精品解析：2026年河南商丘市第十六中学中招模拟校内数学自主训练一

6学科网 命组卷网 2026年九年级中招模拟校内自主训练一数学 注意： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分 2.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷 时只交答题卡。 一、选择题.（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1 1.3的相反数是() 1 A.3 B.3 C.3 D.-3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答. 【详解】解：3的相反数为3. 故选：A 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键。 2.某种新型流感病毒的直径约为0.000000305米，该直径用科学记数法表示为() A.3.05x106 米 B.3.05×107 米 c30.5x106 米 D.0.305x106 米 【答案】B 【解析】 【分析】本思考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×I0”,其中1≤4<10，”为由原数左边 第1页/共36页 6学科网 命组卷网 起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此求解即可. 0.000000305 【详解】解： 3.05×10-7 用科学记数法表示为 米 3.“小桥流水人家”出自《天净沙·秋思》，以温情反衬孤寂.将这六字书写于正方体的表面，展开图如 图所示，则折叠成正方体后与“桥”相对的汉字是() 小 桥流 水人 家 A.流 B.水 C.人 D.家 【答案】C 【解析】 【详解】解：折叠成正方体后与“桥”相对的汉字是“人”. 4.下列计算正确的是（) A.(m32=m B.y-y3=y c.(x+y2=x2+y2 D.b3.b2=b 【答案】D 【解析】 【分析】运用幂的乘方、合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法法则逐一判断即可得到结果。 【详解】解：选项A:(m=m2=m≠m,故本选项计算错误 选项：)与”不是同类项，不能合并，故本选项计算错误 选项C:(c+y=+2y+y≠x+少，故本选项计算错误 选项D:bb2=b42=6 ,故本选项计算正确 5.图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，己知AB∥CD∥EF,∠B=60°，∠C=130°，那么 ∠BEC 等于() 第2页/共36页 命学科网命组卷网 图1 图2 810o C150 20° D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出∠BEF,∠CEF的度数，再根据角的和差即可得到答案. 【详解】解：：AB∥CD∥EF,∠B=60°，∠C=130°， .∠BEF=∠B=60°，∠CEF=180°-∠C=50°， :.∠BEC=∠BEF-∠CEF=1O° 6.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是BC的中点，连接AC,DE交于点O,则AO 的长度为() B 4V13 9 313 6 3 B.8 C.2 D.5 【答案】A 【解析】 【分析】勾股定理求出AC,证明△AOD∽aCOE,列出比例式，进行求解即可. 【详解】解：：矩形ABCD,AB=4,BC=6, ZABC=90,AD BC.AD=BC=6 第3页/共36页 学科网 命组卷网 AC=AB2+BC2=2V13,A4ODOACOE. AO AD .OC CE, :点E是BC的中点， .CE-BC=4D AO AD 1 ..OC CE 2, :40=24c=4 3 3. 7.如图，在三个完全相同的小球上依次写有三个实数，将小球置于暗箱中，摇匀后随机摸取两个小球，则 摸取的两个小球上的数字都是有理数的概率是() 3 2 1 1 A.3 B.3 C.4 D.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意准确画出树状图，确定总共6种等可能性结果，抽取的两个小球上的数字都是有理数的 结果有2种，即可求解. 【详解】解：V5是无理数， 画树状图如图， 第4页/共36页 6学科网命组卷网 开始 V3 V3 ∴.总共6种等可能性结果，抽取的两个小球上的数字都是有理数的结果有2种， 21 ∴抽取的两个小球上的数字都是有理数的概率是63， 故选：B 8.如图，△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC,将△ABC沿射线BC方向平移得对应△DEF,过点B 作BO1AC,垂足为O,BO交DE于点P,若4C=45,CE=3BE,则PD的长是《) B E A.4 B.4V3 C 3 D.2V5 【答案】C 【解析】 【分折】根据等殿三角形的性成，三线合，求瑞∠A=乙4CB=30.40=C0=)4C=25 ；根据 勾股定理求出BO=2,则BC=4,根据线段的和差求出BE,再根据等边三角形的判定和性质，可得 BE=BP=1,最后根据PD=DE-PE. 【详解】解：：∠ABC=120°，AB=BC,BO⊥AC, ：∠A=∠ACB=30,40=C0=)AC=25 第5页/共36页 6学科网6组卷网 BO=BC 2 设B0=x,则BC=2x, 在直角三角形△B0C中，BC=B0+C02 (2x=x2+23, 解得：x=±2， x=2: .B0=2,则BC=4, .CE=3BE且CE+BE=BC=4, .CE=3,BE=1, ,△ABC沿射线BC方向平移得对应△DEF, .△ABC≌aDEF, .∠ABC=∠DEF=120°，AB=DE=4, .∠DEB=180°-∠DEF=180°-120°=60°， .∠ACB=30°，BO⊥AC. .∠0BC=180°-90°-30°=60°， ∴.△BPE是等腰三角形， .BE=BP=1, .PD=DE-PE=4-1=3 第6页/共36页 命学科网命组卷网 故选：C 9.如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的边OB在￥轴上，已知点4的坐标为3,4)，将菱形 40BC绕点0顺时针旋转，每次能转90°，则第18次能转后点C的对应点C的坐标为《) A.（-3,8) B.（-4,8) c（-8,-4) D.（-8,-3) 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形性质，点的坐标，图形旋转性质等.先根据题意利用菱形性质求出点C的坐标，再 根据旋转性质找出旋转规律，进而求出第18次旋转后点℃的对应点C8的坐标. 【详解】解：：点A的坐标为(34)， :0A=V32+42=5 ,菱形AOBC, ..OA=AC=BC=OB=5 ..ACllOB. ∴.点C的纵坐标为4， :AC=5,点A的横坐标为3， ·点C的横坐标为3+5=8，即C(8,4), 第7页/共36页 6学科网命组卷网 :菱形AOBC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴.旋转4次为一个循环， ∴过点C作CF1x轴， CE⊥x 轴， .∠COF+∠OCF=90°. :0C=0C∠C0C=90 :2C0F=∠0CE 在△OCF和△OCE 中， ∠CFO=∠CEO ∠COF=∠OCE 0C=0C △OCF≌AOCE OE=CF=4 OF=CE=8 B :第一次旋转90°后，点C的对应点G坐标为(4，-8)】 同理：第二次旋转90°后，点C的对应点C坐标为(-8-4)， 第三次旋转90°后，点C的对应点C坐标为(4,8) 第8页/共36页 6学科网命组卷网 第四次旋转90°后，点C的对应点C坐标为（⑧，4） 此时回到了点C的初始位置， .18÷4=4.2, ·第18次旋转后点C的对应点C8的坐标对应C,的坐标，即(-8，-4)， 故选：C Rt△ABC,∠ACB=90° A→B→C 10.如图1， 中， 一动点P从点A出发，沿 的路径运动，过点P作 PQ⊥CA PO-AO=y 垂足为Q.设点P的运动路程为x, ,y随x变化的函数图象如图2所示，则 BC 的长为() 3 B 图1 图2 55 61 42 72 A.16 B.15 C.3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数图象，以及点的运动情况，推出AC的长，进而求出AB+BC,再结合勾股定理建立 关于BC的方程求解，即可解题. 【详解】解：由图知，当x=5: PO-A0=y=0 时， PO=A0=AC 即此时 ,且AB+BP=S 又运动到最后时，点P运动到点C,∠ACB=90°， 第9页/共36页 学科网命组卷网 PO=0 PO-A0=-3 则此时 ∴.AC=AQ=3 AB+BC=AB+BP+PO=5+3=8 结合前面条件可知， ∴.AB=8-BC AC2+BC2 AB2 :32+BC2=(8-BC}. BC=55 解得心一16. 二、填空题.（每小题3分，共15分） y=3x-2 11.将一次函数 的图象向下平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为 y=3x-5 【答案】 【解析】 【分析】一次函数图象平移的规律：上加下减. y=3x-2 3 【详解】解：将一次函数 的图象向下平移°个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 y=3x-2-3,my=3x-5 12进入决赛的甲、乙两人10次射击平均成绩均为9环，且=2.34，号=1.13 若判定成绩较为稳定 的为冠军，则获得冠军的是一·（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题根据方差的意义判断成绩稳定性，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较甲乙两人方 差大小即可得到结果 第10页/共36页 学科网 命组卷网 【详解】己知甲乙两人射击平均成绩相同， ㎡=2.342=1.13㎡>5吃 根据方差的性质，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定， 因此乙的成绩更稳定，符合冠军判定要求 x+y=3-m 13.若关于x,y的二元一次方程组x-y=1-3m的解都为正数，则m的取值范围为 【答案】-1<m<1 【解析】 【分析】先解二元一次方程组，得出x=2-2m,y=1+m ,根据方程组的解都为正数，得出关于m的 不等式组，解不等式组即可求解， x+y=3-m① 【详解】解： x-y=1-3m② ①+② 得： 2x=4-4m,解得x=2-2m ①-②： 2y=2+2m y=1+m ,解得 [2-2m>0 因为x、y都为正数，所以： 1+m>0 解得：-1<m<1 14如图，AB和4C是O0的两条弦，AB=4C=22,CA1AB,点P为O0上一点， ∠ACP=15 ，则BP的长为一 A 第11页/共36页 6学科网 命组卷网 π 【答案】3 【解析】 【分析】熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题关键. BC、PO、AO BC.⊙O BC=4∠ABC=∠ACB=45° 连接 根据圆周角定理得出为的直径，确定 OB=OC=2 ∠AOP=30° ∠BOP=90°-30°=60° ,再由圆周角定理得出 ,确定 ,再由弧长公式即可求 解. 【详解】解：连接BC、PO、AO,如图所示： :CA⊥AB, .∠BAC=90°， .BC、,⊙O 为的直径， AB=AC=22 .BC=4,∠ABC=∠ACB=45°，OB=OC=2, .∠ACP=15°」 ∴.∠A0P=30°， :直角△ABC,O为BC的中点， ∠AOB=90°. 第12页/共36页 学科网命组卷网 .∠BOP=90°-30°=60°， 60π×22 π .BP的长为：1803. 在R△MBC中，∠C=90°，∠1=30°，AB=4,在直线BC左测找到一点P,使得 BC 15.如图， △PBC .BC ABPC ∠PAC 是以为腰的等腰三角形，且四边形 满足一组对边平行，则 的正切值为一 6 ■ A 3-13 【答案】2或9 【解析】 【分析】利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出BC,AC的长：当BP=BC,BP∥AC 时.设AB,BC交于点D,可证明△DBPn△DCM,推出BD=BP=V3 ,据此求出CD的长，再求 出∠DAC的正切值可得∠PAC的正切值；当BP=BC,PC∥AB时，过点P作PF⊥BC于点R,设 PA,BC 是等边三角形，求出PFCG。 △PBC ∠GAC 交于点G,可证明 的长，再求出 的正切值可得 ∠PAC 当CP=BC时，若BP∥1C.此时有 CP>BC PCI‖AB 的正切值： ，此种情况不成立；若 ,则 △P8C是等边三角花，由图2可知，此时n∠PAC= 9 第13页/供36页 学科网命组卷网 Rt△ABC,∠ACB=90°∠BAC=30°AB=4 【详解】解：，在 中， 6=2 :AC=VAB2-BC2 =23 如图1所示，当BP=BC,BP∥AC时，设AP,BC交于点D, 6 D C 图1 :BP∥AC, .△DBP∽△DCA, CD_4C25-5 BD BP 2 :BD=3 CD 3 BC=BD+CD=2. CD+ CD=2 3 :CD=3-V5 Ru0,m0C-是mpc-5 2 如图2所示，当BP=BC,PC∥AB时，过点P作PF⊥BC于点F,设PA,BC交于点G, 第14页/供36页 6学科网丽组卷网 B G 图2 Rt△ABC,∠ACB=90°∠BAC=30° ,在 中， .∠ABC=90°-∠BAC=60°， ..PCIl AB, .∠PCB=∠ABC=60°， 又，BP=BC, △PBC是等边三角形， PF⊥BC, ←CF=BF=)BC=,∠PFG=90°=∠ACB PF=BP2-BF2=3 又：∠PGF=∠AGC, .△PGF∽△AGC. cG4C-25=2 ∴.FGPF3 FG-1CG 2 CF=CG+FG=1, 第15页/供36页 命学科网命组卷网 CG+-CG-1 2 CG=2 3, 2 在RAAGC中，am∠GAC=CC-,3-5 4c269,即tan∠P4c= 9 当CP=BC时， 若BP∥AC,则∠PBC=∠ACB=90°， 此时有CP>BC,此种情况不成立； 若PCI‖lAB,则∠BCP=∠ABC=60°， 则△PBC是等边三角形，由图2可知，此时an∠PAC= 9: 综上所述， tan∠PAC=3-l 2或 am∠PAc=3 9 三、解答题.（本大题共8个小题，共75分） 16.(1)计算： 2026°+-2-V2×√8 (2)化简： 1 【答案】(1)-1；(2)x+3 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的乘法，分式的混合运算，熟练掌握实数的混合运算及分 第16页/供36页 6学科网6组卷网 式的混合运算是关键 (1)先进行零指数幂计算，求绝对值，二次根式的乘法，再求和即可： (2)先计算括号内的分式加减，再计算分式的除法即可. 【详解】解：(1)2026°+-2-V2×V8 =1+2-16 =1+2-4 =-1: (2 =3 x-1 x-1（x+3)(x-3) =1 +3. 17.甲辰岁末，渗透着历史积淀和人文情怀的晋祠天龙山景区，被编织进“国家5A级景区”的华彩之中， 为锦绣太原再添光华.为引导同学们了解家乡文化，学校举办了“品晋祠韵味·赏天龙神采”系列活动. 【活动一】晋祠-天龙山知识竞赛 小明随机调查了八年级若千名同学参加此次知识竞赛的成绩（共10道题目，每答对1题得10分），并将 结果绘制成如图的扇形统计图（其中A代表100分，B代表90分，C代表80分，D代表70分，E代表60 分). 第17页/共36页 命学科网命组卷网 4 D C E 40% 12% A 西 20% B 晋祠天龙山 24% 【活动二】晋祠天龙山宣讲达人 学校拟招募一名晋祠天龙山文化宣讲达人，现从知识储备、现场表达、仪容仪表三个方面对两位参选者进 行了测评，成绩如右表（单位：分）· 甲 乙 知识储备 8 9 现场表达 8 8 仪容仪表 7 请根据有关信息解决下列问题： (1)小明所调查的知识竞赛成绩的众数是 分，中位数是 分： (2)小亮分析扇形统什图，发现小明虽未提供调查总人数，但根据统计结果仍可计算出这些同学此次知 识竞赛成绩的平均数.你同意他的观点吗？若同意，列出算式（不必计算）；若不同意，说明理由： (3)在晋祠天龙山宣讲达人招募中，若将知识储备、现场表达、仪容仪表三项按照5：3：2的比例计算最 终成绩，请通过计算说明甲、乙二人谁将会当选。 【答案】(1)80,80： (2)同意；100×20%+90×24%+80×40%+70×4%+60×12%： (3)乙最终会当选. 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想 解答 第18页/共36页 命学科网命组卷网 (1)众数：扇形图中C(80分)占比40%最高，故众数为80分：中位数则是分数处在中间位置的数， 故中位数为80分： (2)同意，平均数可通过各分数乘对应比例计算即可； (3)计算出甲、乙的成绩比较大小即可. 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知， 小明所调查的知识竞赛成绩的众数是：80分： 中位数是：80分： 故答案为：80：80： 【小问2详解】 解：同意： 100×20%+90×24%+80×40%+70×4%+60×12% 【小问3详解】 8x5+8×349×2=8.2 解：甲的最终成绩为： 5+3+2 (分)· 9×5+8x3+7×2=8.3 乙的最终成绩为： 5+3+2 (分)， 因为8.2<8.3 所以乙最终会当选， 18.某景区山顶矗立着一座纪念雕像（如图1），为精准测量雕像的高度，数学实践小组专程前往开展测 量工作，他们运用所学的三角函数知识收集了相关数据：如图2，小组成员在山脚下的点C处，测得雕像 顶端A的仰角∠ACE=5°.随后沿山坡CB向上行走一段距离到达点D处，此时测量得自身垂直升高的 第19页/供36页 命学科网命组卷网 高度为2.5米（即点D到地平线CE的垂直距离为2.5米），在D处再次测得雕像顶端A的仰角 1 tan∠BCE= ∠ADF=53°，已知山坡CB与地平线CE的夹角∠BCE的正切值 6,点A,B,C,D, E,F均在同一平面内，雕像AB垂直于地平线CE.请你根据以上数据，利用所学知识求出山顶上雕像 5,cos53°≈3 4 3 sin53°≈ AB的高度.（结果精确到01米，参考数据： an53°≈4 5, 3) 图1 图2 【答案】雕像AB的高度约为43.8米 【解析】 【分析】延长AB交DF于点G,交CE于点H,过点D作DM⊥CE,垂足为M,则 ∠AGD=∠AHC=90° CM和MH=CH,并段4G=4米，DG=M=3 ，根据正切的定义求出和 米，代入AH=CH求解即可. 【详解】解：如图，延长AB交DF于点G,交CE于点H,过点D作DM⊥CE,垂足为M,则 ∠AGD=∠AHC=90° GHMD ,四边形 为矩形， 第20页/供36页 6学科网命组卷网 FBG D EH M .DM=GH=2.5米， .在RtADMC中， an∠BCE=DM-1 CM 6, 2.51 .CM6, .CM=l5米， ∠ACE=45°，∠AHC=90°， .AH=CH, 在RIAADG中， tan∠ADG=tan53°=AG_4 DG 3, 故设AG=4k米，DG=MH=3k米， DFCE 根据题意得 ∠BDF=∠BCE, an∠BDG=BG1 DG 6, BG-Ik 2米， AH=CH, 第21页/供36页 命学科网组卷网 即4k+2.5=15+3k, .k=12.5, BG=k=6.25 2 米，AG=4k=50米， .AB=AG-BG≈43.8米， 答：雕像AB的高度约为43.8米. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一一仰角和俯角问题，掌握仰角和俯角的概念，熟记锐角三角 函数的定义是解题的关键. 19.项目式：智慧通讯 某通讯公司为满足不同用户的需求，推出了两种可视通话套餐；经济套餐： 收费公式为：片=0.3x+15:轻享套餐：收费公式为：乃=0.7x.其中， 【背 景】 片、片分别代表经济套餐和轻享套餐的可视通话总费用（元），x代表用户 的可视通话时长（分钟）· (1)请解释“经济套餐”公式中的“0.3”和“15”以及“轻享套餐”公式 【理解 模型】 中的“0.7”在实际计费中分别表示什么意义. 【应用 (2)小宇每月工作可视通话需30分钟，生活可视通话预计42分钟.根据你 模型】 的计算，他应该选择哪个套餐更省钱， 【决策 (3)如果你是该通讯公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个 分析】 套餐更省钱，请通过计算给出明确的建议 【答案】(1)由题意得，经济套餐中，“0.3”表示每分钟可视通话的收费标准为0.3元；“15”表示每 第22页/供36页 学科网命组卷网 月固定收取的套餐基础费；轻享套餐中，“0.7”表示每分钟可视通话的收费标准为0.7元： (2)小宇选择经济套餐更省钱； (3)由题意得，令0.3x+15=0.7x, 0.7x-0.3x=15 0.4x=15 解得x=37.5, ∴当每月可视通话时长x<37.5分钟时：轻享套餐总费用更低，更省钱： 当每月可视通话时长x=37.5分钟时：两种套餐费用完全相同： 当每月可视通话时长x>37.5分钟时：经济套餐总费用更低，更省钱. 【解析】 【分析】(1)根据一次函数的表达式，结合题目中给出的收费公式，分析每个参数的实际意义即可： (2)根据题意分别计算两种套餐费用，再进行比较即可； (3)令0.3x+15=0.7x,求出两种套餐费用相等的时长临界点，再进行分析即可. 【详解】解：(1)略 (2)由题意得，小宇每月总可视通话时长为30+42=72分钟， 经济套餐为片=0.3×72+15 =21.6+15 =36.6 (元)； 轻享套餐为为=0.7×72=50.4 （元)， 36.6<50.4 ∴小宇应选择经济套餐更省钱： (3)略 第23页/供36页 命学科网命组卷网 【点睛】本题将通讯套餐计费问题抽象为一次函数模型，通过参数意义解读、代入计算、求解函数交点与 分类讨论，为用户提供了清晰的消费决策依据，充分体现了数学建模思想在生活消费场景中的实用价值， 是一次函数解决实际决策问题的典型范例. 20.如图，一次函数y=3x+3的图象与x轴交于点C,与y轴交于点B'点A(3,a)在直线BC上，过点 k y= A作反比例函数x的图象. (1)求出a,k的值： (2)连接OA,求△AOC的面积： (3)M为线段BC上的点，将点M向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点N,点N y= 恰巧在反比例函数x的图象上，求出点M的横坐标. 【答案】(1)a=4,k=12 (2) S,A0c=18 (3)-8+2V13 【解析】 【分折1拒4Ba入+3. ,得出a=4,A(3,4),再A(3,4)把代入广x即回可求 第24页/供36页 6学科网命组卷网 (2)过点A作AH1x轴于H，,根据一次函数解析式求 C(-9,0),得出0A=9,4H=4,利用三角 形面积公式即可得答案； 1 M63+3) Nt+4,三t+ (3)设 ,根据平移方式得出 3 4,根据k=12列方程，求出t值，根据M在线 段BC上，得出t的取值范围，即可得答案。 【小问1详解】 解：：点A(3,a)在直线y=x+3上， 3 1 :0=3×3+3=4 A(3,4) k V= ,点A在反比例函数x的图象上， ∴.k=3×4=12 【小问2详解】 解：如图，过点A作AH⊥x轴于H, B :一次函数y=3x+3的图象与x轴交于点C,与y轴交于点B' ,y=0x=-9 当时， :C(-9,0).0c=9. 第25页/供36页 6学科网列组卷网 A(3,4) .AH=4, S。x20C·AH ×9×4=18 2 【小问3详解】 1 nM(4,5t+3) 解：设 3 ,将点M向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点N, 1 :N+4兮+0 k ,k=12,点N恰巧在反比例函数x的图象上， :《+4+4)=12 解得：t=-8±23 :M为线段BC上的点， .-9<t<0 :t=-8+2V13 “点M的横坐标为8+2W13 21如图，△1BC为O0的内接三角形，MB为O0的 AC。⊙0， ∠BA 的直径， 是的弦， 的平分线，AD ⊙0 交 于D,用直尺和圆规作图并解答问题。 第26页/共36页 6学科网组卷网 (I)过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点B,连接OE交AD于点F(不写作法，保留作图痕迹)： (2)求证： DE是o0 的切线： (3)若4F=9,cos∠BAC= 5,求DF的长. 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) B 证明：如图，连接OD, B AD ∠CAB 平分 第27页/共36页 6学科网 命组卷网 ∴.∠CAD=∠OAD OA=OD ∴.∠ADO=∠OAD=∠CAD .AC∥OD DE⊥AC∠AED=90° ,即 ∴.∠CDO,180°-∠AED=90° .OD 为半径， DE是OO 的切线； (3)5 【解析】 【分析】(1)根据题意作图即可： (2)连接OD,利用角平分线的概念和OA=OD,可得∠ADO=∠OAD=∠CAD,即可证明 AC∥OD,利用平行线的性质即可解答： (3)作D0LAB于点Q,则∠AOD=∠AED=90°，可得RtADO≌Rt△MDE(HL）,设 A0=D0=5a AC=9a ,再解直角三角形，可得 ，最后利用相似三角形的判定和性质即可解答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 D2⊥AB ∠AQD=90°=∠AED 解：如图，作 于点，则 第28页/供36页 6学科网6组卷网 A :AD∠BAC 平分 ∴.D2=DE AD=AD ∴.RtAADOS≌RtAADE(HL) 设OA=OD=5a. .AC∥OD ∴.∠QOD=∠BAC ÷cos∠00D=cos∠BAC=4 5, ∴.OQ=OD.cos∠QOD=4a ..EA=OA=OA+00=5a+4a=9a .ODI EA ∴.△DOF∽△AEF DF OD 5 AF EA 9, 第29页/供36页 6学科网 命组卷网 :.DF=5AF=5 9 【点睛】第三小问，利用角平分线的性质，作辅助线，构造全等三角形，再判定△DOF∽△AEF,是解题 关键 22.丢弹球游戏是一款充满趣味与挑战性的休闲游戏，玩家可通过调整弹球的弹出角度、力度等参数，让 弹球沿特定轨迹飞行，击中目标物.图1是该游戏的核心装置示意图，能精准模拟弹球的飞行轨迹.图2 中，弹球从中心线OB的端点O的正上方1.5m处的A点弹出，弹球呈抛物线在OB正上方飞行，当飞行的 水平距离为5m时，达到最高点M,其高度为2m.以O为原点，OB,OA所在直线分别为x轴，y轴建 立平面直角坐标系， M B D 图1 图2 图3 (1)求图2中抛物线的表达式： (2)记图2中的击中目标物的点为点E,则OE的长为多少？ (3)图3是为了增加游戏难度，设置了两跳击球模式，即弹球从点A落到点D,再反弹过障碍后落下，反 弹后弹球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为lm,若最后 弹球也落在点E,则OD的长为多少？ 【答案】(1)y=-0.02(x-5)2+2 (2)0E=15m (3)0D长为5-10W2)m 第30页/共36页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】(1)由待定系数法即可求解： （2)令y=-0.02(x-5+2=0,即可求解； (3由c-4a -0.3m- 03+02m-L,0可求解 4×(-0.02) 【小问1详解】 解：以O为原点，以OB为x轴，以OA为y轴建立坐标系， 则点A、M的坐标分别为(0,1.5)、(5,2) 设抛物线的表达式为：y=a(x-5)}2+2 将点A的坐标代入上式得：1.5=a(0-5)}+2. 解得：a=-0.02. 则抛物线的表达式为：y=-0.02(x-5)+2. 【小问2详解】 解：由题意得，令y=0.02(x-5)}+2=0 解得：x=-5(舍去)或x=15, 即OE=15m: 【小问3详解】 解：设点D(m,0) 由(2)知点E15,0) 设抛物线的表达式为：y=-0.02(x-m(x-15)=0.02x2+(0.3+0.02m)x-0.3m 第31页/供36页 6学科网命组卷网 b2 由顶点纵坐标得，C -0.3m- 03+02m=1 4×(-0.02) 解得：m=15-10W2(m)或m=15+102(m)(不合题意，合去)， 即0D长为(15-10W2)m 【点睛】本题以丢弹球游戏为实际背景，核心是将弹球飞行轨迹抽象为二次函数模型，通过顶点式、交点 式建立抛物线解析式，结合顶点坐标公式与方程求解实现实际距离计算，充分体现了数形结合思想与数学 建模在游戏场景中的应用，是二次函数解决实际运动问题的典型范例. ABCD 23.【问题原型】在矩形 中，点P是边CB延长线上一点连接P,过点4作 CB 0LAP交DC 于点O. P B 图1 图2 图3 ABCD (1)如图1，若四边形 是正方形，则线段 0与MP之间的数量关系是 4 AD=-AB (2)如图2，若 3 ，判断AQ与AP之间的数量关系，并说明理由： 【问题变式】(3)如图3，四边形ABCD为平行四边形，∠A为锐角，且AB=3,AD=4.点P是射 线CB上点，作 BA0=∠PAD.A0交射 线CD于点Q.若D0=2 CP ，直接写出线段的长. 511 【答案】(1)AP=Ag(2)3A0=4AP(3)2或2 【解析】 【分析】L)证明△PMB2AD1D(ASA),由全等三角形的性质得出A0=A, 第32页/供36页 命学科网命组卷网 △ABPAADO (2)证明 ,由相似三角形的性质则可得出结论： ABCD (3)根据平行四边形的性质得出 ,进而利用相似三角形的判定与性质分两种情况解答即可. AP=AQ 【详解】解：(1) ,理由如下： :四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，AB=AD, ·A0 1 AP ∠PAQ=90° ∠PAB=∠QAD :.△PMB≌aOAD(ASA) 40=AP (2)340=4Ap 证明：，四边形ABCD是矩形， ∠BAD=∠ABC=∠ADQ=90° :∠QAD+∠QAB=900 .401AP 、∠PAQ=90° ∠PAB+∠QAB=90° 第33页/供36页 6学科网列组卷网 ∠PAB=∠QAD .∠ABP+∠ABC=180°， .∠ABP=180°-∠ABC=180°-90°=90°， ∠ABP=∠ADQ :△ABPOADO AB AP .AD AO, 4 AB 3 AB 3 .AD4, AP 3 .AQ4, 340=4AP (3),四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD,AB=CD=2,AD=BC=3, .∠ABC+∠BAD=180°，∠ABP+∠ABC=180°. ∴.∠ABP=∠BAD, ·∠BA0=∠PAD :∠BA0-∠PA0=∠PAD-∠PA0 第34页/供36页 6学科网命组卷网 即 ∠BAP=∠DAQ AB CD ∠DAQ=∠AQD ∠BAP=∠AQD ,△ABP∽△QDA D0=2,CD=3 当9在 CD,DO=2 上， D B P AB BP 3 BP .ADD9,即42， :3 又BC=4. CP=BC-BP=4-3-§ 22· CD D9=2 当Q在的延长线上， 第35页/供36页 6学科网命组卷网 P B AB BP 3 BP .ADDQ,即42， bp=3 又BC=4. :CP=BC+BP=4+3-1 ,311 22, 511 综上所述，CP的长为2或2， 第36页/共36页 2026年九年级中招模拟校内自主训练一数学 注意： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题．（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. “小桥流水人家”出自《天净沙・秋思》，以温情反衬孤寂．将这六字书写于正方体的表面，展开图如图所示，则折叠成正方体后与“桥”相对的汉字是（ ） A. 流 B. 水 C. 人 D. 家 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，交于点O，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三个完全相同的小球上依次写有三个实数，将小球置于暗箱中，摇匀后随机摸取两个小球，则摸取的两个小球上的数字都是有理数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，已知点A的坐标为，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第18次旋转后点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，中，，一动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 将一次函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 12. 进入决赛的甲、乙两人10次射击平均成绩均为9环，且，，若判定成绩较为稳定的为冠军，则获得冠军的是______．（填“甲”或“乙”） 13. 若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 14. 如图，和是的两条弦，，，点P为上一点，，则的长为_____． 15. 如图，在中，，，，在直线左侧找到一点P，使得是以为腰的等腰三角形，且四边形满足一组对边平行，则的正切值为______． 三、解答题．（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 甲辰岁末，渗透着历史积淀和人文情怀的晋祠天龙山景区，被编织进“国家5A级景区”的华彩之中，为锦绣太原再添光华．为引导同学们了解家乡文化，学校举办了“品晋祠韵味·赏天龙神采”系列活动． 【活动一】晋祠-天龙山知识竞赛 小明随机调查了八年级若干名同学参加此次知识竞赛的成绩（共道题目，每答对1题得10分），并将结果绘制成如图的扇形统计图（其中A代表分，B代表分，C代表分，D代表分，E代表分）． 【活动二】晋祠-天龙山宣讲达人 学校拟招募一名晋祠-天龙山文化宣讲达人．现从知识储备、现场表达、仪容仪表三个方面对两位参选者进行了测评，成绩如右表（单位：分）． 甲 乙 知识储备 8 9 现场表达 8 8 仪容仪表 9 7 请根据有关信息解决下列问题： （1）小明所调查的知识竞赛成绩的众数是______________分，中位数是______________分； （2）小亮分析扇形统什图，发现小明虽未提供调查总人数，但根据统计结果仍可计算出这些同学此次知识竞赛成绩的平均数．你同意他的观点吗？若同意，列出算式（不必计算）；若不同意，说明理由； （3）在晋祠-天龙山宣讲达人招募中，若将知识储备、现场表达、仪容仪表三项按照的比例计算最终成绩，请通过计算说明甲、乙二人谁将会当选． 18. 某景区山顶矗立着一座纪念雕像（如图1），为精准测量雕像的高度，数学实践小组专程前往开展测量工作，他们运用所学的三角函数知识收集了相关数据：如图2，小组成员在山脚下的点C处，测得雕像顶端A的仰角．随后沿山坡向上行走一段距离到达点D处，此时测量得自身垂直升高的高度为米（即点D到地平线的垂直距离为米），在D处再次测得雕像顶端A的仰角，已知山坡与地平线的夹角的正切值，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，雕像垂直于地平线．请你根据以上数据，利用所学知识求出山顶上雕像的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 19. 项目式：智慧通讯 【背景】 某通讯公司为满足不同用户的需求，推出了两种可视通话套餐；经济套餐：收费公式为：；轻享套餐：收费公式为：．其中，、分别代表经济套餐和轻享套餐的可视通话总费用（元），x代表用户的可视通话时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“经济套餐”公式中的“”和“15”以及“轻享套餐”公式中的“”在实际计费中分别表示什么意义． 【应用模型】 （2）小宇每月工作可视通话需30分钟，生活可视通话预计42分钟．根据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱． 【决策分析】 （3）如果你是该通讯公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个套餐更省钱，请通过计算给出明确的建议． 20. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． （1）求出，的值； （2）连接，求的面积； （3）为线段上的点，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，点恰巧在反比例函数的图象上，求出点的横坐标． 21. 如图，为的内接三角形，为的直径，是的弦，的平分线，交于D，用直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点D作交的延长线于点E，连接交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的长． 22. 丢弹球游戏是一款充满趣味与挑战性的休闲游戏，玩家可通过调整弹球的弹出角度、力度等参数，让弹球沿特定轨迹飞行，击中目标物．图1是该游戏的核心装置示意图，能精准模拟弹球的飞行轨迹．图2中，弹球从中心线的端点O的正上方处的A点弹出，弹球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求图2中抛物线的表达式； （2）记图2中的击中目标物的点为点E，则的长为多少？ （3）图3是为了增加游戏难度，设置了两跳击球模式，即弹球从点A落到点D，再反弹过障碍后落下，反弹后弹球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后弹球也落在点E，则的长为多少？ 23. 【问题原型】在矩形中，点P是边延长线上一点．连接，过点A作交于点Q． （1）如图1，若四边形是正方形，则线段与之间的数量关系是______； （2）如图2，若，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题变式】（3）如图3，四边形为平行四边形，为锐角，且，．点P是射线上一点，作，交射线于点Q．若，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $