2.7.2实际问题中的最值问题 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 导数及其应用 第7节 导数的应用 7.2 实际问题中的最值问题 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用． 2、能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)． 1、了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用． 1、能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)． 2 新 知 引 入 1、函数的最值： 如果函数f(x)的定义域内存在一点，使得对任意总有 那么 为函数在定义域上的____________. 如果函数f(x)的定义域内存在一点，使得对任意总有 那么 为函数在定义域上的____________. 2、求函数f(x)在[a，b]的最大(小)值的步骤： （1）求f(x)在开区间(a，b)内所有 ______________的根。 （2）计算函数在 处的函数值和_______的函数值，最大的一个为 最大值，最小的一个为最小值。 最大值 最小值 端点 新 知 引 入 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题。 通过前面的学习知道，导数是求函数最大（小）值的有力 工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的最优化问题. 学 习 新 知 解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围， 即函数的定义域； (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果 函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x) 在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实 际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再 与端点处的函数值进行比较． 典 例 引 路 例1、如图, 一边长为48 cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，所得容器的容积V(单位: cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数. (1)随着x的变化，容积V是如何变化的？ (2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？ 最大容积是多少? 解：(1)根据题意，可得 V=V(x) = (48-2x)2x.定义域为{x|0＜x＜24}. ∴ v＇(x) = -4x(48-2x) + (48-2x)2 = (48-2x)(-6x+48) = 12(x-24)(x-8). 解方程 V＇(x)=0,得x1=8,x2 = 24. 则 x (0,8) 8 (8,24) V＇(x) ＋ 0 － V=V(x) ↗ 极大值 ↘ 当0<x≤8时，函数V=V(x)单调递增； 当8≤x＜24时，函数V=V(x)单调递减. (2)由（1）可知Vmax=V(8)=8192(cm3) 即当截去的小正方形的边长为8cm时,得到的容器容积最大，最大容积为8192cm3. 同 步 练 习 练1、已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值． 解:设圆柱的底面半径为r，高为h， 则S圆柱底＝πr2，S圆柱侧＝2πrh， ∴圆柱的表面积S=2πr2+2πrh, ∴h = 又圆柱的体积V=πr2h = ∴V＇= 令V＇=0 得 S=6πr2, 所以 h = 2r 又 r = ，所以 h = 2 = 即当圆柱的体积V最大时，圆柱的高h为 同 步 练 习 练2、采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大． 解：∵R2=h2+r2，即r2=R2-h2， ∴V = πr2h = π(R2-h2)h = πR2h - πh3 ,h∈(0,R) ∴V＇= πR2-πh2 由V＇＞0得0＜h＜R , 由V＇＜0得R＜h＜R ∴V = πR2h - πh3 在（0，R)上递增，在（R，R）上递减。 ∴V = πR2h - πh3 在h=R时取得最大值。 ∴所以炸药包要埋在R处。 典 例 引 路 例2、要利用铁丝网围成一个矩形养鸡场, 现在铁丝网长为 a 米, 只围三边, 另一边为一道墙, 问长和宽为多少时, 才能使所围养鸡场面积最大? 解: 设长为 x 米, 宽为 y 米.则 x+2y=a.∴y = 由 x, y 均为正数得, 0＜x＜a. 面积 S = xy = x∙ = - x2 + ax ∴S＇= - x + a ， 由S＇=0得x = a ∵0＜x＜a, S 在 (0, ) 内递增, 在 ( , a ) 内递减, ∴x = 时,S 取得极大值,也是最大值.此时, y= . ∴Smax= - ( )2+a· = 故长、宽分别为 米, 米时, 养鸡场面积最大. x y 同 步 练 习 练3、如图，用一块形状为半椭圆 x2+=1(y≥0)的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，记所得等腰梯形的面积为S，则S的最大值是______． 解:设D点坐标为(x,y)(0＜x＜1)，则x2+ =1(y≥0)即y2=4(1-x2)， ∴等腰梯形ABCD的面积为S=(|AD|+|BC|)|y|=(2x+2)y=(x+1)y ∴S2=(x+1)2y2=4(x+1)2(1-x2)=4(-x4-2x3+2x+1)=-4x4-8x3+8x+4 令f(x)=-4x4-8x3+8x+4(0＜x＜1) 则f＇(x)=4(-4x3-6x2+2)=-8(x+1)2(2x-1) 由f＇(x)＞0得0＜x＜ , 由f＇(x)＜0得＜x＜1 ∴f(x)在(0,)上单调递增，在（，1）上单调递减 ∴当x = 时，S2的最大值为 即当x = 时，S的最大值为 同 步 练 习 练4、如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2，宽为1的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路 l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．则△APQ的面积S的最小值为________． 解:设AQ=x， 因为BC∥AQ，所以△PBC∽△PAQ， ∴ = = ，得x= 即AP= ∴ S = AP·AQ = (x＞1) ∴S＇= 由S＇＞0得x＞2,由S＇＜0得1＜x＜2 ∴S在（1,2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增 ∴当x=2时，Smin=4 典 例 引 路 例3、对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题. 对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数，分别为 y=x3-24x2+225x+10, z=180x. （1）试写出该企业获得的生产利润ω(单位:万元)与产量x之间的函数关系式； （2）当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？ 解 (1)∵总利润=总收入一总成本，即ω=z-y, ∴ω=ω(x)= 180x-(x3-24x2+225x+10),即ω= -x3 +24x2-45x-10 (x≥0). (2)ω＇(x) = -（3x2+48x-45 = -3(x-1)(x-15). 解方程 ω＇(x)=0,得 x1 =1,x2 = 15. 比较 x=0,x=l和x=15的函数值ω(0) =-10, ω(l) = -32, ω(15) = l340 可知，函数ω= ω(x)在x=15处取得最大值，此时最大值为1340. 即该企业的产量为15 t 时，可获得最大利润，最大利润为1340万元. 同 步 练 习 练5、已知某厂生产某种商品x(百件)的总成本函数为C(x)=x3-6x2+29x+15(万元),总收益函数为R(x)=20x-x2(万元),则生产这种商品所获利润的最大值为　　　　　万元.  解：设利润为P(x), 则P(x)=R(x)-C(x)=20x-x2 - x3+6x2-29x-15 = - x3+5x2-9x-15, 所以P＇(x)=-x2+10x-9, 由P＇(x)=0,得x=9或x=1, ∵P(0)=-15,P(1)= - ,P(9)=66 ∴当x=9时,P(x)有极大值,也即最大值P(9)=66. 同 步 练 习 练6、某莲藕种植塘每年固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种植1万斤莲藕，成本增加0.5万元．用x表示莲藕种植量（单位：万斤），销售额f(x)（单位：万元）为f(x)= - x3+x2+x,则每年种植莲藕_______万斤时，利润最大. 解:设销售利润为g(x)， 则g(x)= f(x)-1- x = - x3 + x2 + x-1- x = - x3 + x2 -1 ,0＜x≤8 ∴g＇(x)= - x2 + x = - x(x-6) 由g＇(x)＞0得0＜x＜6 ,由g＇(x)＜0得6＜x＜8 ∴g(x)在（0,6）上单调递增，在（6,8）上单调递减 ∴x=6时，函数g(x)取得极大值即最大值， 所以每年种植莲藕6万斤时，利润最大. 典 例 引 路 例4、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值. 解:（1）∵C(0)=8 , ∴k=40, 因此C(x)= , 而建造费用C1(x)=6x, 从而隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x = + 6x (0≤x≤10). (2)f＇(x)= 6 - ,令f＇(x)=0,得x1=5,x2 = - (舍去). 当0＜x＜5时,f＇(x)＜0,当5＜x＜10时,f＇(x)＞0. 故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)= 6×5 + =70, 即当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元. 同 步 练 习 练7、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少? 解：设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设,知p=kv3, 因为v=10,p=6,所以k= =0.006.于是有p=0.006v3. 又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为小时,所以行驶1千米的总费用为 q= (0.006v3+96)=0.006v2 + . q＇=0.012v - (v3-8000),令q＇=0,解得v=20. 当v＜20时,q＇＜0;当v＞20时,q＇＞0, 所以当v=20时,q取得最小值. 即当速度为20千米/时时,航行1千米所需的费用总和最少. 同 步 练 习 练8、已知泳池深度为2m，其容积为2500m3，如果池底每平方米的维修费用为150元．设水池的较短池壁长度为xm，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为k(k＞0)，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时x的值为________． 解:由题意知：池底面积为=1250(m2)，则池底维修费用为1250×150=187500(元） ∵x表示较短池壁长， ∴ 0＜x＜ 解得0＜x＜25 ∴池壁的总维修费用表达式为f(x)=2×kx+ = x+ (0＜x＜25) ∴f＇(x)= - = 令f＇(x)=0得x=25 ∴当x∈(0,25)时，f＇(x)＜0;当x∈(25,25)时，f＇(x)＞0 ∴f(x)在(0,25上单调递减，在(25,25)上单调递增 ∴当x=25时，f(x)取得最小值，即此时泳池的总维修费用最低. 典 例 引 路 例5、用铁皮围成一个容积为8m3的有盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_____m2． （注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计） 解:设该正四棱柱形水箱底面边长为xm，则高为m，设需用铁皮的面积为ym2， 则y = 2x2 + x··4 = 2x2 + (x＞0) ∴y＇= 4x - = 当x∈(0,2)时，y＇＜0，当x∈(2,+∞)时，y＇＞0， 所以函数y = 2x2 + 在（0,2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增 当x=2m时，函数y = 2x2 + 取得最小值，最小值为24m2， 即需用铁皮的面积至少为24m2 同 步 练 习 练9、做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是64π，且用料最省，则该圆柱形水桶的底面半径为________． 解:设圆柱的底面半径为r，高为h，由体积V=πr2h得高为 h = = 则圆柱的表面积为S(r)=πr2+2πr×=π(r2 + ) S＇(r) = π(2r - ) = 令S＇(r)＜0，得r∈(0,4)，S(r)单调递减， 令S＇(r)＞0,得r∈(4,+∞)，S(r)单调递增． 所以S(r)在 r = 4 时取得最小值， 所以要使得用料最省，底面半径为4. 同 步 练 习 练10、如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中BD⊥AD），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省？ 解：设C点距D点x km，如图所示，则|BD|=40,|AC|=50-x， 所以|BC|= = 设总的水管费用为y元，则y=3a(50-x)+5a (0＜x＜50) y＇= -3a+ 令y＇=0，解得x=30， 当x∈(0,30)时，y＇＜0，函数在(0,30)上单调递减； 当x∈(30,50)时，y＇＞0，函数在(30,50)上单调递增， 所以，当x=30时，函数取得极小值，也是最小值， 所以函数在x=30km处取得最小值，此时|AC|=50-x=20km， 故供水站C建立在A,B之间距甲厂20km处，可使水管费用最省. 同 步 练 习 全 课 总 结 一、导数在解决利润最大、效率最高、用料最省、 体积（面积）最大（最小）等实际问题中的作 用． THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $