2.7.1实际问题中导数的意义、2.7.2实际问题中的最值问题课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.7.1 实际问题中导数的意义 &2.7.2 实际问题中的最值问题 北师大版(2019)选择性必修二 作者编号：、32200 1.了解实际问题中导数的意义. 2.能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 学习目标 作者编号：、32200 例1 物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝gt2(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2). (1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义； (2)求s′(2)，并解释它的意义. 解：(1)当t从2 s变到4 s时，位移s从s(2)变到s(4)， 此时，位移s关于时间t的平均变化率为 它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m. 新知讲授 作者编号：、32200 例1 物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝gt2(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2). (2)求s′(2)，并解释它的意义. (2)∵s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s). 它表示物体在t＝2 s时的瞬时速度为19.6 m/s. 新知讲授 作者编号：、32200 归纳总结 在物理学中： (1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度. (2)功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数. (3)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数. 新知讲授 作者编号：、32200 解：当x从10件提高到20件时， 总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元. 其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量. 例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品 的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2 050.求当日产量 由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义. 新知讲授 作者编号：、32200 例3 如图所示，先有一块边长为1.2 m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相同的小正方形，然后做成一个长方形的无盖容器，则容器的容积V m3 立方是截下的小正方形边长x m的函数. (1)写出函数解析式； (2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？ 新知讲授 作者编号：、32200 例3 容器的容积V m3 立方是截下的小正方形边长x m的函数. (1)写出函数解析式； 解：(1)根据题意可知，容器底面的边长为(1.2m，高为m ，于是 又因为显然的长度必须小于原有正方形铁板的一半，因此， 所以. 注意：函数的单调区间应联系问题的实际意义确定. 新知讲授 作者编号：、32200 例3 容器的容积V m3 立方是截下的小正方形边长x m的函数. (2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？ (2)由题意有 . 令可解得 因此可知在上递增，在上递减， 故在时取得极大值，而且在此时取得最大值. 即截去的正方形边长为m时，容器的容积最大. 新知讲授 作者编号：、32200 利用导数解决实际问题的一般步骤： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式，标明自变量的取值范围； (2)求导数 并解方程，即求出函数可能的极值点； (3)比较函数在区间端点的函数值与极值的大小，得出函数最值； (4)根据实际问题的意义，给出相应答案. 归纳总结 作者编号：、32200 例4 已知某种工艺品总成本C元是产量Q件的函数，且 将Q看成能取区间[1， 30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？ 新知讲授 作者编号：、32200 解：记平均成本为元，则 = 因为时，有 令，可解得 因此可知在上递减，在上递增，从而在 Q=10时取得极小值，而且在此事取得最小值 = 及当月产量为10万件，是每件产品的平均成本最低最低为400元. 新知讲授 作者编号：、32200 1.(多选)下列四个命题是假命题的是( ) A.曲线y＝x3在原点处没有切线 B.若函数f(x)＝，则f′(0)＝0 C.加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数 D.函数y＝x5的导函数的值恒非负 ABC 随堂检测 作者编号：、32200 2.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2 (0<x<60)，则当箱子的容积最大时，x的值为(　 　) A.30 B.40 C.50 D.60 B 3.已知某厂生产某种商品x(百件)的总成本函数为C(x)=x3-6x2+29x+15(万元)，总收益函数为R(x)=20x-x2(万元)，则生产这种商品所获利润的最大值为______万元. 66 随堂检测 作者编号：、32200 4.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站　　　千米处.  5 随堂检测 作者编号：、32200 课堂总结 作者编号：、32200 ＝＝9.8×3＝29.4(m/s). 此时总成本的平均改变量为＝67.5(元/件)， 导数的应用 $$