2.7.1实际问题中导数的意义课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 导数及其应用 第7节 导数的应用 7.1 实际问题中导数的意义 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解实际问题中导数的意义. 1、了解实际问题中导数的意义. 1、了解实际问题中导数的意义. 2 新 知 引 入 1、在数学中,称_______________为函数y=f(x）在点x0处的导数。 2、函数y=f(x)在x0处的导数f＇(x0)的几何意义是： ___________________________________________________. 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 瞬时变化率 新 知 引 入 导数来源于生活，服务于生活。实际生活中，有许多词语与导数有关，如物理上的功与功率，线速度，加速度，还有生活中常听说的降雨强度、边际成本等。 这节课，我们就来研究一下实际问题中导数的含义。 学 习 新 知 功：是物理学中的基本概念，指作用在物体上的力，使物体在力的方向上发生一段位移，就说这个力对物体做了功，也叫机械功。 功率：是物理学中一个重要的概念，用来描述单位时间内所做功的多少，即力与速度的乘积，衡量的是物体在单位时间内完成的工作能力，即衡量做功的速度。 做功(W)与时间(t)的函数表达式为W=f(t), 则导数f＇(t)即为功率的值. 典 例 引 路 例1、如图,某人拉动一个物体前进,他所做的功W(单位:J)是时间t(单位:s)的函数，设这个函数可以表示为 ：W=W(t)=t3-6t2 +16t. (1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求W＇(1),W＇(2),并解释它们的实际意义. 解：(1)当t从1s变到3s时，功W从W(l) = ll J变到W(3) = 21 J, 此时功W关于时间t的平均变化率为 = =5 (J/s) 它表示从1 s到3 s这段时间内,这个人平均每秒做功5 J. (2)首先求W'(t).根据导数公式表和导数的运算法则，可得 W＇(t) = 3t2-12t+16. 于是 W＇(l)=7 J/s,W＇(2)=4 J/s. W'⑴和W'(2)分别表示t=1 S和t=2 S时，这个人每秒做的功为7 J和4 J. 学 习 新 知 边际成本:在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本. 生产成本(y)与产量(x)的函数表达式为y=f(x), 则导数f＇(x)即为边际成本的值. 同 步 练 习 练1、建造一幢面积为x(单位:m2)的房屋需要成本y(单位:万元)，y与x的函数关系为 y =f(x)= + + 0.3. (1)当x从100 m2变到120 m2时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率是多少? 它代表什么实际意义？(结果精确到0.001万元/m2) (2)求f＇(100)并解释它的实际意义. 解:(1)当x从100 m2变到120 m2时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率为 ≈0.105(万元/m2). 它表示在建筑面积从100 m2增加到120 m2的过程中，每增加1 m2的建筑面积， 建筑成本平均约增加1050元. （2）f＇(x)=. 于是f＇(100)==0.105（万元/m2）. f＇(100)表示当建筑面积为100 m2时,成本增加的速度为1050元/m2, 也就是说，保持这一增速，当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积， 成本就要增加 1050 元. 学 习 新 知 降雨强度:在气象学中,通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度.它是反映一次降雨大小的一个重要指标. 降雨量(y)与时间(t)的函数表达式为y=g(t), 则导数g＇(t)即为降雨强度的值. 典 例 引 路 例2、下表为一次降雨过程中一段时间内记录的降雨量数据. 时间t(min) 0 10 20 30 40 50 60 降雨量y(mm) 0 10 14 17 20 22 24 显然,降雨量y(单位:mm)是时间t(单位:min)的函数，用y=f(t)表示. (1)分别计算当t从0 min变到10 min,从50 min变到60 min时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义; (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为f(t) = , 求f'(40)并解释它的实际意义. 解：(1)当t从0min变到10min时，降雨量y从0mm变到10mm,此时,降雨量y关于时间t的平均变化率为 = = 1 (mm/min)它表示从0min到10min这段时间内,平均每分钟降雨量为1mm. 当t从50min变到60min时,降雨量y从22mm变到24mm,此时,降雨量y关于时间t的平均变化率为 = =0.2 (mm/min)它表示从50min到60min这段时间内, 平均每分钟降雨量为0.2 mm. l＞0.2,说明这次降雨过程中，刚开始的10 min比后10 min的雨下得大. 典 例 引 路 解：(2) . 将t=40代入,得(mm/min). 表示当t=40 min时,降雨量y关于时间t的瞬时变化 率(即瞬时降雨强度)为0.25 mm/min. 例2、下表为一次降雨过程中一段时间内记录的降雨量数据. 时间t(min) 0 10 20 30 40 50 60 降雨量y(mm) 0 10 14 17 20 22 24 显然,降雨量y(单位:mm)是时间t(单位:min)的函数，用y=f(t)表示. (1)分别计算当t从0 min变到10 min,从50 min变到60 min时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义; (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为f(t) = , 求f'(40)并解释它的实际意义. 学 习 新 知 污染物浓度：是指单位体积内所含污染物的量。污染物浓度越高，表明该区域的环境质量越差。污染物浓度达到一定的指标时会对生物体产生致命的伤害。 同 步 练 习 练2、（多选题）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值S(x)= , x∈[0,1], a＞0.其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数（a越大，灵敏度越高)，则（     ） A. S(x)过定点（，） B. S(x)在污染物浓度区间[0,1]上单调递增 C. S(x)关于x= 对称 D. 取定x的值（0＜x＜）,灵敏度越高，监测值越大 解：易知A正确 对于B.由S＇(x)= ≥0,知S(x)在区间[0,1]上单调递增。 对于C.由于S(x)在区间[0,1]上单调递增，所以不对称。 对于D.以a为自变量，设T(a)=S(x), 则T＇(a)=·ln()＜0 ∴随着a的增大，S(x)减小。 AB 学 习 新 知 位移：是表示质点位置变化的物理量。 位移(s)与时间(t)的函数表达式为s=f(t), 则导数f＇(t)即为速度. 典 例 引 路 例3、有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为 s(t)=5- ,求函数s(t)在 t= 时的导数，并解释它的实际意义． 解：∵ s＇(t)= - ·(-18t)= ∴ s＇() = 它表示当 t = s 时，梯子下滑的速度是 m/s. 同 步 练 习 练3、某质点沿直线运动，位移y（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为y(t)=3t2+2t+3，则该质点在t=2秒时的瞬时速度是___________米/秒. 解:因为y(t)=3t2+2t+3， 所以y＇(t)=6t+2， 当t=2时，y＇(2)=14（米/秒）. 学 习 新 知 速度：初中的定义：物体在单位时间内通过的路程的多少，叫做速度。（速度在数值上等于运动物体在单位时间内通过的路程） 高中的定义：速度等于位移和发生位移所用时间的比值。物理意义：速度是描述物体运动快慢的物理量。 速度(v)与时间(t)的函数表达式为v=f(t), 则导数f＇(t)即为加速度. 典 例 引 路 例4、一辆正在加速的汽车在5s内速度从0km/h提高到了90km/h．下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了m/s，时间单位为s． 时间t(s) 0 1 2 3 4 5 速度v(m/s) 0 9 15 21 23 25 (1)分别计算当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义； (2)根据上面的数据，可以得到速度v关于时间t的函数近似表示式为v=v(t)=-t2+10t，求v＇(1)，并解释它的实际意义． 典 例 引 路 解:（1）当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率分别为 = 9 m/s2 , = 2 m/s2. 它们分别表示在相应的时间内，时间每经过1s，速度增加9m/s和2m/s， 也就是加速度分别为9m/s2,2m/s2.. （2）∵v＇(t)=-2t+10，∴v＇(1)=8m/s2 ， 它的意义是在t=1s这一时刻，每过1s，汽车的速度增加8m/s，也 就是这一时刻汽车的加速度为8m/s2.. 同 步 练 习 练4、已知物体运动的速度（单位：m/s）与时间t（单位：s）之间的关系为v(t)=t2+2t+2，则该物体在时间段[1,1+△t]内的平均加速度是       m/s2， 在t=1s时的瞬时加速度是      m/s2． 解：物体在时间段[1,1+△t]内的平均加速度是： = = (△t+4) (m/s2) ∵v＇(t)=2t+2 ∴v＇(1)=4 ∴物体在t=1s时的瞬时加速度是4m/s2. 同 步 练 习 全 课 总 结 一、实际问题中导数的意义. 功率 边际成本 降雨强度 速度 加速度 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $