七年级数学下学期期中模拟卷（新教材北京版，范围：七下第4～6章）

2025-2026学年七年级下学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B B A C A B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9． 10． 11．4 12． 13．10 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【详解】解：， 解不等式①，得；·······························1分 解不等式②，得；······························2分 ∴不等式组的解为，······························3分 它的所有整数解为，，，．······························5分 18．（5分） 【详解】（1）解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为······························3分 （2）解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得．······························5分 19．（6分） 【详解】解： ，······························3分 把，代入得：原式．······························5分 20．（6分） 【详解】（1）解：， ， ；······························3分 （2）解：， ，， ．······························6分 21．（6分） 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为；······························3分 （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：．······························6分 22．（8分） 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：；······························2分 （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或；······························5分 （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或．······························8分 23．（8分） 【详解】（1）解：设种材质的围棋每套的售价为元，则种材质的围棋每套的售价为元， 根据题意得：， 解得：， （元． 答：种材质的围棋每套的售价为元，种材质的围棋每套的售价为元；·················2分 （2）解：设采购种材质的围棋套，则采购种材质的围棋套， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：种材质的围棋最多能采购套；······························5分 （3）解：在（2）的条件下，商店销售完这套围棋不能实现利润为元的目标，理由如下： 假设能实现，根据题意得：， 解得：， 又， 不符合题意， 假设不成立，即在（2）的条件下，商店销售完这套围棋不能实现利润为元的目标．······························8分 24．（8分） 【详解】（1）解：当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1．······························2分 （2）解：∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，；······························4分 （3）解：∵， ∴， 当时，即，解得， 此时为方程的“关联值”， ∵， ∴不存在最小关联值； 当，即，解得或， ∴或， 此时为方程的“关联值”，的最小值为， ∴方程的最小“关联值”为······························8分 25．（10分） 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：；······························2分 （2）①∵，，， ∴， ∴；······························4分 ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3；······························6分 （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：；······························8分 （4）解： ．······························10分 26．（10分） 【详解】（1）解：第一种：；······························1分 第二种：；······························2分 第三种：；······························3分 （2），， ， ， ， ，， ；······························6分 （3）， ， ， ， ， 解得． 当，时，代数式的最小值是．·······················10分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版七年级数学下册第4~6章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．不等式组的所有整数解的和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（   ） A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5 6．已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 7．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．不等式的解集为______． 10．关于x，y的方程组的解，满足，则k的取值范围是___________． 11．若，则_____． 12．如果的乘积中不含项，则m为______． 13．某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 14．已知，则___________． 15．对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是_____． 16．如图，有正方形，现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为． （1）正方形和的面积和是___________； （2）图2中新的正方形的边长是___________． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解． 18．（5分）若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 19．（6分）先化简再求值：，其中，． 20．（6分）计算： (1)． (2)已知，，求的值． 21．（6分）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 22．（8分）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 23．（8分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有多年的历史．某商家销售、两种材质的围棋，每套进价分别为元、元，如表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种材质 种材质 第一个月 套 套 元 第二个月 套 套 元 (1)求、两种材质的围棋每套的售价． (2)若商家准备用不多于元的金额再采购、两种材质的围棋共套，求种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这套围棋能否实现利润为元的目标？请说明理由． 24．（8分）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)写出方程的最小“关联值”． 25．（10分）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 26．（10分）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，，求的值； (3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版七年级数学下册第4~6章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．不等式组的所有整数解的和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（   ） A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5 6．已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 7．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．不等式的解集为______． 10．关于x，y的方程组的解，满足，则k的取值范围是___________． 11．若，则_____． 12．如果的乘积中不含项，则m为______． 13．某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 14．已知，则___________． 15．对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是_____． 16．如图，有正方形，现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为． （1）正方形和的面积和是___________； （2）图2中新的正方形的边长是___________． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解． 18．（5分）若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 19．（6分）先化简再求值：，其中，． 20．（6分）计算： (1)． (2)已知，，求的值． 21．（6分）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 22．（8分）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 23．（8分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有多年的历史．某商家销售、两种材质的围棋，每套进价分别为元、元，如表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种材质 种材质 第一个月 套 套 元 第二个月 套 套 元 (1)求、两种材质的围棋每套的售价． (2)若商家准备用不多于元的金额再采购、两种材质的围棋共套，求种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这套围棋能否实现利润为元的目标？请说明理由． 24．（8分）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)写出方程的最小“关联值”． 25．（10分）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 26．（10分）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，，求的值； (3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版七年级数学下册第4~6章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；根据题意，每3人坐一车有2辆空车，可得；每2人坐一车有9人步行，可得，据此对照选项即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车， 由题意得：， 故选：C． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项、积的乘方与幂的乘方、多项式除以单项式、完全平方公式逐一计算即可判断． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 4．不等式组的所有整数解的和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先解每个不等式，得到解集的范围，然后找出所有整数解，并求和即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组：， 解第一个不等式 ，得 ， 解第二个不等式 ，得， ∴ 不等式组的解集为 整数解为 和为， 故选：B． 5．若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（   ） A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入是解题关键． 将已知解代入方程求出y，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入得， 解得， ∴， 将代入得，， ∴， 故和分别为5和2． 故选A． 6．已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据代数式为完全平方式，需满足其形式为，据此求解即可． 【详解】解：关于x的代数式为完全平方式， 设其等于，即， ， 当时，，解得； 当时，，解得， 故k的值为4或． 故选：C． 7．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先解方程组，得到，然后将代入，即可判断①；若，即可得到，然后解方程即可判断②；根据题意，可知，然后代入求值即可判断③；将代入解方程即可判断④． 【详解】 解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：． ①当时，，， ∴， ， ∴，故①错误； ②若，则， 解得：， ∴，， ∴x，y互为相反数，故②错误； ③，为自然数， ∴， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴x，y为自然数的解有3对，故③正确； ④∵， ∴， 解得：，故④错误， ∴其中正确的有③，共1个． 8．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提．每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，因此拼成的正方形的边长可以为：，，，四种情况． 【详解】解：∵每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形， ∴正方形的边长可以为：，，，四种情况； （注意每一种卡片至少用1张，至多用8张） 即：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张； ，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张； ，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张，大于8张，不合题意；同理也不合题意； ，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张； ，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张； 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，利用不等式的基本性质，通过移项、合并同类项、系数化为即可求出不等式的解集． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式两边同时除以，系数化为，得． 10．关于x，y的方程组的解，满足，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将方程组的两个方程相加，整理得到关于k的表达式，再代入不等式求解即可． 【详解】解： 由①②得：， 等式两边同除以得：， ， ， 移项解得：． 11．若，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查平方差公式的应用．先利用乘法交换律调整因式顺序．再连续运用平方差公式化简等号左边．对比等式两边对应项的次数即可求出的值． 【详解】解： 又 12．如果的乘积中不含项，则m为______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确展开并找出项的系数．先将展开，合并同类项后令项的系数为0，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 乘积中不含项， ， 解得． 故答案为：． 13．某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 【答案】10 【分析】设需要购买x支钢笔，根据总价=单价×数量，结合总价超过88元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确列不等式计算是解题的关键． 【详解】解：设购买钢笔x支，根据题意，得 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x的最小值为10， ∴至少买10支钢笔． 故答案为：10． 14．已知，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，解决此题的关键是运用换元思想；先把和看作m和n，已知条件变成了两个数的乘积，根据已知可得两个数的差，进而运用完全平方公式即可得到答案； 【详解】解：令，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 15．对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式性质的应用；根据题意得到关于a、b、c的方程组，得到用a的代数式表示的b、c；由b非负求得a的范围，把H用a的代数式表示，利用不等式的性质即可求出H的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：； ∵，为非负数， ∴， 即， ∴； ∴ ， ∵， ∴， 即； 故答案为：． 16．如图，有正方形，现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为． （1）正方形和的面积和是___________； （2）图2中新的正方形的边长是___________． 【答案】 【分析】本题考查代数式相关运算及几何图形关系，数形结合，由图形面积列式表示是解决问题的关键． （1）设正方形的边长为、正方形的边长为，由阴影部分面积为求出边长，从而得到，再由阴影部分面积为得到，最后由即可得到答案； （2）由（1）知，，，将代入得，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）设正方形的边长为、正方形的边长为， 图1中阴影部分的面积为， 其边长为， 则， ； 图2中阴影部分的面积为， ， 则； 正方形和的面积和是， 故答案为：； （2）由（1）知，，， 将代入得， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， ， 图2中新的正方形的边长是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】；所有整数解为，，， 【分析】先分别求解两个不等式，即可得出不等式组的解，再得出所有整数解． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解为， 它的所有整数解为，，，． 18．（5分）若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二元一次方程组： （1）利用加减法求解比较简便； （2）把的值代入方程组得关于的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为 （2）解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得． 19．（6分）先化简再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则，进行化简，然后再把数值代入求值即可．注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． 【详解】解： ， 把，代入得：原式． 20．（6分）计算： (1)． (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查同底数幂的运算，合并同类项，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算法则． （1）根据同底数幂的运算法则和合并同类项即可求出答案． （2）根据同底数幂的运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ，， ． 21．（6分）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)小明的计算不正确，正确的整式为 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，以及整式的值与的取值无关的条件． （1）利用等式关系，移项展开求出被遮住的整式，验证小明答案． （2）代入计算，合并同类项后令的系数为，求解的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为； （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：． 22．（8分）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 23．（8分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有多年的历史．某商家销售、两种材质的围棋，每套进价分别为元、元，如表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种材质 种材质 第一个月 套 套 元 第二个月 套 套 元 (1)求、两种材质的围棋每套的售价． (2)若商家准备用不多于元的金额再采购、两种材质的围棋共套，求种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这套围棋能否实现利润为元的目标？请说明理由． 【答案】(1)种材质的围棋每套的售价为元，种材质的围棋每套的售价为元 (2)最多能采购套 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键． （1）设种材质的围棋每套的售价为元，则种材质的围棋每套的售价为元，根据第二个月的销售情况，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即种材质的围棋每套的售价），再将其代入中，即可求出种材质的围棋每套的售价； （2）设采购种材质的围棋套，则采购种材质的围棋套，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）假设能实现，利用总利润每套种材质的围棋的销售利润购进种材质的围棋的数量每套种材质的围棋的销售利润购进种材质的围棋的数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合，可得出不符合题意，进而可得出假设不成立，即在（2）的条件下，商店销售完这套围棋不能实现利润为元的目标． 【详解】（1）解：设种材质的围棋每套的售价为元，则种材质的围棋每套的售价为元， 根据题意得：， 解得：， （元． 答：种材质的围棋每套的售价为元，种材质的围棋每套的售价为元； （2）解：设采购种材质的围棋套，则采购种材质的围棋套， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：种材质的围棋最多能采购套； （3）解：在（2）的条件下，商店销售完这套围棋不能实现利润为元的目标，理由如下： 假设能实现，根据题意得：， 解得：， 又， 不符合题意， 假设不成立，即在（2）的条件下，商店销售完这套围棋不能实现利润为元的目标． 24．（8分）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)写出方程的最小“关联值”． 【答案】(1)1 (2)，； (3) 【分析】此题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． （1）把代入方程求出y的值，再根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意分两种情况求解. 【详解】（1）解：当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1． （2）解：∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）解：∵， ∴， 当时，即，解得， 此时为方程的“关联值”， ∵， ∴不存在最小关联值； 当，即，解得或， ∴或， 此时为方程的“关联值”，的最小值为， ∴方程的最小“关联值”为 25．（10分）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 【答案】（1）见解析；（2）①；②3；（3）；（4） 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】此题考查了完全平方公式与图形面积，平方差公式与图形面积，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键． 26．（10分）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，，求的值； (3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)第一种：；第二种：；第三种： (2) (3)16 【分析】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项”分别是常数项、一次项、二次项，可解答； （2）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答； （3）首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：第一种：； 第二种：； 第三种：； （2），， ， ， ， ，， ； （3）， ， ， ， ， 解得． 当，时，代数式的最小值是． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $