2.7.1-2.7.2 实际问题中导数的意义 实际问题中的最值问题-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的应用，涵盖实际问题中导数的意义及最优化问题。通过河流海拔变化、无盖水箱设计等问题导入，衔接导数概念与实际应用，以课前自主学习（导学问题）、课堂互动探究（题型分析）为支架，构建从具体实例到数学抽象的学习脉络。 其亮点在于以问题驱动教学，结合数学建模、数学运算等核心素养，通过经济利润最大化、立体几何包装盒容积等实例，引导学生将实际问题转化为函数模型并利用导数求解。设置基础自测、易错题辨析及分层题型，帮助学生强化应用能力，教师可借助系统资源提升教学效率，促进学生数学思维与实践能力的发展。

第二章　导数及其应用 §7　导数的应用 7．1　实际问题中导数的意义 7．2　实际问题中的最值问题 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学1 实际问题中导数的意义 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 路程关于时间 功关于时间 速度关于时间 生产成本关于产量 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 导学2 实际问题中的最值问题 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 最优化 工具 导函数 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　导数及其应用 数学•选择性必修　第二册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.利用导数的概念，能解释实际问题中导数的意义．(难点) 2．能利用导数解决生活中的最优化问题． 1.通过实际问题中导数意义的应用，培养数学抽象、数据分析等核心素养． 2．通过利用导数解决最优化问题，提升数学建模、数学运算等核心素养． 　设x(单位：km)表示从一条河流的某一处到其源头的距离，y(单位：km)表示这一点的海拔高度，y与x的函数关系为y＝f(x).若函数y＝f(x)在x＝100处的导数f′(100)＝－0.1，试解释它的实际意义． [提示]　f′(100)＝－0.1表示河流从源头流到100 km处时海拔高度的瞬时变化率，也就是说如果保持这一速度，那么每经过1 km，海拔高度将下降0.1 km. ◎结论形成 实际问题中导数的意义 在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．在物理学中，速度是________________的导数，功率是_____________的导数，加速度是________________的导数；在经济学中，边际成本是___________________的导数． 　做一个容积为256 m3的方底的无盖水箱，如何设计，所用材料最省？ [提示]　设水箱的底面边长为x m，高为h m， 则有x2h＝256，所以h＝ eq \f(256,x2). 用料总面积S＝x2＋4× eq \f(256,x2)×x＝x2＋ eq \f(256×4,x)， 所以S′(x)＝2x－ eq \f(256×4,x2)， 令S′(x)＝0得x＝8. 当x∈(0，8)时，S′(x)＜0. 当x＞8时，S′(x)＞0， 所以当x＝8时，S(x)取得极小值，也是最小值S(8). 故当水箱底面的边长为8 m，高为4 m时，这样的水箱用料最省． ◎结论形成 1．常见最优化问题 在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为_________问题．导数是解决最优化问题的一个重要______． 2．边际成本 在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的_________称为边际成本． [拓展]　用导数解决生活中最优化问题的基本思路 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间x(单位：s)的函数关系为y＝f(x)，那么f′(2)＝1的实际意义为当x＝2 s时，水流的瞬时速度为1 m3/s，也就是说如果保持这一速度，每经过1 s水管中流过的水量为1 m3.(　　) (2)生活中的实际优化问题必须利用导数解决．(　　) (3)在解决实际优化问题时，若函数在其定义域的开区间上只有一个极值点，则极值点就是最值点.(　　) (4)求解实际优化问题时，必须考虑变量的实际意义，从而确定其取值范围．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．如果某物体的运动路程s与时间t满足函数s＝2t2＋3t(s的单位为m，t的单位为s)，则物体在5 s末的瞬时速度为(　　) A．27 m/s　　　　　　 B．20 m/s C．25 m/s D．23 m/s 解析　因为s′＝4t＋3， 所以当t＝5时，瞬时速度为4×5＋3＝23(m/s). 答案　D 3．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为(　　) A．1∶2　 B．1∶π　　 C．2∶1　 D．2∶π 解析　设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝ eq \f(6－x,2π)， 圆柱体积V＝π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x,2π))) eq \s\up12(2)·x ＝ eq \f(1,4π)(x3－12x2＋36x)(0＜x＜6)， V′＝ eq \f(3,4π)(x－2)(x－6)， 所以当x＝2时，V最大． 此时底面周长为4，底面周长∶高＝4∶2＝2∶1. 答案　C 4．某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，且y＝f(x)＝ eq \r(3,x). (1)求f′(27)的值； (2)解释f′(27)的实际意义． 解析　(1)f′(x)＝ eq \f(1,3)x－ eq \f(2,3)， f′(27)＝ eq \f(1,3)×27－ eq \f(2,3)＝ eq \f(1,27)(m3/min). (2)f′(27)的实际意义为当时间为27 min时， 水流量增加的速度为 eq \f(1,27) m3/min， 也就是当时间为27 min时，每增加1 min，水流量增加 eq \f(1,27) m3. 题型一　实际问题中导数的意义 　[教材例1、例3迁移]某厂生产某种产品x件的成本f(x)＝120＋ eq \f(x,10)＋ eq \f(x2,100)(单位：元). (1)当x从200变到220时，成本f(x)关于产量x的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？ (2)求f′(200)，并解释它的实际意义． [解析]　(1)当x从200变到220时，成本f(x)从f(200)＝540元变到f(220)＝626元． 此时成本f(x)关于产量x的平均变化率为 eq \f(f(220)－f(200),220－200)＝ eq \f(86,20)＝4.3(元/件)， 它表示产量从x＝200件到x＝220件变化时，平均每件的成本为4.3元． (2)首先求f′(x)，根据导数公式和求导法则可得f′(x)＝ eq \f(1,10)＋ eq \f(x,50)，于是f′(200)＝ eq \f(1,10)＋4＝4.1(元/件). 它表示当产量为200件时，成本增加的速度为4.1元/件． 也就是说，保持这一增速，当产量为200件时，每增加1件产品，成本就要增加4.1元． 1．在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．如速度是路程关于时间的导数． 2．边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本.　 [触类旁通] 1．一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数为y＝f(x)＝ eq \f(x2,20)＋4 eq \r(x). (1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的意义． 解析　(1)当x从1 h变到4 h时，产量y从f(1)＝ eq \f(81,20) g变到f(4)＝ eq \f(176,20) g，此时平均变化率为 eq \f(f(4)－f(1),4－1)＝ eq \f(\f(176,20)－\f(81,20),3)＝ eq \f(19,12)(g/h)， 它表示从1 h到4 h这段时间这名工人平均每小时生产 eq \f(19,12) g产品． (2)f′(x)＝ eq \f(x,10)＋ eq \f(2,\r(x))，于是f′(1)＝ eq \f(21,10)(g/h)，f′(4)＝ eq \f(7,5)(g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这名工人的生产速度为 eq \f(21,10)(g/h)和 eq \f(7,5)(g/h). 题型二　经济生活中的最值问题 　[教材例5拓展]某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件． (1)求分公司一年的利润L(单位：万元)与每件产品的售价x的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出利润L的最大值Q(a). [解析]　(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)(12－x)2， x∈[9，11]. (2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x) ＝(12－x)(18＋2a－3x). 令L′(x)＝0得x＝6＋ eq \f(2,3)a(x＝12不合题意，舍去). 因为3≤a≤5，所以8≤6＋ eq \f(2,3)a≤ eq \f(28,3). 在x＝6＋ eq \f(2,3)a两侧L′(x)的值由正变负． ①当8≤6＋ eq \f(2,3)a≤9，即3≤a≤ eq \f(9,2)时， Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a). ②当9＜6＋ eq \f(2,3)a≤ eq \f(28,3)，即 eq \f(9,2)＜a≤5时， Lmax＝L eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(2,3)a))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(2,3)a－3－a)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(2,3)a)))) eq \s\up12(2) ＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)a)) eq \s\up12(3). 所以Q(a)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9(6－a)，3≤a≤\f(9,2)，,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)a))\s\up12(3)，\f(9,2)＜a≤5.)) 因此，若3≤a≤ eq \f(9,2)，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值为9(6－a)万元； 若 eq \f(9,2)＜a≤5，则当每件售价为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(2,3)a))元时，分公司一年的利润L最大，最大值为4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)a)) eq \s\up12(3)万元． 利润问题是经济生活中最为常见的问题．一般来说，利润L等于总收入减去总成本，而总收入等于(正品)产量乘价格．由此可以得到利润L与产量的函数关系式，进而用导数求最大利润． 另外，如果依据条件所确定的函数关系中含有参数a，在解决问题时，一定要根据实际情况确定分类标准，对参数a进行讨论，做到不重不漏．　 [触类旁通] 2．(2025·济南一中高二期末)高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N＋.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时，高铁为满载状态，载客量为1 200人；当2≤t＜10时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．设发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t). (1)求P(t)的表达式； (2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益(单位：元)Q(t)＝ eq \f(t,5)P(t)－40t2＋660t－2 048，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益 eq \f(Q(t),t)最大？最大为多少？ 解析　(1)当2≤t＜10时，减少的人数与(10－t)2成正比，设比例系数为k， 所以P(t)＝1 200－k(10－t)2，2≤t＜10， 当t＝5时，P(5)＝950， 即1 200－k(10－5)2＝950， 解得k＝10， 所以P(t)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1 200－10(10－t)2，2≤t＜10，,1 200，10≤t≤20.)) (2)由题意可得 Q(t)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(700t－2 048－2t3，2≤t＜10，,900t－40t2－2 048，10≤t≤20.)) 所以 eq \f(Q(t),t)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(700－2t2－\f(2 048,t)，2≤t＜10，,900－40t－\f(2 048,t)，10≤t≤20.)) 令H(t)＝ eq \f(Q(t),t)，当2≤t＜10时，H′(t)＝－4t＋ eq \f(2 048,t2)＝ eq \f(2 048－4t3,t2)， 令H′(t)＝0，得t＝8. 当2≤t＜8时，H′(t)＞0， 当8＜t＜10时，H′(t)＜0， 所以H(t)的最大值为H(8)＝316. 当10≤t≤20时，H′(t)＝－40＋ eq \f(2 048,t2)＜0， 所以H(t)的最大值为H(10)＝295.2， 因为295.2＜316，所以当t＝8时，单位时间的净收益最大，为316元． 综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间的净收益最大，为316元． 题型三　立体几何中的最值问题 　[教材例4拓展]请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位：cm2)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(单位：cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [解析]　(1)由题意知，包装盒的底面边长为 eq \r(2)x，高MF为 eq \r(2)(30－x)，所以包装盒侧面积为 S＝4 eq \r(2)x× eq \r(2)(30－x)＝8x(30－x)≤8× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋30－x,2))) eq \s\up12(2)＝8×225， 当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S(单位：cm2)最大，则x的值为15 cm. (2)包装盒容积 V＝2x2× eq \r(2)(30－x)＝－2 eq \r(2)x3＋60 eq \r(2)x2(0＜x＜30)， 所以V′＝－6 eq \r(2)x2＋120 eq \r(2)x＝－6 eq \r(2)x(x－20).令V′＞0得0＜x＜20；令V′＜0得20＜x＜30，所以当x＝20时包装盒容积V取得最大值，此时底面边长为20 eq \r(2) cm，高为10 eq \r(2) cm，包装盒的高与底面边长的比值为 eq \f(1,2). [素养聚焦]　本例通过导数解决最优化问题，重点提升数学建模、直观想象等核心素养． 立体几何中的最值问题，往往涉及几何体的表面积、体积，处理这类问题一般是通过分析题意，合理利用相关公式(如体积)，建立变量之间的函数关系，转化为利用导数求函数的最值问题．如果函数在开区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求的最值．　 [触类旁通] 3．(2025·天津名校高二联考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 解析　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝ eq \f(1,5r)(300－4r2)， 从而V(r)＝πr2h＝ eq \f(π,5)(300r－4r3). 由题意得r＞0，又由h＞0可得r＜5 eq \r(3)， 故函数V(r)的定义域为(0，5 eq \r(3)). (2)因为V(r)＝ eq \f(π,5)(300r－4r3)， 所以V′(r)＝ eq \f(π,5)(300－12r2). 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去). 当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数； 当r∈(5，5 eq \r(3))时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，5 eq \r(3))上为减函数． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5米，h＝8米时，该蓄水池的体积最大． [缜密思维提能区] 易错案例 忽视变量的取值范围或实际意义致误 [典例]　某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)的函数为R(x)＝5x－ eq \f(1,2)x2(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台). (1)把利润y表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ [错解]　(1)由题意知，成本函数 C(x)＝0.5＋0.25x，所以y＝R(x)－C(x) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,2)x2))－(0.5＋0.25x) ＝－ eq \f(1,2)x2＋ eq \f(19,4)x－ eq \f(1,2)(0≤x≤5). (2)当y′＝－x＋ eq \f(19,4)，令y′＝0，得x＝ eq \f(19,4)＝4.75， 所以4.75必为最大值点． 所以当年产量为475台时，工厂所得利润最大． [正解]　(1)利润y＝R(x)－C(x) ＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(x2,2)))－(0.5＋0.25x)，0≤x≤5，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×5－\f(52,2)))－(0.5＋0.25x)，x＞5)) ＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－0.5x2＋4.75x－0.5，0≤x≤5，,12－0.25x，x＞5.)) (2)当0≤x≤5时，y＝－0.5x2＋4.75x－0.5， y′＝－x＋4.75， 所以当x＝4.75时，ymax≈10.78 万元； 当x＞5时，y＝12－0.25x＜12－0.25×5＝10.75(万元)， 所以当年产量是475台时，工厂所得利润最大． [纠错心得]　错解中忽视了对年产量x的讨论，因为市场对该产品的年需求量为500台，所以当年产量x大于500台时，利润与x的关系不同于当年产量x小于500台时，应使用分段函数表示，分段求解．故在利用导数解决实际优化问题时，也要注意对变量取值范围的分析，应结合实际意义确定变量的取值范围． 知识落实 技法强化 (1)实际问题中导数的意义． (2)实际生活中最优化问题． (1)对于求分段函数及含参数的函数的最值注意常用分类讨论法． (2)对函数的定义域要结合实际问题而定． $