4.3 公式法 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4.3 公式法 第1课时 运用平方差公式因式分解 教学设计 课题 第1课时 运用平方差公式因式分解因式分解 授课人 教学目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想； 2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解. 教学重点 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想. 教学难点 会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 填空： （1）（x+5）（x-5） = x2–25 ； （2）（3x+y）（3x-y）= 9x2–y2 ； （3）（3m+2n）（3m–2n）= 9m2–4n2 ． 它们的结果有什么共同特征？ 以上都是用平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2计算得出来的. 尝试将上面的结果分别写成两个因式的乘积： x2–25=（x+5）（x-5） ； 9x2–y2=（3x+y）（3x-y） ； 9m2–4n2=（3m+2n）（3m–2n） ． 它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？ 共同特征：两个数（式）的平方差可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式,这种变形就是我们今天学习的内容. 通过回顾旧知为学习新知做好准备. 探究新知 知识点1 用平方差公式因式分解 把乘法公式(a+b)(a-b)＝a2-b2反过来，就得到 a2-b2＝(a+b)(a-b). 注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:a2-b2. 即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. 思考 列多项式能否用平方差公式来分解因式，如果能，请将其转化成（　）²－（　）²的形式. (1)m2 －81 ＝m2 －92 (2)1 －16b2 ＝12－(4b)2 (3)4m2+9 不能转化为平方差形式. (4)a2x2－25y2 ＝(ax)2－(5y)2 (5)－x2－25y2 不能转化为平方差形式. （连接例1） 观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解. (1)a4-b4； (2)x3y2-xy4. 【解】(1)a4-b4 (2)x3y2-xy4 =(a2+b2)(a2-b2) ＝xy2(x2-y2) =(a2+b2)(a+b)(a-b) ＝xy2(x+y)(x-y) 运用平方差公式因式分解的注意事项： 1.具有平方差形式的多项式才可运用平方差公式分解因式. 2.公式a²−b²=(a+b)(a−b)中的字母a,b可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用. 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式. 4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止. （连接例2、针对练习1、2） 知识点2 平方差公式因式分解的应用 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除. 证明：原式＝(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)＝4n·2＝8n， ∵n为整数， ∴8n被8整除， 即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除. 思考 如图，在一张边长为a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形．求剩余部分的面积。当a＝3.6，b＝0.8时，剩余部分的面积是多少？ 【解】剩余部分的面积是(a2－4b2)cm2. 当a＝3.6，b＝0.8时， a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b) ＝(3.6＋2×0.8)×(3.6－2×0.8) ＝5.2×2＝10.4. 答：当a＝3.6，b＝0.8时，剩余部分的面积为10.4 cm2. 让学生在探究活动中理解运用平方差公式来因式分解，并能应用到实际问题. 典例精析 【例1】 把下列各式因式分解. （1）25-16x2； （2）9a2−1/4b2. 【解】（1）25-16x2 （2）9a2-1/4b2 =52-(4x)2 =(3a)2-(1/2b)2 =(5+4x)(5-4x)； =(3a-1/2b)(3a+1/2b). 归纳：第一步，将两项写成平方的形式，找出a，b; 第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式. 【例2】把下列各式因式分解： （1）2x3-8x； （2）9(m+n)2-(m-n)2. 【解】(1)2x3-8x （2）9(m+n)2-(m-n)2 =2x(x2-4) =[3(m+n)]2-(m-n)2 =2x(x2-22) =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =2x(x+2)(x-2). =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n); 教师提醒：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解. 【针对练习】1.按照下列要求进行填空. （1）因式分解：(x-1)2-9= (x+2)(x-4) ； （2）若x2-9=(x+a)(x+3),则a= -3 ； （3）因式分解：2a2-18= 2(a+3)(a-3) ； （4）计算：1002-992+982-972+962-952+… +22-12= 5050 . 2.把下列各式因式分解: (1)x3y-xy3； (2)49m2-n2 . 【解】(1)x3y-xy3 (2)49m2-n2 =xy(x2-y2) =(7m)2-(n)2 =xy(x+y)(x-y). =(7m+n)(7m-n). 通过例题讲解为学生规范书写过程，使学生逐步掌握解题的步骤和格式。 随堂检测 1．把代数式3x2－27因式分解，结果正确的是( D ) A．3(x2－9) B．3(x－3)2 C．3(x＋3)(x－3) D．3(x＋9)(x－9) 2.如图所示，已知R=6.75，r=3.25，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)(　D 　) A.3.5π　　　　B.12.25π B.12.25π C.27π　　　　 D.35π 3．计算752－252的结果为 5000 . D.35π 4.把下列各式因式分解: (1)(2x+3y)2-1； (2)-16b4+1. 【解】(1)(2x+3y)2-1 (2)-16b4+1 =(2x+3y)2-12 =1-16b4 =(2x+3y+1)(2x+3y-1). =12-(4b2)2 =(1+4b2)(1-4b2) =(1+4b2)(1+2b)(1-2b). 5.已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被 20 整除. 【解】∵(n+7)2-(n-3)2 =(n+7+n-3)(n+7-n+3) =20(n+2)， ∴(n+7)2-(n-3)2的值一定能被 20 整除. 6.已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值． 【解】∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2， x＋y＝1 ①， ∴x－y＝－2 ②. 联立①②组成二元一次方程组，解得 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 1.你收获了哪些知识? 2.你是如何运用平方差公式因式分解的？ 3.在本节的基础上,你还想继续探究哪些问题? 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 《作业本》P95-P96训练题 板书设计 第1课时 运用平方差公式因式分解 平方差公式因式分解 a2-b2＝(a+b)(a-b).（两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.） 步骤 一提：有公因式的先提取公因式； 二套：套用公式（平方差公式）； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 教学反思 第2课时 运用完全平方公式因式分解 教学设计 课题 第2课时 运用完全平方公式因式分解 授课人 教学目标 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式； 2.会综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解. 教学重点 理解并掌握用完全平方公式分解因式. 教学难点 会综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 1.因式分解学过了哪些方法？ 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)； 平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b). 2.把下列各式分解因式: (1)ax4-ax2; (2)x4-16. 【解】(1)ax4-ax2 (2)x4-16 =ax2(x2-1) =(x2+4)(x2-4) =ax2(x+1)(x-1). =(x2+4)(x+2)(x-2). 教师提醒：有公因式，先提公因式；因式分解要彻底. 【问题1】填空： （1）(a+2b)2＝ a2+4ab+4b2 ； （2）(3a-b)2 ＝ a2-6ab+b2 . 它们的结果有什么共同特征？ 以上都是用完全平方公式：(a+b)2＝ a2+2ab+b2，(a-b)2＝ a2-2ab+b2计算得出来的. 【问题2】根据问题1中等式填空： （1）a2+4ab+4b2＝ (a+2b)2 ； （2）9a2-6ab+b2＝ (3a-b)2 . 它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？ 思考 根据学习用平方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“a2+2ab+b2、a2-2ab+b2”的式子因式分解吗？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备. 探究新知 知识点1 用完全平方公式因式分解 将乘法公式(a+b)2＝ a2+2ab+b2，(a-b)2＝a2-2ab+b2反过来，就得到: a2+2ab+b2＝(a+b)2 ，a2-2ab+b2＝(a-b)2 . 形如 a2±2ab+b2的式子称为完全平放式. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 因式分解 整式乘法 a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 =(a-b)2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 议一议：下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; 是 （2）1+4a²; 不是 （3）4b2+4b-1; 不是 （4）a2+ab+b2; 不是 （5）x2+x+0.25. 是 分析：（2）因为它只有两项；（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 完全平放式的特点： 1.是三项式（或可以看成三项）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是这两个数的积的±2倍. 只有完全平放式才可以用完全平方公式因式分解. 注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式. （连接例1、例2、针对练习1） 知识点2 完全平方公式因式分解的应用 做一做：计算或化简下列各式： (1)2022+202×196+982； (2)(a2-2)2-2a2(a2-2)+a4. 【解】(1) 2022+202×196+982 (2)(a2-2)2-2a2(a2-2)+a4 ＝2022+2×202×98+982 ＝(a2-2)2-2a2(a2-2)+(a2)2 ＝(202+98)2 ＝(a2-2-a2)2 ＝3002 ＝(-2)2 ＝90 000. ＝4. 教师提醒：利用完全平方公式因式分解，可以简化计算. （连接针对练习2） 让学生在探究活动中寻找因式分解的方法，探索完全平方公式因式分解的应用. 典例精析 【例1】 把下列完全平方式因式分解： (1)x2＋14x＋49； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 【解】(1)x2＋14x＋49 (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ [(m＋n)－3]2 ＝ (x＋7)2 ； ＝(m＋n－3)2. 【例2】把下列各式因式分解： (1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)－x2－4y2＋4xy. 【解】(1)3ax2＋6axy＋3ay2 (2)－x2－4y2＋4xy ＝ 3a(x2＋2xy＋y2) ＝ －(x2＋4y2－4xy) ＝3a(x＋y)2； ＝ －(x2－4xy＋4y2) ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝ －(x－2y)2. 教师提醒：首项有“负号”要先提. 归纳：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止. 【针对练习】1.下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(　B　) (1)a2+ab+b2；(2)a2-a+；(3)9a2-24ab+4b2；(4)-a2+8a-16. A.1个 　 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】(1)a2+ab+b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2-a+＝(a-)2；(3)9a2-24ab+4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)-a2+8a-16＝-(a2-8a+16)＝-(a-4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解. 2.已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状,并说明理由． 【解】由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 通过例题讲解为学生规范书写过程，使学生逐步掌握解题的步骤和格式。 随堂检测 1.因式分解(a-b)2+4ab的结果是 (a+b)2 . 2.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为 ±4 . 3.如图所示，是长与宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为 490 . 4.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; (2)2a2b-a3-ab2; （3）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (4) y2+2y+1－x2. 【解】(1)x2－12x+36 (2)2a2b-a3-ab2 =x2－2·x·6+(6)2 =-a(a2-2ab+b2) =(x－6)2; =-a(a-b)2; (3)4(2a+b)2-4(2a+b)+1 (4)y2+2y+1－x2 =[2(2a+b)]²－2·2(2a+b)·1+(1)² =(y+1)²－x² =(4a+2b－1)2; =(y+1+x)(y+1－x). 5.阅读材料:在因式分解中,有一类形如x2+(m+n)x+mn的多项式,其常数项是两个因数的积,而它的一次项系数恰是这两个因数的和,则我们可以把它分解:x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n). 例如:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)·(x+3). 运用上述方法因式分解: (1)x2+6x+8; (2)x2-x-6; (3)x2-5xy+6y2. 【解】(1)x2+6x+8=(x+2)(x+4); (2)x2-x-6=(x+2)(x-3); (3)x2-5xy+6y2=(x-2y)(x-3y). 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 1.你收获了哪些知识? 2.你是如何理解完全平方公式的？怎样运用完全平方公式因式分解？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 《作业本》P97-P98训练题 板书设计 第2课时 运用完全平方公式因式分解 完全平方公式因式分解：a2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方公式的特点： 1.是三项式； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是这两个数的积的±2倍. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $