断是否为定值即可． 【小问1详解】 解：将 ，代入， 得：， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于两点，抛物线开口向上， ∴当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 【小问3详解】 解：由（1）知， 当时，， ， ， ，， ； ， 二次函数图象的顶点坐标为； ， 当点P与二次函数图象的顶点重合时，取最大值，取最大值， 此时点P的坐标为； 【小问4详解】 解：由（3）得， 二次函数图象的对称轴为直线， 当时，，y有最大值0， ，y有最小值， 最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意； 当时，，y有最小值， ，y有最大值0， 最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意； 当时，，y有最小值， ，y有最大值， 最大值与最小值的差为：，不是定值，不合题意； 综上可知，当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值． 22. 如图，正方形中，点是直线上一个动点，连接，过点作于点，过点作于点，连接、． 【模型建立】 （1）求证：； （2）如图1，若点在边上，猜想：线段与线段的数量关系是_____，位置关系是_____； 【模型迁移】 （3）如图2，若点在的延长线上，（2）中的猜想还成立吗？请说明理由； 【模型应用】 （4）记与的交点为，当时，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）， （3） 解：成立，理由如下： ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （4）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，先证，再根据“”证明； （2）由（1）知，可得，，然后证明，可得，即可解决问题；根据，可得，进而可以解决问题； （3）证明，可得，，进而可以解决问题； （4）当点在线段上时，根据得出，进而可得，即可得出的值，当点在线段延长线上时，勾股定理，得，进而等积法求得的长，，进而即可得出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵ 设，则，则， 当点在线段上时，如图， ， ， 又， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点在线段延长上时，如图，    ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第二学期九年级月考 数学试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 小明妈妈早上给了小明元零花钱，记作元，晚上放学时他买了一支笔花费元，记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知代数式的值为3，则的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. y的值随x值的增大而减小 C. 图象在第一、三象限内 D. 若，则 7. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，、分别是、边的中点，已知的周长为18，则的周长为( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 9. 如图，一博物馆由圆形主馆A和三个圆形副馆，，组成．一游客从入口进入准备参观主馆和一个副馆后离开，已知他参观副馆后随机从每个副馆的两个出口中的一个离开，则他从中间出口（即出口，）离开的概率是（　　） A. B. C. D. 10. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 11. 如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 156 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 分解因式：_____． 14. 方程的解为_____． 15. 如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则_______°． 16. 如图，点B在C的左侧运动，且，，，，点E在上，且，则的长度为______；若点F在上运动，当F运动到的中点时，则的最小值为______． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算、解不等式组（并写出它的所有整数解） （1）； （2） 18. 为积极响应国家“双碳”战略，推进绿色发展，某县全力打造生态优先、绿色低碳的工业园区，经反复研讨与周密规划，决定在园区内大规模安装光伏板和风力发电机组，以此构建稳定可靠的绿色能源供应体系． 这两类设备的安装需求各有不同，具体如下表所示： 设备类型 每台所需技术人员 每台投入成本（万元） 光伏板 风力机组 园区共有技术人员人，全部参与安装且每人只负责一种设备，总投入资金为万元．问光伏板和风力发电机组的安装数量各是多少台？ 19. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． ①七年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94； ②将七年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92.6 m 100 49.2 八年级 92.6 92 100 57.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取七年级学生的样本容量是______；频数分布直方图中，C组的频数是______；表格中，______． （2）分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）． （3）若该校七年级2000名学生都参加了此次测试，估计该校七年级学生此次测试成绩不低于90分的学生有多少人？ 20. 小明在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏与底板的夹角为，，于点，． （1）求的度数； （2）若保持显示屏与底板的夹角不变，将电脑平放在桌面上如图2中的所示，则显示屏顶部比原来顶部大约下降了多少？（参考数据：结果精确到．参考数据：，） 21. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，的取值范围是______； （3）如图2，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接、、、，线段与交于点，设的面积为的面积为，当取最大值时，求点的坐标； （4）当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，求的取值范围． 22. 如图，正方形中，点是直线上一个动点，连接，过点作于点，过点作于点，连接、． 【模型建立】 （1）求证：； （2）如图1，若点在边上，猜想：线段与线段的数量关系是_____，位置关系是_____； 【模型迁移】 （3）如图2，若点在的延长线上，（2）中的猜想还成立吗？请说明理由； 【模型应用】 （4）记与的交点为，当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $