3.2 图形的旋转 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学教学设计围绕图形的旋转展开，涵盖旋转概念、性质、作图及中心对称。通过生活旋转实例导入，类比平移学习路径，构建从具体到抽象的知识支架，衔接前后知识点。 特色在于以数学眼光观察生活现象抽象旋转本质，通过操作探究培养数学思维，规范作图步骤发展数学语言。如几何画板演示归纳旋转三要素，“找连转截画写”步骤提升逻辑，助力学生发展空间观念，为教师提供结构化教学方案。

3.2 图形的旋转 第1课时 旋转的概念与性质 教学设计 课题 3.2 第1课时 旋转的概念与性质 授课人 教学目标 1. 能从具体实例中分析出平面图形关于旋转中心的旋转现象的共性，直观认识旋转，并抽象、归纳出旋转的概念，能在具体图形中识别旋转中心及旋转角； 2. 通过操作、观察、分析、交流，概括出平面图形旋转的基本性质； 3. 能判断一个图形是否由另一个图形旋转或平移得到，并能用旋转的基本性质解决数学问题. 教学重点 培养学生用数学的眼光观察现实世界的能力，抽象出数学中点、线、面的旋转，通过几何画板动画演示，引导学生总结出旋转的三要素. 教学难点 聚焦生活场景，类比平移的学习路径，探索旋转的定义及性质，体现数学学习方法的贯通性. 授课类型 新授课 课时 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 下图反映的是日常生活中物体运动的一些场景，这些物体的运动有什么共同特点？ 绕一个定点旋转. 你还能找到类似的例子吗? 数学来源于实际生活，通过日常生活中的动画引入，激发学生的学习兴趣. 探究新知 1.旋转的有关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 转动的方向分为顺时针与逆时针. 旋转不改变图形的形状和大小. 如图，△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到△DEF，点A，B，C分别旋转到了点D，E，F. ① 点A与点D是一组对应点； ② 线段AB与线段DE是一组对应线段； ③∠BAC与∠EDF是一组对应角； ④ 点O是旋转中心，∠AOD，∠BOE，∠COF都是旋转角. (1) 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角； (2) 旋转中心可以是图形上的某一点，也可以是图形内或图形外的某一点. 如果图形上的点P经过顺时针旋转变为点P′， 旋转方向：顺时针 旋转中心：定点O 旋转角：∠POP′ （链接针对练习） 2.旋转的性质 两张透明纸上的四边形ABCD和四边形EFGH完全重合，在纸上选取旋转中心O，并将其固定.把其中一张纸片绕点O旋转一定角度. (1) 观察图中的两个四边形，你能发现哪些相等的线段和相等的角? (2) 连接AO，BO，CO，DO，EO，FO，GO，HO，你又能发现哪些相等的线段和相等的角? (3) 在图中再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段，你又能发现什么? (1) 相等的线段：AB=EF，BC=FG，CD=GH，AD=EH； 相等的角：∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，∠D=∠H. (2) 相等的线段：AO=EO，BO=FO，CO=GO，DO=HO； 相等的角：∠AOE=∠BOF=∠COG=∠DOH. (3) 对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角. 一个图形和它经过旋转所得的图形中： ① 对应点到旋转中心的距离相等； ② 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； ③ 对应线段相等，对应角相等. 如图，△ABC绕点O逆时针旋转n°得到△A′B′C′. 根据旋转的性质得OA=OA′，OC=OC′. 连接AA′，CC′，点O在线段AA′的垂直平分线上，也在线段CC′的垂直平分线上. 旋转中心的确定： 旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点. 在下图中的(1)~(4)的四个三角形中，哪个不能由△ABC经过平移或旋转得到？ （链接例1） 首先学生根据自己的经验和观察，以探究的形式总结出旋转的相关概念，进而老师引导给出旋转的规范定义.其次，引导学生明确对应点，对应线段及对应角，对应点所连的线段等名词.从而为后续突破学习的难点奠定基础. 典例精析 【例1】 如图，点A，B，C，D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(　C　) A．30° B．45° C．90° D．135° 本例题既是对所探究内容的应用，又是对所学知识的巩固. 随堂检测 1. 如图，四边形ABCD经过旋转后与四边形ADEF重合. (1) 指出这一旋转的旋转中心和旋转角； (2) 写出图中相等的线段和相等的角. 【解】(1) 点A是旋转中心，∠BAD，∠CAE，∠DAF都是旋转角. (2) 相等的线段有：AB=AD=AF，AC=AE， BC=DE，CD=EF. 相等的角有：∠BAD=∠CAE=∠DAF， ∠BAC=∠DAE，∠CAD=∠EAF，∠BCA=∠DEA，∠ACD=∠AEF，∠ABC=∠ADE，∠BCD=∠DEF，∠ADC=∠AFE. 2. 如图，你能绕点O旋转，使得线段AB与线段CD重合吗?为什么? 【解】不能. 因为旋转前后，对应点到旋转中心的距离应相等， 而OA≠OC，OB≠OD， 所以不能绕点O旋转，使得线段AB与线段CD重合. 3. 如图，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，点M是AC的中点.若BD=3cm，AB=8cm，则EC= 3cm ，AM= 4cm . 4. 如图所示，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 50° . 5. 如图所示，在等边三角形ABC中，AC=12，点O在AC上，P是AB上一点，连接OP，且OP=7，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，点D恰好落在BC上，则△OCD的周长是 19 . 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 1.什么是旋转的三要素？ 2.什么是旋转的基本性质？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 板书设计 3.2 第1课时 旋转的概念与性质 1.旋转的有关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 2.旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中： ① 对应点到旋转中心的距离相等； ② 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； ③ 对应线段相等，对应角相等. 教学反思 第2课时 旋转作图 教学设计 课题 3.2 第2课时 旋转作图 授课人 教学目标 1.经历观察、操作、猜想、验证、类比的过程，进一步积累数学活动经验，增强动手实践能力，发展空间观念. 2.通过具体图形旋转研究活动，激发好奇心和求知欲，树立学好数学的自信心，养成独立思考、合作交流等学习习惯. 3.掌握旋转及其运用，培养应用意识，能应用旋转的知识设计图案. 教学重点 能简单的旋转作图，明确作图的步骤. 教学难点 能根据信息找到旋转中心. 授课类型 新授课 课时 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 问题 我们已经学习了平面内图形旋转的概念和性质，怎样才能画出一个图形按一定条件旋转后的图形呢? 设置问题引入新课. 探究新知 1.旋转作图 在图1中，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段. 解：(1) 如图2， 以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使∠BAX=60°. (2) 在射线AX上取点C，使得AC=AB. 线段AC就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段. 如图，△ABC绕点O按逆时针方向旋转后，顶点A旋转到了点D． (1) 指出这一旋转的旋转角. (2) 画出旋转后的三角形. 解：(1) 如图，连接OA，OD， ∠AOD即为旋转角. (2) ① 连接OB，OC，分别以OB，OC为边作∠BOM＝∠CON＝∠AOD； ② 分别在OM，ON上截取OE＝OB，OF＝OC； ③ 依次连接DE，EF，FD； 则△DEF就是所求作的三角形，如图所示． 确定一个图形旋转后的位置，需要哪些条件? ① 图形原来的位置； ② 旋转中心； ③ 旋转方向及旋转角. 旋转画图的一般步骤： ① 找：找出旋转中心、旋转方向、旋转角及构成图形的关键点； ② 连：将图形中的各关键点与旋转中心分别连接起来； ③ 转：把连线绕旋转中心按旋转方向分别旋转一定的角度，使其等于旋转角； ④ 截：在旋转后的射线上截取与各连线分别相等的线段，得到各关键点的对应点； ⑤ 画：根据原图形顺次连接所得到的各对应点，画出要求的图形； ⑥ 写：写出结论. （链接针对练习1） 观察图，甲图案进行怎样的运动变化，可以与乙图案重合？ 方法一：可以先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，然后，再沿AB方向将所得图案平移到B点位置，即可得到乙图案. 方法二：可以先将甲图案沿AB方向平移到B点位置，然后，绕图上的B点旋转，使得图案被“扶直”，即可得到乙图案. （链接例1） 2.网格中的旋转作图 （链接例2） 以简单情形展示画旋转图形的方法，为以后画较复杂的旋转图形搭建台阶，同时培养学生的抽象概括能力，提高学生对旋转作图的认识． 典例精析 【变式训练】在图中，画出线段AB绕点O按逆时针方向旋转 60°后的图形. 【解】① 连接OA，OB，分别以OA， OB为边作∠AOM＝∠BON； ② 分别在OM，ON上截取OA′＝OA，OB′＝OB； ③ 连接A′B′； 则线段A′B′就是所求作的三角形，如图所示． 【例1】 如图，怎样将右边的图案变成左边的图案？ 【解】方法一：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转90°，然后平移，即可得到左边的图案. 方法二：先将右侧图案平移到左边，然后以左边图案的中心为旋转中心逆时针方向旋转90°，即可得到左边的图案. 【例2】如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有△ABC，点A、B、C均在小正方形的顶点上．将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△CDE（点A、B的对应点分别为D、E），画出△CDE. 【解析】根据旋转的性质可知，旋转角∠ACD=∠BCE=90°，对应线段相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形. 【解】如图，△CDE即为所求. 锻炼学生旋转作图能力，让学生学会用数学语言表述作图思路与过程. 随堂检测 1. 在图中画出线段AB绕点O按顺时针方向旋转50°后的线段. 【解】(1) 如图所示，以OA为一边按顺时针方向画∠AOM，使得∠AOM=50°. (2) 在射线OM上取点C，使得OC=OA，在CO的延长线上取点D，使得OD=OB. 线段CD就是线段AB绕点O按顺时针方向旋转50°后的线段. 2. 将如图所示的五边形绕点O按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形. 【解】如图所示. 3. 同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图是在万花筒中看到的一个图案．图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的四边形AEFG可以看成是四边形ABCD以A为旋转中心(　B　) A. 顺时针旋转60°得到的 B. 顺时针旋转120°得到的 C. 逆时针旋转60°得到的 D. 逆时针旋转120°得到的 4. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，4)，将OA绕坐标原点O旋转90°得到OA'，则点A'的坐标是 (-4，3)或(4，-3) . 5. 如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合(点A与点C重合，点B与点D重合)，则这个旋转中心的坐标为 (4，2) . 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容. 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 板书设计 3.2 第2课时 旋转作图 1.旋转作图 旋转画图的一般步骤： ① 找：找出旋转中心、旋转方向、旋转角及构成图形的关键点； ② 连：将图形中的各关键点与旋转中心分别连接起来； ③ 转：把连线绕旋转中心按旋转方向分别旋转一定的角度，使其等于旋转角； ④ 截：在旋转后的射线上截取与各连线分别相等的线段，得到各关键点的对应点； ⑤ 画：根据原图形顺次连接所得到的各对应点，画出要求的图形； ⑥ 写：写出结论. 2.网格中的旋转作图 教学反思 第3课时 中心对称 教学设计 课题 3.2 第3课时 中心对称 授课人 教学目标 1.认识中心对称及中心对称图形的定义，探索中心对称的性质. 2.运用讨论交流等方式，让学生自己探索出图形变化的过程，发展学生的图形分析能力、化归意识. 3.通过经历观察、分析、操作、探索、归纳等过程，进一步发展学生的空间观念和几何直观，增强学生的审美意识. 教学重点 中心对称及中心对称图形的概念与性质，作一个图形关于某一点成中心对称的图形. 教学难点 中心对称的性质及作图. 授课类型 新授课 课时 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 问题 观察下图，图(1)经过怎样的运动变化就可以与图(2)重合？你还能举出一些类似的例子吗？ 绕一个顶点旋转180°后与另一个图形重合. 通过对生活中图形的认识引出新课. 探究新知 1.中心对称图形 2.中心对称的概念 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心. 如图，△ABC绕点O旋转180°后得到△A′B′C′ △ABC与△A′B′C′关于点 O 成中心对称， 点O是对称中心， 点 A关于点 O的对称点是A′， A′B′是AB的对应线段， ∠B′A′C′是∠BAC的对应角. 1. 中心对称是特殊的旋转，其旋转角为180°. 2. 成中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形. 3. 成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在图形的外部，也可能在图形的内部或边上. 观察 AA′，BB′，CC′，你能发现什么特征? 对称点与旋转中心连线所成的角都等于180°，三个点共线. AA′，BB′，CC′都过点O，O是它们的中点. 中心对称的性质 (1) 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分. (2) 成中心对称的两个图形是全等形，对应角相等，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等. （链接例1、例2） 画与已知图形成中心对称的图形 (1) 连接：分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接； (2) 延长：将以上连线延长找对称点，使得对称点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等； (3) 连接：将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形. 观察下图，这些图形有什么共同特征?你还能举出一些类似的图形吗? 绕某一点旋转180°后能与原来图形重合. 3.成中心对称图形的性质 你还见过哪些具有这种特征的图案或图形? 把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心. 图中 平行四边形ABCD 是中心对称图形， 对称中心是 点O ， 点A的对称点是 点C ， 点D的对称点是 点B . 图形ABCDEB′C′D′是中心对称图形吗? 是中心对称图形. 中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称图形的性质：中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分. 确定对称中心的方法 方法一：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. 方法二：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心. （链接针对练习） 利用情景中的图案，延续学生的兴趣.从生活中图案到几何图形，从具体到抽象，循序渐进地指导学生认识中心对称.鼓励学生通过观察、思考，用自己的语言来描述这些物体转动的共同特征，初步感受中心对称的特点，加深了对这种特殊旋转的认识. 典例精析 【例1】如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，点O为对称中心，则下列说法不正确的是( D ) A. S△ABC=S△A′B′C′ B. AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′ C. AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′ D. S△ACO=S△A′B′O 【例2（教材P95）】如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形. 【解】如图，连接BO并延长至B′，使OB′=OB； 连接CO并延长至C′，使OC′=OC； 连接DO并延长至D′，使OD′=OD； 顺次连接E，B′，C′，D′，A. 图形EB′C′D′A就是以点O为对称中心、 与五边形ABCDE成中心对称的图形. 【变式训练】下列几个交通标志，其中是中心对称图形的是( D ) 通过例题和练习加深学生对所学知识的理解. 随堂检测 1. 下面哪些图形是中心对称图形? 【解】图(1)(2)(3)是中心对称图形. 2. 下面扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形? 【解】“红心2”“方片J”的牌面是中心对称图形. 3. 在①线段，②角，③等腰三角形，④等腰梯形，⑤平行四边形，⑥矩形，⑦菱形，⑧正方形和⑨圆中，是轴对称图形的有 ①②③④⑥⑦⑧⑨ ，是中心对称图形的有 ①⑤⑥⑦⑧⑨ ，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ①⑥⑦⑧⑨ . 4. 如图是一个中心对称图形，A为对称中心.若∠C=90°，∠B=30°，AC=2，则BB′的长为 8 . 5. 如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB的长为8cm，直角边BC的长为12 cm.若扇形CAE与扇形DBE关于点E对称，则图中阴影部分的面积是 24cm2 . 6. 如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′. 【解】作法： 1. 连接AO并延长到A′，使OA′=OA，得到点A的对应点A′； 2. 同理，可作出点B，C，D的对应点B′，C′，D′； 3. 顺次连接A′，B′，C′，D′，A′，则四边形A′B′C′D′即为所作. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 1. 什么是中心对称？ 2. 什么是中心对称图形？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 板书设计 3.2 第3课时 中心对称 1.中心对称图形 2.中心对称的概念 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心. 3.成中心对称图形的性质 把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $