21.3.3 正方形 同步练习 2025-2026学年 人教版数学 八年级下册

正方形 一、单选题 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形，矩形，菱形的性质，逐一判断即可解答． 【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形， ∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确， ∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确， 综上，正确的结论共有4个． 2．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据正方形性质得，在中，，根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：四边形为正方形， ， 在中，， ． 故选：． 3．如图，点E在正方形内，连接、，，于点F，若，，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得出，，根据线段间的数量关系，求出的长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 4．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【答案】B 【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B． 5．正方形的一条对角线长为8，则正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．32 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形面积公式，解题的关键是掌握菱形面积公式（对角线乘积的一半）．根据正方形是特殊菱形的性质，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：∵ 正方形是特殊的菱形，对角线相等且互相垂直， ∴ 正方形面积 ， 故选：C． 6．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和同角的余角相等进行解答即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴ 7．下列说法中不正确的是（  　　 ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【详解】A、B、C选项的说法均正确． 对于D选项，只有特殊的矩形（正方形）的对角线互相垂直且平分，其他的矩形的对角线互相平分但不垂直． 8．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，平分， 又∵， ∴四边形是菱形； A：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； B：四边形是菱形，当时，四边形是正方形，故该选项符合题意； C：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； D：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意． 故选：B ． 9．如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A．当时，四边形是矩形，不一定是菱形，原说法错误； B．当时，四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误； C．当时，四边形是菱形，不一定是矩形，原说法错误； D．当时，四边形是矩形，说法正确． 10．如图，正方形的边长为，的坐标为，平行于轴，则点的坐标为(      )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的边长加上点的横坐标得到点的横坐标，正方形的边长加上点的纵坐标得到点的纵坐标，从而得解． 【详解】解：正方形的边长为，点的坐标为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 二、填空题 11．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，已知四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形进行添加条件即可． 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 12．如图，在正方形中，沿虚线剪去，则__________°． 【答案】 【分析】根据外角的性质再结合三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图， ，， ． 13．如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 【答案】正方形 【分析】由作图可知，四边形为菱形，证明，，即得四边形为正方形． 【详解】由作图可知，， 四边形为菱形， ，， ， ， 四边形为正方形． 14．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形是平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 15．如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 16．如图，已知正方形的边长为8，在上，，是上的一动点，则的最小值为___． 【答案】 【分析】连接，，根据点与点关于对称和正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点关于的对称点是点． 连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小． ∵，正方形的边长为8， ∴，． 由， ∴． 又∵点与点关于对称， ∴且平分． ∴． ∴． ∴的最小值是． 三、解答题 17．如图，点M，N分别是正方形的边，上的点，且，与交于点P，试探索与的关系．并加以证明． 【答案】，，理由见解析 【分析】由正方形的性质得出，，证明≌，得出对应边相等即可；由全等三角形的性质得出，由角的互余关系得出，即可得出． 【详解】解：，；理由如下： 四边形是正方形 ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 18．如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由正方形的性质，结合同角的余角相等，证明，即可证得结论； （2）延长、，交于点，由三角形全等的性质，可得，证明，可得点是的中点，由直角三角形斜边中线的性质，即可得线段与之间的关系． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，理由： 在正方形中，，， 延长、，交于点，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴． 19．如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形是矩形；再结合等腰直角三角形中是中点，利用等腰直角三角形的性质推导，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形． （2）因为四边形是正方形，所以与正方形的边长有关；先根据和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算的长度． 【详解】（1）证明：∵ ，，， ∴ ， ∴四边形是矩形． 连接，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形． （2）解：∵ ，∴ ， 由（1）可知是中点、是中点， ∴ ，． 在中，，由勾股定理得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 正方形 一、单选题 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点E在正方形内，连接、，，于点F，若，，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 4．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 5．正方形的一条对角线长为8，则正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．32 D．4 6．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 7．下列说法中不正确的是（  　　 ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直且平分 8．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 10．如图，正方形的边长为，的坐标为，平行于轴，则点的坐标为(      )    A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 12．如图，在正方形中，沿虚线剪去，则__________°． 13．如图，，小萱分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧分别相交于点，，顺次连接，，，，则四边形的形状为__________． 14．如图，中，，，将△ABC沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为________． 15．如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 16．如图，已知正方形的边长为8，在上，，是上的一动点，则的最小值为___． 三、解答题 17．如图，点M，N分别是正方形的边，上的点，且，与交于点P，试探索与的关系．并加以证明． 18．如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 19．如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $