4.2提公因式法 教案 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦提公因式法因式分解，分两课时系统讲解公因式为单项式和多项式的两种情况。通过回顾多项式项的因式、提公因式步骤等旧知导入，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过实例探究（如3x²-6xy找公因式总结“三定”法）培养抽象能力，处理符号问题（如-24x³+12x²-28x分解）和整体思想（如a(x-y)-b(x-y)）发展推理意识，拼图活动渗透模型意识。学生能掌握方法，教师可利用分层练习和检测提升教学效率。

4.2 提公因式法 第1课时 公因式为单项式的因式分解 教学设计 课题 第1课时 公因式为单项式的因式分解 授课人 教学目标 1. 能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题； 2. 能简单运用提公因式法进行因式分解. 教学重点 能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题 教学难点 能简单运用提公因式法进行因式分解 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 1.多项式ma+mb+mc有哪几项？ ma, mb, mc 2.每一项的因式都分别有哪些？ 依次为m, a和m, b和m, c 3.这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因式是什么？ 有，为m 4.请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式. ab 通过回顾旧知为学习新知做好准备. 探究新知 知识点1 公因式的定义 问题1：多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？ 有相同因式：b. 问题2：多项式3x2+x呢？多项式nb2+nb-b呢？ 多项式3x2+x各项都含有相同因式：x， 多项式nb2+nb-b各项都含有相同因式：b. 你能尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积吗？并与同伴进行交流. 想一想：这个多项式有什么特点？ 公因式的定义 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如b就是多项式ab+bc各项的公因式. 做一做：找 3x2 – 6xy 中各项的公因式. 1 3 指数：相同字母的最低次幂 字母：相同的字母 x 系数：最大公约数 所以3x2–6xy中各项的公因式是3x. 正确找出多项式各项公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. （连接针对练习1） 知识点2 提公因式因式分解 议一议：(1)多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？ 多项式2x2+6x3中各项的公因式是2x2. (2)你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流. 2x2+6x3 =2x2·1+2x2·3x =2x2(1+3x) 提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. pa+ pb +pc=p(a+b+c) 做一做：分解因式：8a3b2 + 12ab3c. 分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. 解：8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc) 另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式是b. 如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？ 分解因式要注意： 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号. 想一想：提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？提公因式法 单项式与多项式的积 多项式 单项式乘多项式 提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为逆运算. （连接例题、针对练习2、3、4、5） 让学生在探究活动中了解公因式的定义，引导学生采用类比的方法由简便运算中的公因数过渡到多项式中寻找相同的因式. 典例精析 【例】把下列因式分解： (1)2mn+4m2; (2)7p2-21p; (3)8a3b2-12ab3c+ab; (4)-24x3+12x2-28x. 【解】(1)2mn+4m2 =2m·n+2m·2m =2m（n+2m）； (2)7p2－ 21p =7p·p －7p·3 =7p(p－3)； (3)8a3b2 －12ab3c+ab =ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1 = ab(8a2b－12b2c+1). (4)－24x3+ 12x2－28x =－(24x3 －12x2+28x) =－(4x·6x2 －4x·3x+4x·7) =－4x(6x2－3x+7). 【针对练习】1.多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是(　D　) A.abc 　　　　　 B.3a2b2 　　　　　 C.3a2b2c 　　　　　 D.3ab 【解析】系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D. 2.已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b) ＝4×7 ＝28. 方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可. 3.多项式8x4y3﹣12x2y5的公因式是（　D　） A．x2y3 B．x4y2 C．4x2y5 D．4x2y3 4. 把多项式﹣4a3+4a2﹣16a分解因式（　D　） A．﹣a(4a2﹣4a+16) B．a(﹣4a2+4a﹣16) C．﹣4(a3﹣a2+4a) D．﹣4a(a2﹣a+4) 5.已知2x-y=，xy=2，求2x4y3-x3y4的值. 【解】 2x4y3-x3y4=x3y3(2x-y)=(xy)3(2x-y). 当2x-y=，xy=2时, 原式=23×=1. 通过例题讲解为学生规范书写证明过程，使学生逐步掌握证明的步骤和格式。 随堂检测 1.多项式x2-x提取公因式x后,另一个因式是(　B　) A.x2-1 B.x-1 (　　 B.x-1 C.x D.x2-x 2. 若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（　A　） A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8 D．﹣8 3.计算（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1，得（ C　） A．3m﹣1 B．（﹣3）m﹣1 B．（﹣3）m﹣1 C．﹣(﹣3)m﹣1 D．(﹣3)m 4.把下列多项式分解因式： (1)-3x2+6xy-3xz； (2)3a3b+9a2b2-6a2b. 【解】(1)-3x2+6xy-3xz =(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z =-3x(x-2y+z). (2)3a3b+9a2b2-6a2b =3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2 =3a2b(a+3b-2). 5.计算:(-2)21+(-2)20+6×219. 【解】(-2)21+(-2)20+6×219 =(-2)21+(-2)20+3×220 =-221+220+3×220 =220(-2+1+3) =221. B．15 C．2 D．﹣8 D．(﹣3)m D.x2-x D.x2-x D.x2 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 1.你收获了哪些知识? 2.你是如何运用提公因式法分解因式的？ 3.在本节的基础上,你还想继续探究哪些问题? 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 《作业本》P91-P92训练题 板书设计 第1课时 公因式为单项式的因式分解 提公因式法（1） 公因式 确定公因式的方法:三定，即定系数;定字母;定指数. 公因式为单项式的因式分解 注意: 1.分解因式是一种恒等变形; 2.公因式要提尽; 3.不要漏项; 4.提负号,要注意变号. 教学反思 第2课时 公因式为多项式的因式分解 教学设计 课题 第2课时 公因式为多项式的因式分解 授课人 教学目标 1. 准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解； 2. 能运用整体思想进行因式分解. 教学重点 准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解 教学难点 能运用整体思想进行因式分解 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 提公因式法因式分解的一般步骤： 1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号； 2.公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数; 3.字母取多项式各项中都含有的相同的字母; 4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即 最低次幂. 思考：下面的多项式有公因式吗？ （1）a(x-y)-b(x-y); x-y （2）2a(b+c)-3(b+c); b+c （3）a(x-3)+2b(x-3); x-3 （4）y(x+1)+y2(x+1)2. y(x+1) 以上多项式有公因式，并且是多项式形式，那么怎样因式分解呢？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备. 典例精析 知识点 提公因式为多项式的因式分解 【例1】 把下列各式因式分解. （1）a(x-3)+2b(x-3) ； （2）y(x+1)+y2(x+1)2. 【解】（1）a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b); （2）y(x+1)+y2(x+1)2 ＝y(x+1) [1+y(x+1)] ＝y(x+1) (xy+y+1). 提公因式法因式分解的注意事项： 1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. （连接针对练习1、2、3） 【例2】 把下列各式分解因式. （1）a(x-y)+b(y-x)； （2）6(m-n)3-12(n-m)2. 互为相反数 互为相反数 【解】(1)a(x-y)+b(y-x) (2)6(m-n)3-12(n-m)2 =a(x-y)-b(x-y) =6(m-n)3 -12[-(m-n)]2 =(x-y)(a-b); =6(m-n)3-12(m-n)2 =6(m-n)2(m-n-2) 两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法: (1)当相同字母前的符号相同时, 则两个多项式相等. 如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a (2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(a-b) 则(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）, (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）. （连接针对练习4） 思考 如图 ，有三张不同型号的长方形卡片。 (1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗 ? (2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗 ? (3) 依据 (1) (2) 拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解 ? 你是怎样想的 ?m b n a+b n a n a n b a+b m ① ② ③ 如图 ，有三张不同型号的长方形卡片。 (1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗 ? n b n a ① ② n n a ② ① b 将 ② 旋转 90°，然后把两个长方形长度为 n 的边拼在一起即可得到一个新的长方形。 (2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗 ?a+b m a n b ① ② ③ 把 (1) 得到的长方形和 ③ 两个长方形长度为 a+b 的边拼在一起得到一个新的长方形。 思考 (3) 依据 (1) (2) 拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解 ? 你是怎样想的 ? a+b m a n b ① ② ③ n a n b ① ② 根据（1）拼组前后面积相等，得：a×n + b×n = (a + b)×n. 根据(2)拼组前后面积相等,得：a×n + b×n + (a + b)×m = (a + b)×n + (a + b)×m = (a + b)×(m + n) . （连接针对练习5） 通过例题分析引入提公因式为多项式的因式分解，为学生规范书写过程，使学生逐步掌握解题的步骤和格式。 针对练习 1.把下列各式因式分解： （1）x(a+b)+y(a+b)= ； （2）3a(x－y)－(x－y)= ； （3）6(p+q)2－12(q+p)= . 【解】（1）(a+b)(x+y) （2）(x－y)(3a－1) （3）6(p+q)(p+q-2) 2.下列因式分解正确的是(　A　) A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1) B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1) C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2) D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y) 3.把多项式m(n-2)-m2(2-n)因式分解得(　C　) A.(n-2)(m2+m) B.(n-2)(n-m)2 C.m(n-2)(m+1) D.m(n-2)(1-m) 4.把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果是( C ) A.8(7a-8b)(a-b) B.2(7a-8b)2 C.8(7a-8b)(b-a) D.-2(7a-8b) 【解】(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a) ＝(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)·(7a -8b) ＝(7a-8b)［(3a-4b) -(11a-12b)］ ＝(7a-8b)(3a-4b-11a+12b) ＝(7a-8b)(-8a+8b) ＝8(7a-8b)(b-a). 5.如图，边长为 a，b 的长方形的周长为 10，面积为 6，则a2b＋ab2的值为 30 .　a b 　 通过针对练习加强本节课程的知识回顾. 随堂检测 1.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于(　C　) A.y－x B.x－y C.3a(x－y)2 D.－3a(x－y) 2.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(　C　) A.3 B.2 C.1 D.－1 3.因式分解：x(x-2)-x+2= (x-2)(x-1) . 4.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后,余下的部分是 (m+2) . 5.已知x2+3x-2=0，则2x3+6x2-4x= 0 . 6.已知a+b=5，ab=4,则ab2+a2b-a-b= 15 . 7.把下列各式进行因式分解. (1) 6(p+q)2-12(q+p)； (2) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a). 【解】(1) 6(p+q)2-12(q+p) (2) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a) ＝6(p+q)(p+q-2)； ＝a(x-a)-b(x-a)-c(x-a) ＝(x-a)(a-b-c). 8.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题: 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3. (1)上述因式分解的方法是 提公因式法 ; (2)若因式分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 026,则结果是 (1+x)2027 ; (3)因式分解:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数). (1+x)n+1 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 1.你收获了哪些知识? 2.你是如何理解公因式为多项式的因式分解的？ 3.在本节的基础上,你还想继续探究哪些问题? 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 《作业本》P93-P94训练题 板书设计 第2课时 公因式为多项式的因式分解 提公因式法（2） 注意 1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 提公因式法因式分解的步骤： (1)观察； (2)适当变形； (3)确定公因式； (4)提取公因式. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $