2.7.2 实际问题中的最值问题 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第二章 导数及其应用 互动设计 2.7.2 实际问题中的最值问题 互动设计课程 1 课件部分内容快照 【情境导入】 导语 【探究新知】 【典型例题】 1.审题建模 2.求导分析 4.回归验证 3.判断最值： 5.关键提醒 6.常见模型： 例题1：几何类最值（矩形面积问题） 例题2：经济类最值（利润最大化问题） 例题3：工程类最值（材料最省问题） 互动设计课程 学 习 目 标 掌握利用导数求解实际问题最值的核心思路和步骤。 返回主页 理解实际问题中最值问题的数学本质，掌握利用导数求解实际问题最值的核心思路和步骤。 能准确将实际问题转化为数学函数模型，区分定义域约束下的最值与无约束条件下的最值求解差异。 熟练运用导数判断函数的单调性、极值，进而确定函数的最值，解决与几何、经济、工程等相关的简单实际最值问题。 情 境 引 入 返回主页 导语 1.导语 同学们，在我们的生活和生产中，经常会遇到这样的问题：建筑工人搭建长方体仓库，如何在材料总表面积固定的情况下，使仓库的容积最大？商家销售商品，如何确定定价，才能使利润达到最高？工程师设计管道，如何选择路径，才能使材料最省、成本最低？这些问题的核心，本质上都是“最值问题”——即在一定约束条件下，寻求某个量的最大值或最小值。 1.导语 我们已经学习了利用导数求解函数的极值和最值，那么如何将这些实际问题转化为我们熟悉的函数模型，并用导数工具解决呢？今天，我们就一起来学习《7.2 实际问题中的最值问题》，解锁导数在实际生活中的应用，学会用数学思维解决实际中的优化难题，让数学成为我们解决问题的“利器”。 师 生 互 动 返回主页 互动二：合作探究，求解最值 互动一：小组讨论，抽象建模 互动三：变式提问，深化理解 互动一：小组讨论，抽象建模 用长为12m的铁丝围成一个矩形，如何围才能使矩形的面积最大？ 呈现问题 第一步：分析问题，找出已知条件和所求目标（约束条件：铁丝总长12m；目标：矩形面积最大）。 分组任务 第二步：设未知数，建立函数模型（设矩形的一边长为x m，用x表示另一边长，进而写出面积S关于x的函数表达式）。 第三步：确定函数的定义域（结合实际意义，x的取值范围需满足矩形边长为正数）。 每组派代表分享建模过程，教师点评，纠正建模中的常见错误（如定义域遗漏、函数表达式写错），强调“实际问题中，函数定义域必须结合实际意义确定”。 成果展示： 互动二：合作探究，求解最值 承接互动一的矩形面积问题，小组合作完成： 求函数S(x)的导数S’(x)，令S’(x)=0，求出驻点。 判断驻点两侧导数的符号，确定函数的单调性和极值。 结合定义域，判断极值是否为最值，得出最终结论。 互动二：合作探究，求解最值 教师引导：当函数在定义域内只有一个极值点时，这个极值点就是函数的最值点（可结合函数图像辅助理解），这是实际问题中最值求解的常用结论。 互动三：变式提问，深化理解 若用长为12m的铁丝围成一个“矩形+等腰三角形”（三角形的底边与矩形的一边重合），如何围才能使总面积最大？ 变式问题 与第一个问题相比，建模时需要注意什么？定义域是否发生变化？ 小组快速讨论 总结：实际问题的约束条件变化，会导致函数模型和定义域的变化，求解时需先明确约束条件，再进行建模和求解。 探 求 新 知 返回主页 1.审题建模 2.求导分析 4.回归验证 3.判断最值： 5.关键提醒 6.常见模型： 1.审题建模 利用导数求解实际问题最值的一般步骤 实际问题中的最值问题，核心是将实际问题转化为数学函数模型，再利用导数求解函数最值，具体步骤如下，缺一不可： 明确问题中的约束条件（已知条件）和目标函数（要求最值的量），设合适的未知数，建立目标函数y=f(x)，同时结合实际意义，确定函数的定义域x∈[a,b]（这是实际问题与纯数学函数最值的关键区别，定义域必须符合实际场景）。 2.求导分析 求目标函数的导数f’(x)，令f’(x)=0，求出函数在定义域内的所有驻点（导数为0的点），同时注意检查定义域内的不可导点（若有），这些点都是可能的极值点。 3.判断最值： 若函数在定义域[a,b]内只有一个驻点（且无不可导点），结合实际问题的意义，该驻点对应的函数值即为所求最值（实际问题中，最值通常存在，且多为唯一极值点）； 若函数在定义域内有多个驻点或不可导点，需计算这些点以及定义域端点对应的函数值，比较大小后，最大的函数值为最大值，最小的为最小值。 4.回归验证 将求得的最值结果回归到实际问题中，验证其合理性（如边长、面积、利润等不能为负数，符合实际场景的约束），确保答案具有实际意义。 5.关键提醒 定义域优先：实际问题中，函数的定义域必须结合实际意义确定，忽略定义域会导致求解错误（如边长不能为负、产量不能为小数等）。 极值与最值的区别：极值是局部性质，最值是全局性质；实际问题中，若函数在定义域内单调，则最值在定义域端点取得；若有极值，则极值大概率为最值。 6.常见模型： 实际问题中常见的函数模型有二次函数、分式函数、幂函数等，建模时需根据题意合理选择未知数，简化函数表达式。 典 例 铺 路 例题1：几何类最值（矩形面积问题） 例题2：经济类最值（利润最大化问题） 例题3：工程类最值（材料最省问题） 例题1：几何类最值（矩形面积问题） 用长为20cm的铁丝围成一个矩形，求矩形面积的最大值，并求出此时矩形的边长。 规范解答： 解：第一步，建模设元，确定定义域。 设矩形的一边长为x cm，则另一边长为 cm（铁丝总长为周长，周长=2(长+宽)）。 设矩形面积为S(x)，则。 结合实际意义，边长为正数，故定义域为。 第二步，求导，找驻点。 求导得：，令，解得（驻点，且在定义域内）。 第三步，判断最值。 当时，，S(x)单调递增；当时，，S(x)单调递减。 因此，x=5时，S(x)取得极大值，也是定义域内的最大值。 第四步，计算最值，回归验证。 最大值 ，此时另一边长为10-5=5 cm，即矩形为正方形。 规范解答： 例题2：经济类最值（利润最大化问题） 某商家销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件x元（x≥20），根据市场调查，销售量y（件）与售价x（元）的关系为y=-10x+500，求该商家销售该商品的最大利润，并求出此时的售价。 解：第一步，建模设元，确定定义域。 利润L(x) = （售价-进价）×销售量，即。 展开得：。 结合实际意义，售价x≥20，销售量y≥0，即，解得x≤50，故定义域为。 第二步，求导，找驻点。 求导得：，令，解得（驻点，且在定义域内）。 规范解答： 第三步，判断最值。 当时，，L(x)单调递增；当时，，L(x)单调递减。 因此，x=35时，L(x)取得极大值，也是定义域内的最大值。 第四步，计算最值，回归验证。 最大利润元。 规范解答： 某公司生产某种产品，总成本函数为 （元），收入函数为 （元），其中 为产量（件）。求使利润最大的产量和最大利润。 利润函数为 。 定义域为 。求导得： 令 ，即 ，乘以 -10 得 。 解得： （精确计算：，略大，），取正根： 规范解答： 由于 为产量，需考虑整数或实际意义。计算二阶导数： 所以该点为极大值点。比较边界 和 很大时的趋势，但通常此点即为最大值点。取 ，计算利润： 先算 ，，则： 总和：。 故最大利润约为 1313.3 元，产量约为 25 件（可四舍五入取整，若取 ，计算得 元）。 规范解答： 某商品的需求函数为 ，其中 为价格（元）， 为需求量。生产该商品的固定成本为 5000 元，可变成本为每件 20 元。求使利润最大的价格和最大利润。 收入函数 。 成本函数 。 利润函数 。 定义域 。求导： 化简括号内： 规范解答： 二阶导数可判断极值类型：当 时，，；当 时，，所以 为极大值点。 计算最大利润： ，所以 ，减去 5000 得 7330 元。 故最优价格为 70 元，最大利润约为 7330 元。 规范解答： 例题3：工程类最值（材料最省问题） 某工厂要制作一个无盖的长方体水箱，底面为正方形，容积为108 ，求制作该水箱所需材料最省时，水箱的底面边长和高分别为多少？（不计材料损耗） 解：第一步，建模设元，确定定义域。 设水箱的底面边长为x m（x>0），高为h m，容积V=底面积×高，即，故。 无盖水箱的表面积（即所需材料面积）S(x) = 底面积 + 4个侧面积，即。 将代入，得，定义域为。 规范解答： 第二步，求导，找驻点。 求导得：，令，即，解得，（驻点，且在定义域内）。 第三步，判断最值。 当时，，S(x)单调递减；当时，，S(x)单调递增。 因此，x=6时，S(x)取得极小值，也是定义域内的最小值。 第四步，计算高，回归验证。 当x=6时， m。 答：制作该水箱所需材料最省时，底面边长为6 m，高为3 m。 规范解答： 随 堂 演 练 返回主页 【1】 用长为16m的铁丝围成一个矩形，求矩形面积的最大值，并求出此时矩形的长和宽。 【1】 解：设矩形的长为x m，则宽为 m，面积，定义域。 求导：，令，得x=4。 当x∈(0,4)时，S’(x)>0，S(x)递增；x∈(4,8)时，S’(x)<0，S(x)递减。 最大值 ，此时长和宽均为4 m（正方形）。 答：矩形面积最大值为16 ，此时长和宽均为4 m。 【2】 某商品进价为每件15元，售价为每件x元（x≥15），销售量y与售价x的关系为，求最大利润及对应售价。 【2】 解：利润，定义域（由y≥0得x≤60）。 求导：，令，得x=37.5。 当x∈[15,37.5)时，L’(x)>0，L(x)递增；x∈(37.5,60]时，L’(x)<0，L(x)递减。 最大利润元。 【3】 一个无盖的圆柱形容器，容积为 ，求制作该容器所需材料（侧面积+底面积）最省时，圆柱的底面半径和高分别为多少？ 【3】 解：设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，容积，故。 材料面积，定义域。 求导：，令，得，（约2.92 cm）。 当r∈(0,)时，S’(r)<0，S(r)递减；r∈(,+∞)时，S’(r)>0，S(r)递增。 此时 cm，即底面半径和高相等，均为 cm。 【4】 用长为12m的铁丝围成一个矩形，若矩形的一边长为3m，则面积为______ ；若要使面积最大，边长应为______ m。 【5】 www 随 堂 检 测 返回主页 【1】 （中档题，6分）某服装店销售一批服装，每件进价为80元，售价为x元（x≥80），销售量y（件）与售价x的关系为，求该服装店销售这批服装的最大利润。 【1】 解：利润（2分），定义域（由y≥0得x≤100）（1分）。 求导：，令，得x=90（1分）。 判断单调性：x∈[80,90)时，L(x)递增；x∈(90,100]时，L(x)递减（1分）。 最大利润元（1分）。 【2】 某公司生产一种产品，其价格与销量的关系为 （元），成本函数为 （元），求使利润最大的产量和最大利润。 【2】 解： 收入 。 利润 。 求导：。 令 得 ，乘以1000得 。 解得： 【2】 二阶导数 ，所以为极大值点。 计算利润： ，（注意：112.22^3 = 112.22 * 12593 ≈ 1413400），则： 总和： 元。 故最大利润约为 4123 元，产量约为 112 件。 课 堂 小 结 返回主页 1 2 3 4 认真领会 （一）核心知识回顾 （二 ）思想方法总结 （一）核心知识回顾 实际问题最值的本质：将实际问题转化为函数模型，利用导数求解函数在定义域内的最值，核心是“建模→求导→判断→验证”。 55 关键步骤：审题建模（确定约束条件和目标函数，明确定义域）、求导找驻点、判断单调性与极值、回归实际验证。 56 常见模型：几何类（面积、体积、周长最值）、经济类（利润、成本最值）、工程类（材料最省、效率最高），建模时需根据题意合理设元，简化函数表达式。 57 常见模型：几何类（面积、体积、周长最值）、经济类（利润、成本最值）、工程类（材料最省、效率最高），建模时需根据题意合理设元，简化函数表达式。 58 易错点提醒 忽略定义域：实际问题中，函数的定义域必须结合实际意义确定，如边长、售价、产量等不能为负数，否则会导致求解错误。 混淆极值与最值：实际问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，该极值点即为最值点；若有多个极值点，需比较极值与端点值。 建模错误：未能正确找到目标函数与约束条件的关系，如利润、面积、表面积的表达式写错，导致后续求解全部出错。 59 （二 ）思想方法总结 建模思想：将实际问题转化为数学问题，用数学工具（导数）解决实际问题，体现“数学源于生活、用于生活”。 转化化归思想：将复杂的实际问题转化为熟悉的函数最值问题，将未知问题转化为已知问题（如将材料最省问题转化为表面积函数的最值问题）。 分类讨论思想：当函数有多个驻点或定义域包含端点时，需分类讨论，比较不同点的函数值，确定最值。 60 $