精品解析：江苏阜宁中学2025-2026学年高一下学期第一阶段学情调研数学试卷

2026年春学期高一年级第一阶段学情调研 数学试卷 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式把余弦化为正弦，再利用余弦和角公式计算求解． 【详解】， ，故C正确． 故选：C． 2. 如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件得出，利用平面向量的减法化简可得出关于、的表达式. 【详解】在中，是线段上的靠近的三等分点，则， 即，解得. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】解：因为，所以，又， 所以， 所以 故选：D 4. 在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理，结合已知条件求出，的值，进而得到的值. 【详解】由题意可知，为中点，，， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以， 设，则， ， 所以，解得，， 则，即， 则. 5. 已知，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可. 【详解】. 故选：B 6. 中，角，，所对的边分别为，，，下列条件中能确定三角形有唯一解的有（ ）个 （1），， （2），， （3），， （4），， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理即可判断（1）（2）；利用余弦定理即可判断（3）（4）. 【详解】对于（1），，，，由正弦定理得， 因为且为锐角，所以只有一解， 对于（2），，，，因为， 所以三角形有两个解； 对于（3），，，， 由余弦定理可得， 则，唯一，所以三角形有唯一解； 对于（4），，，， 由余弦定理可得， 所以唯一，同理唯一，所以三角形有唯一解， 综上，（1）（3）（4）有唯一解，共3个. 7. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得. 【详解】在中，，， 故，， 在中，，， ， 由正弦定理得，， 所以. 8. 在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 由，得, 所以， ， ， 由，得， 所以，又，所以． 由，得， 所以 ， 由为锐角三角形，得，所以，解得， 由，得，所以． 所以，即 二、多选题 9. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用两角差的正切公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式结合诱导公式可判断C选项；利用两角差的余弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，因为， 所以，，B对； 对于C选项， ，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：BD. 10. 已知平面非零向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数 B. 若存在非零向量使得，则 C. 已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是 D. 已知向量，，则在上的投影向量是（0，1） 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，由共线向量定理列方程直接求解；对于B选项，可判断出；对于C选项，取特殊值时， ，的夹角为，否定结论；对于D选项，直接求出在上的投影向量，即可判断. 【详解】对于A选项，由共线向量定理列方程，，所以，解得：或，则实数.故A选项正确. 对于B选项，因为，所以，即.故B错误； 对于C选项，当时，，，此时与，的夹角是钝角矛盾，C选项错误. 对于D选项，在上的投影向量是，D选项正确. 故选：AD. 11. 在中，角、、所对的边分别是、、，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 C. 若 ，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，则三角形的面积最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可判断A选项；利用正弦定理可得出，求出角的取值范围，结合正切函数的基本性质可判断B选项；利用余弦定理以及正弦定理推导出，再结合为锐角三角形求出角的取值范围，可判断C选项；利用余弦定理以及基本不等式可求得的最大值，结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理可得， 因为，则，故，可得，A错； 对于B选项，因为，且为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理可得， 因为，则，则， 所以，，B对； 对于C选项，因为， 由余弦定理可得，所以，， 则， 由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，则，可得， 因为，则， 因为正弦函数在上单调递增，所以，，则， 所以，，解得，C对； 对于D选项，若，由余弦定理可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，，故面积的最大值为，D错. 故选：BC. 三、填空题 12. 若，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式可得，提取化简即可求解. 【详解】 . 故答案为：0 【点睛】本题考查了两角和的余弦公式、齐次式，需熟记公式，属于基础题. 13. 设为锐角，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用以及两角差的正弦公式计算可得结果. 【详解】由于为锐角，则，则，因此， 所以， 所以 . 故答案为：. 【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的正弦公式，拆角是解题关键，属于基础题. 14. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意及余弦定理可得的关系，由余弦定理可得，再由为锐角三角形可得，即可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得：， 可得，在锐角中，由余弦定理可得： ， 因为，即，即， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量，，在同一平面上，且， （1）若与垂直，求的值； （2）若（其中），当取最小值时，求向量与的夹角大小. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示计算作答. （2）表示出的坐标，再利用模的坐标表示探求取最小值条件，借助向量数量积求解作答. 【小问1详解】 因，，则，，而与垂直 于是得，解得， 所以. 【小问2详解】 由，，及，得， 于是有，则当时，取最小值， 此时，而，即有，， 所以向量与的夹角为 16. 已知向量，，若. （1）求的单调递减区间； （2）求在区间上的最值及最值成立的条件. 【答案】（1）； （2）在区间上的最大值为，此时；最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出函数的解析式，再利用整体的思想求出其单调递减区间. （2）由得，利用整体的思想求出最值，再反解出的值即可求出答案. 【小问1详解】 因为，， 所以由得的单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1） 由得得得 的最大值为，当时取得； 的最小值为，当时取得； 综上所述：当时，在区间上取得最大值为； 当时，在区间上取得最小值为. 17. 如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形白铁片上剪出一个平行四边形，使点在圆弧上，点在上，点在上，设，平行四边形的面积为. （1）求关于的函数关系式； （2）求的最大值及相应的角． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）分别过作于，于，则四边形为矩形,则 ,直接利用平行四边形的面积公式求解即可. （2）利用辅助角公式恒等变形求其最值即可. 【小问1详解】 分别过作于，于，则四边形为矩形． 由扇形半径为1m，得，. 在△中， , , ，. 【小问2详解】 由（1）得. ∵，∴，∴ 当时，. 18. 在中，设所对的边分别为，已知， （1）求的大小； （2）若，求边长的取值范围； （3）设的外接圆圆心为，是的中点，若三角形外接圆半径为.且满足，求的值. 【答案】（1）; （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角函数恒等变形得到，即可求出的大小； （2）利用余弦定理和基本不等式求出边长的取值范围； （3）先由正弦定理求得，利用求得.在中利用余弦定理求出，在中，由余弦定理求出. 【小问1详解】 在中，，由正弦定理得：, 因为，所以, 所以可化为， 即. 因为，所以，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由三角形两边之和大于第三边可得：，即. 由余弦定理得：,即. 由基本不等式可得：，所以，即，所以. 综上所述：. 所以边长c的取值范围为. 【小问3详解】 由正弦定理得：,即. 如图示： 因为三角形外接圆半径为，所以. 因为，所以，即，所以. 因为是的中点，由向量的中线公式可得：，所以，即. 因为的外接圆圆心为，，由同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，所以, 所以，所以，即，所以. 在中，，，由余弦定理得：，即，所以. 在中，，，由余弦定理得：, 即，解得：（舍去）. 即. 19. 已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径． （1）若R＝1，且满足，求的取值范围； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得，进而得到的大小；由正弦定理和三角恒等变换得到，从而根据的范围求出即可； （2）由题意得出，，然后化简，从而利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理，得， 又由余弦定理，得，所以， 即，所以， 又因为△ABC为锐角三角形，所以， 所以 ， 因为△ABC为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，即，所以， 所以， 即的取值范围为. （2）因为， 所以，即， 又因为△ABC为锐角三角形，所以，所以， 所以由正弦定理，得， 又因为，所以， 所以，即, 两边同时除以，得， 因为且△ABC为锐角三角形， 所以，所以 所以， 所以 ， 令，则， 所以 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期高一年级第一阶段学情调研 数学试卷 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 中，角，，所对的边分别为，，，下列条件中能确定三角形有唯一解的有（ ）个 （1），， （2），， （3），， （4），， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面非零向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数 B. 若存在非零向量使得，则 C. 已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是 D. 已知向量，，则在上的投影向量是（0，1） 11. 在中，角、、所对的边分别是、、，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 C. 若 ，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，则三角形的面积最大值为 三、填空题 12. 若，则______. 13. 设为锐角，若，则__________. 14. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知向量，，在同一平面上，且， （1）若与垂直，求的值； （2）若（其中），当取最小值时，求向量与的夹角大小. 16. 已知向量，，若. （1）求的单调递减区间； （2）求在区间上的最值及最值成立的条件. 17. 如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形白铁片上剪出一个平行四边形，使点在圆弧上，点在上，点在上，设，平行四边形的面积为. （1）求关于的函数关系式； （2）求的最大值及相应的角． 18. 在中，设所对的边分别为，已知， （1）求的大小； （2）若，求边长的取值范围； （3）设的外接圆圆心为，是的中点，若三角形外接圆半径为.且满足，求的值. 19. 已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径． （1）若R＝1，且满足，求的取值范围； （2）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $