精品解析：2026年河南商丘市第十六中学中招模拟校内数学自主训练一

2026年九年级中招模拟校内自主训练一数学 注意： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题．（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为米． 3. “小桥流水人家”出自《天净沙・秋思》，以温情反衬孤寂．将这六字书写于正方体的表面，展开图如图所示，则折叠成正方体后与“桥”相对的汉字是（ ） A. 流 B. 水 C. 人 D. 家 【答案】C 【解析】 【详解】解：折叠成正方体后与“桥”相对的汉字是“人”． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用幂的乘方、合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法法则逐一判断即可得到结果． 【详解】解：选项A∶，故本选项计算错误． 选项B∶与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误． 选项C∶，故本选项计算错误． 选项D∶ ，故本选项计算正确． 5. 图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，的度数，再根据角的和差即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 6. 如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，交于点O，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】勾股定理求出，证明，列出比例式，进行求解即可. 【详解】解：∵矩形，，， ∴， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴. 7. 如图，在三个完全相同的小球上依次写有三个实数，将小球置于暗箱中，摇匀后随机摸取两个小球，则摸取的两个小球上的数字都是有理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意准确画出树状图，确定总共6种等可能性结果，抽取的两个小球上的数字都是有理数的结果有2种，即可求解． 【详解】解：是无理数， 画树状图如图， ∴总共6种等可能性结果，抽取的两个小球上的数字都是有理数的结果有2种， ∴抽取的两个小球上的数字都是有理数的概率是， 故选：B． 8. 如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出，；根据勾股定理求出，则，根据线段的和差求出，再根据等边三角形的判定和性质，可得，最后根据． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴； ∴，则， ∵且， ∴，， ∵沿射线方向平移得对应， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，已知点A的坐标为，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第18次旋转后点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形性质，点的坐标，图形旋转性质等．先根据题意利用菱形性质求出点C的坐标，再根据旋转性质找出旋转规律，进而求出第18次旋转后点C的对应点的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， ∵，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，即， ∵菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转次为一个循环， ∴过点作轴，轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ， ∴第一次旋转后，点的对应点坐标为， 同理：第二次旋转后，点的对应点坐标为， 第三次旋转后，点的对应点坐标为， 第四次旋转后，点的对应点坐标为，此时回到了点C的初始位置， ∵， ∴第18次旋转后点C的对应点的坐标对应的坐标，即， 故选：C． 10. 如图1，中，，一动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数图象，以及点的运动情况，推出的长，进而求出，再结合勾股定理建立关于的方程求解，即可解题． 【详解】解：由图知，当时，， 即此时，且， 又运动到最后时，点P运动到点，， 则此时，且， ， 结合前面条件可知，， ， ， ， 解得． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 将一次函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数图象平移的规律：上加下减． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式为，即． 12. 进入决赛的甲、乙两人10次射击平均成绩均为9环，且，，若判定成绩较为稳定的为冠军，则获得冠军的是______．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题根据方差的意义判断成绩稳定性，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较甲乙两人方差大小即可得到结果． 【详解】已知甲乙两人射击平均成绩相同，，，， 根据方差的性质，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定， 因此乙的成绩更稳定，符合冠军判定要求． 13. 若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先解二元一次方程组，得出，，根据方程组的解都为正数，得出关于的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解： 得：，解得  得：，解得  因为、都为正数，所以：  解得： 14. 如图，和是的两条弦，，，点P为上一点，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题关键． 连接，根据圆周角定理得出为的直径，确定，，，再由圆周角定理得出，确定，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长为：． 15. 如图，在中，，，，在直线左侧找到一点P，使得是以为腰的等腰三角形，且四边形满足一组对边平行，则的正切值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出的长；当时，设交于点D，可证明，推出，据此求出的长，再求出的正切值可得的正切值；当时，过点P作于点F，设交于点G，可证明是等边三角形，求出的长，再求出的正切值可得的正切值；当时，若，此时有，此种情况不成立；若，则是等边三角形，由图2可知，此时． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴； 如图1所示，当时，设交于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，即； 如图2所示，当时，过点P作于点F，设交于点G， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，即； 当时， 若，则， 此时有，此种情况不成立； 若，则， 则是等边三角形，由图2可知，此时； 综上所述，或． 三、解答题．（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的乘法，分式的混合运算，熟练掌握实数的混合运算及分式的混合运算是关键． （1）先进行零指数幂计算，求绝对值，二次根式的乘法，再求和即可； （2）先计算括号内的分式加减，再计算分式的除法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 甲辰岁末，渗透着历史积淀和人文情怀的晋祠天龙山景区，被编织进“国家5A级景区”的华彩之中，为锦绣太原再添光华．为引导同学们了解家乡文化，学校举办了“品晋祠韵味·赏天龙神采”系列活动． 【活动一】晋祠-天龙山知识竞赛 小明随机调查了八年级若干名同学参加此次知识竞赛的成绩（共道题目，每答对1题得10分），并将结果绘制成如图的扇形统计图（其中A代表分，B代表分，C代表分，D代表分，E代表分）． 【活动二】晋祠-天龙山宣讲达人 学校拟招募一名晋祠-天龙山文化宣讲达人．现从知识储备、现场表达、仪容仪表三个方面对两位参选者进行了测评，成绩如右表（单位：分）． 甲 乙 知识储备 8 9 现场表达 8 8 仪容仪表 9 7 请根据有关信息解决下列问题： （1）小明所调查的知识竞赛成绩的众数是______________分，中位数是______________分； （2）小亮分析扇形统什图，发现小明虽未提供调查总人数，但根据统计结果仍可计算出这些同学此次知识竞赛成绩的平均数．你同意他的观点吗？若同意，列出算式（不必计算）；若不同意，说明理由； （3）在晋祠-天龙山宣讲达人招募中，若将识储备、现场表达、仪容仪表三项按照的比例计算最终成绩，请通过计算说明甲、乙二人谁将会当选． 【答案】（1）；； （2）同意；； （3）乙最终会当选． 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）众数：扇形图中（分）占比最高，故众数为分；中位数则是分数处在中间位置的数，故中位数为分； （2）同意，平均数可通过各分数乘对应比例计算即可； （3）计算出甲、乙的成绩比较大小即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知， 小明所调查的知识竞赛成绩的众数是：分； 中位数是：分； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：同意； ； 【小问3详解】 解：甲的最终成绩为：（分）， 乙的最终成绩为：（分）， 因为， 所以乙最终会当选． 18. 某景区山顶矗立着一座纪念雕像（如图1），为精准测量雕像的高度，数学实践小组专程前往开展测量工作，他们运用所学的三角函数知识收集了相关数据：如图2，小组成员在山脚下的点C处，测得雕像顶端A的仰角．随后沿山坡向上行走一段距离到达点D处，此时测量得自身垂直升高的高度为米（即点D到地平线的垂直距离为米），在D处再次测得雕像顶端A的仰角，已知山坡与地平线的夹角的正切值，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，雕像垂直于地平线．请你根据以上数据，利用所学知识求出山顶上雕像的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】雕像的高度约为米 【解析】 【分析】延长交于点，交于点，过点作，垂足为，则，根据正切的定义求出和，并设米，米，代入求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点，过点作，垂足为，则，四边形为矩形， ∴米， ∵在中，， ∴， ∴米， ∵， ∴， 在中，， 故设米，米， 根据题意得， ∴，即， ∴米， ∵， 即， ∴， ∴米，米， ∴米， 答：雕像的高度约为米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角和俯角问题，掌握仰角和俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 19. 项目式：智慧通讯 【背景】 某通讯公司为满足不同用户的需求，推出了两种可视通话套餐；经济套餐：收费公式为：；轻享套餐：收费公式为：．其中，、分别代表经济套餐和轻享套餐的可视通话总费用（元），x代表用户的可视通话时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“经济套餐”公式中的“”和“15”以及“轻享套餐”公式中的“”在实际计费中分别表示什么意义． 【应用模型】 （2）小宇每月工作可视通话需30分钟，生活可视通话预计42分钟．根据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱． 【决策分析】 （3）如果你是该通讯公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个套餐更省钱，请通过计算给出明确的建议． 【答案】（1）由题意得，经济套餐中，“”表示每分钟可视通话的收费标准为元；“15”表示每月固定收取的套餐基础费；轻享套餐中，“”表示每分钟可视通话的收费标准为元； （2）小宇选择经济套餐更省钱； （3）由题意得，令， 解得， ∴当每月可视通话时长分钟时：轻享套餐总费用更低，更省钱； 当每月可视通话时长分钟时：两种套餐费用完全相同； 当每月可视通话时长分钟时：经济套餐总费用更低，更省钱． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的表达式，结合题目中给出的收费公式，分析每个参数的实际意义即可； （2）根据题意分别计算两种套餐费用，再进行比较即可； （3）令，求出两种套餐费用相等的时长临界点，再进行分析即可． 【详解】解：（1）略 （2）由题意得，小宇每月总可视通话时长为分钟， ∴经济套餐为 （元）； 轻享套餐为（元）， ∵， ∴小宇应选择经济套餐更省钱； （3）略 【点睛】本题将通讯套餐计费问题抽象为一次函数模型，通过参数意义解读、代入计算、求解函数交点与分类讨论，为用户提供了清晰的消费决策依据，充分体现了数学建模思想在生活消费场景中的实用价值，是一次函数解决实际决策问题的典型范例． 20. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． （1）求出，的值； （2）连接，求的面积； （3）为线段上的点，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，点恰巧在反比例函数的图象上，求出点的横坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入，得出，，再把代入即可求出； （2）过点作轴于，根据一次函数解析式求出，得出，，利用三角形面积公式即可得答案； （3）设，根据平移方式得出，根据列方程，求出值，根据在线段上，得出的取值范围，即可得答案． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于， ∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设， ∵将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ∴， ∵，点恰巧在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∵为线段上的点， ∴， ∴， ∴点的横坐标为． 21. 如图，为的内接三角形，为的直径，是的弦，的平分线，交于D，用直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点D作交的延长线于点E，连接交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ，即， ， 为半径， 是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）连接，利用角平分线的概念和，可得，即可证明，利用平行线的性质即可解答； （3）作于点Q，则，可得，设，再解直角三角形，可得，最后利用相似三角形的判定和性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作于点Q，则， 平分， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】第三小问，利用角平分线的性质，作辅助线，构造全等三角形，再判定，是解题关键． 22. 丢弹球游戏是一款充满趣味与挑战性的休闲游戏，玩家可通过调整弹球的弹出角度、力度等参数，让弹球沿特定轨迹飞行，击中目标物．图1是该游戏的核心装置示意图，能精准模拟弹球的飞行轨迹．图2中，弹球从中心线的端点O的正上方处的A点弹出，弹球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求图2中抛物线的表达式； （2）记图2中的击中目标物的点为点E，则的长为多少？ （3）图3是为了增加游戏难度，设置了两跳击球模式，即弹球从点A落到点D，再反弹过障碍后落下，反弹后弹球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后弹球也落在点E，则的长为多少？ 【答案】（1） （2） （3）长为 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）令，即可求解； （3）由，即可求解． 【小问1详解】 解：以O为原点，以为x轴，以为y轴建立坐标系， 则点、的坐标分别为、， 设抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由题意得，令， 解得：（舍去）或， 即； 【小问3详解】 解：设点， 由（2）知点， 设抛物线的表达式为：， 由顶点纵坐标得，， 解得：或（不合题意，舍去）， 即长为． 【点睛】本题以丢弹球游戏为实际背景，核心是将弹球飞行轨迹抽象为二次函数模型，通过顶点式、交点式建立抛物线解析式，结合顶点坐标公式与方程求解实现实际距离计算，充分体现了数形结合思想与数学建模在游戏场景中的应用，是二次函数解决实际运动问题的典型范例． 23. 【问题原型】在矩形中，点P是边延长线上一点．连接，过点A作交于点Q． （1）如图1，若四边形是正方形，则线段与之间的数量关系是______； （2）如图2，若，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题变式】（3）如图3，四边形为平行四边形，为锐角，且，．点P是射线上一点，作，交射线于点Q．若，直接写出线段的长． 【答案】（1）（2）（3）或 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）证明，由相似三角形的性质则可得出结论； （3）根据平行四边形的性质得出，进而利用相似三角形的判定与性质分两种情况解答即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）， 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 当Q在上，， ∴，即， ∴， 又， ∴， 当Q在的延长线上，， ∴，即， ∴， 又， ∴， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中招模拟校内自主训练一数学 注意： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题．（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. “小桥流水人家”出自《天净沙・秋思》，以温情反衬孤寂．将这六字书写于正方体的表面，展开图如图所示，则折叠成正方体后与“桥”相对的汉字是（ ） A. 流 B. 水 C. 人 D. 家 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，交于点O，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三个完全相同的小球上依次写有三个实数，将小球置于暗箱中，摇匀后随机摸取两个小球，则摸取的两个小球上的数字都是有理数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，已知点A的坐标为，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第18次旋转后点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，中，，一动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 将一次函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 12. 进入决赛的甲、乙两人10次射击平均成绩均为9环，且，，若判定成绩较为稳定的为冠军，则获得冠军的是______．（填“甲”或“乙”） 13. 若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 14. 如图，和是的两条弦，，，点P为上一点，，则的长为_____． 15. 如图，在中，，，，在直线左侧找到一点P，使得是以为腰的等腰三角形，且四边形满足一组对边平行，则的正切值为______． 三、解答题．（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 甲辰岁末，渗透着历史积淀和人文情怀的晋祠天龙山景区，被编织进“国家5A级景区”的华彩之中，为锦绣太原再添光华．为引导同学们了解家乡文化，学校举办了“品晋祠韵味·赏天龙神采”系列活动． 【活动一】晋祠-天龙山知识竞赛 小明随机调查了八年级若干名同学参加此次知识竞赛的成绩（共道题目，每答对1题得10分），并将结果绘制成如图的扇形统计图（其中A代表分，B代表分，C代表分，D代表分，E代表分）． 【活动二】晋祠-天龙山宣讲达人 学校拟招募一名晋祠-天龙山文化宣讲达人．现从知识储备、现场表达、仪容仪表三个方面对两位参选者进行了测评，成绩如右表（单位：分）． 甲 乙 知识储备 8 9 现场表达 8 8 仪容仪表 9 7 请根据有关信息解决下列问题： （1）小明所调查的知识竞赛成绩的众数是______________分，中位数是______________分； （2）小亮分析扇形统什图，发现小明虽未提供调查总人数，但根据统计结果仍可计算出这些同学此次知识竞赛成绩的平均数．你同意他的观点吗？若同意，列出算式（不必计算）；若不同意，说明理由； （3）在晋祠-天龙山宣讲达人招募中，若将识储备、现场表达、仪容仪表三项按照的比例计算最终成绩，请通过计算说明甲、乙二人谁将会当选． 18. 某景区山顶矗立着一座纪念雕像（如图1），为精准测量雕像的高度，数学实践小组专程前往开展测量工作，他们运用所学的三角函数知识收集了相关数据：如图2，小组成员在山脚下的点C处，测得雕像顶端A的仰角．随后沿山坡向上行走一段距离到达点D处，此时测量得自身垂直升高的高度为米（即点D到地平线的垂直距离为米），在D处再次测得雕像顶端A的仰角，已知山坡与地平线的夹角的正切值，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，雕像垂直于地平线．请你根据以上数据，利用所学知识求出山顶上雕像的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 19. 项目式：智慧通讯 【背景】 某通讯公司为满足不同用户的需求，推出了两种可视通话套餐；经济套餐：收费公式为：；轻享套餐：收费公式为：．其中，、分别代表经济套餐和轻享套餐的可视通话总费用（元），x代表用户的可视通话时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“经济套餐”公式中的“”和“15”以及“轻享套餐”公式中的“”在实际计费中分别表示什么意义． 【应用模型】 （2）小宇每月工作可视通话需30分钟，生活可视通话预计42分钟．根据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱． 【决策分析】 （3）如果你是该通讯公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个套餐更省钱，请通过计算给出明确的建议． 20. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． （1）求出，的值； （2）连接，求的面积； （3）为线段上的点，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，点恰巧在反比例函数的图象上，求出点的横坐标． 21. 如图，为的内接三角形，为的直径，是的弦，的平分线，交于D，用直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点D作交的延长线于点E，连接交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的长． 22. 丢弹球游戏是一款充满趣味与挑战性的休闲游戏，玩家可通过调整弹球的弹出角度、力度等参数，让弹球沿特定轨迹飞行，击中目标物．图1是该游戏的核心装置示意图，能精准模拟弹球的飞行轨迹．图2中，弹球从中心线的端点O的正上方处的A点弹出，弹球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求图2中抛物线的表达式； （2）记图2中的击中目标物的点为点E，则的长为多少？ （3）图3是为了增加游戏难度，设置了两跳击球模式，即弹球从点A落到点D，再反弹过障碍后落下，反弹后弹球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后弹球也落在点E，则的长为多少？ 23. 【问题原型】在矩形中，点P是边延长线上一点．连接，过点A作交于点Q． （1）如图1，若四边形是正方形，则线段与之间的数量关系是______； （2）如图2，若，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题变式】（3）如图3，四边形为平行四边形，为锐角，且，．点P是射线上一点，作，交射线于点Q．若，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $